1、如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的 中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不垂直的是（ ） A B C 第 2 页（共 22 页） D 5 （5 分）若 alog63，blog105，clog147，则（ ） Aabc Bbca Cacb Dcba 6 （5 分）已知 x，y 满足不等式组，则 z|x+y1|的最小值为（ ） A2 B C D1 7 （5 分）电路从 A 到 B 上共连接着 6 个灯泡（如图） ，每个灯泡断路的概率为，整个电 路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从 A 到 B 连通的概率是（ ） A B C D 8 （5
2、分）有 5 名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同 学不能相邻，则不同的站法有（ ） A8 种 B16 种 C32 种 D48 种 9 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，0）的最小正周期是 ， 若 f（）1，则 f（+）（ ） A2 B C1 D1 10 （5 分）我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语， “堑堵”意指底面为直 角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底 面的四棱锥现有一如图所示的堑堵，ACBC，若 A1AAB2，当阳马 BA1ACC1体积 最大时，则堑堵 ABCA1B1C1的外接球的体
3、积为（ ） 第 3 页（共 22 页） A B C D 11 （5 分）已知数列an是各项均为正数的等比数列，Sn为数列an的前 n 项和，若 S2+a2 S33，则 a4+3a2的最小值为（ ） A9 B12 C16 D18 12 （5 分）若关于 x 的方程有三个不相等的实数解 x1，x2，x3，且 x10 x2x3，其中 mR，e2.718 为自然对数的底数，则 的值为（ ） Ae B1m C1+m D1 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 20 分，请将答案填在答题卡对应题号的位置分，请将答案填在答题卡对应题号的位置 上，答错位置，书写
4、不清，模棱两可均不得分上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 13 （5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a4，a10是方程 x28x+10 的两根，则 S13 14 （5 分）已知向量 与 的夹角是，且| | + |，则向量 与的夹角是 15（5 分） 已知 （x2+1）（x2） 9a0+a1 （x1） +a2（x1） 2+a11 （x1） 11， 则 a1+a2+a3+ +a11的值为 16（5 分） 已知函数， 若有 f （a） +f （a2） 4， 则 a 的取值范围是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明
5、过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （12 分）设 Sn为数列an的前 n 项和，已知 a23，an+12an+1 （1）证明an+1为等比数列 （2）判断 n，an，Sn是否成等差数列？并说明理由 18 （12 分）已知ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 第 4 页（共 22 页） （1）若 cosA：cosB：cosC2：2：7，求 sinB； （2）若 sinA：cosB：tanA2：2：7，试判断ABC 的形状 19 （12 分）如图，在三棱台 ABCDEF 中，二面角 BADC 是直二面角，ABAC，AB 3，ADDFFC （1）求
6、证：AB平面 ACFD； （2）求二面角 FBED 的平面角的余弦值 20 （12 分）已知函数 f（x）exex2+ax（aR） （1）若 f（x）在（0，1）上单调，求 a 的取值范围 （2）若 yf（x）+exlnx 的图象恒在 x 轴上方，求 a 的取值范围 21 （12 分）某种零件的质量指标值为整数，指标值为 8 时称为合格品，指标值为 7 或者 9 时称为准合格品，指标值为 6 或 10 时称为废品，某单位拥有一台制造该零件的机器，为 了了解机器性能，随机抽取了该机器制造的 100 个零件，不同的质量指标值对应的零件 个数如表所示； 质量指标值 6 7 8 9 10 零件个数 6
7、 18 60 12 4 使用该机器制造的一个零件成本为 5 元，合格品可以以每个 X 元的价格出售给批发商， 准合格品与废品无法岀售 （1）估计该机器制造零件的质量指标值的平均数； （2）若该单位接到一张订单，需要该零件 2100 个，为使此次交易获利达到 1400 元，估 计 x 的最小值； （3）该单位引进了一台加工设备，每个零件花费 2 元可以被加工一次，加工结果会等可 能出现以下三种情况： 质量指标值增加 1， 质量指标值不变， 质量指标值减少 1 已 知每个零件最多可被加工一次，且该单位计划将所有准合格品逐一加工，在（2）的条件 下，估计 x 的最小值（精确到 0.01） 第 5 页
8、（共 22 页） 请考生在请考生在 22、23 两题中任选两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后得到曲线 C2， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线 C3的极坐标方程为 2sin （1）求出曲线 C2，C3的参数方程； （2）若 P，Q 分别是曲线 C2，C3上的动点，求|PQ|的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本题满分（本题满分 0 分）分） 23已知
9、 a+b+c3，且 a、b、c 都是正数 （1）求证；a2+b2+c23； （2）求证：+ 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学年广东省中山市高三（上）期末数学试卷（理科）学年广东省中山市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）集合 Ax|x25x+60，Bx|2x10，则 AB（ ） A （，23，+） B （） C （ D （ ，
10、23，+） 【分析】解不等式得集合 A、B，根据交集的定义写出 AB 【解答】解：集合 Ax|x25x+60x|x2 或 x3， Bx|2x10x|x， 则 ABx|x2 或 x3（，23，+） 故选：D 【点评】本题考查了解不等式和交集的定义与应用问题，是基础题 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足，则|z+3|（ ） A B C D5 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得 z，然后利用复数模的 计算公式求|z+3| 【解答】解：由，得 zi（1i） （3+2i）5i， z， 则 z+325i， |z+3|25i| 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的
11、乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 3 （5 分）计算 sin133cos197+cos47cos73的结果为（ ） A B C D 【分析】利用应用诱导公式、两角差的正弦公式化简三角函数式，可得结果 第 7 页（共 22 页） 【解答】解：sin133cos197+cos47cos73sin47（cos17）+cos47sin17 sin（1747）sin（30）， 故选：B 【点评】本题主要考查应用诱导公式、两角差的正弦公式化简三角函数式，属于基础题 4 （5 分）如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的 中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面
12、MNQ 不垂直的是（ ） A B C D 【分析】由中位线定理和异面直线所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结 论 第 8 页（共 22 页） 【解答】解：对于 A，AB 为体对角线，MN，MQ，NQ 分别为棱的中点，由中位线定理 可得它们平行于面对角线， 连接另一条面对角线，由三垂线定理可得 AB 垂直于 MN，MQ，NQ，可得 AB 垂直于平 面 MNQ； 对于 B，AB 为上底面的对角线，显然 AB 垂直于 MN，与 AB 相对的下底面的面对角线平 行，且与直线 NQ 垂直，可得 AB 垂直于平面 MNQ； 对于 C，AB 为前面的面对角线，显然 AB 垂直于 MN，QN 在下底
13、面且与棱平行， 此棱垂直于 AB 所在的面，即有 AB 垂直于 QN，可得 AB 垂直于平面 MNQ； 对于 D，AB 为上底面的对角线，MN 平行于前面的一条对角线，此对角线与 AB 所成角 为 60， 则 AB 不垂直于平面 MNQ 故选：D 【点评】本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象 能力和推理能力，属于基础题 5 （5 分）若 alog63，blog105，clog147，则（ ） Aabc Bbca Cacb Dcba 【分析】令 f（x）1logx21在 x2 时单调递增，即可得出 【解答】解：令 f（x）1logx21在 x2 时单调递增， lo
14、g63log105log147， 则 abc， 故选：D 【点评】本题考查了对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 6 （5 分）已知 x，y 满足不等式组，则 z|x+y1|的最小值为（ ） A2 B C D1 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 第 9 页（共 22 页） 【解答】解：由 x，y 满足不等式组，作出可行域如图，由可行域可知 A（5， 3） ，B（2，0） ， ux+y1 的最大值为：7，最小值为：1， 则 z|x+y1|的最小值为：1 故选：D 【点评】本题考查简单的线性规划，考
15、查数形结合的解题思想方法，是中档题 7 （5 分）电路从 A 到 B 上共连接着 6 个灯泡（如图） ，每个灯泡断路的概率为，整个电 路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从 A 到 B 连通的概率是（ ） A B C D 【分析】利用对立事件概率加法公式和相互独立事件事件概率公式能求出从 A 到 B 连通 的概率 【解答】解：电路从 A 到 B 上共连接着 6 个灯泡（如图） ，每个灯泡断路的概率为， 整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路， 则从 A 到 B 连通的概率是： P（1）1（1） （1） 故选：B 第 10 页（共 22 页） 【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率加法公式和相
16、互独立事件事件概率公 式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 8 （5 分）有 5 名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同 学不能相邻，则不同的站法有（ ） A8 种 B16 种 C32 种 D48 种 【分析】根据题意，假设有 1、2、3、4、5，共 5 个位置，分 3 步进行分析：，将甲 安排在 3 号位置，在 1、2、4、5 中一个位置任选 1 个，安排乙，依据乙、丙两位同 学不能相邻，再安排丙，将剩下的 2 名同学全排列，安排在剩下的 2 个位置，由分 步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，假设有 1、2、3、4、5，共 5 个位置，分 3 步进行
17、分析： ，甲必须站在正中间，将甲安排在 3 号位置， ，在 1、2、4、5 中一个位置任选 1 个，安排乙，有 4 种情况， 由于乙、丙两位同学不能相邻，则丙有 2 种安排方法， ，将剩下的 2 名同学全排列，安排在剩下的 2 个位置，有 A222 种安排方法， 则有 142216 种安排方法； 故选：B 【点评】本题考查排列组合的应用，注意题目的限制条件，优先满足受到限制的元素 9 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，0）的最小正周期是 ， 若 f（）1，则 f（+）（ ） A2 B C1 D1 【分析】根据函数 f（x）的周期求出 的值，再化简 f（+）并求值 【解答
18、】解：因为函数 f（x）Asin（x+）的周期为 T，2， f（x）Asin（2x+） ， 又 f（）Asin（2+）1， f（+）Asin2（+）+ Asin（2+3+） Asin（2+） 第 11 页（共 22 页） 1 故选：D 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目 10 （5 分）我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语， “堑堵”意指底面为直 角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底 面的四棱锥现有一如图所示的堑堵，ACBC，若 A1AAB2，当阳马 BA1ACC1体积 最大时，则堑堵 ABCA1B1C1的外接球的体积为
19、（ ） A B C D 【分析】设 ACx，BCy，由阳马 BA1ACC1体积最大，得到 ACBC，由此能 求出堑堵 ABCA1B1C1的外接球的体积 【解答】解：设 ACx，BCy，由题意得 x0，y0，x2+y24， 当阳马 BA1ACC1体积最大， V2xyxy 取最大值， xy2，当且仅当 xy时，取等号， 当阳马 BA1ACC1体积最大时，ACBC， 以 CA、CB、CC1为棱构造长方体，则这个长方体的外接球就是堑堵 ABCA1B1C1的外 接球， 堑堵 ABCA1B1C1的外接球的半径 R， 堑堵 ABCA1B1C1的外接球的体积 V 故选：B 【点评】本题考查几何体的外接球的体积
20、的求法，考空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 第 12 页（共 22 页） 11 （5 分）已知数列an是各项均为正数的等比数列，Sn为数列an的前 n 项和，若 S2+a2 S33，则 a4+3a2的最小值为（ ） A9 B12 C16 D18 【分析】根据题意，分析可得 S2+a2S33a3a23，变形可得 a2，进而可得 a4+3a23（q1）+6，结合基本不等式的性质分析可得答案 【解答】解：根据题意，等比数列an中，若 S2+a2S33，则 S3S2a2+3，即 a3 a23， 变形可得：a2（q1）3，即 a2，必有 q1，
21、 又由 a4+3a2a2q2+3a2a2（q2+3）（q2+3）3（q1）+6， 又由 q1，则 3（q1）+62+618，当且仅当 q3 时等号 成立； 则 a4+3a2的最小值为 18； 故选：D 【点评】本题考查等比数列的前 n 项和公式，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基 础题 12 （5 分）若关于 x 的方程有三个不相等的实数解 x1，x2，x3，且 x10 x2x3，其中 mR，e2.718 为自然对数的底数，则 的值为（ ） Ae B1m C1+m D1 【分析】令，则有 t+m0t2+（m1）t+1m0， 令函数 g（x）画出其图象，结合图象可得关于 t 的方程 t2+（m
22、1）t+1m0 一定有两个实根 t1，t2， （t10t2）且，即可求解 第 13 页（共 22 页） 【解答】解：由方程， 令，则有 t+m0 t2+（m1）t+1m0， 令函数 g（x）， g（x）在（，1）递增，在（1，+）递减， 其图象如下， 要使关于 x 的方程有 3 个不相等的实数解 x1，x2，x3，且 x10x2x3 结合图象可得关于 t 的方程 t2+（m1）t+1m0 一定有两个实根 t1，t2， （t10t2） 且， （t11） （t21）2 （t11） （t21）t1t2（t1+t2）+1（1m）（1m）+11 （t11） （t21）21 故选：D 【点评】本题考查了函
23、数与方程思想、数形结合思想，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 20 分，请将答案填在答题卡对应题号的位置分，请将答案填在答题卡对应题号的位置 上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 13 （5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a4，a10是方程 x28x+10 的两根，则 S13 52 第 14 页（共 22 页） 【分析】可得 a4+a108，结合an为等差数列，即可求得结论 【解答】解：a4，a10是方程 x28x+10 的两根， a4+a108， a4+a102a78 S
24、1313a752， 故答案为：52 【点评】本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础 14（5 分） 已知向量 与 的夹角是， 且| | + |， 则向量 与的夹角是 120 【分析】根据平面向量的数量积与夹角、模长公式，计算即可 【解答】解：向量 与 的夹角是，且| | + |， +2 +， 2 +0， 即 2| | |cos+0， 化简得| | |， cos， 向量 与 + 的夹角是 120 故答案为：120 【点评】本题考查了根据平面向量的数量积求夹角、模长的应用问题，是基础题 15（5 分） 已知 （x2+1）（x2） 9a0+a1 （x1） +a2（x1） 2+a11 （
25、x1） 11， 则 a1+a2+a3+ +a11的值为 2 【分析】在所给的等式中，令 x1，可得 a0 的值，再令 x2，可得 02+a1+a2+ +a11，即可求得 a1+a2+a11的值 【解答】解：已知， 令 x1，可得 a02， 再令 x2，可得 02+a1+a2+a11，求得 a1+a2+a112， 第 15 页（共 22 页） 故答案为：2 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 16 （5 分） 已知函数， 若有 f （a） +f （a2） 4， 则 a 的取值范围是 （1， +） 【分析】令函数，分析函数的单调性和奇偶性，可
26、得 f（a）+f（a2） 4，即 a2a解得答案 【解答】解：令函数，满足 g（x）g（x） ，为奇函数， 故 f（a）+f（a2）4，可化为：g（a）+g（a2）0， 即 g（a）g（a2）g（2a） ， 又由1为增函数， 故 a2a 解得：a（1，+） 故答案为： （1，+） 【点评】本题考查的知识点是函数的性质，熟练掌握各种基本初等函数的性质是解答的 关键 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （12 分）设 Sn为数列an的前 n 项和，已知 a23，an+1
27、2an+1 （1）证明an+1为等比数列 （2）判断 n，an，Sn是否成等差数列？并说明理由 【分析】 （1）由题意可得首项，将等式两边加 1，结合等比数列的定义，即可得证； （2）由等比数列的通项公式和求和公式，结合等差数列的中项性质，可得结论 【解答】解： （1）证明：a23，an+12an+1，可得 a11， 即有 an+1+12（an+1） ， 则an+1为首项为 1，公比为 2 的等比数列； （2）由（1）可得 an+12n，即有 an2n1， 第 16 页（共 22 页） Snn2n+12n， 由 n+Sn2ann+2n+12n2（2n1）0， 可得 n，an，Sn成等差数列 【
28、点评】本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，等差数列的中项性质， 考查化简运算能力，属于中档题 18 （12 分）已知ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c （1）若 cosA：cosB：cosC2：2：7，求 sinB； （2）若 sinA：cosB：tanA2：2：7，试判断ABC 的形状 【分析】 （1）由题意可得，设 cosAcosB2x，cosC7x，且 CAB，利用诱导 公式，二倍角的余弦函数公式可求 14x24x27x，解得 x，可得 cosAcosB，利 用同角三角函数基本关系式可求 sinB 的值 （2） 由题意可得， 设 sinAcosB2x
29、， tanA7x， 且 A， B 均小于， 由 sinAtanAcosA， 可得 2x7x，解得 x 的值可得 sinAcosB，cosAsinB，利用两角 和的余弦函数公式可求 cosC0，可得 C 为直角，可得ABC 为直角三角形 【解答】解： （1）由题意可得，设 cosAcosB2x，cosC7x，且 CAB， cosCcos（2A）cos2Asin2Acos2A， 可得 14x24x27x，解得 x， 可得 cosAcosB， 可得 sinB， （2）由题意可得，设 sinAcosB2x，tanA7x，且 A，B 均小于， 由 sinAtanAcosA，可得 2x7x， 解得 x，
30、可得 sinAcosB，cosAsinB， 可得 cosCcosAcosBsinAsinB0， 可得 C 为直角，ABC 为直角三角形 第 17 页（共 22 页） 【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式， 两角和的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中 档题 19 （12 分）如图，在三棱台 ABCDEF 中，二面角 BADC 是直二面角，ABAC，AB 3，ADDFFC （1）求证：AB平面 ACFD； （2）求二面角 FBED 的平面角的余弦值 【分析】 （1）连接 CD，过 D 作 DGAC 交 AC 于点 G，推导出
31、 CDAD，从而 CD平 面 ABED，进而 ABCD，再由 ABAC，能证明 AB平面 ACFD （2）过点 A 作 AHAC，则 ABAH，以 A 为原点，的方向为 x 轴，y 轴， z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Axyz利用向量法能求出二面角 FBED 的平 面角的余弦值 【解答】证明： （1）连接 CD，在等腰梯形 ACFD 中，过 D 作 DGAC 交 AC 于点 G， 因为 ADDFFC1，所以 AG，DG，CG， 所以 CD，所以 AD2+CD2AC2，即 CDAD， （2 分） 又二面角 BADC 是直二面角，CD平面 ACFD， 所以 CD平面 ABED， （4 分）
32、又 AB平面 ABED，所以 ABCD， 又因为 ABAC，ACCDC，AC、CD平面 ACFD， 所以 AB平面 ACFD （6 分） 解： （2）如图，在平面 ACFD 内， 过点 A 作 AHAC，由（1）可知 ABAH， 以 A 为原点，的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 A xyz 第 18 页（共 22 页） 则 B（3，0，0） ，D（0，） ， F（0，） ，C（0，2，0） ， （7 分） 所以（3，2，0） ， （0，） ， 设是平面 FBE 的一个法向量， 则， 取 x2，得 （2，3，） ， （9 分） 由（1）可知 CD平面 BED， 所以（
33、0，）是平面 BED 的一个法向量， （10 分） 所以 cos， （11 分） 又二面角 FBED 的平面角为锐角， 所以二面角 FBED 的平面角的余弦值为 （12 分） 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档 题 20 （12 分）已知函数 f（x）exex2+ax（aR） （1）若 f（x）在（0，1）上单调，求 a 的取值范围 （2）若 yf（x）+exlnx 的图象恒在 x 轴上方，求 a 的取值范围 【分析】 （1）求导，可知导函数在（0，1）上大于等于 0 或小于
34、等于 0 恒成立，进而得 第 19 页（共 22 页） 解； （ 2 ） 原 问 题 等 价 于在 （ 0 ， + ） 上 恒 成 立 ， 构 造 函 数 ，求其最大值即可得到 a 的取值范围 【解答】解： （1）f（x）ex2ex+a， 由 f（x）在（0，1）上单调，知 f（x）ex2ex+a 在（0，1）上大于等于 0 或小于等 于 0 恒成立， 令 g（x）ex2ex+a，则 g（x）ex2e，令 g（x）0，解得 xln（2e） ， 当 0x1ln（2e）时，g（x）0，g（x）在（0，1）上单调递减， 由题意得，g（1）0 或 g（0）0，解得 a1 或 ae， 实数 a 的取值范
35、围为（，1e，+） ； （2）yexex2+ax+exlnx 的图象恒在 x 轴上方，即当 x（0，+）时，y0 恒成立， 亦即在（0，+）上恒成立， 令，则， 令 h（x）0，解得 0x1；令 h（x）0，解得 x1， 函数 h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减， h（x）在 x1 处取得最大值，最大值为 h（1）0， 实数 a 的取值范围为（0，+） 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查转化思想及逻辑推理能力， 属于基础题 21 （12 分）某种零件的质量指标值为整数，指标值为 8 时称为合格品，指标值为 7 或者 9 时称为准合格品，指标值为 6 或 1
36、0 时称为废品，某单位拥有一台制造该零件的机器，为 了了解机器性能，随机抽取了该机器制造的 100 个零件，不同的质量指标值对应的零件 个数如表所示； 质量指标值 6 7 8 9 10 零件个数 6 18 60 12 4 使用该机器制造的一个零件成本为 5 元，合格品可以以每个 X 元的价格出售给批发商， 准合格品与废品无法岀售 第 20 页（共 22 页） （1）估计该机器制造零件的质量指标值的平均数； （2）若该单位接到一张订单，需要该零件 2100 个，为使此次交易获利达到 1400 元，估 计 x 的最小值； （3）该单位引进了一台加工设备，每个零件花费 2 元可以被加工一次，加工结果
37、会等可 能出现以下三种情况： 质量指标值增加 1， 质量指标值不变， 质量指标值减少 1 已 知每个零件最多可被加工一次，且该单位计划将所有准合格品逐一加工，在（2）的条件 下，估计 x 的最小值（精确到 0.01） 【分析】 （1）利用平均数计算公式能求出机器制造零件的质量指标的平均数 （2）一个零件成本为 5 元，以每个 X 元的价格出售，得到 2100x（2100+） 1400，由此能求出 x 的最小值为 9 （3）依题意得准合格品加工后有能合格，用于销售，设为满足订单需制作 y 个零件， 则（）y2100，求出 y3000，要使获利达到 1400，需要 2100xy 51400，由此能
38、求出 x 的最小值 【解答】解： （1）设机器制造零件的质量指标的平均数为 ， 由题意得： （66+718+860+912+104）7.9 机器制造零件的质量指标值的平均数为 7.9 个 （2）一个零件成本为 5 元，以每个 X 元的价格出售，得到： 2100x（2100+）1400， 解得 x9， x 的最小值为 9 （2）依题意得准合格品加工后有能合格，用于销售， 设为满足订单需制作 y 个零件， 则（）y2100， 解得 y3000， 故要使获利达到 1400， 第 21 页（共 22 页） 需要 2100xy51400， 解得 x8.67 x 的最小值为 8.67 【点评】本题考查平均
39、数的求法，考查销售价格的最小值的求法，考查函数性质有生产 生活中的应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，是中档题 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后得到曲线 C2， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线 C3的极坐标方程为 2sin （1）求出曲线 C2，C3的参数方程； （2）若 P，Q 分别是曲线 C2，C3上的动点，求
40、|PQ|的最大值 【分析】 （1）先求出曲线 C2的方程为+y21，由此能求出曲线 C2的参数方程；曲线 C3的极坐标方程转化为 22sin，从而求出曲线 C3的直角坐标方程，由此能求出曲 线 C3的参数方程 （2）设 P（2cos，sin） ，则 P 到曲线 C3的圆心（0，1）的距离：d 由此能求出|PQ|的最大值 【解答】解： （1）曲线经过伸缩变换后得到曲线 C2， 曲线 C2的方程为+y21 曲线 C2的参数方程为， （ 为参数） 曲线 C3的极坐标方程为 2sin即 22sin， 曲线 C3的直角坐标方程为 x2+y22y，即 x2+（y+1）21， 曲线 C3的参数方程为， （
41、为参数） （2）设 P（2cos，sin） ，则 P 到曲线 C3的圆心（0，1）的距离： d sin1，1，当 sin时，dmax 第 22 页（共 22 页） |PQ|maxdmax+r+1 【点评】本题考查曲线的参数方程的求法，考查两点间距离的最大值的求法，考查直角 坐标方程、参数方程、检坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与 方程思想，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本题满分（本题满分 0 分）分） 23已知 a+b+c3，且 a、b、c 都是正数 （1）求证；a2+b2+c23； （2）求证：+ 【分析】 （1）根据 a+b+c3，可得 a2+b2
42、+c2+2ab+2ac+2bc9，然后利用基本不等即可 证明 a2+b2+c23 成立； （2）由 a+b+c3，可得+，然 后利用基本不等式即可证明+成立 【解答】证明： （1）a+b+c3，且 a、b、c 都是正数， （a+b+c）29，a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc9， 又 a2+b22ab，b2+c22bc，a2+c22ac， 2（a2+b2+c2）2（ab+bc+ac） ， a2+b2+c2+2（a2+b2+c2）9，当且仅当 abc1 时取等号， a2+b2+c23 （2）a+b+c3，且 a、b、c 都是正数， + ，当且仅当 abc1 时取等号， + 【点评】本题考查了利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题
