1、数列Fn：1，1，2，3，5，8，13，21，34，称为斐波那契数列，是由十三 世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数 列” 该数列从第三项开始， 每项等于其前相邻两项之和 记该数列Fn的前 n 项和为 Sn， 则下列结论正确的是（ ） 第 2 页（共 23 页） AS2019F2021+2 BS2019F20211 CS2019F2020+2 DS2019F20201 8 （5 分） 易经是中国传统文化中的精髓如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、 离、艮、兑八卦） ，每一卦由三根线组成（ “”表示一根阳线， “”表示一 根阴线） ，从八卦中任取两卦，这两
2、卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为 （ ） A B C D 9 （5 分）函数的图象的大致形状是（ ） A B C D 10 （5 分）平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A，平面 CB1D1，平面 ABCD m，平面 ABB1A1n，则 m、n 所成角的正弦值为（ ） A B C D 11 （5 分） 已知 F 为抛物线 y2x 的焦点， 点 A， B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧， 第 3 页（共 23 页） 2（其中 O 为坐标原点） ，则ABO 与AFO 面积之和的最小值是（ ） A2 B3 C D 12 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （0）满足
3、f（x0）f（x0+1），且 f（x） 在（x0，x0+1）上有最小值，没有最大值，给出下述四个结论： f（x0+）1；若 x00，则 f（x）sin（） ；f（x）的最小正周期 为 3；f（x）在（0，2019）上的零点个数最少为 1346 个 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，其中第分，其中第 15 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分分 13 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 n 值是 14 （5 分）若（1+x） （12x）7a0+a1x+a2x2+a8
4、x8，则 a1+a2+a3+a8的值是 15 （5 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，若 S24，an+12Sn+1，nN*，则 a1 ， S5 16 （5 分）已知双曲线 C1：的离心率 e2，左、右焦点分别为 F1、F2，其中 F2也是抛物线的焦点，C1与 C2在第一象限的公共 点为 P若直线 PF1斜率为，则双曲线离心率 e 的值是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个考生都必须作答第题，每个考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必
5、考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 第 4 页（共 23 页） 17 （12 分）在平面四边形 ABCD 中，ABC，ADC，BC2 （1）若ABC 的面积为，求 AC； （2）若 AD2，ACBACD+，求 tanACD 18 （12 分）如图，等腰梯形 ABCD 中，ABCD，ADABBC1，CD2，E 为 CD 中 点，以 AE 为折痕把ADE 折起，使点 D 到达点 P 的位置（P平面 ABCE） （）证明：AEPB； （）若直线 PB 与平面 ABCE 所成的角为，求二面角 APEC 的余弦值 19 （12 分）为发挥体育咋核心素养时代的独特育人价值，
6、越来越多的中学生已将某些体育 项目纳入到学生的必修课程，某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳 的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生抽取了 100 人进行调查 （1）已知在被抽取的女生中有 6 名高一（1）班学生，其中 3 名对游泳有兴趣，现在从 这 6 名学生中最忌抽取 3 人，求至少有 2 人对游泳有兴趣的概率； （2）该研究性学习小组在调查发现，对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级以上游泳比 赛中获奖，如下表示，若从高一（8）班和高一（9）班获奖学生中随机各抽取 2 人进行 跟踪调查记选中的 4 人中市级以上游泳比赛获奖的人数为 ，求随机变量 的分布列及 数学期望
7、班级 一 （1） 一 （2） 一 （3） 一 （4） 一 （5） 一 （6） 一 （7） 一 （8） 一 （9） 一 （10） 市级比赛 获奖人数 2 2 3 3 4 4 3 3 4 2 市级以上 比赛获奖 人数 2 2 1 0 2 3 3 2 1 2 20 （12 分）已知过点 D（4，0）的直线 l 与椭圆 C：1 交于不同的两点 A（x1， 第 5 页（共 23 页） y1） ，B（x2，y2） ，其中 y1y20，O 为坐标原点 （）若 x10，求OAB 的面积： （）在 x 轴上是否存在定点 T，使得直线 TA，TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角 形 21 （12 分）已知实
8、数 a0，设函数 f（x）eaxax （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）当时，若对任意的 x1，+） ，均有，求 a 的取值范 围 注：e2.71828为自然对数的底数 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分答题时请写清题号并将相应信息点涂黑第一题计分答题时请写清题号并将相应信息点涂黑选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系，曲线 M 的极坐标方
9、程为 2cos，若极坐标系内异于 O 的三点 A（1，） ，B （2，+） ，C（3，） （1，2，30）都在曲线 M 上 （1）求证：2+3； （2）若过 B，C 两点直线的参数方程为（t 为参数） ，求四边形 OBAC 的面 积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+2|+|x4| （1）求不等式 f（x）3x 的解集； （2）若 f（x）k|x1|对任意 xR 恒成立，求 k 的取值范围 第 6 页（共 23 页） 2019-2020 学年广东省惠州市高三 （上） 第三次调研数学试卷 （理学年广东省惠州市高三 （上） 第三次调研数学试卷 （理 科） （科）
10、 （1 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求一项符合题目要求 1 （5 分）已知全集 UR，Ax|2x1，则UA（ ） Ax|x1 Bx|x1 Cx|x0 Dx|x0 【分析】可以求出集合 A，然后进行补集的运算即可 【解答】解：Ax|x0，UR， UAx|x0 故选：D 【点评】本题考查了描述法的定义，指数函数的单调性，补集和全集的定义，补集的运 算，考查了计算能力，属于基础题 2 （5 分）设 i 为
11、虚数单位，复数，则 z 在复平面内对应的点在第（ ） 象限 A一 B二 C三 D四 【分析】先化简复数 z，然后得到 z 在复平面内对应的点，再确定该点位于第几象限 【解答】解：， z 在复平面内对应的点为，位于第二象限 故选：B 【点评】本题考查了复数的运算和复数的代数表示法及其几何意义，属基础题 3 （5 分）已知，则（ ） Acab Bacb Cbac Dabc 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解 【解答】解：log202010， 第 7 页（共 23 页） （0，1） ， 1， 所以 abc 故选：D 【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础
12、知识， 考查运算求解能力，是基础题 4 （5 分）在直角坐标系 xOy 中，已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴 重合，终边落在直线 y3x 上，则（ ） A B C D 【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义可求 tan 的值，进而利用诱导公式，二倍 角的三角函数公式即可求值得解 【解答】解：因为角 终边落在直线 y3x 上， 所以 tan3，可得， 所以 故选：A 【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式，二倍角的三角函数公式 在三角函数化简求值中的应用，属于基础题 5（5 分） 在平行四边形 ABCD 中，为 AD 的中点， （ ） A+ B+ C D
13、+ 【分析】利用向量的三角形法则、平行四边形法则、向量共线定理即可得出 【解答】解：， + （ + ） 第 8 页（共 23 页） ， 故选：C 【点评】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、向量共线定理，属于基础题 6 （5 分）设 aR，则“”是“直线 l1：x+2ay50 与直线 l2：ax+4y+20 平行” 的（ ）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 【分析】求出“直线 l1：x+2ay50 与直线 l2：ax+4y+20 平行”的充要条件，再根 据充分必要条件的定义得出结论即可 【解答】解：依题意，知“直线 l1：x+2ay50 与直线 l2：ax+
14、4y+20 平行” ，则 ，且，解得 a 则“”是“直线 l1：x+2ay50 与直线 l2：ax+4y+20 平行”的充分不必要条件； 故选：A 【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件，充分必要条件的定义，属于基础题 7 （5 分）数列Fn：1，1，2，3，5，8，13，21，34，称为斐波那契数列，是由十三 世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数 列” 该数列从第三项开始， 每项等于其前相邻两项之和 记该数列Fn的前 n 项和为 Sn， 则下列结论正确的是（ ） AS2019F2021+2 BS2019F20211 CS2019F2020+2 DS201
15、9F20201 【分析】 利用迭代法可得 Fn+2Fn+Fn1+Fn2+Fn3+F2+F1+1， 可得 S2019F20211， 代值计算可得结果 【解答】解：数列为：1，1，2，3，5，8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字 等于前两个相邻数字之和 则：Fn+2Fn+Fn+1Fn+Fn1+Fn Fn+Fn1+Fn2+Fn1 Fn+Fn1+Fn2+Fn3+Fn2 第 9 页（共 23 页） Fn+Fn1+Fn2+Fn3+F2+F1+1， S2019F20211 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：迭代法在数列中的应用 8 （5 分） 易经是中国传统文化中的精髓如图是易经八卦图（含乾、坤、巽
16、、震、坎、 离、艮、兑八卦） ，每一卦由三根线组成（ “”表示一根阳线， “”表示一 根阴线） ，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为 （ ） A B C D 【分析】从八卦中任取两卦，基本事件总数 n28，利用列举法求出这两卦的六根 线中恰有三根阳线和三根阴线包含的基本事件有 10 种， 由此能求出这两卦的六根线中恰 有三根阳线和三根阴线的概率 【解答】解：从八卦中任取两卦， 基本事件总数 n28， 这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线包含的基本事件有 10 种，分别为： （乾，坤） ， （兑，艮） ， （兑，震） ， （兑，坎） ， （巽，艮） ， （巽、震）
17、 ， （巽、坎） ， （离，艮） ， （离、震） ， （离、坎） ， 这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为 P 故选：D 【点评】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 9 （5 分）函数的图象的大致形状是（ ） 第 10 页（共 23 页） A B C D 【分析】判断函数的奇偶性，结合对称性以及极限思想进行判断即可 【解答】解：f（x）sinx， 则 f（x）sin（x）（sinx）sinxf（x） ， 则函数 f（x）是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 C，D， 当 x0，且 x0，f（x）0，排除 B， 故选：A 【点评】本题主要考查函数图象的
18、识别和判断，利用函数的奇偶性和极限思想进行排除 是解决本题的关键 10 （5 分）平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A，平面 CB1D1，平面 ABCD m，平面 ABB1A1n，则 m、n 所成角的正弦值为（ ） A B C D 【分析】画出图形，判断出 m、n 所成角，求解即可 【解答】解：如图：平面 CB1D1，平面 ABCDm，平面 ABA1B1n， 可知：nCD1，mB1D1，CB1D1是正三角形m、n 所成角就是CD1B160 则 m、n 所成角的正弦值为： 故选：A 第 11 页（共 23 页） 【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力 1
19、1 （5 分） 已知 F 为抛物线 y2x 的焦点， 点 A， B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧， 2（其中 O 为坐标原点） ，则ABO 与AFO 面积之和的最小值是（ ） A2 B3 C D 【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程， 再利用韦达定理及2 消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题 【解答】解：设直线 AB 的方程为：xty+m，点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 直线 AB 与 x 轴的交点为 M（m，0） ， 由y2tym0，根据韦达定理有 y1y2m， 2，x1x2+y1y22， 结合及，得， 点 A，B 位于 x 轴
20、的两侧，y1y22，故 m2 不妨令点 A 在 x 轴上方，则 y10，又， SABO+SAFO2（y1y2）+y1， 当且仅当，即时，取“”号， ABO 与AFO 面积之和的最小值是 3， 第 12 页（共 23 页） 故选：B 【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点： 1、联立直线与抛物线的方程，消 x 或 y 后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件 消元，这是处理此类问题的常见模式 2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高 3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等” 12 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （0）满足 f（x0）f（
21、x0+1），且 f（x） 在（x0，x0+1）上有最小值，没有最大值，给出下述四个结论： f（x0+）1；若 x00，则 f（x）sin（） ；f（x）的最小正周期 为 3；f（x）在（0，2019）上的零点个数最少为 1346 个 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 【分析】根据三角函数的性质，结合对称性以及周期性分别进行判断即可 【解答】解：f（x）满足 f（x0）f（x0+1）， f（x）在满足（x0，x0+1）处取得最小值，此时 f（x0+）1，正确， 若 x00，则 f（x0）f（x0+1）， 即 sin，不妨取 ，此时 f（x）sin（2x） ，满足条件， 但 f（）1
22、，为（0，1）上的最大值，不满足条件故错误， f（x0）f（x0+1），且 f（x）在（x0，x0+1）上有最小值，没有最大值， 不妨令 x0+2k，（x0+1）+2k，则两式相交的 ， 即函数 的周期 T3，故正确， 第 13 页（共 23 页） 区间（0，2019）的长度恰好为 673 个周期， 当 f（0）0 时，即 k 时，f（x）在（0，2019）上零点个数至少为 673211345， 故错误， 故正确的是， 故选：C 【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象和性质， 利用特值法以及三角函数的性质是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度 二、填空题：本题
23、共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，其中第分，其中第 15 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分分 13 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 n 值是 6 【分析】 由已知 n0， 执行运算 nn+2， 判断 2n20 是否成立， 不成立继续执行 nn+2， 成立则输出 n 值 【解答】解：执行 n0+22，判断 2220； 执行 n2+24，判断 2420； 执行 n4+26，判断 2620，算法结束 输出 n6 故答案为：6 【点评】本题考查程序框图，考查分析问题与解决问题的能力，是基础题 14 （5 分）若（1+x） （1
24、2x）7a0+a1x+a2x2+a8x8，则 a1+a2+a3+a8的值是 3 【分析】利用二项式定理可知，对已知关系式中的 x 赋值 1 即可求得 a1+a2+a8的值 【解答】解：（1+x） （12x）7a0+a1x+a2x2+a8x8， 令 x1 得： （1+1） （12）7a0+a1+a2+a7+a82， 第 14 页（共 23 页） 令 x0 得：a01， a1+a2+a7+a83， 故答案为：3 【点评】本题考查二项式定理的应用，考查赋值法的应用，属于基础题 15 （5 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，若 S24，an+12Sn+1，nN*，则 a1 1 ，S5 121 【分
25、析】运用 n1 时，a1S1，代入条件，结合 S24，解方程可得首项；再由 n1 时， an+1Sn+1Sn，结合条件，计算即可得到所求和 【解答】解：由 n1 时，a1S1，可得 a22S1+12a1+1， 又 S24，即 a1+a24， 即有 3a1+14，解得 a11； 由 an+1Sn+1Sn，可得 Sn+13Sn+1， 由 S24，可得 S334+113， S4313+140， S5340+1121 故答案为：1，121 【点评】本题考查数列的通项和前 n 项和的关系：n1 时，a1S1，n1 时，anSn Sn1，考查运算能力，属于中档题 16 （5 分）已知双曲线 C1：的离心率
26、 e2，左、右焦点分别为 F1、F2，其中 F2也是抛物线的焦点，C1与 C2在第一象限的公共 点为 P若直线 PF1斜率为，则双曲线离心率 e 的值是 4+ 【分析】由题意可得 p，c 之间的关系，再由 PF1斜率为，可得倾斜角的正切值，进而 求出余弦值，在三角形中用余弦定理可得 a，c 的关系，e2，进而求出离心率 【解答】解：因为 F2是双曲线的右焦点且是抛物线的焦点，所以， 解得 p2c，所以抛物线的方程为：y24cx； 由， 第 15 页（共 23 页） 如图过 P 作抛物线准线的垂线，垂足为 M，设 P（x0，y0） ， 则， 由 PF1PF22a，可得 在PF1F2中，PF2x0
27、+c8a，PF1PF2+2a10a，F1F22c， 由余弦定理得 即，化简得 5e240e+450，又 e 2， 故答案为： 【点评】考查双曲线的性质，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个考生都必须作答第题，每个考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）在平面四边形 ABCD 中，ABC，ADC，BC2 （1）若ABC 的面积为，求 AC； （2）
28、若 AD2，ACBACD+，求 tanACD 【分析】 （1）由已知结合三角形的面积公式 SABC可求 AB，在 ABC 中，再由余弦定理，AC2AB2+BC22ABBCcosABC 可求 AC； （2） 设ACD， 则可表示ACB， ABC 中， 由正弦定理可得， 可求 tan，即可求解 【解答】解： （1）ABC 中，ABC，BC2， 第 16 页（共 23 页） SABC AB3 ABC 中，由余弦定理可得，AC2AB2+BC22ABBCcosABC 97 AC； （2）设ACD，则ACB RtACD 中，AD2， AC ABC 中，BACACBABC 由正弦定理可得， 2sin（）si
29、n 化简可得，2sincos tan， tanACD 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用， 还考查了转化的能力，试题具有一定的综合性 18 （12 分）如图，等腰梯形 ABCD 中，ABCD，ADABBC1，CD2，E 为 CD 中 点，以 AE 为折痕把ADE 折起，使点 D 到达点 P 的位置（P平面 ABCE） （）证明：AEPB； （）若直线 PB 与平面 ABCE 所成的角为，求二面角 APEC 的余弦值 第 17 页（共 23 页） 【分析】 （1） 连接 BD， 设 AE 的中点为 O， 可证 AEPO， AEBO， 故而 AE平面 POB
30、， 于是 AEPB； （II）证明 POOB，建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出 二面角的大小 【解答】 （I）证明：连接 BD，设 AE 的中点为 O， ABCE，ABCECD， 四边形 ABCE 为平行四边形，AEBCADDE， ADE，ABE 为等边三角形， ODAE，OBAE， 又 OPOBO， AE平面 POB，又 PB平面 POB， AEPB （II）解：在平面 POB 内作 PQ平面 ABCE，垂足为 Q，则 Q 在直线 OB 上， 直线 PB 与平面 ABCE 夹角为PBO， 又 OPOB，OPOB， O、Q 两点重合，即 PO平面 ABCE， 以 O
31、为原点，OE 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 P（0，0，） ，E（，0，0） ，C（1，0） ， （，0，） ，（，0） ， 设平面 PCE 的一个法向量为（x，y，z） ，则，即， 令 x得（，1，1） ， 第 18 页（共 23 页） 又 OB平面 PAE，（0，1，0）为平面 PAE 的一个法向量， 设二面角 AEPC 为 ，则|cos|cos|， 易知二面角 AEPC 为钝角，所以 cos 【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与二面角的计算，属于中档 题 19 （12 分）为发挥体育咋核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学
32、生已将某些体育 项目纳入到学生的必修课程，某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳 的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生抽取了 100 人进行调查 （1）已知在被抽取的女生中有 6 名高一（1）班学生，其中 3 名对游泳有兴趣，现在从 这 6 名学生中最忌抽取 3 人，求至少有 2 人对游泳有兴趣的概率； （2）该研究性学习小组在调查发现，对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级以上游泳比 赛中获奖，如下表示，若从高一（8）班和高一（9）班获奖学生中随机各抽取 2 人进行 跟踪调查记选中的 4 人中市级以上游泳比赛获奖的人数为 ，求随机变量 的分布列及 数学期望 班级 一 （1
33、） 一 （2） 一 （3） 一 （4） 一 （5） 一 （6） 一 （7） 一 （8） 一 （9） 一 （10） 市级比赛 获奖人数 2 2 3 3 4 4 3 3 4 2 市级以上 比赛获奖 人数 2 2 1 0 2 3 3 2 1 2 【分析】 （1）利用互斥事件的概率公式计算所求事件的概率值； （2）由题意知随机变量 的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学 第 19 页（共 23 页） 期望值 【解答】解： （1）记事件 Ai从这 6 名学生中随机抽取的 3 人中恰好有 i 人有兴趣，i 0，1，2，3； 则 A2+A3从这 6 名学生中随机抽取的 3 人中至少有 2 人
34、有兴趣，且 A2与 A3互斥； 故所求概率为 PP（A2+A3）P（A2）+P（A3）+； （2）由题意知，随机变量 的所有可能取值有 0，1，2，3； 计算 P（0）， P（1）， P（2）， P（3）； 则 的分布列为， 0 1 2 3 p 数学期望为 E（）0+1+2+3 【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题 20 （12 分）已知过点 D（4，0）的直线 l 与椭圆 C：1 交于不同的两点 A（x1， y1） ，B（x2，y2） ，其中 y1y20，O 为坐标原点 （）若 x10，求OAB 的面积： （）在 x 轴上是否存在定点 T，使得直线 TA，T
35、B 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角 形 【分析】 （） 根据对称性可得直线 k 的方程， 求出点 B 的坐标， 即可求出三角形的面积， （）设直线 l：xmy+4，根据韦达定理和斜率公式，结合直线 TA 与 TB 的斜率互为相 反数，即可求出 第 20 页（共 23 页） 【解答】解： （）当 x10 时，A（0，1）或 A（0，1） ， 由对称性，不妨令 A（0，1） ，此时直线 l：x+4y40， 联立，消 x 整理可得 5y28y+30，解得 y11，或 y2，故 B（， ） ， 所以OAB 的面积为1， （）显然直线 l 的斜率不为 0，设直线 l：xmy+4， 联立，消去 x
36、整理得（m2+4）y2+8my+120， 所以64m2412（m2+4）0，即 m212， 则 y1+y2，y1y2， 设 T（t，0） ， 则 kTA+kTB+， 因为直线 TA，TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形， 所以 kTA+kTB0， 即 2my1y2+（4t） （y1+y2）+0，解得 t1， 故 x 轴上存在定点 T（1，0） ，使得直线 TA，TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线的斜率，考查了运算能力和转化 能力，属于中档题 21 （12 分）已知实数 a0，设函数 f（x）eaxax （1）求函数 f（x）的
37、单调区间； （2）当时，若对任意的 x1，+） ，均有，求 a 的取值范 围 注：e2.71828为自然对数的底数 【分析】 （1）先求出导函数 f（x） ，对 a 分情况讨论，分别求出函数 f（x）的单调区间； （2） 因为 f （x） （x2+1） ， 即 eax （x+1） 2 （） 令 x0， 得 1 ， 则， 当 x1 时，不等式（）显然成立，当 x（1，+）时，两边取对数，即 第 21 页（共 23 页） ax 恒成立，令函数 F（x）2ln（x+1）ax+ln，即 F（x）0 在 （1，+） 内恒成立，利用导数得到 F（x）F（1）2ln2+a+lna2 ln，令函数 g（a）a
38、2ln，其中，利用导数研究出函数 g（x）的单 调性，当时，g（a）0 恒成立，因此 F（x）0 恒成立，即当 时， 对任意的 x1，+） ，均有 f（x） 成立 【解答】解： （1）由 f（x）aeaxaa（eax1）0，解得 x0， 若 a0，则当 x（0，+） 时，f（x）0，故 f（x） 在（0，+） 内单调递增； 当 x（，0）时，f（x）0，故 f（x） 在（，0）内单调递减 若 a0，则当 x（0，+） 时，f（x）0，故 f（x） 在（0，+）内单调递增； 当 x（，0）时，f（x）0，故 f（x）在（，0）内单调递减 综上所述，f（x）在（，0）内单调递减，在（0，+） 内单
39、调递增； （2）因为 f（x）（x2+1） ，即 eax（x+1）2 （） 令 x0，得 1，则， 当 x1 时，不等式（）显然成立， 当 x（1，+）时，两边取对数，即 ax 恒成立， 令函数 F（x）2ln（x+1）ax+ln，即 F（x）0 在（1，+） 内恒成立， 由 F（x）0，得 x， 故当 x（1，1）时，F（X）0，F（x）单调递增；当 x（1，+） 时， F（X）0，F（x） 单调递减， 因此 F（x）F（1）2ln2+a+lna2ln， 令函数 g（a）a2ln，其中， 则 g（a）10，得 a1， 故当 a 时，g（a）0，g（a） 单调递减；当 a（1，2时，g（a）0
40、，g （a）单调递增， 第 22 页（共 23 页） 又 g（）ln40，g（2）0， 故当时，g（a）0 恒成立，因此 F（x）0 恒成立， 即当 时，对任意的 x1，+） ，均有 f（x） 成立 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，是中档题 （二）选（二）选考题：共考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分答题时请写清题号并将相应信息点涂黑第一题计分答题时请写清题号并将相应信息点涂黑选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy
41、 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系，曲线 M 的极坐标方程为 2cos，若极坐标系内异于 O 的三点 A（1，） ，B （2，+） ，C（3，） （1，2，30）都在曲线 M 上 （1）求证：2+3； （2）若过 B，C 两点直线的参数方程为（t 为参数） ，求四边形 OBAC 的面 积 【分析】 （1）将 A（1，） ，B（2，+） ，C（3，） （1，2，30）代入 极坐标方程 2cos，求出 1，2，3，利用两角和与差的余弦公式化简可得结论； （2）求得 B（，） ，C（2，0） ，则 21，32，；又得 1四边形 面积为 SOBAC12sin+13sin，
42、化简可得结果 【解答】解（1）由 12cos，22cos（+） ，32cos（） ，则 2+32cos （+）+2cos（）2cos1； （2）由曲线 M 的普通方程为：x2+y22x0，联立直线 BC 的参数方程得：t20 解得 t10，t2；平面直角坐标为：B（，） ，C（2，0） 则 21，32，；又得 1 即四边形面积为 SOBAC12sin+13sin为所求 【点评】本题主要考查极坐标方程以及参数方程的应用，考查了极径与极角的几何意义 的应用，意在考查综合应用所学知识，解答问题的能力，属于中档题 第 23 页（共 23 页） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f
43、（x）|x+2|+|x4| （1）求不等式 f（x）3x 的解集； （2）若 f（x）k|x1|对任意 xR 恒成立，求 k 的取值范围 【分析】 （1）通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可； （2）问题转化为 k|1+|+|1|，根据绝对值不等式的性质求出 k 的范围即可 【解答】解： （1）当 x4 时，x+2+x43x，解得：x2，故 x4， 当 x2 时，x2x+43x，解得：x，故此不等式无解， 当2x4 时，x+2x+43x，解得：x2，故 2x4， 综上，不等式的解集是2，+） ； （2）由 f（x）k|x1|，得|x+2|+|x4|k|x1|， 当 x1 时，60 恒成立，故 kR， 当 x1 时，k|1+|+|1|，
