1、 数学试题数学试题 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合分在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项 ）题目要求的一项 ） 1已知集合 A1，2，Bx|0x2，则 AB（ ） A1 B1，2 C0，1，2 Dx|0x2 2若复数 z 满足 zi1i，则 =（ ） A1+i B1i C1+i D1i 3函数 y2cos2x1 的最小正周期为（ ） A 2 B C2 D4 4函数 y|log2x|的图象是（ ） A B C D 5在等差数列an中，若 a4+a5+a615，则 a2+a8（ ） A6 B1
2、0 C7 D5 6已知圆 C 与圆（x1）2+y21 关于原点对称，则圆 C 的方程为（ ） Ax2+y21 Bx2+（y+1）21 Cx2+（y1）21 D （x+1）2+y21 7已知| |1，则“（ + ） ”是“ = 1”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件 8如图，网格纸上小正方形的边长均为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体 的体积为（ ） A2 3 B4 3 C3 D3 2 9已知 ab0，则下列不等式成立的是（ ） A 1 Ba2b2 C1 1 Da2ab 10 “割圆术”是我国古代计算圆周率 的一种方法在公元 263 年左右，
3、由魏晋时期的数 学家刘徽发明其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积， 进而求 当 时刘微就是利用这种方法， 把 的近似值计算到 3.1415 和 3.1416 之间， 这是当时世界上 对圆周率 的计算最精确的数据这种方法 的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的为 此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体， 而无所失矣” 这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演 变为现在的微积分根据“割圆术” ，若用正二十四边形来估算圆周率 ，则 的近似值 是（ ） （精确到 0.01） （参考数据 sin
4、150.2588） A3.05 B3.10 C3.11 D3.14 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分 ）分 ） 11已知抛物线 y22px 的焦点与双曲线 2 4 y21 的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标 为 ； 准线方程为 12 （x+1）7的展开式中 x3的系数是 13在ABC 中，ABC60，BC2AB2，E 为 AC 的中点，则 = 14某网店“五一”期间搞促销活动，规定：如果顾客选购商品的总金额不超过 600 元，则 不享受任何折扣优惠；如果顾客选购商品的总金额超过 600 元，则超过 600 元部分享受 一定的折扣优惠，折扣优惠
5、按表累计计算 可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率 不超过 500 元的部分 5% 超过 500 元的部分 10% 如果某人在网店所购商品获得的折扣优惠金额为30元， 则他实际所付金额为 元 15 若函数 f （x） ex（cosxa） 在区间 （ 2， 2） 上单调递减， 则实数 a 的取值范围是 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 ）分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 ） 16已知在ABC 中，a2，b= 2，同时还可能满足以下某些条件：A= 4；BA； sinBsinA；c4 （）直接写出所有可能满足的条件序号； （）在（
6、）的条件下，求 B 及 c 的值 17如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是正方形，PA底面 ABCD，E，F 分别是 BC， PC 的中点，ABAP2来源:学+科+网 Z+X+X+K （）求证：BD平面 PAC； （）求二面角 EAFC 的大小 18某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为 100 分，规定 测试成绩在85，100之间为“体质优秀” ，在75，85）之间为“体质良好” ，在60，75） 之间为“体质合格” ，在0，60）之间为“体质不合格” 现从这两个年级中各随机抽取 7 名学生，测试成绩如表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 高一年级
7、60 85 80 65 90 91 75 高二年级 79 85 91 75 60 m n 其中 m，n 是正整数 （）若该校高一年级有 280 学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数； （）若从高一年级抽取的 7 名学生中随机抽取 2 人，记 X 为抽取的 2 人中为“体质良 好”的学生人数，求 X 的分布列及数学期望； （）设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试 成绩的方差最小时，写出 m，n 的值 （只需写出结论） 19 （15 分）已知函数 f（x）lnx，g（x）ex （）求 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （）当 x0 时，证明：f
8、（x）xg（x） ； （）判断曲线 f（x）与 g（x）是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说 明理由 20已知椭圆 2 2 + 2 2 = 1(0)的短半轴长为2，离心率为 2 2 （1）求椭圆的方程； （2）设 A，B 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点 A 在第一象限，AEx 轴，垂足 为 E，连接 BE 并延长交椭圆于点 D，证明：ABD 是直角三角形 21已知数列an，bn，cn，且 bnan+1an，cnbn+1bn（nN*） 若bn是一个非 零常数列，则称an是一阶等差数列，若cn是一个非零常数列，则称an是二阶等差数 列 （）已知 a11，b11，cn1，试写出二阶
9、等差数列an的前五项； （）在（）的条件下，证明：an= 2+2 2 ； （）若an的首项 a12，且满足 cnbn+1+3an2n+1（nN*） ，判断an是否为二阶 等差数列 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合分在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项 ）题目要求的一项 ） 1已知集合 A1，2，Bx|0x2，则 AB（ ） A1 B1，2 C0，1，2 Dx|0x2 利用交集定义直接求解 集合 A1，2，Bx|0x2， AB1 故选：A 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求
10、解能力，是基础题 2若复数 z 满足 zi1i，则 =（ ） A1+i B1i C1+i D1i 利用除法法则求出 z，再由共轭复数的定义求来源:学科网 因为 zi1i，所以 z= 1 = 1i， 则 = 1+i 故选：C 本题考查了共轭复数以及复数的加减运算，属于基础题 3函数 y2cos2x1 的最小正周期为（ ） A 2 B C2 D4 把函数 y2cos2x1 化为一个角的一个三角函数的形式，求出周期即可 函数 y2cos2x1cos2x， 可得它的最小正周期为：2 2 =， 故选：B 本题主要考查了二倍角公式的应用，考查三角函数的周期性及其求法，是基础题 4函数 y|log2x|的图
11、象是（ ） A B C D 要想判断函数 f（x）|log2x|的图象，我们可以先将函数的解析式进行化简，观察到函数 的解析式中， 含有绝对值符号， 故可化为分段函数的形式， 再根据基本初等函数的性质， 对其进行分析，找出符合函数性质的图象 f（x）= 2 1 201. 则函数的定义域为： （0，+） ，即函数图象只出现在 Y 轴右侧； 值域为： （0，+）即函数图象只出现在 X 轴上方； 在区间（0，1）上递减的曲线，在区间（1，+）上递增的曲线 分析 A、B、C、D 四个答案，只有 D 满足要求 故选：D 要想判断函数的图象，我们先要求出其定义域，再化简解析式，分析其单调性、奇偶性、 周期
12、性等性质，根据定义域、值域分析函数图象所处的区域，根据函数的性质分析函数 图象的形状，如果还不能判断的话，可以代入特殊值，根据特殊点的位置进行判断 5在等差数列an中，若 a4+a5+a615，则 a2+a8（ ） A6 B10 C7 D5 由等差数列的性质可得：a4+a6a2+a82a5，代入可得 a55，而要求的值为 2a5，代入 可得 由等差数列的性质可得：a4+a6a2+a82a5 所以 a4+a5+a615，即 3a515，a55， 故 a2+a82a52510， 故选：B 本题为等差数列性质的应用，熟练掌握等差数列的性质是解决问题的关键，属基础题 6已知圆 C 与圆（x1）2+y2
13、1 关于原点对称，则圆 C 的方程为（ ） Ax2+y21 Bx2+（y+1）21 Cx2+（y1）21 D （x+1）2+y21 由已知圆的方程求得圆心坐标与半径，再求出圆心关于原点的对称点，则答案可求 圆（x1）2+y21 的圆心坐标为（1，0） ，半径为 1 点（1，0）关于原点的对称点为（1，0） ， 则所求圆的方程为（x+1）2+y21 故选：D 本题考查圆关于点的对称圆的求法，是基础题 7已知| |1，则“（ + ） ”是“ = 1”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件 ：| |1，由（ + ） ，可得 （ + ）0，化简即可判断出关系 |
14、|1，由（ + ） ， （ + ）= 2 + =1 =0， = 1反之也 成立 “ （ + ） ”是“ = 1”的充要条件 故选：C 本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题 8如图，网格纸上小正方形的边长均为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体 的体积为（ ） A2 3 B4 3 C3 D3 2 由三视图还原原几何体， 可知该几何体为三棱锥 PBB1Q，其中正方体的棱长为 3， D1P 1，BO1，再由棱锥体积公式求解 由三视图还原原几何体如图， 该几何体为三棱锥 PBB1Q，其中正方体的棱长为 3 D1P1，BO1 则三棱锥的体
15、积为 V= 1 3 1 2 1 3 3 = 3 2 故选：D 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题 9已知 ab0，则下列不等式成立的是（ ） A 1 Ba2b2 C1 1 Da2ab 直接利用不等式的基本性质的应用求出结果 由于 ab0， 所以当 a2，b1，a2b2，故选项 B 错误 当 a3，b2 时，1 1 ，故选项 C 错误 由于 ab0，所以 a2ab，故选项 D 错误 由于 ab0，所以 1 = 0，故选项 A 成立 故选：A 本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力 及思维能力，属于基础题型 10 “割圆术”是我
16、国古代计算圆周率 的一种方法在公元 263 年左右，由魏晋时期的数 学家刘徽发明其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积， 进而求 当 时刘微就是利用这种方法， 把 的近似值计算到 3.1415 和 3.1416 之间， 这是当时世界上 对圆周率 的计算最精确的数据这种方法 的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的为 此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体， 而无所失矣” 这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演 变为现在的微积分根据“割圆术” ，若用正二十四边形来估算圆周率 ，则 的近似值
17、 是（ ） （精确到 0.01） （参考数据 sin150.2588） A3.05 B3.10 C3.11 D3.14 连接圆心与正二十四边形的各个顶点， 正二十四边形被分成了 24 个面积相等的等腰三角 形，可以计算出每个等腰三角形的面积，再算出正二十四边形的面积，即可求出 的近 似值 连接圆心与正二十四边形的各个顶点， 正二十四边形被分成了 24 个面积相等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰长为 1，顶角 为360 24 =15， 所以每个等腰三角形的面积 s= 1 2 11sin360 24 = 1 2 sin15， 所以正二十四边形的面积为 24s12sin15120.25883.11，
18、 故选：C 本题主要考查了类比推理，考查了数形结合思想，是中档题 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分 ）分 ） 11已知抛物线 y22px 的焦点与双曲线 2 4 y21 的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为 （2，0） ； 准线方程为 x2 由双曲线方程求得双曲线的右顶点坐标，可得抛物线的焦点坐标，进一步求得抛物线的 准线方程来源:学科网 双曲线 2 4 y21 的右顶点坐标为（2，0） ， 即抛物线 y22px 的焦点坐标为（2，0） ； 则抛物线的直线方程为 x2 故答案为： （2，0） ；x2 本题考查双曲线与抛物线的简单性质，是基础题
19、 12 （x+1）7的展开式中 x3的系数是 35 利用二项式定理求得（x+1）7的展开式的通项公式，进而求得结果 （x+1）7的展开式的通项公式为 Tr+1C 7 x7r，r0，1，7， （x+1）7的展开式中 x3的系数为 C 7 4 =35 故填：35 本题主要考查二项式定理中的通项公式，属于基础题 13在ABC 中，ABC60，BC2AB2，E 为 AC 的中点，则 = 1 先在ABC 中， 利用余弦定理， 算出 = 3， 确定ABC 是以 A 为直角的直角三角形， 然后 = ( )，结合平面向量数量积的运算法则求解即可 由于ABC60，BC2AB2， 根据余弦定理可知，AC2AB2+
20、BC22ABBCcosABC= 1 + 4 2 1 2 1 2 = 3， = 3，ABC 为直角三角形，且 A 为直角， = ( ) = 2 = 0 12= 1 故答案为：1 本题考查平面向量在几何中的应用，熟练运用平面向量的加减法和数量积运算是解题的 关键，考查学生的分析能力和计算能力，属于基础题 14某网店“五一”期间搞促销活动，规定：如果顾客选购商品的总金额不超过 600 元，则 不享受任何折扣优惠；如果顾客选购商品的总金额超过 600 元，则超过 600 元部分享受 一定的折扣优惠，折扣优惠按表累计计算 可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率 不超过 500 元的部分 5% 超过 500 元
21、的部分 10% 如果某人在网店所购商品获得的折扣优惠金额为30元， 则他实际所付金额为 1120 元 根据优惠政策得出优惠金额 y 关于购物金额 x 的函数关系式，再由优惠金额计算出购物 金额，从而得出实际付款金额 设购物金额为 x，优惠金额为 y，则由题意可得： y= 0，0 600 0.05( 600)，600 1100 25 + 0.1( 1100)，1100 显然当 y30 时，x1100， 令 25+0.1（x1100）30，解得 x1150 故只需实际费用为 1150301120 元 故答案为：1120 本题考查根据实际问题选择函数模型，考查分段函数值的计算，属于中档题 15若函数
22、 f（x）ex（cosxa）在区间（ 2， 2）上单调递减，则实数 a 的取值范围是 ,2，+ ) 求导得 f（x）exsinx+ex（cosxa）ex（cosxsinxa） ，问题可以转化为任意 x （ 2， 2） ， cosxsinxa 恒成立， 令 g （x） cosxsinx= 2sin （ 4 x） ， x （ 2， 2） ， 只需要 ag（x）max，即可 根据题意函数 f（x）ex（cosxa）在区间（ 2， 2）上单调递减， 所以任意 x（ 2， 2） ，f（x）e xsinx+ex（cosxa）ex（cosxsinxa）0 恒 成立， 任意 x（ 2， 2） ，cosxsin
23、xa0 恒成立， 任意 x（ 2， 2） ，cosxsinxa 恒成立， 令 g（x）cosxsinx= 2sin（ 4 x） ，x（ 2， 2） ， 2 x 2， 4 4 3 4 ， sin（ 4 ）（ 2 2 ，1） ， 2sin（ 4 ）（1，2） ， 所以 a 2， 故答案为：2，+） 本题考查函数的单调性带来的恒成立问题，其中还涉及函数的三角函数的取值范围，属 于中档题 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 ）程 ） 16已知在ABC 中，a2，b= 2，同时还可能满足以下某些条件：A
24、= 4；BA； sinBsinA；c4 （）直接写出所有可能满足的条件序号； （）在（）的条件下，求 B 及 c 的值 （）直接根据大边对大角以及两边之和大于第三边即可求解； （） 先根据正弦定理求得 B， 再结合三角形内角和求得 sinC， 最后结合正弦定理求出 c； 也可借助于余弦定理求 c （）， （）由 = 得 2 4 = 2 ， = 2 4 2 = 22 2 2 = 1 2； = 2 = 2 = 6； 解法一： = ( ( + ) = 7 12 = 6+2 4 ， 由 = = = 26+2 4 2 2 =3 + 1 解法二：由2= 2+ 2 2 22= (2)2+ 2 2 2 2 2
25、 解得 = 3 + 1或 = 3 + 1（舍） 本题考查正弦定理和余弦定理及运用，考查运算能力，属于基础题 17如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是正方形，PA底面 ABCD，E，F 分别是 BC， PC 的中点，ABAP2 （）求证：BD平面 PAC； （）求二面角 EAFC 的大小 （）连接 BD，推导出 ACBD，PABD，由此能证明 BD平面 PAC （）以 A 为原点、AB 为 x 轴、AD 为 y 轴、AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出二面角 EAFC 的大小 （）证明：连接 BD，四边形 ABCD 为正方形，ACBD， 又 PA底面 ABCD，BD
26、平面 ABCD，PABD， 而 PAACC，BD平面 PAC （）解：PA平面 ABCD，ABAD， 以 A 为原点、AB 为 x 轴、AD 为 y 轴、AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，E（2，1，0） ，D（0，2，0） ，F（1，1，1） ， =（2，1，0） ， =（1，1，1） ， 设平面 AEF 的一个法向量为 = (，) = 0 = 0 ，即2 + = 0 + + = 0，令 x1，则 = (1， 2，1)， 由（）知 = (2，2，0)为平面 ACF 的法向量， ， = | | | | | = 3 2 ， 二面角 EAFC 的大
27、小为 6 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题来源:学科网 ZXXK 18某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为 100 分，规定 测试成绩在85，100之间为“体质优秀” ，在75，85）之间为“体质良好” ，在60，75） 之间为“体质合格” ，在0，60）之间为“体质不合格” 现从这两个年级中各随机抽取 7 名学生，测试成绩如表： 学生编号 1 2 3 4 5来源:Z.xx.k.Com 6 7 高一年级 60 85 80 65 90 91 75 高二年级 79 85 91 75
28、60 m n 其中 m，n 是正整数 （）若该校高一年级有 280 学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数； （）若从高一年级抽取的 7 名学生中随机抽取 2 人，记 X 为抽取的 2 人中为“体质良 好”的学生人数，求 X 的分布列及数学期望； （）设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试 成绩的方差最小时，写出 m，n 的值 （只需写出结论） （）高一年级随机抽取的 7 名学生中， “体质优秀”的有 3 人，优秀率为3 7，求解高一 年级“体质优秀”的学生人数 （）高一年级抽取的 7 名学生中“体质良好”的有 2 人，非“体质良好”的有 5 人所 以 X
29、的可能取值 为 0，1，2，求出概率，得到分布列，然后求解期望 （）设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试 成绩的方差最小时，直接写出 m，n 的值 （）高一年级随机抽取的 7 名学生中， “体质优秀”的有 3 人，优秀率为3 7，将此频率 视为概率，估 计高一年级“体质优秀”的学生人数为3 7 280 = 120人 （）高一年级抽取的 7 名学生中“体质良好”的有 2 人，非“体质良好”的有 5 人所 以 X 的可能取值 为 0，1，2， 所以( = 0) = 2 0 5 2 7 2 = 10 21 ，( = 1) = 2 1 5 1 7 2 = 10 21
30、，( = 2) = 2 2 5 0 7 2 = 1 21， 所以随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 P 10 21 10 21 1 21 () = 0 10 21 + 1 10 21 + 2 1 21 = 12 21 = 4 7， （）mn78 本题考查频数、概率的求法，离散型随机变量的期望以及分布列的求法，考查古典概型 等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 19 （15 分）已知函数 f（x）lnx，g（x）ex （）求 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （）当 x0 时，证明：f（x）xg（x） ； （）判断曲线 f（x）与 g（x）是否存在公切线，若存在，说明有几
31、条，若不存在，说 明理由 （）求导数，分别求出切点处导数和函数值，利用点斜式写出切线方程； （）构造函数 h（x）f（x）x，和函数 s（x）xg（x） ，然后分别研究其单调性、 最值，证不等式恒成立即可； （）各自结合切点写出切线方程，构造关于切点的方程组，方程组有几组解，就有几 条公切线，最终问题转化为判断函数零点的个数问题 （）f（x）lnx 的定义域（0，+） ， 由() = 1 = (1) = 1，又 f（1）0， 所以 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为：yx1 （）设 h（x）f（x）xlnxx（x0） ，由() = 1 1 = 1 = 0 = 1，h （x） ，h（
32、x）随 x 变化如下： x （0，1） 1 （1，+） h（x） + 0 h（x） 极大值 h（x）maxh（1）ln1110f（x）x 设 s（x）xg（x）xex，则 s（x）1ex0 在 x（0，+）上恒成立， s（x）在 x（0，+）上单调递减，s（x）s（0）10xg（x） 综上 f（x）xg（x） ； （）曲线 f（x）与 g（x）存在公切线，且有 2 条，理由如下： 由（）知曲线 f（x）与 g（x）无公共点，设 l1，l2分别切曲线 f（x）与 g（x）于 (1，1)，(2，2)，则 1： = 1 1 + 1 1；2： = 2 + 2(1 2)， 若 l1l2，即曲线 f（x）
33、与 g（x）有公切线， 则 1 1 = 2 1 1 = 2(1 2) 2(1 2) + 2+ 1 = 0， 令 h（x）ex（1x）+x+1，则曲线 f（x）与 g（x）有公切线，当且仅当 h（x）有零点， h（x）xex+1，当 x0 时，h（x）0，h（x）在（，0）单调递增， 当 x0 时，h（x）（x+1）ex0，h（x）在（0，+）单调递减， 又 h（0）10，h（1）1e0， 存在0 (0，1)使得(0) = 00+ 1 = 0，且 x（0，x0）时，h（x）0，h（x） 单调递增，x（x0，+）时，h（x）0，h（x）单调递减， ()= ( 0) = 0(1 0) + 0+ 1
34、= 1 0 (1 0) + 0+ 10， 又 h （ 2）3e 210，h（2）e2+30， h（x）在（2，x0） ， （x0，2）内各存在有一个零点， 故曲线 f（x）与 g（x）存在 2 条公切线 本题考查导数的几何意义和导数在研究函数性质中的应用同时考查学生的数学运算、 逻辑推理、直观想象等数学核心素养属于较难的题目 20已知椭圆 2 2 + 2 2 = 1(0)的短半轴长为2，离心率为 2 2 （1）求椭圆的方程； （2）设 A，B 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点 A 在第一象限，AEx 轴，垂足 为 E，连接 BE 并延长交椭圆于点 D，证明：ABD 是直角三角形 （1）依题
35、意 b= 2，再结合离心率以及 a2b2+c2，即可求出 a，b，c 的值，从而求出 椭圆方程； （2）法一：设 A（x1，y1） ，D（xD，yD） ，则 B（x1，y1） ，E（x1，0） ，直线 BE 的 方程为 = 1 21 ( 1)，与椭圆方程联立，利用韦达定理，得到 kABkAD1，所以 AB AD，即ABD 是直角三角形；法二：设 B（x1，y1） ，D（x2，y2） ，则 A（x1，y1） ， E（x1，0） 设直线 BD 的方程为 ykx+m， 与椭圆方程联立，利用韦达定理得到 kABkAD 1，所以 ABAD，即ABD 是直角三角形；法三：设 B（x1，y1） ，D（x2，
36、y2） ，则 A（x1，y1） ，E（x1，0） ，所以 = 2+1 2+1 21 21 = 2 212 2 212，因为 B（x1， y1） ，D（x2，y2）在椭圆上，所以 = 2 212 2 212 = 2 212 (422 2)(4212) = 1 2，所以 kAB kAD1，所以 ABAD，即ABD 是直角三角形 （1）依题意可得 = 2， = 2 2 ，所以 2 2 = 22 2 = 22 2 = 1 2， 解得 a2， 所以椭圆的方程是 2 4 + 2 2 = 1； （2）法一：设 A（x1，y1） ，D（xD，yD） ，则 B（x1，y1） ，E（x1，0） ， 直线 BE 的
37、方程为 = 1 21 ( 1)，与 2 4 + 2 2 = 1联立得(1 + 1 2 21 2) 2 1 2 1 + 1 2 2 4 = 0， 因为 xD，x1是方程的两个解，所以(1) = 1 2 2 4 (1+ 1 2 21 2) = 1 28 21 2+121 2， 又因为1 2 4 + 1 2 2 = 1， 所以= 1 28 31 281，代入直线方程得 = 1 3 31 28， = 1 1 1+ 1 3 31 28 1 1 28 31 281 = 21 24 1 2 = 1， 所以 ABAD，即ABD 是直角三角形； （2）法二：设 B（x1，y1） ，D（x2，y2） ，则 A（x
38、1，y1） ，E（x1，0） 设直线 BD 的方程为 ykx+m，与 2 4 + 2 2 = 1联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m240， 1+ 2= 4 1+22 ， = 2+1 2+1 = (2+)+(1+) 2+1 = + 2 1+2 = 1 2 ， = = 1 21， = 1 1 = 2， 所以 kABkAD1， 所以 ABAD，即ABD 是直角三角形； （2）法三：设 B（x1，y1） ，D（x2，y2） ，则 A（x1，y1） ，E（x1，0） 设= = 1 21 = ，则= 1 1 = 2， = 2+1 2+1 21 21 = 2 212 2 212， 因为 B（x1，y1
39、） ，D（x2，y2）在椭圆上，满足椭圆方程，所以 = 2 212 2 212 = 2 212 (422 2)(4212) = 1 2， 所以= 1 2， 所以 kABkAD1， 所以 ABAD，即ABD 是直角三角形 本题主要考查了椭圆方程，椭圆与直线的位置关系，是中档题 21已知数列an，bn，cn，且 bnan+1an，cnbn+1bn（nN*） 若bn是一个非 零常数列，则称an是一阶等差数列，若cn是一个非零常数列，则称an是二阶等差数 列 （）已知 a11，b11，cn1，试写出二阶等差数列an的前五项； （）在（）的条件下，证明：an= 2+2 2 ； （）若an的首项 a12，
40、且满足 cnbn+1+3an2n+1（nN*） ，判断an是否为二阶 等差数列 （）直接利用已知条件的应用求出数列的各项 （）利用（）的结论，进一步求出结果 （）利用关系的推导求出数列an不是二阶等差数列 （）数列an，bn，cn，且 bnan+1an，cnbn+1bn（nN*） 由于bn是一个非零常数列，则称an是一阶等差数列，若cn是一个非零常数列，则称 an是二阶等差数列 已知 a11，b11，cn1，所以：a11，a22，a34，a47，a511 证明： （）bn+1bncn1，n1，2，3， = 1 =1 + 1= 1 + 1 = 又 an+1anbnn，n1，2，3， = 1 =1 + 1= (1) 2 + 1 = 2+2 2 解： （）an不是二阶等差数列理由如下： 数列an满足 +1+ 3= 2+1( ) 又 bnan+1an，cnbn+1bn（nN*） 由 +1+ 3= 2+1 +1= 4+ 2+1 +1+ 2+1= 4(+ 2)， 数列*+ 2+是首项为 a1+24
