1、2020 年河北省邯郸市高考一模数学试卷（文科）年河北省邯郸市高考一模数学试卷（文科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分） 1已知集合 Ax|3x4，By|y10x，则 AB（ ） A B0，4） C （0，4） D （3，0） 2若复数 z 的虚部为 3，且 z+ =4，则 z2（ ） A5+12i B5+12i C512i D512i 34 8 4 =（ ） A1 4 B3 8 C1 3 D1 2 4在平行四边形 ABCD 中，若 = 4 ，则 =（ ） A 4 5 + B4 5 C + 4 5 D 3 4 + 5某校拟从甲、
2、乙两名同学中选一人参加疫情知识问答竞赛，于是抽取了甲、乙两人最近 同时参加校内竞赛的十次成绩，将统计情况绘制成如图所示的折线图根据该折线图， 下面结论正确的是（ ） A甲、乙成绩的中位数均为 7 B乙的成绩的平均分为 6.8 C甲从第四次到第六次成绩的下降速率要大于乙从第四次到第五次的下降速率 D甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 6设 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 a= 25，c3，tan（B+ 4） 3，则 b（ ） A7 B7 C17 D17 7若双曲线 mx2+y21 的离心率等于实轴长与虚轴长的乘积，则 m（ ）来源:Z+xx+k.Com A 1 5 B5 C
3、 1 15 D15 8已知 AB 是圆柱上底面的一条直径，C 是上底面圆周上异于 A，B 的一点，D 为下底面圆 周上一点，且 AD圆柱的底面，则必有（ ） A平面 ABC平面 BCD B平面 BCD平面 ACD C平面 ABD平面 ACD D平面 BCD平面 ABD来源:学，0， ，若关于 x 的方程() 2)() ) = 0恰 有 5 个不同的实根，则 m 的取值范围为（ ） A （1，2） B （2，5）1 C1，5 D2，5）1 12已知定义域为 R 的函数 f（x）满足(1 2) = 1 2 ，() + 40，其中 f（x）为 f（x） 的导函数，则不等式 f（sinx）cos2x0
4、 的解集为（ ） A, 3 + 2， 3 + 2-， B, 6 + 2， 6 + 2-， C, 3 + 2， 2 3 + 2-， D, 6 + 2， 5 6 + 2-， 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13小周今年暑假打算带父母去国外旅游，他决定从日本泰国、法国、加拿大、韩国、墨西 哥、 英国这7个国家中随机选取1个国家， 则他去旅游的国家来自亚洲的概率为 14在等比数列an中，a1+a39（a2+a4） ，则公比 q 15已知函数() = 2 2 + 2的图象关于直线 = 12对称，则( 4) = 16已知三棱锥 PABC 每
5、对异面的棱长度都相等，且ABC 的边长分别为11，3，4，则 三棱锥 PABC 外接球的体积为 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分）分） 17在数列an，bn中，anbn+n，bnan+1 （1）证明：数列an+3bn是等差数列 （2）求数列*+3 2 +的前 n 项和 Sn 18如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的每条棱的长度都相等，D，F 分别是棱 A1B1，BC 的中 点，E 是棱 B1C1上一点，且 DE平面 A1BC1 （1）证明：CE平面 AB1F （2）求四棱锥 AB1FCE 的体积与三棱柱 ABCA1B1C1的体积之比 19某总公司在 A，B 两地
6、分别有甲、乙两个下属公司同种新能源产品（这两个公司每天都 固定生产 50 件产品） ，所生产的产品均在本地销售产品进人市场之前需要对产品进行 性能检测， 得分低于 80 分的定为次品， 需要返厂再加工； 得分不低于 80 分的定为正品， 可以进人市场检测员统计了甲、乙两个下属公司 100 天的生产情况及每件产品盈利亏 损情况，数据如表所示： 表 1 甲公司 得分 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 件数 10 10 40 40 50 天数 10 10 10 10 80 表 2 甲公司 得分 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100
7、件数 10 5 40 45 50 天数 20 10 20 10 70 表 3 每件正品 每件次品 甲公司 盈 2 万元 亏 3 万元 乙公司 盈 3 万元 亏 3.5 万元 （1）分别求甲、乙两个公司这 100 天生产的产品的正品率（用百分数表示） （2）试问甲、乙两个公司这 100 天生产的产品的总利润哪个更大？说明理由 （3）若以甲公司这 100 天中每天产品利润总和对应的频率作为概率，从甲公司这 100 天 随机抽取 1 天，记这天产品利润总和为 X，求 X 的分布列及其数学期望 20已知函数 f（x）x3ex （1）求 f（x）的单调区间； （2）若不等式 f（x）mx2对 xR 恒成
8、立，求 m 的取值范围 21已知椭圆： 2 2 + 2= 1的右焦点为 F，直线 l 与 C 交于 M，N 两点 （1）若 l 过点 F，点 M，N 到直线 y2 的距离分别为 d1，d2，且1+ 2= 14 3 ，求 l 的 方程； （2）若点 M 的坐标为（0，1） ，直线 m 过点 M 交 C 于另一点 N，当直线 l 与 m 的斜 率之和为 2 时，证明：直线 NN过定点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生从第请考生从第 22，23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一如果多做则按所做的第一 个题目计分个题目计分.选修选修 4-4：坐标系与参数
9、方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：yk|x3|以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线 E 的极坐标方程为 + 27 = 6( + 2) （1）求 E 的直角坐标方程（化为标准方程） ； （2）若曲线 E 与 C 恰有 4 个公共点，求 k 的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x5|2x+1| （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）若不等式 f（x）+|4x+2|tm|t+4|+m 对任意 xR，任意 tR 恒成立，求 m 的取 值范围 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题
10、5 分，满分分，满分 60 分）分） 1已知集合 Ax|3x4，By|y10x，则 AB（ ） A B0，4） C （0，4） D （3，0） 求出集合 A，B，由此能求出 AB 集合 Ax|3x4， By|y10xx|x0， AB（0，4） 故选：C 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2若复数 z 的虚部为 3，且 z+ =4，则 z2（ ） A5+12i B5+12i C512i D512i 由已知得到 z 的实部，进一步求得 z，展开平方得答案 由 z+ = 4，可知 z 的实部为 2，则 z2+3i， z2（2+3i）25+12i 故选：A 本题考
11、查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 34 8 4 =（ ） A1 4 B3 8 C1 3 D1 2 利用对数的性质和运算法则及换底公式求解 log4 8 4 = 1 4log48= 1 4 3 2 22 = 3 8， 故选：B 本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则及 换底公式的合理运用 4在平行四边形 ABCD 中，若 = 4 ，则 =（ ） A 4 5 + B4 5 C + 4 5 D 3 4 + 直接利用平行四边形的法则和向量的线性运算的应用求出结果 在平行四边形 ABCD 中，若 = 4 ， 所以 = 4 5 ，则 = + = +
12、 4 5 = 4 5 + 故选：A 本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及 思维能力，属于基础题型 5某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加疫情知识问答竞赛，于是抽取了甲、乙两人最近 同时参加校内竞赛的十次成绩，将统计情况绘制成如图所示的折线图根据该折线图， 下面结论正确的是（ ） A甲、乙成绩的中位数均为 7 B乙的成绩的平均分为 6.8 C甲从第四次到第六次成绩的下降速率要大于乙从第四次到第五次的下降速率 D甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 在 A 中，将乙十次的成绩从小到大排列，求出中位数为 7.5；在 B 中，求出乙的成绩的平 均分为 7；在 C 中，
13、从折线图可以看出甲第 6 次所对应的点与乙第 4 次和第 5 次所对应 的点均在同一条直线上，故下降速率相同；在 D 中，从折线图可以看出，乙的成绩比甲 的成绩波动更大，甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 在 A 中，将乙十次的成绩从小到大排列， 为 2，4，6，7，7，8，8，9，9，10， 中位数为7:8 2 = 7.5，故 A 错误； 在 B 中，乙的成绩的平均分为： 1 10（2+4+6+7+7+8+8+9+9+10）7，故 B 错误； 在 C 中，从折线图可以看出甲第 6 次所对应的点与乙第 4 次和第 5 次所对应的点均在同 一条直线上， 故下降速率相同，故 C 错误； 在 D 中，
14、从折线图可以看出，乙的成绩比甲的成绩波动更大， 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差，故 D 正确 故选：D 本题考查命题真假的判断，考查中位数、平均数、折线图的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 6设 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 a= 25，c3，tan（B+ 4） 3，则 b（ ） A7 B7 C17 D17 由 tanBtan（B+ 4） 4可得 tanB 的值，由 B 在三角形中求出 cosB 的值，由余弦定理 可得 b 的值 由 tan（B+ 4）3 可得 tanBtan（B+ 4） 4= (+ 4) 4 1+(+ 4) 4 = 31 13 =2，
15、所以 cosB= 1 5，由 a= 25，c3， 由余弦定理可得 b= 2+ 2 2 = 20 + 9 12 = 17， 故选：C 本题考查角的转化及余弦定理的应用，属于中档题 7若双曲线 mx2+y21 的离心率等于实轴长与虚轴长的乘积，则 m（ ） A 1 5 B5 C 1 15 D15 利用已知条件列出方程，转化求解即可 双曲线 mx2+y21 的离心率等于实轴长与虚轴长的乘积， 可得：实轴长：2，虚轴长为：2 1 ，离心率为：1 1 ，所以1 1 = 2 2 1 ， 解得：m15 故选：D 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 8已知 AB 是圆柱上底面的一条直径，
16、C 是上底面圆周上异于 A，B 的一点，D 为下底面圆 周上一点，且 AD圆柱的底面，则必有（ ） A平面 ABC平面 BCD B平面 BCD平面 ACD C平面 ABD平面 ACD D平面 BCD平面 ABD 画出图形， 结合直线与平面垂直的判断定理， 转化证明平面与平面垂直， 推出结果即可 因为 AB 是圆柱上底面的一条直径，所以 ACBC，又 AD 垂直圆柱的底面， 所以 ADBC，因为 ACADA， 所以 BC平面 ACD，因为 BC平面 BCD， 所以平面 BCD平面 ACD 故选：B 本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，几何体的结构特征的应用，考查空间想象 能力以及逻辑推理能力
17、 9已知 x，y 满足约束条件 0， 2 + 6 + 2， ，若实数 满足 yx+，则正数 的取值范围为 （ ） A,2 3 ，+ ) B(0， 2 3- C,1 2 ，+ ) D(0， 1 2- 利用可行域，判断目标函数的最大值的最优解的位置，然后利用直线的斜率推出结果即 可 x，y 满足约束条件 0， 2 + 6 + 2， ，的可行域如图： 实数 满足 yx+，恒过（1，0） ， 目标函数取得最大值，由 = 2 + = 6解得 B（2，2） ； 正数 的最大值为： 2 2:1 = 2 3， 所以实数 满足 yx+，则正数 的取值范围为： （0，2 3 故选：B 本题考查线性规划的简单应用，
18、是中档题 10直线 1 经过抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F 且与 C 交于 A，B 两点，1 与 C 的准 线交于点 D若 = 4 ，则 l 的斜率为（ ） A2 B10 C4 D15,来源:.- 画出图形，求解直线的斜率，通过转化求解三角形角的正切函数值即可 【解答】解：过 B 作 BE 垂直准线，垂足为 E，则|BF|BE|，又 = 4 ，所以|BD| 4|BE|，所以 tanDBE= 15，则 l 的斜率为：15 故选：D 本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要 善于运用抛物线的定义解决问题，属于中档题 11已知函数() = 2 4 + 1
19、， 0 2 2;，0， ，若关于 x 的方程() 2)() ) = 0恰 有 5 个不同的实根，则 m 的取值范围为（ ） A （1，2） B （2，5）1 C1，5 D2，5）1 化简方程，求出函数的值，画出函数的图象，利用数形结合，求解函数的实数根，推出 m 的范围即可 函数() = 2 4 + 1， 0 2 2;，0， ，关于 x 的方程() 2)() ) = 0可得：2f2 （x）（2m+1）f（x）+m2f（x）1f（x）m0 可得 f（x）= 1 2或 f（x）m作 出函数 yf（x）的图象，如图所示：方程 f（x）= 1 2只有一个实数根，所以方程 f（x） m 有 2 个实数根
20、，故 m 的取值范围：2，5）1 故选：D 本题考查函数与方程的应用，分段函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查数 形结合以及计算能力，是难题 12已知定义域为 R 的函数 f（x）满足(1 2) = 1 2 ，() + 40，其中 f（x）为 f（x） 的导函数，则不等式 f（sinx）cos2x0 的解集为（ ） A, 3 + 2， 3 + 2-， B, 6 + 2， 6 + 2-， C, 3 + 2， 2 3 + 2-， D, 6 + 2， 5 6 + 2-， 根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得 到结论 设 g（x）f（x）+2x21， g
21、（x）f（x）+4x0 在 R 上恒成立， g（x）在 R 上单调递增，不等式 f（sinx）cos2xf（sinx）+2sin2x1，且 g（1 2） 0， 不等式 f（sinx）cos2x0 g（sinx）g（1 2） ， sinx 1 2， 6 +2kxx 5 6 + 2，kZ 故选：D 本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，结合已知条 件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13小周今年暑假打算带父母去国外旅游，他决定从日本泰国、法国、加拿大、韩国、
22、墨西 哥、英国这 7 个国家中随机选取 1 个国家，则他去旅游的国家来自亚洲的概率为 3 7 这 7 个国家中是亚洲国家的有：日本、泰国韩国，由此能求出他去旅游的国家来自亚 洲的概率 小周今年暑假打算带父母去国外旅游， 他决定从日本泰国、法国、加拿大、韩国、墨西哥、英国这 7 个国家中随机选取 1 个国 家， 这 7 个国家中是亚洲国家的有：日本、泰国韩国， 则他去旅游的国家来自亚洲的概率 p= 3 7 故答案为：3 7 本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 14在等比数列an中，a1+a39（a2+a4） ，则公比 q 1 9 根据等比数列的定义与
23、性质，即可求出公比 q 的值 等比数列an中，a1+a39（a2+a4） ， 且 a2+a4q（a1+a3） ， 所以 9q1，解得 q= 1 9 故答案为：1 9 本题考查了等比数列的定义与性质应用问题，是基础题 15已知函数() = 2 2 + 2的图象关于直线 = 12对称，则( 4) = 3 3 由题意利用三角函数的图象对称性的性质，求得 f（ 4）的值 函数() = 2 2 + 2的周期为 ，它的图象关于直线 = 12对称， f（0）f（ 6）1= 3 4 a+ 1 2，a= 23 3 ，f（ 4）= 2 = 3 3 ， 故答案为： 3 3 本题主要考查三角函数的图象对称性的性质，属
24、于中档题 16已知三棱锥 PABC 每对异面的棱长度都相等，且ABC 的边长分别为11，3，4，则 三棱锥 PABC 外接球的体积为 92 将三棱锥补成一个长方体，且该长方体各面上的对角线长分别为11，3，4，设该长方 体的长、宽、高分别为 a、b、c，可以求出 a2+b2+c218，从而确定外接球的直径，进 而得到外接球的体积 三棱锥 PABC 每对异面的棱长度都相等， 该三棱锥可以补成一个长方体，且该长方体各面上的对角线长分别为11，3，4， 设该长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，且不妨假设2+ 2= (11)2= 11，b2+c2 329，a2+c24216， a2+b2+c218，
25、 三棱锥外接球的直径为2+ 2+ 2= 32， 外接球的体积为4 3 (32 2 )3= 92 故答案为：92 本题考查球的体积的计算，将三棱锥补成长方体是解题的关键，考查学生的空间立体感 和运算能力，属于中档题 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分）分） 17在数列an，bn中，anbn+n，bnan+1 （1）证明：数列an+3bn是等差数列 （2）求数列*+3 2 +的前 n 项和 Sn 第（1）题可将 bnan+1 代入 anbn+n 计算可得数列an的通项公式，然后根据 bn an+1 可得数列bn的通项公式，即可计算出数列an+3bn的通项公式，再根据等
26、差数 列的定义法可证明数列an+3bn是等差数列； 第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列*+3 2 +的通项公式，然后根据通项公式 的特点可采用错位相减法计算出前 n 项和 Sn （1）证明：由题意，将 bnan+1 代入 anbn+n，可得 anbn+nan+1+n，即 2ann+1， an= +1 2 ，nN*， bnan+1= +1 2 +1= 1 2 ，nN*， an+3bn= +1 2 +31; 2 =2n， （an+1+3bn+1）（an+3bn）2（n+1）（2n）1， 数列an+3bn是以1 为公差的等差数列 （2）解：由（1）知，:3 2 = 2; 2 ， 则 Sn=
27、1+31 21 + 2+32 22 + 3+33 23 + + +3 2 = 1 2 + 0 22 + 1 23 + + 2 2 ， 1 2Sn= 1 22 + 0 23 + 1 24 + + 3 2 + 2 2+1， 两式相减，可得 1 2Sn= 1 2 + 1 22 + 1 23 + + 1 2 2 2+1 = 1 2 （ 1 22 + 1 23 + + 1 2） 2 2+1 = 1 2 1 22 1 2 1 2 11 2 2 2+1 = 2+1， Sn= 2 本题主要考查数列求通项公式，等差数列的判别，以及运用错位相减法求和的问题，考 查了转化与化归思想，整体思想，逻辑思维能力和数学运算
28、能力，本题属中档题 18如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的每条棱的长度都相等，D，F 分别是棱 A1B1，BC 的中 点，E 是棱 B1C1上一点，且 DE平面 A1BC1 （1）证明：CE平面 AB1F （2）求四棱锥 AB1FCE 的体积与三棱柱 ABCA1B1C1的体积之比 （1） 推导出 DEA1C1， 从而 E 是 B1C1的中点， 进而 B1EFC， B1EFC， 四边形 EB1FC 是平行四边形，CEB1F，由此能证明 CE平面 AB1F （2）推导出 AFBC，BB1AF，从而 AF平面 BCC1B1，由此能求出四棱锥 AB1FCE 的体积与三棱柱 ABCA1B1C1的体积之
29、比 （1）证明：DE平面 A1B1C1，平面 A1B1C1平面 A1BC1A1C1， DE平面 A1BC1， DEA1C1， D 是棱 A1B1的中点，E 是 B1C1的中点， 又 F 是棱 BC 的中点，B1EFC，B1EFC， 四边形 EB1FC 是平行四边形，CEB1F， B1F平面 AB1F，CE平面 AB1F， CE平面 AB1F （2）解：F 是棱 BC 的中点，AFBC， BB1底面 ABC，BB1AF， BB1BCB，AF平面 BCC1B1， 设 BC2a，则 AF= 3， 四棱锥 AB1FCE 的体积为： V1= 1 3 3 1 2 (2)2= 23 3 3 三棱柱 ABCA
30、1B1C1的体积为： V2= 3 4 (2)2 2 = 233 四棱锥 AB1FCE 的体积与三棱柱 ABCA1B1C1的体积之比为： 1 2 = 1 3 本题考查线面平行的证明， 考查四棱锥与三棱柱的体积的比值的求法， 考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19某总公司在 A，B 两地分别有甲、乙两个下属公司同种新能源产品（这两个公司每天都 固定生产 50 件产品） ，所生产的产品均在本地销售产品进人市场之前需要对产品进行 性能检测， 得分低于 80 分的定为次品， 需要返厂再加工； 得分不低于 80 分的定为正品， 可以进人市场检测员统计了甲、乙两
31、个下属公司 100 天的生产情况及每件产品盈利亏 损情况，数据如表所示： 表 1 甲公司 得分 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 件数 10 10 40 40 50 天数 10 10 10 10 80 表 2 甲公司 得分 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 件数 10 5 40 45 50 天数 20 10 20 10 70 表 3 每件正品 每件次品 甲公司 盈 2 万元 亏 3 万元 乙公司 盈 3 万元 亏 3.5 万元 （1）分别求甲、乙两个公司这 100 天生产的产品的正品率（用百分数表示） （2）试问甲、乙两个
32、公司这 100 天生产的产品的总利润哪个更大？说明理由 （3）若以甲公司这 100 天中每天产品利润总和对应的频率作为概率，从甲公司这 100 天 随机抽取 1 天，记这天产品利润总和为 X，求 X 的分布列及其数学期望 （1）计算正品数与产品总数的比值即可； （2）分别计算利润，比较即可； （3）计算 X（单 位：万元）的可能取值为 100，50，150 的概率，由期望的定义可得答案， （1）甲公司这 100 天生产的产品的正品率为：5080:4010 50100 =88%， 乙公司这 100 天生产的产品的正率为：5070:4510 100 =79% （2）乙公司这 100 天生产的产品的
33、总利润更大 理由如下： 甲公司这 100 天生产的产品的总利润为（5080+4010）2+（50100508040 10）（3）7000（万元） ， 乙公司这 100 天生产的产品的总利润为（5070+4510）3+（50100507045 10）（3.5）8175（万元） ， 因为 7000 万8175 万，所以乙公司这 100 天生产的产品的总利润更大， （3）X（单位：万元）的可能取值为 100，50，150， P（X100）= 80 100 =0.8 P（X50）= 10 100 =0.1， P（X150）= 10 100 =0.1， 则 X 的分布列为 X 100 50 150 P
34、0.8 0.1 0.1 故 EX1000.8+500.1+（150）0.170（万元） ， 本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查计算能力，属于中档题 20已知函数 f（x）x3ex （1）求 f（x）的单调区间； （2）若不等式 f（x）mx2对 xR 恒成立，求 m 的取值范围 （1）求导得 f（x）x2ex（x+3） ，令 f（x）0，令 f（x）0，进而可得函数得 单调递增，递减区间 （2）当 x0 时，原不等式为 00，显然成立，当 x0 时，原不等式等价于 mxex对 xR 恒成立，设 g（x）xex（x0） ，只需求出 g（x）的最小值，即可得到答案 （1）f（x）3x2ex+
35、x3exx2ex（x+3） ， 令 f（x）0，得 x3，来源:学.科.网 则 f（x）的单调递增区间为3，+） ； 令 f（x）0，得 x3， 则 f（x）的单调递减区间为，3） ； （2）当 x0 时，不等式 f（x）mx2，即 00，显然成立， 当 x0 时，不等式 f（x）mx2对 xR 恒成立，等价于 mxex对 xR 恒成立， 设 g（x）xex（x0） ，g（x）（x+1）ex， 令 g（x）0，得 x1， 令 g（x）0，得 x1，且 x0， 所以 g（x）ming（1）= 1 ， 所以 m 1 ，即 m 的取值范围为（， 1 本题考查利用导数求函数的单调性，以及恒成立问题，属
36、中档题 21已知椭圆： 2 2 + 2= 1的右焦点为 F，直线 l 与 C 交于 M，N 两点 （1）若 l 过点 F，点 M，N 到直线 y2 的距离分别为 d1，d2，且1+ 2= 14 3 ，求 l 的 方程； （2）若点 M 的坐标为（0，1） ，直线 m 过点 M 交 C 于另一点 N，当直线 l 与 m 的斜 率之和为 2 时，证明：直线 NN过定点 （1）由若 l 过椭圆的右焦点 F（1，0） ，设直线 l 的方程为 xmy+1，联立直线与椭圆方 程，消去 x，得交点 M，N 的纵坐标关系，因为点M，N 到直线 y2 的距离分别为 d1， d2，则 d1+d22yM+2yN4（
37、yM+yN）= 14 3 ，转化为 m 的方程，求得 m 即可 （2）分类讨论，当直线 NN的斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，联立直线与 椭圆的方程，消去一个变量，由韦达定理得出 N，N的坐标的关系式，再由当直线 l 与 m 的斜率之和为 2，列出方程，求出直线方程，即可得直线 NN过定点（1，1） （1）易知 F（1，0） ，设直线 l 的方程为 xmy+1， 由 = + 1 2 2 + 2= 1得（m 2+2）y2+2my10则 yM+yN= 2 2+2 因为 d1+d22yM+2yN4（yM+yN）4+ 2 2+2 = 14 3 所以 m1 或 m2故 l 的方程为 xy10 或
38、 x2y10 （2）证明：当直线 NN的斜率不存在时，设 N（x0，y0） ，则 N（x0，y0） 由 kl+km2，得0;1 0 + ;0;1 0 =2，解得 x01 当直线 NN的斜率存在时， 设直线 NN的方程为 ykx+t （t1） ， N （x1， y1） ， N （x2， y2） 由 = + 2 2 + 2= 1得（1+2k 2）x2+4ktx+2t220 所以 x1+x2= 4 1+22，x1x2= 222 1+22； 因为 kl+km2 所以 1;1 1 + 2;1 2 = (2:;1)1:(1:;1)2 12 =2k+ (1)(1+2) 12 =2k 2(1) 21 =2k
39、2 +1 =2 所以 tk1，所以直线 NN的方程为 ykx+k1，即 y+1k（x+1） 故直线 NN过定点（1，1） 综上，直线 NN过定点（1，1） 本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了分类讨论的思想方法，转化的思想，方程思 想以及运算能力，属于中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生从第请考生从第 22，23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一如果多做则按所做的第一 个题目计分个题目计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：yk|x3|以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立 极坐
40、标系，曲线 E 的极坐标方程为 + 27 = 6( + 2) （1）求 E 的直角坐标方程（化为标准方程） ； （2）若曲线 E 与 C 恰有 4 个公共点，求 k 的取值范围 （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果 （1）曲线 E 的极坐标方程为 + 27 = 6( + 2)转换为直角坐标方程为 x2+y2 6x12y+270，整理得（x3）2+（y6）218 （2）易知曲线 E 过定点 M（3，0）其图象关于直线 x3 对称的“V”字形来源:学科网 ZXXK 由于曲线 E 是以（3，6）为圆心 32为半径的圆， 所
41、以 k0， 当 x3 时，曲线 C 的方程为 ykx3k，即 kxy3k0， 则圆心（3，6）到直线的距离 d= |363| 1+2 = 6 1+2 32， 解得 k21，由于 k0， 所以 k1 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距 离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x5|2x+1| （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）若不等式 f（x）+|4x+2|tm|t+4|+m 对任意 xR，任意 tR 恒成立，求 m 的取 值范围 （1）由绝对值
42、的定义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集； （2）原不等式等价为|2x5|+|2x1|tm|t+4|+m，由绝对值不等式的性质分别求得 此不等式的左右两边的最小值和最大值，解绝对值不等式，可得所求范围 （ 1 ） |2x 5| |2x+1| 1 等 价 为 1 2 5 2 + 2 + 11 或 1 2 5 2 5 2 2 11 或 5 2 2 5 2 11 ， 解得 x 1 2或 1 2 x 3 4或 x， 所以原不等式的解集为（，3 4） ； （2）不等式 f（x）+|4x+2|tm|t+4|+m 等价为|2x5|+|2x1|tm|t+4|+m， 可令 h（x）|2x5|+|2x1|，则 h（x）|2x52x1|6， 当且仅当（2x
