1、2020 年高考数学一模试卷（文科）年高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题） 1已知集合 U1，2，3，4，5，6，7，M3，4，5，N1，3，6，则集合2，7 等于（ ） AMN BU（MN） CU（MN） DMN 2某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别为 4800 人，4000 人，2400 人现采 用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学 生人数为 70 人，则该样本中高中学生人数为（ ） A42 人 B84 人 C126 人 D196 人 3直线 kxy+10 与圆 x2+y2+2x4y+10 的位置关系是（ ） A相交 B相
2、切 C相离 D不确定 4已知函数 f（x） ， ， ，则 ff（ ）的值为（ ） A4 B2 C D 5已知向量 （2，1）， （x，2），若| |2 |，则实数 x 的值为（ ） A B C D2 6如图所示，给出的是计算 值的程序框图，其中判断框内应填入的条 件是（ ） Ai9 Bi10 Ci11 Di12 7设函数 f（x）2cos（ x ），若对任意 xR 都有 f（x1）f（x）f（x2）成立，则|x1 x2|的最小值为（ ） A4 B2 C D 8刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作九章算术注和海岛算经是我国最宝贵 的数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，他正确地提出了正负
3、数的概念及 其加减运算的规则提出了“割圆术”，并用“割圆术”求出圆周率 为 3.14刘徽在 割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失 矣”被视为中国古代极限观念的佳作其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形 的面积，第二步是求圆的内接正十二边形的面积，依此类推若在圆内随机取一点，则 该点取自该圆内接正十二边形的概率为（ ） A B C D 9已知 sincos ，0，则 cos2（ ） A B C D 10已知点 P（x0，y0）在曲线 C：yx3x2+1 上移动，曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 k， 若 k ，21，则 x0 的取值范围是（ ） A
4、 ， B ，3 C ，+） D7，9 11已知 O 为坐标原点，设双曲线 C： 1（a0，b0）的左，右焦点分别为 F1， F2，点 P 是双曲线 C 上位于第一象限内的点过点 F2作F1PF2的平分线的垂线，垂足 为 A，若 b|F1F2|2|OA|，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D2 12在三棱锥 ABCD 中，ABD 与CBD 均为边长为 2 的等边三角形，且二面角 ABD C 的平面角为 120，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A7 B8 C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知复数 z i则 z2+z4 14已知函数 f（x） 在
5、区间（0，+）上有最小值 4，则实数 k 15已知直线 a平面 ，直线 b平面 ，给出下列 5 个命题若 ，则 ab；若 ，则 ab：若 ，则 ab：若 ab，则 ；若 ab 则 ，其中正 确命题的序号是 16如图，在平面四边形 ABCD 中，BACADC ，ABC ，ADB ，则 tan ACD 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分 17已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 annSn，设 bnan1 （1）求 a1，a2，a3； （2）
6、判断数列bn是否是等比数列，并说明理由； （3）求数列an的前 n 项和 Sn 18如图 1，在边长为 2 的等边ABC 中，D，E 分别为边 AC，AB 的中点将ADE 沿 DE 折起，使得 ABAD，得到如图 2 的四棱锥 ABCDE，连结 BD，CE，且 BD 与 CE 交于点 H （1）证明：AH 上 BD； （2）设点 B 到平面 AED 的距离为 h1，点 E 到平面 ABD 的距离为 h2，求 的值 19某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第 1 夭到第 5 天的日产卵数据： 第 x 天 1 2 3 4 5 日产卵数 y（个） 6 12 25 49 95 对数据初步处
7、理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值 xi xi2 （lnyi） （xi lnyi） 15 55 15.94 54.75 （1）根据散点图，利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数 y 关于 x 的回归方程为 yea+bx （其中 e 为自然对数的底数），求实数 a，b 的值（精确到 0.1）； （2）根据某项指标测定，若日产卵数在区间（e6，e8）上的时段为优质产卵期，利用（1） 的结论，估计在第 6 天到第 10 天中任取两天，其中恰有 1 天为优质产卵期的概率 附：对于一组数据（v1，1），（v2，2），（vn，n），其回归直线 +v 的斜 率和截距的最小二乘估计分别为 ， 20已知M
8、过点 A（ ，0），且与N：（x ）2+y216 内切，设M 的圆心 M 的轨 迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程： （2）设直线 l 不经过点 B（0，1）且与曲线 C 相交于 P，Q 两点若直线 PB 与直线 QB 的斜率之积为 ，判断直线 l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点， 请说明理由 21已知函数 f（x）（x+a）ebx（b0）的最大值为 ，且曲线 yf（x）在 x0 处的切线 与直线 yx2 平行（其中 e 为自然对数的底数） （1）求实数 a，b 的值； （2）如果 0x1x2，且 f（x1）f（x2），求证：3x1+x23 （二）选考题：共 10 分.请
9、考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （t 为参数），曲线 C2的 参数方程为 （ 为参数，且 （ ， ） （1）求 C1与 C2的普通方程， （2）若 A，B 分别为 C1与 C2上的动点，求|AB|的最小值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|3x6|+|x+a| （1）当 a1 时，解不等式 f（x）3； （2）若不等式 f（x）114x 对任意 x4， 成立，求实数 a 的取值范围 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60
10、 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1已知集合 U1，2，3，4，5，6，7，M3，4，5，N1，3，6，则集合2，7 等于（ ） AMN BU（MN） CU（MN） DMN 【分析】由已知求出 MN3，MN1，3，4，5，6，再求其补集，可判断结果 解：由已知：MN3，MN1，3，4，5，6， U（MN）1，2，4，5，6，7），U（MN）2，7 故选：B 【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题 2某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别为 4800 人，4000 人，2400 人现采 用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧
11、阅读”情况，在抽取的样本中，初中学 生人数为 70 人，则该样本中高中学生人数为（ ） A42 人 B84 人 C126 人 D196 人 【分析】设高中抽取人数为 x，根据条件，建立比例关系进行求解即可 解：设高中抽取人数为 x， 则 ，得 x42， 故选：A 【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比 较基础 3直线 kxy+10 与圆 x2+y2+2x4y+10 的位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D不确定 【分析】判断直线恒过的定点与圆的位置关系，即可得到结论 解：圆方程可整理为（x+1）2+（y2）24，则圆心（1，2），半径 r2，直线恒过
12、点（0，1）， 因为（0，1）在圆内，故直线与圆相交， 故选：A 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查计算能力 4已知函数 f（x） ， ， ，则 ff（ ）的值为（ ） A4 B2 C D 【分析】根据分段函数的解析式，先求出 f（ ）的值，再求 ff（ ）的值 解：因为 f（x） ， ， ， f（ ）ln ； ff（ ）e 故选：D 【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础 题 5已知向量 （2，1）， （x，2），若| |2 |，则实数 x 的值为（ ） A B C D2 【分析】由向量 和向量 的坐标求出向量 和向量 的坐标，再利用| | |2
13、|，即可求出 x 的值 解：向量 （2，1）， （x，2）， （2+x，1）， （4x，4）， | |2 |， ，解得 x ， 故选：C 【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的模长公式，是基础题 6如图所示，给出的是计算 值的程序框图，其中判断框内应填入的条 件是（ ） Ai9 Bi10 Ci11 Di12 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的 作用是累加并输出 s 的值，模拟循环过程可得条件 解：程序运行过程中，各变量值如下表所示： s0，n2，i1 不满足条件，第一圈：s0 ，n4，i2， 不满足条件，第二圈：s ，n6，i3， 不满足条件
14、，第三圈：s ，n8，i4， 依此类推， 不满足条件，第 10 圈：s ，n22，i11， 不满足条件，第 11 圈：s ，n24，i12， 此时，应该满足条件，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：i11？ 故选：C 【点评】 算法是新课程中的新增加的内容， 也必然是新高考中的一个热点， 应高度重视 程 序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量 的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确 理解流程图的含义而导致错误，属于基础题 7设函数 f（x）2cos（ x ），若对任意 xR 都有 f（x1）f（x）f（x2）成立，则|x1 x2
15、|的最小值为（ ） A4 B2 C D 【分析】由题意可知 f（x1）f（x）f（x2），f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数 的最大值，|x1x2|的最小值就是半个周期 解：函数 f（x）2cos（ x ），若对于任意的 xR，都有 f（x1）f（x）f（x2）， f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，|x1x2|的最小值就是函数的半周期， 2； 故选：B 【点评】本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，题意的正确理解，考查分析问题 解决问题的能力 8刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作九章算术注和海岛算经是我国最宝贵 的数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，他正
16、确地提出了正负数的概念及 其加减运算的规则提出了“割圆术”，并用“割圆术”求出圆周率 为 3.14刘徽在 割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失 矣”被视为中国古代极限观念的佳作其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形 的面积，第二步是求圆的内接正十二边形的面积，依此类推若在圆内随机取一点，则 该点取自该圆内接正十二边形的概率为（ ） A B C D 【分析】设圆的半径为 1，分别求出圆的面积及圆内接正十二边形的面积，由测度比是面 积比得答案 解：设圆的半径为 1，圆内接正十二边形的一边所对的圆心角为 30， 则圆内接正十二边形的面积为：12 11sin
17、303 圆的面积为 12， 由测度比为面积比可得：在圆内随机取一点，则此点在圆的某一个内接正十二边形内的 概率是 故选：C 【点评】本题考查几何概型概率的求法，关键是求出圆内接正十二边形的面积，是基础 题 9已知 sincos ，0，则 cos2（ ） A B C D 【分析】把 sincos 平方可得 2sincos 的值，从而求得 sin+cos 的值，再利用 二倍角的余弦公式求得 cos2cos2sin2（sincos）（sin+cos）的值 解：sincos ，0， 平方可得：12sincos ，2sincos 0 为锐角 sin+cos ， cos2cos2sin2（sincos）（
18、sin+cos） 故选：A 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式、二倍角的余弦 公式的应用，考查了转化思想，属于基础题 10已知点 P（x0，y0）在曲线 C：yx3x2+1 上移动，曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 k， 若 k ，21，则 x0 的取值范围是（ ） A ， B ，3 C ，+） D7，9 【分析】先求出 yx3x2+1 的导数，然后求出曲线 C 在点 P（x0，y0）处的切线斜率 k， 再根据 k ，21求出 x0 的取值范围 解：由 yx3x2+1，得 y3x22x， 则曲线 C 在点 P（x0，y0）处的切线的斜率为 ， k ，21， ，
19、， ， 故选：B 【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了转化思想，属基础题 11已知 O 为坐标原点，设双曲线 C： 1（a0，b0）的左，右焦点分别为 F1， F2，点 P 是双曲线 C 上位于第一象限内的点过点 F2作F1PF2的平分线的垂线，垂足 为 A，若 b|F1F2|2|OA|，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D2 【分析】由角平分线的性质可得延长 F2A 交 PF1与 B， 由 PA 为F1PF2的角平分线，F2A PA， 所以 A 为 F2B 的中点， |PF2|PB|， 可得 OA 为BF1F2的中位线， b|F1F2|2|OA| 2c2a 再由
20、 a，b，c 的关系求出离心率 解：延长 F2A 交 PF1与 B，由 PA 为F1PF2的角平分线，F2APA，所以 A 为 F2B 的中 点，|PF2|PB|， 连接 OA， 则 OA 为BF1F2的中位线， 所以|BF1|2|OA|， 而|BF1|PF1|PB|PF1|PF2| 2a 因为 b|F1F2|2|OA|2c2a，而 b2c2a2 所以 c2a24（ca）2整理可得 3c28ac+5c20，即 3e28e+50，解得 e 或 1， 再由双曲线的离心率大于 1，可得 e ， 故选：C 【点评】本题考查双曲线的性质及角平分线的性质，属于中档题 12在三棱锥 ABCD 中，ABD 与
21、CBD 均为边长为 2 的等边三角形，且二面角 ABD C 的平面角为 120，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A7 B8 C D 【分析】如图，取 BD 中点 H，连接 AH，CH，则AHC 为二面角 ABDC 的平面角， 即AHD120，分别过 EF 作平面 ABD，平面 BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定 是两条垂线的交点，记为 O，连接 AO，HO，则由对称性可得OHE60，进而可求 得 R 的值 解：如图，取 BD 中点 H，连接 AH，CH， 因为ABD 与CBD 均为边长为 2 的等边三角形， 所以 AHBD，CHBD，则AHC 为二面角 ABDC 的平面角，即AHD120
22、， 设ABD 与CBD 外接圆圆心分别为 E，F， 则由 AH2 可得 AE AH ，EH AH ， 分别过 EF 作平面 ABD，平面 BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点， 记为 O，连接 AO，HO，则由对称性可得OHE60， 所以 OE1，则 ROA ， 则三棱锥外接球的表面积 4R24 ， 故选：D 【点评】本题考查三棱锥的外接球，球的表面积公式，画出图形，数形结合是关键，属 于中档题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知复数 z i则 z2+z4 1i 【分析】利用复数的乘方运算和加法法则即可得出 解：z2（ i）2 i i， z4（
23、z2）2（i）21， z2+z41i， 故答案是：1i 【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题 14已知函数 f（x） 在区间（0，+）上有最小值 4，则实数 k 4 【分析】由函数在（0，+）上有最小值可知，k0，再由基本不等式即可求得 k 的值 解：依题意，k0，则 ， 则 ，解得 k4 故答案为：4 【点评】本题考查已知函数最值求参数的值，考查分析能力及计算能力，属于基础题 15已知直线 a平面 ，直线 b平面 ，给出下列 5 个命题若 ，则 ab；若 ，则 ab：若 ，则 ab：若 ab，则 ；若 ab 则 ，其中正 确命题的序号是 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与
24、平面位置关系的判定及其应用逐一 核对四个命题得答案 解：对于，由 a平面 ，得 a，又直线 b平面 ，ab，故正确； 对于，由 a平面 ，得 a 或 a，而直线 b平面 ，a 与 b 的关系是平 行、相交或异面，故错误； 对于，由 a平面 ，得 a 或 a，而直线 b平面 ，a 与 b 的关系是平 行、相交或异面，故错误； 对于，由 a平面 ，ab，得 b，又直线 b平面 ，故正确； 对于，由 a平面 ，ab，得 b 或 b，又直线 b平面 ， 与 相交或平 行，故错误 其中正确命题的序号是 故答案为： 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题 16如图，在平
25、面四边形 ABCD 中，BACADC ，ABC ，ADB ，则 tan ACD 【分析】 设ACD， AC1， 则 ADsin， 进一步可得 ， ， 再利用正弦定理可得 ，通过三角恒等变换即可求得 tan 的值，进而得 出答案 解：不妨设ACD，AC1，则 ADsin， 在ABD 中， ，ADB ，则 ， 在ABD 中，由正弦定理得 ，即 ， ， ， ， ， 故答案为： 【点评】本题涉及了正弦定理，三角恒等变换等基础知识点，考查化简能力，构造能力 以及计算能力，属于较难题目 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 2
26、2、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分 17已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 annSn，设 bnan1 （1）求 a1，a2，a3； （2）判断数列bn是否是等比数列，并说明理由； （3）求数列an的前 n 项和 Sn 【分析】（1）annSn，可得 a11a1，解得 a1a22（a2 ），解得 a2a33 （a3 ），解得 a3 （2）annSn，n2 时，an1n1Sn1，相减可得：an 1 （an 11），可得： bn bn 1即可得出结论 （3）由（2）可得：bn 可得 anbn+1，可得 Snnan 解：（1）annSn，a11a1，解得 a1
27、 a22（a2 ），解得 a2 a33 （a3 ），解得 a3 （2）annSn，n2 时，an1n1Sn1，相减可得：2anan1+1， 变形为：an 1 （an 11）， 由 bnan1可得：bn bn 1 b1a11 数列bn是等比数列，首项为 ，公比为 （3）由（2）可得：bn 则 anbn +11 Snnan n1 【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列通项公式与求和公式，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 18如图 1，在边长为 2 的等边ABC 中，D，E 分别为边 AC，AB 的中点将ADE 沿 DE 折起，使得 ABAD，得到如图 2 的四棱锥 ABCDE，连结 BD，
28、CE，且 BD 与 CE 交于点 H （1）证明：AH 上 BD； （2）设点 B 到平面 AED 的距离为 h1，点 E 到平面 ABD 的距离为 h2，求 的值 【分析】（1）在图 1 中，证明 BDAC，EDBC，则在图 2 中，有 ，得 DH ，然后证明BADAHD，可得AHDBAD90，即 AHBD； （2）由 VBAEDVEABD，得 ，分别求出三角形 ABD 与三角形 AED 的面积得 答案 【解答】（1）证明：在图 1 中，ABC 为等边三角形，且 D 为边 AC 的中点，BD AC， 在BCD 中，BDCD，BC2，CD1，BD ， D、E 分别为边 AC、AB 的中点，ED
29、BC， 在图 2 中，有 ，DH 在 RtBAD 中，BD ，AD1， 在BAD 和AHD 中， ，BDAADH， BADAHD AHDBAD90，即 AHBD； （2）解：VBAEDVEABD， ，则 AED 是边长为 1 的等边三角形， 在 RtABD 中，BD ，AD1，则 AB ， 则 【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考 查计算能力，是中档题 19某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第 1 夭到第 5 天的日产卵数据： 第 x 天 1 2 3 4 5 日产卵数 y（个） 6 12 25 49 95 对数据初步处理后得到了如图所示的散
30、点图和表中的统计量的值 xi xi2 （lnyi） （xi lnyi） 15 55 15.94 54.75 （1）根据散点图，利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数 y 关于 x 的回归方程为 yea+bx （其中 e 为自然对数的底数），求实数 a，b 的值（精确到 0.1）； （2）根据某项指标测定，若日产卵数在区间（e6，e8）上的时段为优质产卵期，利用（1） 的结论，估计在第 6 天到第 10 天中任取两天，其中恰有 1 天为优质产卵期的概率 附：对于一组数据（v1，1），（v2，2），（vn，n），其回归直线 +v 的斜 率和截距的最小二乘估计分别为 ， 【分析】 （1） 根据 yea+b
31、x，两边取自然对数得 lnya+bx， 再利用线性回归方程求出 a、 b 的值； （2）根据 ye1.1+0.7x，由 e6e1.1+0.7xe8求得 x 的取值范围，再利用列举法求出基本事件 数，计算所求的概率值 解：（1）因为 yea+bx，两边取自然对数，得 lnya+bx， 令 mx，nlny，得 na+bm； 因为 0.693； 所以 b0.7； 因为 b 0.731.088； 所以 a1.1； 即 a1.1，b0.7； （2）根据（1）得 ye1.1+0.7x， 由 e6e1.1+0.7xe8，得 7x ； 所以在第 6 天到第 10 天中，第 8、9 天为优质产卵期； 从未来第
32、6 天到第 10 天中任取 2 天的所有可能事件有： （6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9）， （7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共 10 种； 其中恰有 1 天为优质产卵期的有： （6，8），（6，9），（7，8），（7，9），（8，10），（9，10）共 6 种； 设从未来第 6 天到第 10 天中任取 2 天，其中恰有 1 天为优质产卵期的事件为 A， 则 P（A） ； 所以从未来第 6 天到第 10 天中任取 2 天，其中恰有 1 天为优质产卵期的概率为 【点评】本题考查了非线性回归方程的求法与应用问题，也考查了运算求解能力，是中 档
33、题 20已知M 过点 A（ ，0），且与N：（x ）2+y216 内切，设M 的圆心 M 的轨 迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程： （2）设直线 l 不经过点 B（0，1）且与曲线 C 相交于 P，Q 两点若直线 PB 与直线 QB 的斜率之积为 ，判断直线 l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点， 请说明理由 【分析】（1）由两圆相内切的条件和椭圆的定义，可得曲线 C 的轨迹方程； （2）设直线 BP 的斜率为 k（k0），则 BP 的方程为 ykx+1，联立椭圆方程，解得交 点 P，同理可得 Q 的坐标，考虑 P，Q 的关系，运用对称性可得定点 解：（1）设M 的半径为
34、 R，因为圆 M 过 A（ ，0），且与圆 N 相切， 所以 R|AM|，|MN|4R，即|MN|+|MA|4， 由|NA|4，所以 M 的轨迹为以 N，A 为焦点的椭圆 设椭圆的方程为 1（ab0），则 2a4，且 c ， 所以 a2，b1，所以曲线 C 的方程为 y 21； （2）由题意可得直线 BP，BQ 的斜率均存在且不为 0， 设直线 BP 的斜率为 k（k0），则 BP 的方程为 ykx+1，联立椭圆方程 x2+4y24， 可得（1+4k2）x2+8kx0，解得 x10，x2 ， 则 P（ ， ）， 因为直线 BQ 的斜率为 ， 所以同理可得 Q（ ， ）， 因为 P，Q 关于原点
35、对称，（或求得直线 l 的方程为 y x） 所以直线 l 过定点（0，0） 【点评】本题考查曲线方程的求法，椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系， 注意联立椭圆方程，求交点，考查化简运算能力，属于中档题 21已知函数 f（x）（x+a）ebx（b0）的最大值为 ，且曲线 yf（x）在 x0 处的切线 与直线 yx2 平行（其中 e 为自然对数的底数） （1）求实数 a，b 的值； （2）如果 0x1x2，且 f（x1）f（x2），求证：3x1+x23 【分析】 （1） 对原函数求导数，然后利用在 x0 处切线的斜率为 1， 函数的最大值为 列 出关于 a，b 的方程组求解； （2）利用
36、f（x1）f（x2）找到 x1，x2的关系式 ，然后引入 tx2x1，构 造关于 t 的函数，将 3x1+x2转换成关于 t 的函数，求最值即可 解：（1）由已知 f（x）（bx+ab+1）ebx 则易知 f（0）ab+11，ab0，又因为 b0，故 a0 此时可得 f（x）xebx（b0），f（x）（bx+1）ebx 若 b0， 则当 x 时， f （x） 0， f （x） 递减； 时， ， 递增 此时，函数 f（x）有最小值，无最大值 若 b0，则当 时， ， 递增；x 时， ， 递减 此时 ，解得 b1 所以 a0，b1 即为所求 （2）由 0x1x2，且 f（x1）f（x2）得： 设
37、tx2x1（t0），则 e tx 1x1t， 可得 ， ，所以要证 3x1+x23，即证 t0，所以 et10，所以即证（t3）et+3t+30 设 g（t）（t3）et+3t+3（t0），则 g（t）（t2）et+3 令 h（t）（t2）et+3，则 h（t）（t1）et， 当 t（0，1）时，h（t）0，h（t）递减；t（1，+）时，h（t）0，h（t）递 增 所以 h（t）h（1）3e0，即 g（t）0，所以 g（t）在（0，+）上递增 所以 g（t）g（0）0 3x1+x23 【点评】本题考查导数的几何意义、以及利用导数研究函数的单调性、最值进而证明不 等式恒成立问题同时考查学生利用转
38、化思想、函数与方程思想、分类讨论思想解决问 题的能力属于较难的题目 一、选择题 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （t 为参数），曲线 C2的 参数方程为 （ 为参数，且 （ ， ） （1）求 C1与 C2的普通方程， （2）若 A，B 分别为 C1与 C2上的动点，求|AB|的最小值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用直线和曲线的位置关系式的应用求出结果 解：（1） 由题可得： C1的普通方程为 2xy50 又因为 C2的参数方程为 ， 两 边平方可得 ， 所以 C2的普通方程为 ，且 （2）由题意，设 C
39、1的平行直线 2xy+c0 联立 消元可得：3x2+4cx+c2+3 0 所以4c2360， 解得 c3 又因为 ， 经检验可知 c3 时与 C2相切， 所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线 和曲线的位置关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础 题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|3x6|+|x+a| （1）当 a1 时，解不等式 f（x）3； （2）若不等式 f（x）114x 对任意 x4， 成立，求实数 a 的取值范围 【分析】（1）a1 时，f（x）|3x6|+|x+1|，讨论 x 的取值范围，去掉
40、绝对值求不等式 f（x）3 的解集即可； （2）f（x）|3x6|+|x+a|114x 对任意 ， 成立，等价于|x+a|5x 恒成 立，去绝对值，从而求出 a 的取值范围 解：（1）a1 时，f（x）|3x6|+|x+1| ， ， ， ； 当 x1 时，由 f（x）3 得4x+53，解得 x （不合题意，舍去）； 当1x2 时，由 f（x）3 得2x+73，解得 x2（不合题意，舍去）； 当 x2 时，由 f（x）3 得 4x53，解得 x2（不合题意，舍去）； 所以不等式 f（x）3 的解集； （2）由 f（x）|3x6|+|x+a|114x 对任意 ， 成立， 得（3x6）+|x+a|114x，即|x+a|5x， 所以 ， 所以 ，得 a5 且 a52x 对任意 ， 成立； 即5a8， 所以 a 的取值范围是（5，8） 【点评】 本题考查了不等式恒成立的应用问题， 也考查了含有绝对值的不等式解法问题， 是中档题
