1、观察下列等式： 13+2332， 13+23+3362， 13+23+33+43102， 记 f （n） 13+23+33+ +n3根据上述规律，若 f（n）225，则正整数 n 的值为（ ） A8 B7 C6 D5 6 （5 分）已知 m0，n0，则 m+n（ ） A有最大值，最大值为 6 B有最大值，最大值为 9 C有最小值，最小值为 6 D有最小值，最小值为 9 7 （5 分）执行如图程序框图，则输出 k 的值为（ ） A6 B7 C8 D9 8 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cba，则“ABC 为 钝角三角形”是“c2a2+b2”的（ ） 第
2、2 页（共 16 页） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9 （5 分） 在平行四边形 ABCD 中， AB2AD2， BAD60， 点 E 在 CD 上， CE2ED， 则（ ） A B C D 10 （5 分）若函数 f（x）logax（a0，且 a1）的定义域和值域均为t，2t，则 a 的值 为（ ） A或 4 B或 C或 8 D或 16 11 （5 分）已知函数 f（x）满足 f（0）1，且 f（x）cosxf（x）sinx，则不等式 f（x）cosx 10 的解集为（ ） A （，1） B （1，+） C （，0） D （0，+） 12 （5 分
3、）已知函数（a0，且 a1）在 R 上单调递增， 且关于 x 的方程 f（x）2x+2 恰有两个不等的实数解，则 a 的取值范围是（ ） A （1，2） B （1，2 C （1，23 D （1，2）3 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）设向量，若，则实数 的值为 14 （5 分）已知角 的顶点与坐标原点重合，始边为 x 轴的正半轴，终边上有一点 P 的坐 标为（3，4） ，则 sin（）+cos（+） 15 （5 分）幂函数 f（x） （m2m1）在（0，+） 上为减函数， 则 m 16 （5 分） 已知曲线
4、 f （x） x3x， 则过点 P （1， 0） ， 且与曲线相切的直线方程为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cosAcosBsinAsinB 1sinC （1）求角 C 的大小； （2）若ABC 的面积为，c2，求 a+b 的值 18 （12 分）已知函数的图象与直线 y2 的相邻两个交点之间的距离为 1 第 3 页（共 16 页） （1）求函数 f（x）的增区间； （2）当
5、时，求函数 f（x）的最大值、最小值及相应的 x 的值 19 （12 分）已知数列an是各项均为正数的等比数列，前 n 项和为 Sn， 且 a2a4a5，S37 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bn（2n1）an，求数列bn的前 n 项和 Tn 20 （10 分）已知向量， （1）求 cos（）的值； （2）若，且，求 sin 的值 21 （12 分）已知函数（a0 且 a1） （1）当 a1 时，用定义法证明函数 f（x）在定义域上单调递增； （2）解关于 x 的不等式 f（x）loga2 22 （12 分）已知函数，a 为实数 （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）设 f（x）
6、是函数 f（x）的导函数，若|f（x）|3 对任意 x2，3恒成立，求实数 a 的取值范围 第 4 页（共 16 页） 2019-2020 学年内蒙古赤峰二中、呼市二中高三（上）学年内蒙古赤峰二中、呼市二中高三（上）10 月月考月月考 数学试卷（文科）数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|x2，B2，0，2，4，则（RA）B 等于（ ） A2，
7、0 B2，4 C2，0，2 D0，2，4 【分析】由集合 A 求出RA，再与 B 集合做交集即可 【解答】解：集合 Ax|x2， RAx|x2， （RA）B2，0，2， 故选：C 【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题 2 （5 分）设 i 为虚数单位，复数（1+i） （2i）的实部为（ ） A3 B3 C2 D2 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可 【解答】解： （1+i） （2i）2i+2ii23+i， 故选：A 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题 3 （5 分）若函数 f（x）是周期为 4 的奇函数，且 f（1）3，则 f（
8、3）（ ） A2 B2 C3 D3 【分析】利用周期性及奇偶性直接求解即可 【解答】解：依题意，f（3）f（1）f（1）3 故选：C 【点评】本题考查函数性质的运用，属于基础题 4 （5 分）已知 x，y 满足，则 zx+2y 的最大值为（ ） 第 5 页（共 16 页） A5 B6 C7 D8 【分析】画出满足条件的平面区域，结合图象求出 z 的最大值即可 【解答】解：画出满足条件的平面区域， 如图示：联立解得 A（1，2） 显然直线过 A 时 z 最大， 故 zmax1+45， 故选：A 【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题 5（5 分） 观察下列等式： 1
9、3+2332， 13+23+3362， 13+23+33+43102， 记 f （n） 13+23+33+ +n3根据上述规律，若 f（n）225，则正整数 n 的值为（ ） A8 B7 C6 D5 【分析】由题意知通项公式，代入可解 【解答】解：由已知等式的规律可 f（n）13+23+33+n3， 当 f（n）225 时，可得 n5 故选：D 【点评】本题考查归纳推理，属于基础题 6 （5 分）已知 m0，n0，则 m+n（ ） A有最大值，最大值为 6 B有最大值，最大值为 9 C有最小值，最小值为 6 D有最小值，最小值为 9 【分析】利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出 【解答
10、】解：， 第 6 页（共 16 页） 当且仅当时等号成立 此时 m+n 取得最小值 9，没有最大值 故选：D 【点评】本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质，属于基础题 7 （5 分）执行如图程序框图，则输出 k 的值为（ ） A6 B7 C8 D9 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算 S 的值并输出变 量 k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 S1，k10； S，k9 S，k8 S，k7 循环结束，输出 k 的值为 7 故选：B 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过
11、程，以便得 出正确的结论，是基础题 8 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cba，则“ABC 为 钝角三角形”是“c2a2+b2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【解答】解：在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cba， 第 7 页（共 16 页） “ABC 为钝角三角形”可得“c2a2+b2” ，由 cba，有 CBA， 又， 故“ABC 为钝角三角形”是“c2a2+b2”的充要条件 故选：C 【点评】本题主要考查充分条件和必要
12、条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是 解决本题的关键 9 （5 分） 在平行四边形 ABCD 中， AB2AD2， BAD60， 点 E 在 CD 上， CE2ED， 则（ ） A B C D 【分析】建立坐标系，求出相关的坐标，推出所求向量的坐标然后求解向量的数量积 即可 【解答】解：建立如图所求的坐标系：则 A（0，0） ，B（2，0） ，D（，） ，E（， ） ，C（，） ， 所以（，） ，（，） ； 所以（）+ 故选：B 【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的坐标运算，考查转化思想以及计算能力 10 （5 分）若函数 f（x）logax（a0，且 a1）的定义域和值域均为t，
13、2t，则 a 的值 为（ ） A或 4 B或 C或 8 D或 16 【分析】由定义域求出 t 的范围，再讨论底数 a 的范围，由单调性即可求出答案 【解答】解：由题意得：t0， 第 8 页（共 16 页） 当 a1 时，有 loga（2t）2logat，得 2tt2，解得 t2， ； 当 0a1 时，有 2loga（2t）logat，得 4t2t，解， 故选：B 【点评】本题考查对数函数的定义域值域问题，属于函数性质应用题，较容易 11 （5 分）已知函数 f（x）满足 f（0）1，且 f（x）cosxf（x）sinx，则不等式 f（x）cosx 10 的解集为（ ） A （，1） B （1，
14、+） C （，0） D （0，+） 【分析】构造函数 g（x）f（x）cosx，求出函数的导数，判断函数的单调性，转化不等 式求解即可 【解答】解：令 g（x）f（x）cosx，有 g（x）f（x）cosxf（x）sinx0， 故函数 g（x）单调递增， 又由 g（0）f（0）cos01， 不等式 f（x）cosx10 可化为 g（x）g（0） ， 则不等式 f（x）cosx10 的解集为（0，+） 故选：D 【点评】本题考查函数的导数的应用构造法的应用，函数的单调性的判断，转化思想的 应用，是中档题 12 （5 分）已知函数（a0，且 a1）在 R 上单调递增， 且关于 x 的方程 f（x）
15、2x+2 恰有两个不等的实数解，则 a 的取值范围是（ ） A （1，2） B （1，2 C （1，23 D （1，2）3 【分析】根据函数单调性的性质，以及分段函数的图象，利用函数与方程思想即可 【解答】解：由题意可得：由 yax1 在（，0上递增，得 a1， 又由 f（x）在 R 上单调递增，则， 第 9 页（共 16 页） 如图所示，在同一坐标系中作出函数 f（x）和 y2x+2 的图象， 由图象可知， （，0上，f（x）2x+2 有且仅有一个解， 故在（0，+）上 f（x）2x+2 同样有且仅有一个解 当 a2 时，由 x2+（2a2）x+a2x+2（其中 x0） ， 得 x2+（2a
16、4）x+a20，则（2a4）24（a2）4a220a+240， 解得 a2 或 a3（舍去） ； 当 1a2 时，由图象可知，符合条件； 综上所述 a（1，2） 故选：A 【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，考查了函数的零点与方程的实数根 的应用问题，是综合性题目 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）设向量，若，则实数 的值为 【分析】利用向量垂直的性质直接求解 【解答】解：向量， 380， 解得 实数 的值为 故答案为： 【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，
17、 第 10 页（共 16 页） 是基础题 14 （5 分）已知角 的顶点与坐标原点重合，始边为 x 轴的正半轴，终边上有一点 P 的坐 标为（3，4） ，则 sin（）+cos（+） 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得要求式子的值 【解答】解：角 的顶点与坐标原点重合，始边为 x 轴的正半轴，终边上有一点 P 的 坐标为（3，4） ， cos，sin， 则 sin（）+cos（+）sincos， 故答案为： 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题 15 （5 分）幂函数 f（x） （m2m1）在（0，+） 上为减函数， 则 m 1 【分析】根据幂
18、函数的定义列出方程求出 m 的值；将 m 的值代入 f（x）检验函数的单调 性 【解答】解：知 m2m11，则 m2 或 m1 当 m2 时，f（x）x3在（0，+）上为增函数，不合题意，舍去； 当 m1 时，f（x）x 3 在（0，+）上为减函数，满足要求 故答案为1 【点评】本题考查幂函数的定义：形如 yx的函数是幂函数；考查幂函数的单调性与 的正负有关 16 （5 分）已知曲线 f（x）x3x，则过点 P（1，0） ，且与曲线相切的直线方程为 y 2x+2 或 y 【分析】求出原函数的导函数，设出切点坐标（x0，） ，求得函数在切点处的导 数，得到在切点处的切线方程，把点 P（1，0）代
19、入求得 x0，则切线方程可求 【解答】解：由 f（x）x3x，得 f（x）3x21， 设切点坐标为（x0，） ，则 f（x0） 在切点处的切线方程为 第 11 页（共 16 页） 把（1，0）代入，得， 整理得： 解得：x01 或 当 x01 时，切线方程为 y2x+2； 当时，切线方程为 y 过点 P（1，0） ，且与曲线相切的直线方程为 y2x+2 或 y 故答案为：y2x+2 或 y 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，明确“在点处”与“过点 处”的区别是解答该题的关键，是中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要
20、的文字说明、证明过程及演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cosAcosBsinAsinB 1sinC （1）求角 C 的大小； （2）若ABC 的面积为，c2，求 a+b 的值 【分析】 （1）化简，求出 C； （2）余弦定理得出 a2+b220 与 ab8 联立解方程即可 【解答】 解：（1） ， ， 即， 2sin（C）1，0C，故 （2）由ABC 的面积为，知，ab8， 由余弦定理知 c2a2+b22abcosC12，故 a2+b220， （a+b）22ab20， 解得 a+b6 【点
21、评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力 18 （12 分）已知函数的图象与直线 y2 的相邻两个交点之间的距离为 1 （1）求函数 f（x）的增区间； （2）当时，求函数 f（x）的最大值、最小值及相应的 x 的值 【分析】 （1）化函数 f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求出 的值，写 第 12 页（共 16 页） 出 f（x）的解析式，求出它的增区间； （2）求出时函数 f（x）的取值范围，即可得出函数 f（x）的最大、最小值 【解答】解： （1）函数 sin2x（2cos2x1） sin2xcos2x 2sin（2x） ， 由函数 f（x）的图象与直线 y2
22、的相邻两个交点之间的距离为 1， 所以 T1，即，解得 ， 所以； 令，解得； 所以函数 f（x）的增区间为 （2）当时，； 则当，即时，函数 f（x）的最小值为2； 当，即时，函数 f（x）的最大值为 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问 题，是基础题 19 （12 分）已知数列an是各项均为正数的等比数列，前 n 项和为 Sn， 且 a2a4a5，S37 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bn（2n1）an，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）等比数列的公比设为 q，q0，运用等比数列的通项公式和求和公比，解方 程可得首项和公比，进
23、而得到所求通项公式； （2）求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列 的求和公式，化简可得所求和 【解答】解： （1）数列an是各项均为正数的等比数列，公比设为 q，q0， a2a4a5，a11； 第 13 页（共 16 页） 又 S37，q1，7，解得 q3（舍）或 q2， （2）由（1）知 则， ， 相减得21+22+23+2n（2n1）2n1 ， 【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的错位相减法求和，考 查方程思想和运算能力，属于中档题 20 （10 分）已知向量， （1）求 cos（）的值； （2）若，且，求 sin 的值 【分析】 （1）结合向量数量积的性质的
24、坐标表示可求， （2）结合同角平方关系及两角和的正弦公式即可求解 【解答】解： （1） 由， 由，得 （2）， ， ， 0， 又cos（）0， 故， 第 14 页（共 16 页） ， sinsin（）+sin（）cos+cos（）sin， 【点评】 本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示及两角和与差的三角公式的应用， 属于基础试题 21 （12 分）已知函数（a0 且 a1） （1）当 a1 时，用定义法证明函数 f（x）在定义域上单调递增； （2）解关于 x 的不等式 f（x）loga2 【分析】第一问求出 f（x）的定义域，证明在定义域上是递增的，当 a1 时，由复 合函数的单调性即可证
25、明；第二问不等式 f（x）loga2 可化为， 分类讨论底数 a 的范围即可 【解答】解： （1）证明：由得1x1，故函数 f（x）的定义域为（1，1） ， 令 1 x1 x2 1 ， ， 由1x1x21，有 1x10，1x20，x2x10，可得， 有，又由 a1，有得 f（x2）f（x1） ， 故当 a1 时，函数 f（x）在定义域（1，1）单调递增， （2）不等式 f（x）loga2 可化为， 当 a1 时，不等式可化为，解得， 当 0a1 时，不等式可化为，解得 【点评】本题主要考查对数函数的定义域、单调性等性质，属于基础题 第 15 页（共 16 页） 22 （12 分）已知函数，a
26、为实数 （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）设 f（x）是函数 f（x）的导函数，若|f（x）|3 对任意 x2，3恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）求出导函数通过（i）当 a 0 时， （ii）当 a0 时， （iii）当 a0 时，判断导函数的符号，得到函数的单调性 （2） |f （x） |3 等价于|x2ax|3， 推出 即对任意 x2， 3恒成立构造函数，x2，3，利用函数的导数求解函数的最 值，转化求解即可 【解答】解： （1）函数的定义域是 R （i）当 a0 时，令 f（x）0，得 0xa；令 f（x）0，得 x0 或 xa， 所以函数 f（x）在区间（0，a
27、）上单调递减，在区间（，0） ， （a，+）上单调递增； （ii）当 a0 时，f（x）x20 对任意 xR 恒成立，且 f（x）不恒为 0，所以函数 f（x） 在 R 上单调递增； （iii）当 a0 时，令 f（x）0，得 ax0；令 f（x）0，得 xa 或 x0， 所以函数 f（x）在区间（a，0）上单调递减，在区间（，a） ， （0，+）上单调递增 （2）|f（x）|3 等价于|x2ax|3，得3x2ax3，得3x2ax3x2， 因为 x2，3，所以x3，2 所以不等式两边同时除以x，得，即，得 所以 即对任意 x2，3恒成立 设，x2，3，则， 所以函数 g（x）在区间2，3上是增函数，h（x）在区间2，3上是增函数 第 16 页（共 16 页） 所以 g（x）maxg（3）2， 所以 所以实数 a 的取值范围是 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，构造法的应用，考查转化思 想以及计算能力，是难题
