1、若（x2+）6的展开式中 x6的系数为 150，则 a2（ ） A20 B15 C10 D25 5 （5 分）设递增的等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S4，3a410a3+3a20，则 a4（ ） A9 B27 C81 D 6 （5 分）已知函数 f（x）lnx+ax+b 的图象在点（1，a+b）处的切线方程是 y3x2，则 ab（ ） A2 B3 C2 D3 7 （5 分）函数的部分图象大致为（ ） A B 第 2 页（共 22 页） C D 8 （5 分）如图，PA平面 ABCD，ABCD 为正方形，且 PAAD，E，F 分别是线段 PA， CD 的中点，则异面直线 EF 与 B
2、D 所成角的余弦值为（ ） A B C D 9 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的 S，则处应填写（ ） Ak3？ Bk3？ Ck5？ Dk5？ 10 （5 分）已知点 F2为双曲线的右焦点，直线 ykx 与双曲线交于 第 3 页（共 22 页） 两点，若，则AF2B 的面积为（ ） A B C D4 11（5 分） 已知函数， 则不等式 f （lgx） 3 的解集为 （ ） A （，10） B （，）（10，+） C （1，10） D （，1）（1，10） 12 （5 分）已知，函数 f（x）sin（2x）在区间（，2）内没有最值给 出下列四个结论： f（x）在（，2）上单调递增；
3、，； f（x）在0，上没有零点； f（x）在0，上只有一个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13 （5 分）已知两个单位向量满足| + | |，则向量 与 的夹角 14（5分） 设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和， 且a72a1， 则 15 （5 分）已知 F1，F2是椭圆 C：的左、右焦点，过左焦点 F1的 直线与椭圆 C 交于 A， B 两点， 且|AF1|3|BF1|， |AB|BF2|， 则椭圆 C 的
4、离心率为 16 （5 分）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G 分别为 AB，BC，C1D1的中点点 P 在平面 ABCD 内，若直线 D1P平面 EFG，则线段 D1P 长 度的最小值是 第 4 页（共 22 页） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，每题为必考题，每 道试题考生都必须作答第道试题考生都必须作答第 22.23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）为了检测某种零
5、件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件， 根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图若尺寸落在区间， （ 2s， +2s） 之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中 ，s 分别为样本平均数和样本标准差， 计算可得 s15（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （1）求样本平均数的大小； （2）若一个零件的尺寸是 100cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件 18 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBC1，AB，B1C平面 ABC （1）证明：平面 A1ACC1平面 BCC1B1； （2）求二面角 AB1BC 的余弦值 19 （12 分）a，b，c
6、分别为ABC 的内角 A，B，C 的对边，已知 a（sinA+4sinB）8sinA 第 5 页（共 22 页） （1）若 b1，A，求 sinB； （2）已知 C，当ABC 的面积取得最大值时，求ABC 的周长 20 （12 分）已知函数 f（x）2x3+mx2+m+1 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若函数 f（x）在区间0，+）上的最小值为3，求 m 的值 21 （12 分）如图，已知抛物线 E：y24x 与圆 M： （x3）2+y2r2（r0）相交于 A，B， C，D 四个点 （1）求 r 的取值范围； （2）设四边形 ABCD 的面积为 S，当 S 最大时，求直线 AD 与直线
7、 BC 的交点 P 的坐标 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系中，已知圆 M： （xa）2+（y1）2a2+1，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线平分圆 M 的周长 （1）求圆 M 的半径和圆 M 的极坐标方程； （2）过原点作两条互相垂直的直线 l1，l2，其中 l1与圆 M 交于 O，A 两点，l2与圆 M 交 于 O，B 两点，求OAB 面积的最大值
8、 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知正实数 a，b 满足 a+b4 （1）求+的最小值 （2）证明： 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学年广西南宁市高三 （上）学年广西南宁市高三 （上） 10 月月考数学试卷 （理科）月月考数学试卷 （理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有- 项符合题目要求的项符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 A2，1，0，1，2，Bx|x24x50，则 AB（ ）
9、A2，1，0 B1，0，1，2 C1，0，1 D0，1，2 【分析】可以求出集合 B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：A2，1，0，1，2，Bx|1x5， AB0，1，2 故选：D 【点评】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，一元二次不等式的解法 2 （5 分）若复数 z 满足（1+3i）z（1+i）2，则|z|（ ） A B C D 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算 公式求解 【解答】解：由（1+3i）z（1+i）22i， 得 z， |z| 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 3 （5 分）某校
10、8 位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出 50 分，则以该 8 位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ） A方差 B中位数 C众数 D平均数 【分析】利用平均数、中位数、众数、方差的性质直接求解 【解答】解：由题意知，本次和上次的月考成绩的平均数、中位数、众数都相差 50， 根据方差公式知方差不变 故选：A 第 7 页（共 22 页） 【点评】本题考查这两个样本不变的数字特征的判断，考查平均数、中位数、众数、方 差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 4 （5 分）若（x2+）6的展开式中 x6的系数为 150，则 a2（ ） A20 B15
11、C10 D25 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 6，求出 r 的值，即可求得展开 式中 x6的系数，再根据展开式中 x6的系数为 150，求得 a2的值 【解答】解： （x2+）6的展开式的通项公式为 Tr+1arx12 3r，令 123r6，求得 r2， 可得展开式中 x6的系数为a2150，则 a210， 故选：C 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 5 （5 分）设递增的等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S4，3a410a3+3a20，则 a4（ ） A9 B27 C81 D 【分析】 根据题意， 设
12、等比数列an的公比为 q， 若 3a410a3+3a20， 则 3a2q210a2q+3 0， 变形解可得 q 的值， 由等比数列的前 n 项和公式可得 S440a1， 解可得 a1的值，由等比数列的通项公式计算可得答案 【解答】解：根据题意，设等比数列an的公比为 q， 若 3a410a3+3a20，则 3a2q210a2q+3a20，即有 3q210q+30， 解可得 q3 或， 又由数列an为递增的等比数列，则 q3， 若 S4，则 S440a1，解可得 a1， 则 a4a1q39， 故选：A 【点评】本题考查等比数列的性质以及应用，注意求出等比数列的公比，属于基础题 第 8 页（共 2
13、2 页） 6 （5 分）已知函数 f（x）lnx+ax+b 的图象在点（1，a+b）处的切线方程是 y3x2，则 ab（ ） A2 B3 C2 D3 【分析】求出原函数的导函数，由 f（1）3 与点（1，a+b）在切线 y3x2 上，联 立求得 a，b 的值，则答案可求 【解答】解：由 f（x）lnx+ax+b，得 f（x）+a， ，解得 则 ab3 故选：B 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题 7 （5 分）函数的部分图象大致为（ ） A B C D 【分析】根据题意，分析可得 f（x）为奇函数且在（0，+）上，当 x0 时，f（x） ，利用排除法分析可得答
14、案 【解答】解：根据题意，函数，其定义域为x|x0， 又由 f（x）e xex+ （exe x ）f（x） ，则 f（x）为奇函数，排除 C、 D； 在（0，+）上，当 x0 时，f（x），排除 B， 第 9 页（共 22 页） 故选：A 【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性与单调性的判断，用排除法分析 8 （5 分）如图，PA平面 ABCD，ABCD 为正方形，且 PAAD，E，F 分别是线段 PA， CD 的中点，则异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】取 BC 的中点 G，连结 FG，EG，则 BDFG，EFG 是异面直线 EF 与 BD
15、所 成的角，由此能求出异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值 【解答】解：如图，取 BC 的中点 G，连结 FG，EG，则 BDFG， 通过异面直线所成角的性质可知EFG 是异面直线 EF 与 BD 所成的角， 设 AD2，则 EF， 同理可得 EG，又 FG， 在EFG 中，cosEFG， 异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值为 故选：C 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 9 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的 S，则处应填写（ ） 第 10 页（共 22 页） Ak3？ Bk3？ Ck
16、5？ Dk5？ 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得判断框内的条件 【解答】解：模拟程序的运行，可得 k1，S0 k2，S0+， 满足判断框内的条件，执行循环体，k3，S+， 满足判断框内的条件，执行循环体，k4，S+ 由题意，此时应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出 S 的值为 故则处应填写 k3？ 故选：B 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 10 （5 分）已知点 F2为双曲线的右焦点，直线 ykx 与双曲线交于 两
17、点，若，则AF2B 的面积为（ ） A B C D4 第 11 页（共 22 页） 【分析】由题意画出图形，可得四边形 AF1BF2是平行四边形，利用双曲线定义及余弦定 理求解AF1F2的面积，再由对称性可得AF2B 的面积 【解答】解：设双曲线 C 的左焦点为 F1，连接 AF1，BF1，由对称性可知四边形 AF1BF2 是平行四边形， ， 设|AF1|r1，|AF2|r2，则， 又|r1r2|2a，故 则AF2B 的面积为 故选：D 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用及三角形的解法，是中档 题 11（5 分） 已知函数， 则不等式 f （lgx） 3 的解集为 （ ）
18、A （，10） B （，）（10，+） C （1，10） D （，1）（1，10） 【分析】判断函数 f（x）是定义域上的偶函数，且在（0，+）上是单调递减函数； 再把不等式 f（lgx）3 化为 0|lgx|1，求出解集即可 【解答】解：函数，是定义域为（，0）（0，+ ）上的偶函数， 且在（0，+）上是单调递减函数； 第 12 页（共 22 页） 又 f（1）log22+3， 所以不等式 f（lgx）3 可化为 0|lgx|1， 即1lgx1，且 lgx0， 解得x10，且 x1； 所以所求不等式的解集为（，1）（1，10） 故选：D 【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，也考查
19、了转化思想，是中档题 12 （5 分）已知，函数 f（x）sin（2x）在区间（，2）内没有最值给 出下列四个结论： f（x）在（，2）上单调递增； ，； f（x）在0，上没有零点； f（x）在0，上只有一个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 【分析】由函数 f（x）在区间（，2）内没有最值，列不等式求出 的取值范围，再 结合函数的单调性与 的取值范围判断题目中的命题是否正确 【解答】解：由函数 f（x）sin（2x）在区间（，2）内没有最值， 则 2k242k+， 或 2k+242k+，kZ； 解得 k+，或 k+，kZ； 又 T2，且 ，所以1； 令 k0，可得 ，且 f
20、（x）在（，2）上单调递减；所以错误，正确； 当 x0，时，2x，2，且 2， 所以 f（x）在0，上只有一个零点，所以错误，正确； 综上知，所有正确结论的编号是 故选：A 【点评】本题考查了三角函数的性质与应用问题，也考查了分析问题与解决问题的能力， 第 13 页（共 22 页） 是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13 （5 分）已知两个单位向量满足| + | |，则向量 与 的夹角 【分析】推导出1，从而1，进而，由此 能求出向量 与 的夹角 【解答】解：两
21、个单位向量满足| + | |， 1，1， 解得1， cos， 向量 与 的夹角为 故答案为： 【点评】本题考查向量夹角的求法，考查向量的数量积公式、夹角余弦值公式等基础知 识，考查运算求解能力，是基础题 14（5分） 设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和， 且a72a1， 则 18 【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出 【解答】解：设等差数列an的公差为 d，a72a1，a1+6d2a1，a12d 则18 故答案为：18 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题 15 （5 分）已知 F1，F2是椭圆 C：的左、右
22、焦点，过左焦点 F1的 直线与椭圆C交于A， B两点， 且|AF1|3|BF1|， |AB|BF2|， 则椭圆C的离心率为 第 14 页（共 22 页） 【分析】设|BF1|k，则|AF1|3k，|BF2|4k，利用椭圆的定义，在ABF2中， ，在AF1F2中，利用余弦定理，转化求解椭圆的离心率即可 【解答】解：设|BF1|k，则|AF1|3k，|BF2|4k，由|BF1|+|BF2|AF1|+|AF2|2a， 得 2a5k，|AF2|2k，如图：在ABF2中， 又在AF1F2中，得， 故离心率， 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的定义及其性质、余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力 16
23、（5 分）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G 分别为 AB，BC，C1D1的中点点 P 在平面 ABCD 内，若直线 D1P平面 EFG，则线段 D1P 长 度的最小值是 【分析】连结 D1A，AC，D1C，推导出 EF平面 ACD1，EG平面 ACD1，从而平面 EFG 平面 ACD1，推导出点 P 在直线 AC 上，在ACD1中，AD1，AC2，CD12， 由此能求出当 D1PAC 时，线段 D1P 的长度最小，并能求出最小值 【解答】解：如图，连结 D1A，AC，D1C， 第 15 页（共 22 页） E，F，G 分别为 AB，BC，C1D1的中点， ACEF，EF平
24、面 ACD1，AC平面 ACD1， EF平面 ACD1， EGAD1，EG平面 ACD1，AD1平面 ACD1， EG平面 ACD1， EFEGE，平面 EFG平面 ACD1， D1P平面 EFG， 点 P 在直线 AC 上，在ACD1中，AD1，AC2，CD12， ， 当 D1PAC 时，线段 D1P 的长度最小，最小值为 故答案为： 【点评】本题考查线段长度的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题
25、为必考题，每题为必考题，每 道试题考生都必须作答第道试题考生都必须作答第 22.23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件， 根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图若尺寸落在区间， （ 2s， +2s） 之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中 ，s 分别为样本平均数和样本标准差， 计算可得 s15（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （1）求样本平均数的大小； （2）若一个零件的尺寸是 100cm，试判断该零件是否属于“不合格
26、”的零件 第 16 页（共 22 页） 【分析】 （1）利用频率分布直方图能求出样本平均数的大小 （2）分别求出96.5，36.5，10096.5，从而该零件属于“不合格”的零 件 【解答】解： （1） 35100.005+45100.010+55100.015+65100.030+75 100.020+85100.015+95100.00566.5 （2）66.5+3096.5， 66.53036.5， 10096.5， 该零件属于“不合格”的零件 【点评】本题考查平均数的求法，考查零件是否合格的判断，考查运算求解能力，是基 础题 18 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AC
27、BC1，AB，B1C平面 ABC （1）证明：平面 A1ACC1平面 BCC1B1； （2）求二面角 AB1BC 的余弦值 【分析】（1） 推导出 B1CAC， ACBC， 从而 AC平面 BCC1B1， 由此能证明平面 A1ACC1 平面 BCC1B1 （2）以 C 为原点，CA 为 x 轴，CB 为 y 轴，CB1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出二面角 AB1BC 的余弦值 第 17 页（共 22 页） 【解答】解： （1）证明：B1C平面 ABC，B1CAC， ACBC1，AB， AC2+BC2AB2，ACBC， BCB1CC，AC平面 BCC1B1， AC平面 A1A
28、CC1，平面 A1ACC1平面 BCC1B1 （2）解：以 C 为原点，CA 为 x 轴，CB 为 y 轴，CB1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 C（0，0，0） ，A（1，0，0） ，C1（0，1，1） ，B（0，1，0） ，B1（0，0，1） ， （1，1，0） ，（1，0，1） ， 设平面 AB1B 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 y1，得 （1，1，1） ， 平面 CB1B 的法向量 （1，0，0） ， 设二面角 AB1BC 的平面角为 ， 则 cos 二面角 AB1BC 的余弦值为 【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线 线、线面、面
29、面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中偿题 19 （12 分）a，b，c 分别为ABC 的内角 A，B，C 的对边，已知 a（sinA+4sinB）8sinA （1）若 b1，A，求 sinB； （2）已知 C，当ABC 的面积取得最大值时，求ABC 的周长 【分析】 （1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果 第 18 页（共 22 页） （2）利用余弦定理和三角形的面积公式的应用和基本不等式的应用求出结果 【解答】解： （1）由于 b1，A， 所以 a（sinA+4sinB）8sinA 转换为 a（sinA+4sinB）8bsinA， 利用正弦定理 sin2A+4s
30、inAsinB8sinAsinB， 整理得， 解得 （2）利用正弦定理 a（sinA+4sinB）8sinA，转化为 a2+4ab8a， 所以 a+4b8，利用基本不等式， 解得 ab4， 即 a4b 时， 解得 b1，a4， 所以 c2a2+b22abcosC1+16413， 解得 c 所以 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，基本不等 式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 20 （12 分）已知函数 f（x）2x3+mx2+m+1 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若函数 f（x）在区间0，+）上的最小值为3，求 m 的值
31、【分析】 （1）利用函数导数，结合二次函数图象和性质，判断即可； （2）由（1）的单调性，对 m 进行分类讨论，判断函数 f（x）的最小值，求出 m 【解答】解： （1）f（x）2x3+mx2+m+1，f（x）6x2+2mx6xx（）， 当 m0 时，f（x）0，f（x）在 R 上递增， 当 m0 时，x（，） ， （0，+）递增，x（，0）递减， 当 m0 时，x（，0） ， （，+）递增，x（0，）递减； （2）由（1）知，当 m0 时，f（x）在区间0，+）递增，f（x）2x3+1，f（x）的最 小值为 f（0）13，故不成立； 第 19 页（共 22 页） 当 m0 时，f（x）在区间
32、0，+）递增，f（0）为最小值，由 f（0）m+13，得 m4 不成立； +）递增，故 f（m）为最小值，由 f（m）3m3+m+13，即（m+1） （3m23m+4） 0，即 m10，不成立； 当 m0 时，f（x）在区间（，0） ， （，+）递增，x（0，）递减； ，故 f（）为最小值，由 f（），成立； 所以 m3 【点评】考查三次函数的单调性和最值，含参问题的讨论，中档题 21 （12 分）如图，已知抛物线 E：y24x 与圆 M： （x3）2+y2r2（r0）相交于 A，B， C，D 四个点 （1）求 r 的取值范围； （2）设四边形 ABCD 的面积为 S，当 S 最大时，求直线
33、AD 与直线 BC 的交点 P 的坐标 【分析】 （1）联立抛物线方程和圆方程，运用判别式为 0 和韦达定理，解不等式可得所 求范围； （2）设 x22x+9r20 的两个根为 x1，x2，且 0x1x2，运用韦达定理，抛物线和圆 都关于 x 轴对称，可设 A（x1，2） ，B（x1，2） ，C（x2，2） ，D（x2， 2） ， 求得面积 S 的解析式，可令 t（0，1） ，设 f（t）32（t3+t2t1） ，求得 导数，以及最值时 t 的值，可设 P（m，0） ，再由 P，A，D 三点共线的条件，解方程可 得 m 的值，即可得到所求坐标 【解答】解： （1）联立抛物线 y24x 与圆 M
34、： （x3）2+y2r2（r0） ，可得 x22x+9 r20， 由题意可得44（9r2）0，且 9r20，r0， 解得 2r3； 第 20 页（共 22 页） （2）设 x22x+9r20 的两个根为 x1，x2，且 0x1x2， 可得 x1+x22，x1x29r2， 由抛物线和圆都关于 x 轴对称，可设 A（x1，2） ，B（x1，2） ，C（x2，2） ， D（x2，2） ， 则 S（|AB|+|CD|） （x2x1）（4+4） （x2x1）2 2，可令 t（0，1） ， 设 f（t）S24（2+2t） （44t2）即 f（t）32（t3+t2t1） ， f（t）32（3t2+2t1）3
35、2（t+1） （3t1） ， 当 0t时，f（t）递增，在（，1）递减， 可得 t时，四边形 ABCD 的面积取得最大值， 由抛物线和圆都关于 x 轴对称， 可设 P （m， 0） ， 由 P， A， D 三点共线， 可得 ， 解得 mt， 所以 P 的坐标为（，0） 【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线和抛物线的位置关系，注意运用韦达 定理和抛物线及圆的对称性，考查化简运算能力，属于中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请分请考生在第考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系
36、与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系中，已知圆 M： （xa）2+（y1）2a2+1，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线平分圆 M 的周长 （1）求圆 M 的半径和圆 M 的极坐标方程； （2）过原点作两条互相垂直的直线 l1，l2，其中 l1与圆 M 交于 O，A 两点，l2与圆 M 交 于 O，B 两点，求OAB 面积的最大值 第 21 页（共 22 页） 【分析】 （1）直接利用直线和圆的位置关系式的应用及参数方程极坐标方程和直角坐标 方程之间的转换求出 a 的值 （2）利用极径和三角函数关系式的恒等变换及三角函数的性质的应用求出结果 【解答】
37、解： （1）已知直线转换为直角坐标方程为 x+y20 由于直线平分圆 M： （xa）2+（y1）2a2+1， 所以圆心坐标满足直线的方程， 所以 a+120， 解得：a1， 所以圆的方程为（x1）2+（y1）22，圆的半径为 圆 M 的极坐标方程为 2sin+2cos （2）设直线 l1为 ，l2为，|OA|1，|OB|2， 则 12sin+2cos， 用代替，可得 22cos2sin 由于 l1l2， 所以2（cos2sin2）2cos22， 故三角形面积的最大值为 2 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角 函数关系式的恒等变换，极径的应用，主要考查学
38、生的运算能力和转换能力及思维能力 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知正实数 a，b 满足 a+b4 （1）求+的最小值 （2）证明： 【分析】 （1）由已知可得，+（+） （a+b） ，展开后利用基本不等式可求； （2）由，展开后结合基本不等式可求范围，然后由（）2+ （）2即可证明 【解答】解： （1）正实数 a，b 满足 a+b4， 第 22 页（共 22 页） +（+） （a+b）， 当且仅当且 a+b4 即 a，b时取得最小值； （2）证明：a+b4， 1， ， （）2+（）2（当且仅当 ab2 时取等号） 【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及证明不等式，解题的关键是进行 1 的代换
