1、如图是房间壁灯照到墙上的光影的照片，壁灯轴线与墙面平行，则光影的边缘是 （ ） A抛物线 B双曲线一支 C椭圆 D抛物线或双曲线 4 （5 分）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ） A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D由增加的长度决定 5 （5 分）设点 P（x，y）是图中阴影部分表示的平行四边形区域（含边界）内一点，则 z x2y 的最小值为（ ） A1 B2 C4 D6 第 2 页（共 23 页） 6 （5 分）已知向量 ， 满足，则向量 在 方向上的投影 为（ ） A1 B2 C2 D1 7 （5 分）我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面所取得
2、的突破性进展孪生素数就是 指相差 2 的素数对，例如 5 和 7， “孪生素数猜想”正式由希尔伯特在 1900 年国际数学家 大会的报告上第 8 个问题中提出可以这样描述：存在无穷多个素数 p，使得 p+2 是素 数，素数对（p，p+2）称为孪生素数在不超过 20 的素数中，随机选取两个不同的数， 这两个数为孪生素数的概率是（ ） A B C D 8 （5 分）已知直线 l：ykx（k0）为圆的切线，则 k 为（ ） A B C D1 9 （5 分）函数 ysin（2x+）的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点（，0） 中心对称（ ） A向左平移 B向右平移 C向左平移 D向右平移 10 （
3、5 分）设 F1、F2是双曲线 C 的两个焦点，若曲线 C 上存在一点 P 与 F1关于曲线 C 的 一条渐近线对称，则双曲线 C 的离心率是（ ） A B C2 D 11 （5 分）圆锥 SO（其中 S 为顶点，O 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是 2：1则圆 锥 SO 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ） A9：32 B8：27 C9：22 D9：28 12 （5 分）若 x2 是函数 f（x）（x2+ax）ex的极值点，f（x）的极大值 M，极小值为 m，则 Mm（ ） A2e2 B2e21 C4e 11 D4e 2 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5
4、 分，共分，共 4 小题，满分小题，满分 20 分）分） 13 （5 分）复数等于 第 3 页（共 23 页） 14 （5 分）已知 tan2，且 ，则 cos2 15 （5 分）设数列an满足 a12，则数列an的通项公式 an 16 （5 分）设三棱锥 SABC 的三条侧棱 SA、SB、SC 两两相互垂直，AB2，BC3，AC ，其顶点都在球 O 的球面上，则球心 O 到平面 ABC 的距离为 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分）分） 17 （12 分） 如图所示， 在ABC 中， D 是 BC 边上的一点， 且 AB14， BD6， （）求 sinDAC；
5、（）求 AD 的长和ABC 的面积 18 （12 分）为了解某市民众对某项公共政策的态度，在该市随机抽取了 50 名市民进行调 查，做出了他们的月收入（单位：百元，范围：15，75）的频率分布直方图，同时得到 他们月收入情况以及对该项政策赞成的人数统计表： 月收入 赞成人数 15，25） 4 25，35） 8 35，45） 12 45，55） 5 55，65） 2 65，75 2 （）求月收入在35，45）内的频率，并补全这个频率分布直方图，并在图中标出相应 纵坐标； （）根据频率分布直方图估计这 50 人的平均月收入； （）若从月收入（单位：百元）在65，75的被调查者中随机选取 2 人，求
6、 2 人都不赞 第 4 页（共 23 页） 成的概率 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点 （）证明：PB平面 AEC； （）设二面角 DAEC 为 60，AP1，AD，求三棱锥 EACD 的体积 20 （12 分）设 F1，F2分别椭圆的左，右焦点，直线 l 过 F2与椭圆 C 交于 不同的两点 A，B （）求证F1AB 的周长为定值； （）求F1AB 面积的最大值 21 （12 分）已知函数 f（x）lnxcx（cR） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）设函数 f（x）有两个相异零点 x1，x2，求证： 选
7、做题请考生在选做题请考生在 22，23 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用作答时用 2B 铅笔在答题卡把所选题目的铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑题号涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（0，2） ， 第 5 页（共 23 页） 为参数） ，在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换得到曲线 C1，以坐标原 点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ 为极径， 为极角） （）求曲线 C 的直角坐标方程和曲线 C1的极坐标方程；
8、（）若射线 OA：（0）与曲线 C1交于点 A，射线与 曲线 C1交于点 B，求的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知正数 a，b 满足 （1）证明：； （2）若存在实数 x，使得，求 a，b 第 6 页（共 23 页） 2019-2020 学年内蒙古赤峰市宁城县高三（上）学年内蒙古赤峰市宁城县高三（上）10 月月考数学试月月考数学试 卷（文科）卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 12 小题，满分小题，满分 60 分）分） 1 （5 分）已知集合 M1，0，1，2，则 MN（ ） A1，0，1 B1，2 C
9、1，1，2 D1，0，1，2 【分析】求出集合 M，N，由此能求出 MN 【解答】解：集合 M1，0，1，2， x|x1 或1x0， MN1，1，2 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （5 分）公比为 2 的等比数列an 的各项都是正数，且 a3a1116，则 a5（ ） A4 B2 C1 D8 【分析】利用等比数列的通项公式求解 【解答】解：公比为 2 的等比数列an 的各项都是正数，且 a3a1116， ，且 a10， 解得， a51 故选：C 【点评】本题考查等比数列的第 5 项的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的性质 的
10、合理运用 3 （5 分）如图是房间壁灯照到墙上的光影的照片，壁灯轴线与墙面平行，则光影的边缘是 （ ） 第 7 页（共 23 页） A抛物线 B双曲线一支 C椭圆 D抛物线或双曲线 【分析】由题意结合圆锥曲线的几何观点得答案 【解答】解：房间壁灯向上照射，区域可理解为顶点在下面的圆锥， 墙面不与圆锥面的母线平行，结果不是抛物线，又壁灯轴线与墙面平行，则不是椭圆， 而墙面与圆锥侧面相交，且不过圆锥顶点，又与壁灯轴线平行，则结果为双曲线的一支 故选：B 【点评】本题考查圆锥曲线的轨迹问题，着重考查圆锥曲线的由来，是基础题 4 （5 分）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状
11、为（ ） A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D由增加的长度决定 【分析】先设出原来的三边为 a、b、c 且 c2a2+b2，以及增加同样的长度为 x，得到新 的三角形的三边为 a+x、b+x、c+x，知 c+x 为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦 定理判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形 【解答】解：设增加同样的长度为 x，原三边长为 a、b、c，且 c2a2+b2，c 为最大边； 新的三角形的三边长为 a+x、b+x、c+x，知 c+x 为最大边，其对应角最大 而（a+x）2+（b+x）2（c+x）2x2+2（a+bc）x0， 由余弦定理知新的三角形的最
12、大角的余弦0， 则为锐角， 那么它为锐角三角形 故选：C 【点评】考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力，以及掌握三角形一些基本性 质的能力 5 （5 分）设点 P（x，y）是图中阴影部分表示的平行四边形区域（含边界）内一点，则 z 第 8 页（共 23 页） x2y 的最小值为（ ） A1 B2 C4 D6 【分析】利用线性规划的知识，求出最优解，然后求解 zx2y 的最小值 【解答】解：由图可知，当直线 zx2y 经过点（2，4）时，z 取最小值6 故选：D 【点评】本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考查 6 （5 分）已知向量 ， 满足，则向量 在 方向上的投影 为（ ） A1
13、 B2 C2 D1 【分析】 先根据 （） 推出 4， 然后根据向量 在 上投影的概念得到： 1 【解答】解： （ + ） ， （ + ）0 2+ 0， 4， 所以向量 在 方向上的投影为：1， 故选：A 【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题 第 9 页（共 23 页） 7 （5 分）我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面所取得的突破性进展孪生素数就是 指相差 2 的素数对，例如 5 和 7， “孪生素数猜想”正式由希尔伯特在 1900 年国际数学家 大会的报告上第 8 个问题中提出可以这样描述：存在无穷多个素数 p，使得 p+2 是素 数，素数对（p，p+2）称为孪生素数
14、在不超过 20 的素数中，随机选取两个不同的数， 这两个数为孪生素数的概率是（ ） A B C D 【分析】20 以内的素数共有 8 个，而 20 以内的孪生素数有（3，5） ， （5，7） ， （11，13） ， （17，19） ，根据古典概型的概率公式计算即可 【解答】解：在不超过 20 的素数中所有的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19；共 8 个 在不超过 20 的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的个数 4 个，即 （3，5） （5，7） ， （11，13） ， （17，19） ， 在不超过 20 的素数中， 随机选取两个不同的数， 其中能够组成孪生素数的概
15、率是： ， 故选：B 【点评】本题考查古典概型概率的求法，正确求解素数是解题的关键 8 （5 分）已知直线 l：ykx（k0）为圆的切线，则 k 为（ ） A B C D1 【分析】根据题意，由直线与圆相切的判断方法可得1，解可得 k 的值，结合 k0 分析可得答案 【解答】解：根据题意，直线 l：ykx，即 kxy0，圆的圆心为 （，0） ，半径 r1； 直线 l 为圆的切线，则有1， 解可得：k， 第 10 页（共 23 页） 又由 k0，则 k， 故选：C 【点评】本题考查圆的切线方程，注意直线与圆相切的条件，属于基础题 9 （5 分）函数 ysin（2x+）的图象经下列怎样的平移后所得
16、的图象关于点（，0） 中心对称（ ） A向左平移 B向右平移 C向左平移 D向右平移 【分析】先假设将函数 ysin（2x+）的图象平移 个单位得到关系式，然后将 x 代入使其等于 0，再由正弦函数的性质可得到 的所有值，再对选项进行验证即可 【解答】 解： 假设将函数 ysin （2x+） 的图象平移 个单位得到： ysin （2x+2+） 关于点（，0）中心对称 将 x代入得到：sin（+2+）sin（+2）0 +2k， +，当 k0 时， 故选：B 【点评】本题主要考查正弦函数的平移变换和基本性质对称性，属于基础题 10 （5 分）设 F1、F2是双曲线 C 的两个焦点，若曲线 C 上存
17、在一点 P 与 F1关于曲线 C 的 一条渐近线对称，则双曲线 C 的离心率是（ ） A B C2 D 【分析】设 F（c，0） ，渐近线方程为 yx，对称点为 F（m，n） ，运用中点坐标公 式和两直线垂直的条件：斜率之积为1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离 心率公式计算即可得到所求值 【解答】解：设 F（c，0） ，渐近线方程为 yx， 对称点为 F（m，n） ， 即有， 第 11 页（共 23 页） 且n， 解得：m，n， 将 F（，） ，即（，） ， 代入双曲线的方程可得1， 化简可得41，即有 e25， 解得 e 故选：D 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点
18、坐标公式和两直线垂直的条件： 斜率之积为1，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题 11 （5 分）圆锥 SO（其中 S 为顶点，O 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是 2：1则圆 锥 SO 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ） A9：32 B8：27 C9：22 D9：28 【分析】设圆锥的母线长为 l，底面圆半径为 r，圆锥的外接球的半径为 R，根据题中条 件将 l、R 都用 r 表示，并计算出圆锥和其外接球的体积，通过计算可得出所求的体积比 【解答】解：设圆锥的母线长为 l，底面圆半径为 r，圆锥的外接球的半径为 R， 由于圆锥 SO 的侧
19、面积与底面积之比为 2：1，则 rl2r2，所以，l2r，则圆锥 SO 的 高为， 所以，圆锥 SO 的外接球的直径为， 圆 锥SO的 体 积 为， 它 的 外 接 球 的 体 积 为 ， 因此，圆锥 SO 与它外接球的体积比为 故选：A 【点评】本题考查圆锥与球的体积，解决本题的关键在于确定各几何量之间的等量关系， 考查计算能力，属于中等题 第 12 页（共 23 页） 12 （5 分）若 x2 是函数 f（x）（x2+ax）ex的极值点，f（x）的极大值 M，极小值为 m，则 Mm（ ） A2e2 B2e21 C4e 11 D4e 2 【分析】先对函数求导，根据极值存在条件可求 a，进而可
20、与极小求极大与极小值，即可 求解 【解答】解：f（x）（x2+ax）ex， f（x）x2+（2+a）x+aex， 由题可得意，f（2）42（2+a）+ae 20， a0，f（x）（x2+2x）ex， 当 x0 或 x2 时，f（x）0 函数单调递增，当 0x2 时，f（x）0，函数单 调递减， 故当 x2 时，函数取得极大值 Mf（2）4e 2，当 x0 时，函数取得极小值 m 1， 故 Mm4e 2， 故选：D 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，属于基础试题 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 4 小题，满分小题，满分 20 分）分） 13 （5 分）复数等于
21、 i 【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简复数为 a+bi 的形式即可 【解答】解：复数i 故答案为：i 【点评】本题考查复数的乘除运算，复数的化简，考查计算能力 14 （5 分）已知 tan2，且 ，则 cos2 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求出 cos2 的值 【解答】解：已知 tan2，且 ， 则 cos2， 故答案为： 第 13 页（共 23 页） 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题 15 （5 分）设数列an满足 a12，则数列an的通项公式 an （n+1） 2n 1 【分析】 根据数列的递推关系， 推出数
22、列是以 2 为首项， 以 1 为公差的等差数列， 然后求出数列的通项公式 【解答】解：数列an满足 a12， 1，所以数列是以 2 为首项，以 1 为公差的等差数列， 所以2+（n1）1； 可得 an（n+1）2n 1 故答案为： （n+1）2n 1 【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，转化首项的应用，是中档题 16 （5 分）设三棱锥 SABC 的三条侧棱 SA、SB、SC 两两相互垂直，AB2，BC3，AC ，其顶点都在球 O 的球面上，则球心 O 到平面 ABC 的距离为 【分析】 以 SA、 SB、 SC 为棱构造长方体 AEFGSBDC， 求出 SA1， SB， SC， 以 A
23、为原点，AE 为 x 轴，AG 为 y 轴，AS 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能 求出球心 O 到平面 ABC 的距离 【解答】解：三棱锥 SABC 的三条侧棱 SA、SB、SC 两两相互垂直，AB2，BC3， AC， 以 SA、SB、SC 为棱构造长方体 AEFGSBDC， 则，解得 SA1，SB，SC， 以 A 为原点，AE 为 x 轴，AG 为 y 轴，AS 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（0，0，0） ，B（，0，1） ，C（0，1） ，S（0，0，1） ，F（，0） ， 球心是 SF 的中点 O，则 O（，） ，（，0，1） ，（0，1） ， 第 14 页（共
24、 23 页） （） ，设平面 ABC 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x，得 （，1，） ， 球心 O 到平面 ABC 的距离为： d 故答案为： 【点评】本题考查球心到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分）分） 17 （12 分） 如图所示， 在ABC 中， D 是 BC 边上的一点， 且 AB14， BD6， （）求 sinDAC； （）求 AD 的长和ABC 的面积 【分析】 （）利用三角形的内角和定理与三角恒等变换，即可求得DAC 的正弦值； （）由余弦定
25、理和正弦定理求得 AD、CD 的值，再求ABC 的面积 第 15 页（共 23 页） 【解答】解： （）ACD 中，因为DAC（ADC+C） ， 所以 ；（2 分） 因为 ，0C， 所以 ；（4 分） 所以 ；（5 分） （）在ABD 中，由余弦定理可得 AB2BD2+AD22BDADcosADB，（7 分） 所以 ， 所以 AD2+6AD1600， 即 （AD+16） （AD10）0， 解得 AD10 或 AD16（不合题意，舍去） ； 所以 AD10； （8 分） ACD 中，由正弦定理得， 即 ，（10 分） 解得 CD15；（11 分） 所以 ， 即 （13 分） 【点评】本题考查了三
26、角恒等变换与解三角形的应用问题，是综合题 18 （12 分）为了解某市民众对某项公共政策的态度，在该市随机抽取了 50 名市民进行调 查，做出了他们的月收入（单位：百元，范围：15，75）的频率分布直方图，同时得到 他们月收入情况以及对该项政策赞成的人数统计表： 月收入 赞成人数 15，25） 4 25，35） 8 35，45） 12 第 16 页（共 23 页） 45，55） 5 55，65） 2 65，75 2 （）求月收入在35，45）内的频率，并补全这个频率分布直方图，并在图中标出相应 纵坐标； （）根据频率分布直方图估计这 50 人的平均月收入； （）若从月收入（单位：百元）在65，
27、75的被调查者中随机选取 2 人，求 2 人都不赞 成的概率 【分析】 （1）由频率分布直方图能求出月收入在35，45）内的频率，由此能补全频率分 布直方图 （2）根据频率分布直方图能估计这 50 人的平均月收入 （3）65，75的人数为 5 人，其中 2 人赞成，3 人不赞成记赞成的人为 a，b，不赞成 的人为 x，y，z，任取 2 人，利用列举法能求出 2 人都不赞成的概率 【解答】解： （1）由频率分布直方图得： 月收入在35，45）内的频率为：10.011030.021020.3 补全频率分布直方图如下： 第 17 页（共 23 页） （2）根据频率分布直方图估计这 50 人的平均月收
28、入为： 200.1+300.2+400.3+500.2+600.1+700.143（百元） ， 即这 50 人的平均月收入估计为 4300 元 （3）65，75的人数为 5 人，其中 2 人赞成，3 人不赞成 记赞成的人为 a，b，不赞成的人为 x，y，z， 任取 2 人的情况分别是：ab，ax，ay，az，bx，by，bz，xy，xz，yz，共 10 种情况 其中 2 人都不赞成的是：xy，xz，yz，共 3 种情况 2 人都不赞成的概率是： 【点评】本题考查频率、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、列举法等 基础知识，考查运算求解能力，是基础题 19 （12 分）如图，四棱锥 P
29、ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点 （）证明：PB平面 AEC； （）设二面角 DAEC 为 60，AP1，AD，求三棱锥 EACD 的体积 【分析】 （）连接 BD 交 AC 于 O 点，连接 EO，只要证明 EOPB，即可证明 PB平 面 AEC； （）延长 AE 至 M 连结 DM，使得 AMDM，说明CMD60，是二面角的平面角， 求出 CD，即可三棱锥 EACD 的体积 【解答】 （）证明：连接 BD 交 AC 于 O 点，连接 EO， O 为 BD 中点，E 为 PD 中点， EOPB， （2 分） EO平面 AEC，PB平面 AEC，所
30、以 PB平面 AEC； （6 分） （）解：延长 AE 至 M 连结 DM，使得 AMDM， 四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD， 第 18 页（共 23 页） CD平面 AMD， CDMD 二面角 DAEC 为 60， CMD60， AP1，AD，ADP30， PD2， E 为 PD 的中点AE1， DM， CD 三棱锥 EACD 的体积为： 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用， 考查逻辑思维能力，是中档题 20 （12 分）设 F1，F2分别椭圆的左，右焦点，直线 l 过 F2与椭圆 C 交于 不同的两点 A，B （
31、）求证F1AB 的周长为定值； （）求F1AB 面积的最大值 【分析】 （）直接利用椭圆的定义求F1AB 的周长，可证F1AB 的周长为定值； 第 19 页（共 23 页） （）解法一、设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，根据题意知，直线 l 的斜率不为零，可设直 线 l 的方程为 xmy+1， 联立直线方程与椭圆方程， 利用根与系数的关系及三角形面积公 式可得 ， 令 ，则 t1，令，再由导数求最值得答案 解法二、当直线 lx 轴时，求得当直线 l 不垂直于 x 轴 时，设直线 l 的方程为 yk（x1） ，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及 三角形面积公式可得 令 t4k
32、2+3， 则 t3， 然后利用二次函数求最值 【解答】 （）证明：F1AB 的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|4a8； （）解法一：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 根据题意知，直线 l 的斜率不为零，可设直线 l 的方程为 xmy+1， 由，得（3m2+4）y2+6my90 （6m）2+36（3m2+4）0，mR， 由韦达定理得， ， 令，则 t1， 令，则当 t1 时，f（t）单调递增， ，则， 即当 t1，m0 时，的最大值为 3 解法二： 第 20 页（共 23 页） 当直线 lx 轴时， 当直线 l 不垂直于 x 轴时，设直线 l 的方程为 yk（x1
33、） ， 由，得（4k2+3）x28k2x+4k2120 （8k2）24（4k2+3） （4k212）144（k2+1）0， 由韦达定理得， 令 t4k2+3，则 t3， 综上，当直线 l 的方程为 x1 时，的最大值为 3 【点评】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查分类讨论的数学思想方法，训练了 利用导数求最值，训练了利用换元法及二次函数求最值，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）lnxcx（cR） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）设函数 f（x）有两个相异零点 x1，x2，求证： 【分析】 （1）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可得到结论 （2）利用函数
34、零点的性质，结合函数单调性和导数之间的关系，进行转化即可证明不等 式 【解答】解： （1）f（x）lnxcx，x0， f（x）c， 当 c0 时，f（x）单调增区间为（0，+） 第 21 页（共 23 页） 当 c0 时，f（x）单调增区间为（0，） ，f（x）单调减区间为（，+） ； （2）f（x）有两个相异零点，设 lnx1cx1，lnx2cx2， 即 lnx1lnx2c（x1x2） ， c， 而 x1x2e2，等价于：lnx1+lnx22，即 c（x1+x2）2， 由得：（x1+x2）2， 不妨设 x1x20，则 t1， 上式转化为：lnt，t1 设 H（t）lnt，t1， 则 H（t）
35、0， 故函数 H（t）是（1，+）上的增函数， H（t）H（1）0， 即不等式 lnt成立， 故所证不等式 x1x2e2成立 【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系和应用，以及利用函数的导数研究 函数的最值和零点问题，综合性较强，运算量较大 选做题请考生在选做题请考生在 22，23 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用作答时用 2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方
36、程为（0，2） ， 为参数） ，在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换得到曲线 C1，以坐标原 点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ 为极径， 为极角） （）求曲线 C 的直角坐标方程和曲线 C1的极坐标方程； 第 22 页（共 23 页） （）若射线 OA：（0）与曲线 C1交于点 A，射线与 曲线 C1交于点 B，求的值 【分析】 （）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转化求出结果 （）利用三角函数关系式的变换求出结果 【解答】解： （）曲线 C 的参数方程为（0，2） ， 为参数） ，转换 为直角坐标方程为 x2+y24 经过伸缩变换得到曲线 C1，得到 x2+4
37、y216，转换为极坐标方程为 2cos2+42sin216 （）线 OA：（0）与曲线 C1交于点 A，射线与曲线 C1交于点 B，则，即， 同 理， 所 以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角 函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换 能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知正数 a，b 满足 （1）证明：； （2）若存在实数 x，使得，求 a，b 【分析】 （1）利用基本不等式进行转化即可证明； （2）两步利用绝对值不等式与基本不等式的性质进行转化即可求出 a，b 值 【解答】解： （1）4a+b（4a+b）， 第 23 页（共 23 页） ， 又 1ab1， （2）|x+2|x|（x+2）（x）|， 且仅当，即 x时，等号成立； 又 a+b（a+b） （）， 且仅当即 a2b 时，等号成立， 【点评】本题考查了不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
