1、已知 x0是函数 f（x）sin（2x+）的一个极大值点，则 f（x）的一个单调 递减区间是（ ） 第 2 页（共 22 页） A （，） B （，） C （，） D （，） 8 （5 分） （B 组题）关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多有创意的求法，最著名的属普 丰实验和查理实验受其启发，小彤同学设计了一个算法框图来估计 的值（如图） 若 电脑输出的 j 的值为 43，那么可以估计 的值约为（ ） A B C D 9（5 分） 若双曲线1 （a0， b0） 的一条渐近线被与圆 x2+y2cx0 （c 相交，截得的弦长为，则此双曲线的离心率为（ ） A2 B C D 10 （5 分）函数 f
2、（x）xln|x|的图象可能是（ ） A B C D 第 3 页（共 22 页） 11 （5 分）已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若3，则|（ （ ） A3 B2 C D 12 （5 分）已知点 O 为ABC 的外心，则 cosBAC 等于（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡分把答案填在答题卡的相应位置的相应位置 13 （5 分）曲线 ysinx 在点（）处的切线方程为 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则的
3、最大值为 15 （5 分）已知圆锥的底面直径为，母线长为 1，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截 面面积的最大值为 16 （5 分）已知数列an中，a11，an+an+1（n1，2，3） ，则这个数列的前 2n+1 项的和为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （12 分） 在ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c， 且 （）求角 A 的大小； （）若 a2，求ABC 面积的最大值 18 （12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量 指标值大于或等于 102 的产品
4、为优质品现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方） 做试验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结 果： A 配方的频数分布表 指标值分组 90，94） 94，98） 98，102） 102，106） 106，110 频数 8 20 42 22 8 B 配方的频数分布表 指标值分组 90，94） 94，98） 98，102） 102，106） 106，110 第 4 页（共 22 页） 频数 4 12 42 32 10 （1）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率； （2）已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y（单位：元）与其质量指标值
5、t 的关系式为 y 估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率，并求用 B 配方生产的上述 100 件产 品平均一件的利润 19 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC2，PAPBPCAC4，O 为 AC 的中点 （1）证明：PO平面 ABC； （2）若点 M 在棱 BC 上，且 MC2MB，求点 C 到平面 POM 的距离 20 （12 分）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2，离心率为 （）求椭圆的标准方程； （）过点 M（1，0）的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，交 y 轴于点 N，若1， 2，求证：1+2为定值 21 （12 分）已知函
6、数 f（x）ex2x （）求函数 f（x）的极值； （）当 x0 时，方程 f（x）kx22x 无解，求 k 的取值范围 请考生在第请考生在第 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写 清题号清题号）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 C 的 第 5 页（共 22 页） 极坐标方程为，直线 l1的参数方程为（t 为参数） （）求曲线 C 的直角坐标方程和 l1的普通方程； （）若直线 l2经过
7、点 M（1，0）且与直线 l1的倾斜角互补，直线 l1，l2分别与曲线 C 交于 A、B，C、D，求证：|MA|MB|MC|MD| 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|xa| （1）当 a2 时，解不等式 f（x）4|x1|； （2）若 f（x）1 的解集为0，2，+a（m0，n0）求证：m+2n4 第 6 页（共 22 页） 2018-2019 学年内蒙古赤峰市宁城县高三（上）学年内蒙古赤峰市宁城县高三（上）10 月月考数学试月月考数学试 卷（文科）卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，
8、每小题 5 分，满分分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 ）只有一项是符合题目要求的 ） 1 （5 分）已知集合 Ax|x22x0，B1，0，1，2，则 AB（ ） A0，2 B0，1，2 C （1，2） D1，0，1 【分析】解关于 A 的不等式，求出 A、B 的交集即可 【解答】解：Ax|x22x0x|0x2，B1，0，1，2， 则 AB0，1，2， 故选：B 【点评】本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题 2 （5 分）下列函数中，与函数 y定义域相同的函数为（ ） Ay By Cyxex Dy 【分析】由函数 y
9、的意义可求得其定义域为xR|x0，于是对 A，B，C，D 逐一 判断即可得答案 【解答】解：函数 y的定义域为xR|x0， 对于 A，其定义域为x|xk（kZ） ，故 A 不满足； 对于 B，其定义域为x|x0，故 B 不满足； 对于 C，其定义域为x|xR，故 C 不满足； 对于 D，其定义域为x|x0，故 D 满足； 综上所述，与函数 y定义域相同的函数为：y 故选：D 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，正确理解函数的性质是解决问题之关键，属 第 7 页（共 22 页） 于基础题 3 （5 分）已知 sin，则 cos2（ ） A B C D 【分析】由题意利用二倍角的余弦公式，求得要
10、求式子的值 【解答】解：sin，cos212sin212， 故选：C 【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题 4 （5 分）设 a0.70.4，b0.40.7，c0.40.4，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Abac Bacb Cbca Dcba 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出 【解答】解：a0.70.40.40.4c，b0.40.7c0.40.4， acb 故选：C 【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 5 （5 分）设 ， 为向量，则| | | |是“ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分
11、必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】利用向量的数量积公式得到 ，根据此公式再看 与之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论 【解答】解： ， 若 a，b 为零向量，显然成立； 若cos1 则 与 的夹角为零角或平角，即，故充分性成 立 而，则 与 的夹角为为零角或平角，有 因此是的充分必要条件 第 8 页（共 22 页） 故选：C 【点评】本题考查平行向量与共线向量，以及充要条件，属基础题 6 （5 分）已知某四棱锥的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C2 D 【分析】由三视图可知，几何体是以俯视图为底面，高为 2 的四棱锥，即可求出体积 【解答】解：由三视图可
12、知，几何体是以俯视图为底面，高为 2 的四棱锥， 体积为， 故选：B 【点评】本题考查几何体体积的计算，考查三视图与直观图的转化，确定直观图的形状 是关键 7 （5 分）已知 x0是函数 f（x）sin（2x+）的一个极大值点，则 f（x）的一个单调 递减区间是（ ） A （，） B （，） C （，） D （，） 【分析】由极值点可得 ，解 2k+2x2k+可得函数 f（x）的 单调递减区间，结合选项可得 【解答】解：x0是函数 f（x）sin（2x+）的一个极大值点， sin（2+）1，2+2k+，解得 2k，kZ， 不妨取 ，此时 f（x）sin（2x） 令 2k+2x2k+可得 k+x
13、k+， 第 9 页（共 22 页） 函数 f（x）的单调递减区间为（k+，k+）kZ， 结合选项可知当 k0 时，函数的一个单调递减区间为（，） ， 故选：B 【点评】本题考查正弦函数的图象和单调性，数形结合是解决问题的关键，属基础题 8 （5 分） （B 组题）关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多有创意的求法，最著名的属普 丰实验和查理实验受其启发，小彤同学设计了一个算法框图来估计 的值（如图） 若 电脑输出的 j 的值为 43，那么可以估计 的值约为（ ） A B C D 【分析】 由试验结果知 150 对 01 之间的均匀随机数 a， b， 满足， 满足 a2+b2 1，且|a+b|1
14、的点的面积为：，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆 内的概率是比正方形的面积，二者相等即可估计 的值 【解答】解：由题意，150 对 01 之间的均匀随机数 a，b，满足， 满足 a2+b21，且|a+b|1 的点的面积为：， 因为共产生了 150 对0，1内的随机数（a，b） ，其中能使 a2+b21，且|a+b|1 的有 j 第 10 页（共 22 页） 43 对， 所以， 所以 故选：D 【点评】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是综 合题 9（5 分） 若双曲线1 （a0， b0） 的一条渐近线被与圆 x2+y2cx0 （c 相交，截得的弦长为，则此
15、双曲线的离心率为（ ） A2 B C D 【分析】可得弦 OA2， （d 为圆心距） ，又 d在直角三 角形 OAM 中，可得AOM302，即，即可得 【解答】解：如图，设圆 x2+y2cx0 的圆心为 M，半径为 r，则 M（，0） ，r 可得 OA2， （d 为圆心距） ， 又 d在直角三角形 OAM 中，可得AOM302，即， 故选：C 第 11 页（共 22 页） 【点评】本题考查了双曲线的离心率，属于中档题 10 （5 分）函数 f（x）xln|x|的图象可能是（ ） A B C D 【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置排除选项即可 【解答】解：函数 f（x）xln|x
16、|是奇函数，排除选项 A，C； 当 x时，y，对应点在 x 轴下方，排除 B； 故选：D 【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图 象的常用方法 11 （5 分）已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若3，则|（ （ ） A3 B2 C D 【分析】设 l 与 x 轴的交点为 M，过 Q 向准线 l 作垂线，垂足为 N，又3，|MF| p4，根据抛物线的定义即可得出 【解答】解：设 l 与 x 轴的交点为 M，过 Q 向准线 l 作垂线，垂足为 N， 3， ，又|MF|p4， |NQ|，
17、 |NQ|QF|， |QF| 故选：D 第 12 页（共 22 页） 【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 12 （5 分）已知点 O 为ABC 的外心，则 cosBAC 等于（ ） A B C D 【分析】分别在两边乘以和，联立方程组解出 【解答】解：+2， ， ， cosBAC（正值已舍） 故选：A 【点评】本题考查了平面向量数量积的计算，构造方程组是关键属中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置 13 （5
18、分）曲线 ysinx 在点（）处的切线方程为 【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在 x处的导函数 值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决 【解答】解：依题意得 ycosx， 因此曲线 ysinx 在点（）处的切线的斜率等于， 相应的切线方程是 y（x） ，即， 第 13 页（共 22 页） 故答案为： 【点评】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线 方程等基础知识，考查运算求解能力 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则的最大值为 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，利用数形结合即可得到结 论 【
19、解答】解：x，y 满足约束条件对应的平面区域如图： z 的几何意义是区域内的点与原点的斜率， 则由图象可知，OA 的斜率最大，由， 解得 A（，） ， 此时 OA 的斜率 k， 故答案为： 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利 用 z 的几何意义是解决本题的关键 15 （5 分）已知圆锥的底面直径为，母线长为 1，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截 面面积的最大值为 【分析】由题意画出图形，设圆锥底面圆的圆心到截面底边距离为 x，然后把截面面积用 第 14 页（共 22 页） 含有 x 的代数式表示，再由二次函数求最值 【解答】解：如图，OA，PA1，则
20、PO， 设 ODx， （0x） ，则 PD， BC2， 截面三角形 PBC 的面积 S 当，即 x时，S 有最大值为 故答案为： 【点评】本题考查圆锥截面面积最值的求法，考查数学转化思想方法，训练了利用二次 函数求最值，是中档题 16 （5 分）已知数列an中，a11，an+an+1（n1，2，3） ，则这个数列的前 2n+1 项的和为 【分析】由条件可得数列的前 2n+1 项的和为 a1+（a2+a3）+（a4+a5）+（a2n+a2n+1） ， 再由等比数列的求和公式计算可得所求和 【解答】解：数列an中，a11，an+an+1（n1，2，3） ， 可得数列的前 2n+1 项的和为 a1+
21、（a2+a3）+（a4+a5）+（a2n+a2n+1） 1+ 第 15 页（共 22 页） 1+ 故答案为： 【点评】本题考查数列的求和，注意运用并项求和以及等比数列的求和公式，考查运算 能力，属于基础题 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （12 分） 在ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c， 且 （）求角 A 的大小； （）若 a2，求ABC 面积的最大值 【分析】 （）由已知及正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用可得 ，结合 sinB0，可得，结合 A 为三角形内角，可求 A
22、的值 （）由余弦定理，基本不等式可得，根据三角形面积公式即可计算得 解 【解答】解： （）由正弦定理可得：， 从而可得：，即， 又 B 为三角形内角， 所以 sinB0， 于是， 又 A 为三角形内角， 所以 （）由余弦定理：a2b2+c22bccosA，得：， 所以， 所以2+，即ABC 面积的最大值为 2+ 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，余 弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转 化思想，属于中档题 第 16 页（共 22 页） 18 （12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，
23、且质量 指标值大于或等于 102 的产品为优质品现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方） 做试验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结 果： A 配方的频数分布表 指标值分组 90，94） 94，98） 98，102） 102，106） 106，110 频数 8 20 42 22 8 B 配方的频数分布表 指标值分组 90，94） 94，98） 98，102） 102，106） 106，110 频数 4 12 42 32 10 （1）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率； （2）已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y（单位：元）与其
24、质量指标值 t 的关系式为 y 估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率，并求用 B 配方生产的上述 100 件产 品平均一件的利润 【分析】 （1）由试验结果先求出用 A 配方生产的产品中优质品的频率和用 B 配方生产的 产品中优质品的频率，由此能分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率 （2） 由条件知， 用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0， 当且仅当其质量指标值 t94 由 试验结果知，质量指标值 t94 的频率为 0.96由此能求出用 B 配方生产的产品平均一 件的利润 【解答】解： （1）由试验结果知，用 A 配方生产的产品中优质品的频率为0.3， 所以用
25、 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3 由试验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为0.42， 所以用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42 （2）由条件知，用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0，当且仅当其质量指标值 t94 由试验结果知，质量指标值 t94 的频率为 0.96 所以用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率估计值为 0.96 第 17 页（共 22 页） 用 B 配方生产的产品平均一件的利润为 4（2）+542+4242.68（元） 【点评】本题考查产品的优质品率的求法，考查产品平均一件的利润的求法，是中档题， 解题时要认真审题，注意频
26、数分布表的合理运用 19 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC2，PAPBPCAC4，O 为 AC 的中点 （1）证明：PO平面 ABC； （2）若点 M 在棱 BC 上，且 MC2MB，求点 C 到平面 POM 的距离 【分析】 （1）证明：可得 AB2+BC2AC2，即ABC 是直角三角形， 又 POAPOBPOC，可得POAPOBPOC90，即可证明 PO平面 ABC； （ 2 ） 设 点C到 平 面POM的 距 离 为d 由VP OMC VC POM ，解得 d 即可 【解答】 （1）证明：ABBC2，AC4，AB2+BC2AC2，即ABC 是直角三 角形， 又 O 为
27、AC 的中点，OAOBOC， PAPBPC，POAPOBPOC，POAPOBPOC90， POAC，POOB，OBAC0，PO平面 ABC； （2）解：由（1）得 PO平面 ABC，PO， 在COM 中，OM ， 第 18 页（共 22 页） SCOM 设 点C到 平 面POM的 距 离 为d 由VP OMC VC POM ， 解得 d， 点 C 到平面 POM 的距离为 【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，等体积法求距离，属于中档题 20 （12 分）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2，离心率为 （）求椭圆的标准方程； （）过点 M（1，0）的直线 l 交椭圆 C 于
28、 A，B 两点，交 y 轴于点 N，若1， 2，求证：1+2为定值 【分析】 （）设椭圆的标准方程为1，由焦距为 2，离心率为列方程 组，求出 a，b，由此能求出椭圆方程 （）设直线 l：yk（x1） 联立，得（2k2+1）x24k2x+2k240，由 此利用根的判断式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能证明 1+2为定值 【解答】解： （）设椭圆的标准方程为1， 焦距为 2c2，c由 e，得 a2， 即 b2a2c22， 椭圆方程为1 （4 分） 证明： （）依题意，直线 l 的斜率存在，可设为 k， 则直线 l：yk（x1） 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 第 19 页（共
29、22 页） 联立，消 y 得（2k2+1）x24k2x+2k240（6 分） 16k44（2k2+1） （2k24）24k2+160， ，x1x2（7 分） 直线 l 交 y 轴于点 N，N（0，k） （1x1，y1） ，（x1，k+y1） ，且， ，同理 （10 分） 1+2 即 1+2为定值是 （12 分） 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查两数和为定值的证明，考查椭圆、直线方程、 直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档 题 21 （12 分）已知函数 f（x）ex2x （）求函数 f（x）的极值； （）当 x0 时，方程 f（x）kx22x 无解，
30、求 k 的取值范围 【分析】 （）求出函数的导数，解关于导函数的方程求出函数的单调区间，从而求出函 数的极值即可； （）当 x0 时，有，令，根据函数的单调性求出 k 的范围即可 【解答】解： （）f（x）ex2， 令 f（x）0 解得 xln2， 易知 f（x）在（，ln2）上单调递减，在（ln2，+）上单调递增， 故当 xln2 时，f（x）有极小值 f（ln2）22ln2（5 分） 第 20 页（共 22 页） （）方程 f（x）ex2xkx22x，整理得 exkx2， 当 x0 时，（6 分） 令，则，（8 分） 令 h（x）0，解得 x2， 易得 h（x）在（0，2）上单调递减，在（
31、2，+）上单调递增， 所以 x2 时，（x）有最小值， （10 分） 而当 x 越来越靠近 0 时，（x）的值越来越大， 又当 x0，方程 f（x）kx22x 无解， 所以（12 分） 【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题， 是一道中档题 请考生在第请考生在第 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写 清题号）清题号）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 C
32、 的 极坐标方程为，直线 l1的参数方程为（t 为参数） （）求曲线 C 的直角坐标方程和 l1的普通方程； （）若直线 l2经过点 M（1，0）且与直线 l1的倾斜角互补，直线 l1，l2分别与曲线 C 交于 A、B，C、D，求证：|MA|MB|MC|MD| 【分析】（） 直接利用转换关系式把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换 （）利用一元二次方程的应用求出结果 【解答】 （）解：由曲线 C 的极坐标方程为得： 2sin24cos， 即得曲线 C 的直角坐标方程 y24x； 由消去参数， 得 l1的普通方程（x1）sinycos0 第 21 页（共 22 页） 证明： （）把代入
33、y24x， 得 t2sin24tcos40， 由条件得 sin0， 得， 同理得， |MA|MB|MC|MD| 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|xa| （1）当 a2 时，解不等式 f（x）4|x1|； （2）若 f（x）1 的解集为0，2，+a（m0，n0）求证：m+2n4 【分析】对第（1）问，将 a2 代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式 即可； 对第 （2） 问， 先由已知解集x|0x2确定
34、 a 值， 再将 “m+2n” 改写为 “ （m+2n）（+） ” ， 展开后利用基本不等式可完成证明 【解答】解： （1）当 a2 时，不等式 f（x）4|x1|即为|x2|4|x1|， 当 x1 时，原不等式化为 2x4+（x1） ，得 x， 故 x； 当 1x2 时，原不等式化为 2x4（x1） ，得 25， 故 1x2 不是原不等式的解； 当 x2 时，原不等式化为 x24（x1） ，得 x， 故 x 综合、知，原不等式的解集为（，），+） （2）证明：由 f（x）1 得|xa|1，从而1+ax1+a， f（x）1 的解集为x|0x2， 第 22 页（共 22 页） 得 a1，+a1 又 m0，n0，m+2n（m+2n） （+）2+（+）2+24， 当且仅当即 m2n 时及 m2，n1 时，等号成立，m+2n4， 故 m+2n4，得证 【点评】本题考查基本不等式和绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力
