1、下列说法正确的是（ ） A “f（0）0”是“函数 f（x）是奇函数”的充要条件 B若 p：x0R，则p：xR，x2x10 C “若，则”的否命题是“若，则” D若 pq 为假命题，则 p，q 均为假命题 8 （5 分）已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F（1，0） ，离心率等于，则 C 的方程是 （ ） A B C D 第 2 页（共 19 页） 9 （5 分）已知向量 ， 满足| |3，| |2，且 （） ，则 与 的夹角为（ ） A B C D 10 （5 分）在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，若 bcosC+ccosBasinA， 则ABC 的形状为（ ）
2、A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 11 （5 分）已知双曲线 9y2m2x21（m0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为， 则 m（ ） A1 B2 C3 D4 12 （5 分）已知 yf（x）为偶函数，当 x0 时，f（x）x2+2x，则满足的 实数 a 的个数为（ ） A8 B6 C4 D2 二、填空题：本大二、填空题：本大题共题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）函数 yax在0，1上的最大值与最小值之和为 3，则 a 14（5 分） 已知 A， B， C 为圆 O 上的三点， 若 （+） ， 则与的夹角为 15 （5
3、 分） 过点 A （6， 0） ， B （1， 5） ， 且圆心在直线 l： 2x7y+80 上的圆的方程为 16 （5 分）下面有五个命题： 函数 ysin4xcos4x 的最小正周期是 终边在 y 轴上的角的集合是|，kZ 在同一坐标系中，函数 ysinx 的图象和函数 yx 的图象有三个公共点 把函数 y3sin（2x+）的图象向右平移得到 y3sin2x 的图象 函数 ysin（x）在0，上是减函数 其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤分解答应写出文字说明，证明过程
4、或验算步骤 17 （12 分）设函数 f（x）sinx+sin（） ，xR （）若 ，求 f（x）的最大值及相应的 x 的集合； （）若 x是 f（x）的一个零点，且 010，求 f（x）的单调递增区间 第 3 页（共 19 页） 18（12 分） 在ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c 已知 3cos （BC） 16cosBcosC （1）求 cosA； （2）若 a3，ABC 的面积为 2，求 b，c 19 （12 分）已知圆 C：x2+y28y+120，直线 l：ax+y+2a0， （1）当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切 （2）当直线 l 与圆 C 相
5、交于 A、B 两点，且|AB|2时，求直线 l 的方程 20 （12 分）平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M：（ab0）右焦点的直线 x+y 0 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 （）求 M 的方程 （）C，D 为 M 上的两点，若四边形 ACBD 的对角线 CDAB，求四边形 ACBD 面积 的最大值 21 （12 分）已知函数 f（x）ax+lnx（aR） （）若 a2，求曲线 yf（x）在 x1 处切线的斜率； （）求 f（x）的单调区间； （）设 g（x）x22x+2，若对任意 x1（0，+） ，均存在 x20，1，使得 f（x1） g（x2） ，
6、求 a 的取值范围 请考生从第请考生从第 22、23 二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑把答案填在答铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑把答案填在答题卡上题卡上选修选修 4-4：坐标系与参数方：坐标系与参数方 程程（10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C1的极坐标方程为 cos4 （1）M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|OP|16，求点 P 的轨迹 C2的直角坐标
7、方程； （2）设点 A 的极坐标为（2，） ，点 B 在曲线 C2上，求OAB 面积的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23 （1）设函数 f（x）|x+3|x1|，解不等式 f（x）1； （2）已知 a0，b0，a3+b32，证明：a+b2 第 4 页（共 19 页） 2018-2019 学年内蒙古包头市北重三中高三（上）第二次模拟数学年内蒙古包头市北重三中高三（上）第二次模拟数 学试卷（文科） （学试卷（文科） （11 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共
8、分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分） 设集合 Mx|x0， N， R 是实数集， 则R（MN） （ ） Ax|x3 Bx|1x0 Cx|x1 或 x0 Dx|x3 【分析】可以求出集合 N，然后进行并集和补集的运算即可 【解答】解：Mx|x0，Nx|1x3， MNx|x3， R（MN）x|x3 故选：A 【点评】本题考查了描述法的定义，指数函数的单调性，并集和补集的运算，考查了计 算能力，属于基础题 2 （5 分）已知 tan2，则 sin2+sincos2cos2（ ） A B C D 【分析
9、】利用 sin2+cos21，令原式除以 sin2+cos2，从而把原式转化成关于 tan 的 式子，把 tan2 代入即可 【解答】解：sin2+sincos2cos2 故选：D 【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换应用本题利用了 sin2+cos21 巧妙的 完成弦切互化 第 5 页（共 19 页） 3 （5 分）设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）2x2x，则 f（1）（ ） A3 B1 C1 D3 【分析】要计算 f（1）的值，根据 f（x）是定义在 R 上的奇函数，我们可以先计算 f（ 1）的值，再利用奇函数的性质进行求解，当 x0 时，f（x）2x2x，
10、代入即可得到答 案 【解答】解：当 x0 时，f（x）2x2x， f（1）2（1）2（1）3， 又f（x）是定义在 R 上的奇函数 f（1）f（1）3 故选：A 【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数的奇偶性的性质是解答 本题的关键 4 （5 分）已知两条直线 l1： （a1）x+2y+10，l2：x+ay+30 平行，则 a（ ） A1 B2 C0 或2 D1 或 2 【分析】由两直线平行，且直线的斜率存在，所以，他们的斜率相等，解方程求 a 【解答】解：因为直线 l1： （a1）x+2y+10 的斜率存在， 又l1l2， ， a1 或 a2，两条直线在 y 轴是的截距不相
11、等， 所以 a1 或 a2 满足两条直线平行 故选：D 【点评】本题考查两直线平行的性质，当两直线的斜率存在且两直线平行时，他们的斜 率相等，注意截距不相等 5 （5 分）设 alog3，blog2，clog3，则（ ） Aabc Bacb Cbac Dbca 【分析】利用对数函数 ylogax的单调性进行求解当 a1 时函数为增函数当 0a1 时函数为减函数， 如果底 a 不相同时可利用 1 做为中介值 【解答】解：log3 第 6 页（共 19 页） bc log2 ab abc， 故选：A 【点评】本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用 1 做为 中介值 6 （5
12、 分）已知点 P（2，y）在抛物线 y24x 上，则 P 点到焦点 F 的距离为（ ） A2 B3 C D 【分析】利用焦点弦长的性质即可得出 【解答】解：点 P（2，y）在抛物线 y24x 上， P 点到焦点 F 的距离2+13 故选：B 【点评】本题考查了焦点弦长的性质，属于基础题 7 （5 分）下列说法正确的是（ ） A “f（0）0”是“函数 f（x）是奇函数”的充要条件 B若 p：x0R，则p：xR，x2x10 C “若，则”的否命题是“若，则” D若 pq 为假命题，则 p，q 均为假命题 【分析】利用函数的奇偶性以及充要条件判断 A；命题的否定判断 B；否命题判断 C；复 合命题
13、的真假判断 D， 【解答】解：对于 A： “f（0）0”是“函数 f（x）是奇函数”的充要条件，显然不正确， 因为 0 不一定在定义域内，所以 A 不正确； 对于 B：若 p：x0R，则p：xR，x2x10，不满足命题的否 定形式，所以 B 不正确； 对于 C： “若，则”的否命题是“若，则”满足命 题的否命题的形式，正确 对于 D：若 pq 为假命题，则 p，q 至少一个为假命题，所以 D 不正确； 第 7 页（共 19 页） 故选：C 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查，基础题 8 （5 分）已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F（1，0） ，离心率等于，则 C 的
14、方程是 （ ） A B C D 【分析】由已知可知椭圆的焦点在 x 轴上，由焦点坐标得到 c，再由离心率求出 a，由 b2 a2c2求出 b2，则椭圆的方程可求 【解答】解：由题意设椭圆的方程为 因为椭圆 C 的右焦点为 F（1，0） ，所以 c1，又离心率等于， 即，所以 a2，则 b2a2c23 所以椭圆的方程为 故选：D 【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题 9 （5 分）已知向量 ， 满足| |3，| |2，且 （） ，则 与 的夹角为（ ） A B C D 【分析】设 与 的夹角为 ，根据 （） ，则有 （）0，利用向量的运算 性质，即可求出 cos，结合
15、向量夹角的取值范围，即可求得答案 【解答】解：设 与 的夹角为 ， （） ，则 （）0， | |2+ 0，即| |2+| | |cos0， 又| |3，| |2， 第 8 页（共 19 页） 32+32cos0，则 cos， 又0， ， 故 与 的夹角为 故选：D 【点评】本题考查了数量积求两个向量的夹角，数量积判断两个向量的垂直关系根据 数量积的定义可以求解两个向量的夹角，注意两个向量的夹角要共起点所形成的角，熟 悉向量夹角的取值范围为0，其中夹角为 0 时，两向量同向，夹角为 时，两向量 反向两个向量互相垂直，则其数量积为 0属于中档题 10 （5 分）在ABC 中，a，b，c 分别为角
16、A，B，C 所对的边，若 bcosC+ccosBasinA， 则ABC 的形状为（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 【分析】 根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦， 利用两角和公式化简求得 sinA 的值进而求得 A，即可得出结论 【解答】解：在ABC 中，bcosC+ccosBasinA， sinBcosC+sinCcosBsin（B+C）sinAsin2A， sinA0， sinA1， 由于 A 为三角形内角，可得 A90， ABC 是直角三角形 故选：B 【点评】本题主要考查了正弦定理的应用解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转 化为角的正弦，属于基本知
17、识的考查 11 （5 分）已知双曲线 9y2m2x21（m0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为， 则 m（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】由双曲线 9y2m2x21（m0）可得，顶点，一条渐近 第 9 页（共 19 页） 线为 mx3y0， 再由点到直线的距离公式根据一个顶点到它的一条渐近线的距离为可 以求出 m 【解答】解：， 取顶点，一条渐近线为 mx3y0， 故选：D 【点评】本小题主要考查双曲线的知识，解题时要注意恰当选取取公式 12 （5 分）已知 yf（x）为偶函数，当 x0 时，f（x）x2+2x，则满足的 实数 a 的个数为（ ） A8 B6 C4 D2 【分析】令 f
18、（a）x，则 ff（a）转化为 f（x）先解 f（x）在 x0 时的 解，再利用偶函数的性质，求出 f（x）在 x0 时的解，最后解方程 f（a）x 即可 【解答】解：令 f（a）x，则 ff（a）变形为 f（x）， 当 x0 时，f（x）（x1）2+1，解得 x11+，x21； f（x）为偶函数， 当 x0 时，f（x）的解为 x31，x41+； 综上所述，f（a）1+，1；1；1+； 当 a0 时， f（a）（a1）2+11+，方程无解； f（a）（a1）2+11，方程有 2 解； f（a）（a1）2+11，方程有 1 解； f（a）（a1）2+11+，方程有 1 解； 故当 a0 时，方
19、程 f（a）x 有 4 解，由偶函数的性质，易得当 a0 时，方程 f（a） x 也有 4 解， 第 10 页（共 19 页） 综上所述，满足 ff（a）的实数 a 的个数为 8， 故选：A 【点评】本题综合考查了函数的奇偶性和方程的解的个数问题，同时运用了函数与方程 思想、转化思想和分类讨论等数学思想方法，对学生综合运用知识解决问题的能力要求 较高，是高考的热点问题，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）函数 yax在0，1上的最大值与最小值之和为 3，则 a 2 【分析】由已知得 a0+a13，由
20、此求得 a 的值 【解答】解：由已知得 a0+a13，1+a3，a2 故答案为 2 【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用，属于中档题 14（5 分） 已知 A， B， C 为圆 O 上的三点， 若 （+） ， 则与的夹角为 90 【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论 【解答】解：在圆中若（+） ， 即 2+， 即+的和向量是过 A，O 的直径， 则以 AB，AC 为邻边的四边形是矩形， 则， 即与的夹角为 90， 故答案为：90 【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键， 比较基础 15 （5 分）过点 A（6，0） ，B（1，5）
21、 ，且圆心在直线 l：2x7y+80 上的圆的方程为 （x 3）2+（y2）213 【分析】设圆心 C（a，） ，半径为 r，可得圆的方程，把点 A 和 B 的坐标代入方程， 求出 a 及 r 的值，即得所求的圆的方程 第 11 页（共 19 页） 【解答】解：设圆心 C（a，） ，半径为 r， 则圆的方程为（xa）2+（y）2r2， 把点 A（6，0）和 B（1，5）的坐标代入方程可（6a）2+（0）2r2， （1a）2+（5）2r2，解可得 a3，r， 故所求的圆的方程为（x3）2+（y2）213 故答案为： （x3）2+（y2）213 【点评】本题考查圆的标准方程的形式，考查学生的计算能
22、力，属于中档题 16 （5 分）下面有五个命题： 函数 ysin4xcos4x 的最小正周期是 终边在 y 轴上的角的集合是|，kZ 在同一坐标系中，函数 ysinx 的图象和函数 yx 的图象有三个公共点 把函数 y3sin（2x+）的图象向右平移得到 y3sin2x 的图象 函数 ysin（x）在0，上是减函数 其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号） 【分析】化简函数 ysin4xcos4x 为cos2x，说明它的最小正周期是 ，判断正误； 通过 k 的取值，k 是偶数时， 的终边落在 x 轴上； 利用单位圆及三角函数线，当 x（0，）时，sinxxtanx，判断在同一坐标系中，
23、函数 ysinx 的图象和函数 yx 的图象有 3 个公共点；是错误的 把函数 y3sin（2x+）的图象向右平移得到 y3sin2x 的图象；判断正确 函数 ysin（x）cosx 在0，上是增函数 【解答】解：ysin4xcos4xsin2xcos2xcos2x，它的最小正周期为 ，正确； k 是偶数时， 的终边落在 x 轴上，所以错误； 可以借助单位圆证明当 x（0，）时，sinxxtanx，故 ysinx，ytanx 和 yx 在第一象限无交点，错误； 把函数 y3sin（2x+）的图象向右平移到 y3sin2x 的图象，这是正确的； 第 12 页（共 19 页） 函数 ysin（x）
24、cosx 在0，上是增函数，故不正确 所以真命题的编号是 故答案为： 【点评】本题是基础题，考查三角函数的有关的基本知识，掌握三角函数的基本性质， 是解好三角函数问题的基础，因而学好基本知识，在解题中才能灵活应用，本题是常考 题，易错题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤 17 （12 分）设函数 f（x）sinx+sin（） ，xR （）若 ，求 f（x）的最大值及相应的 x 的集合； （）若 x是 f（x）的一个零点，且 010，求 f（x）的单调递增区间 【分析】 （I）化
25、简为 ysin（） ，再求值； （II）把 x代入，求出 2，再求出单调性 【解答】解： （）f（x）sinx+sin（）sinxcosx， 当 时，f（x）sincossin（） ，又1sin（）1， 所以 f（x）的最大值为，此时，+2k，kZ， 即 x+4k，kZ，相应的 x 的集合为x|x+4k，kZ （II）因为 f（x）sin（） ， 又 x是 f（x）的一个零点 故 f（）sin（）0，即k，kZ，整理，得 8k+2， kZ， 又 010，所以 08k+210，k1，而 kZ， 所以 k0，2，f（x）sin（2x） ， 由+2k2x+2k，kZ，得+kx+k，kZ， 所以 f（
26、x）的单调递增区间为，kZ 第 13 页（共 19 页） 【点评】考查函数的图象和性质，求三角函数的解析式，求三角函数最值，中档题 18（12 分） 在ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c 已知 3cos （BC） 16cosBcosC （1）求 cosA； （2）若 a3，ABC 的面积为 2，求 b，c 【分析】 （1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出 cosA 的值 （2）直接利用同角三角函数的关系式及余弦定理求出三角形的面积 【解答】解： （1）已知 3cos（BC）16cos Bcos C 则：3cosBcosC+3sinBsinC1+6cosBcosC
27、， 整理得：cos（B+C）， 解得：cosA， （2）由于 cosA， 则：sinA， 所以：， 解得：bc6， 所以：， 解得： 故 b3 或 2，c2 或 3 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应 用及相关的运算问题 19 （12 分）已知圆 C：x2+y28y+120，直线 l：ax+y+2a0， （1）当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切 （2）当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，且|AB|2时，求直线 l 的方程 【分析】 （1）圆 C 的圆心 C（0，4）半径 r2，由直线 l：ax+y+2a0 与圆相切，利用 点到直线距离公
28、式列出方程，能求出 a 的值 （2）直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，且|AB|2时，d，再 第 14 页（共 19 页） 由圆心到直线的距离 d，列出方程，求出 a，由此能求出直线方程 【解答】 （12 分）解： （1）设圆心到直线的距离为 d， 圆 C：x2+y28y+120 的圆心 C（0，4）半径 r2，1 分 直线 l：ax+y+2a0 与圆相切， d2，解得 a5 分 （2）圆心到直线的距离 d， 直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，且|AB|2时，d， 7 分 d，解得 a7 或 a1 所求直线为 7xy+140 或 xy+2012 分 【点评】本题主要考查直线和圆
29、相切时实数值的求法，考查直线方程的求法，考查直线 与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求 解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题 20 （12 分）平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M：（ab0）右焦点的直线 x+y 0 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 （）求 M 的方程 （）C，D 为 M 上的两点，若四边形 ACBD 的对角线 CDAB，求四边形 ACBD 面积 的最大值 【分析】 （）把右焦点（c，0）代入直线可解得 c设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，线段 AB 的中点 P（x0，y0）
30、 ，利用“点差法”即可得到 a，b 的关系式，再与 a2b2+c2联立即 可得到 a，b，c （）由 CDAB，可设直线 CD 的方程为 yx+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关 系，即可得到弦长|CD|把直线 x+y0 与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即 第 15 页（共 19 页） 可得到弦长|AB|，利用 S四边形ACBD即可得到关于 t 的表达式，利用二次函 数的单调性即可得到其最大值 【解答】 解： （）把右焦点（c，0） 代入直线 x+y0 得 c+00，解得 c 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，线段 AB 的中点 P（x0，y0） ， 则，相减得， ， ，又，
31、，即 a22b2 联立得，解得， M 的方程为 （）CDAB，可设直线 CD 的方程为 yx+t， 联立，消去 y 得到 3x2+4tx+2t260， 直线 CD 与椭圆有两个不同的交点， 16t212（2t26）728t20，解3t3， 由 C，D 在椭圆上，可得t 设 C（x3，y3） ，D（x4，y4） ， |CD| 第 16 页（共 19 页） 联立得到 3x24x0，解得 x0 或， 交点为 A（0，） ，B， |AB| S四边形ACBD， 当且仅当 t0 时，四边形 ACBD 面积的最大值为，满足（*） 四边形 ACBD 面积的最大值为 【点评】本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及
32、其性质、 “点差法” 、中点坐标公式、 直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、四 边形的面积计算、二次函数的单调性等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方 法、计算能力、分析问题和解决问题的能力 21 （12 分）已知函数 f（x）ax+lnx（aR） （）若 a2，求曲线 yf（x）在 x1 处切线的斜率； （）求 f（x）的单调区间； （）设 g（x）x22x+2，若对任意 x1（0，+） ，均存在 x20，1，使得 f（x1） g（x2） ，求 a 的取值范围 【分析】 （）把 a 的值代入 f（x）中，求出 f（x）的导函数，把 x1 代入导函数
33、中求 出的导函数值即为切线的斜率； （）求出 f（x）的导函数，分 a 大于等于 0 和 a 小于 0 两种情况讨论导函数的正负， 进而得到函数的单调区间； 第 17 页（共 19 页） （）对任意 x1（0，+） ，均存在 x20，1，使得 f（x1）g（x2） ，等价于 f（x） maxg（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数 a 的取值范围 【解答】解： （）由已知，则 f（1）2+13 故曲线 yf（x）在 x1 处切线的斜率为 3； （） 当 a0 时，由于 x0，故 ax+10，f（x）0 所以，f（x）的单调递增区间为（0，+） 当 a0 时，由 f（x）0，得 在区间
34、上，f（x）0，在区间上 f（x）0， 所以，函数 f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为； （）由已知，转化为 f（x）maxg（x）max， 因为 g（x）x22x+2（x1）2+1，x0，1， 所以 g（x）max2（9 分） 由（）知，当 a0 时，f（x）在（0，+）上单调递增，值域为 R，故不符合题意 当 a0 时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减， 故 f（x）的极大值即为最大值，f（）1+ln（）1ln（a） ， 所以 21ln（a） ，解得 a 【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函 数的单调性，掌握不等式恒成立时所满
35、足的条件，是一道中档题 请考生从第请考生从第 22、23 二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑把答案填在答题卡上铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑把答案填在答题卡上选修选修 4-4：坐标系与参数方：坐标系与参数方 程程（10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C1的极坐标方程为 cos4 （1）M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|OP|16，求点 P 的轨迹 C2的直角
36、坐标方程； 第 18 页（共 19 页） （2）设点 A 的极坐标为（2，） ，点 B 在曲线 C2上，求OAB 面积的最大值 【分析】 （1）设 P（x，y） ，利用相似得出 M 点坐标，根据|OM|OP|16 列方程化简即 可； （2）求出曲线 C2的圆心和半径，得出 B 到 OA 的最大距离，即可得出最大面积 【解答】解： （1）曲线 C1的直角坐标方程为：x4， 设 P（x，y） ，M（4，y0） ，则，y0， |OM|OP|16， 16， 即（x2+y2） （1+）16， x4+2x2y2+y416x2，即（x2+y2）216x2， 两边开方得：x2+y24x， 整理得： （x2）2
37、+y24（x0） ， 点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程： （x2）2+y24（x0） （2）点 A 的直角坐标为 A（1，） ，显然点 A 在曲线 C2上，|OA|2， 曲线 C2的圆心（2，0）到弦 OA 的距离 d， AOB 的最大面积 S|OA| （2+）2+ 【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的 位置关系，属于中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23 （1）设函数 f（x）|x+3|x1|，解不等式 f（x）1； （2）已知 a0，b0，a3+b32，证明：a+b2 【分析】 （1）取得绝对值符号，利用绝对值不等式的解法转化求解即可 （2） （a+b）3a3+3a2b+3ab2+b3利用基本不等式转化证明即可 【解答】解： （1）函数 f（x）|x+3|x1|， 第 19 页（共 19 页） |x+3|x1|1，可得 x（3，1）时，2x+21，解得3x，x3 时，恒成 立， 综上： （2）证明：因为（a+b）3a3+3a2b+3ab2+b3 2+3ab（a+b） 所以 （a+b）38，因此 a+b2 【点评】本题考查不等式的证明以及绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力， 是中档题
