1、已知集合 A3，1，2，B1，a，若 ABB，则实数 a 的取值集合是（ ） A3 B2 C3，2 D3，1，2 2 （5 分）已知复数 z，其中 bR，i 为虚数单位，且|z|5，则 b（ ） A25 B1 C3 D5 3 （5 分）如果函数 yf（x）的图象如图，那么导函数 yf（x）的图象可能是（ ） A B C D 4 （5 分）如果 为锐角，那么 sin2 的值等于（ ） A B C D 5 （5 分）已知 f（x）ax 2，g（x）log a|x|（a0 且 a1） ，若 f（5） g（5）0，则 yf（x） ，yg（x）在同一坐标 系内的大致图象是（ ） 第 2 页（共 21 页
2、） A B C D 6 （5 分） 在等差数列an中，a1+a21，a2018+a20193，Sn是数列an的前 n 项和， 则 S2019 （ ） A4036 B4038 C2019 D2009 7 （5 分）设，为单位向量，且，的夹角为，若 +3， 2，则 向量 在 方向上的投影为（ ） A B C D2 8 （5 分）对函数 f（x）ax2+bx+c（a0，b、cR）作 xh（t）的代换，使得代换前后 f（x）的值域总不改变的代换是（ ） Ah（t）2t Bh（t）t21 Ch（t）lgt Dh（t）tant，0t 9 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已
3、知 a2，cosA，sinB 2sinC，则ABC 是（ ） A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D形状不确定 10 （5 分）下列命题中错误的是（ ） A若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则命题“p（q） ”为真命题 B命题“若 x+y5，则 x2 或 y3”为真命题 C对于命题 p：xR，x2+x+10，则p：x0R，x02+x0+10 D “x23x+20”是“x1”的充分不必要条件个 第 3 页（共 21 页） 11 （5 分）函数 f（x）2sin（x+） （0，|） ，若xR，使 f（x+2）f（x） 4 成立，则 的最小值是（ ） A B C D 12（5 分） 已
4、知方程 lnx+12ax 有且只有两个解 x1， x2（x1x2） ， 则以下判断正确的是 （ ） Ax1x21 B1x1x2 Cx11x2 Dx11x2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 20 分把正确答案填在答题卡的相应位置分把正确答案填在答题卡的相应位置 13 （5 分） 已知函数 f （x） x， 则曲线 yf （x） 点 （2， f （2） ） 处的切线方程为 14 （5 分）已知数列an满足 a11，an+12n+an，则数列an的通项公式 an 15 （5 分）已知| | |，0，若向量 满足|1，则| |的取值范围 为 16
5、（5 分）已知函数 f（x）与 f（x1）都是定义在 R 上的奇函数，当 0x1 时，f（x） log2x，则 f（）+f（4）的值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。 ）分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。 ） 17 （12 分）已知数列an是等差数列，且 a81，S1624 （）求数列an的通项公式 an； （）若数列bn是递增的等比数列，且 b1+b49，b2b38，求（a1+b1）+（a3+b3）+ （a5+b5）+（a2n1+b2n1） 18 （12 分）在四边形 ABCD 中，ADBC，AB，A1
6、20，BD3 （1）求 AD 的长； （2）若BCD105，求四边形 ABCD 的面积 19 （12 分）某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件， 为了估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量， 第 4 页（共 21 页） y 与月份 x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数 yabx+c（a、b、c 为常数）已 知四月份该产品的产量为 1.37 万件，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？说明理由 20 （12 分）已知函数 f（x）2cosxsin（x） （）求曲线 yf（x）相邻两个对称中心之间的距离； （）
7、若函数 f（x）在0，m上单调递增，求 m 的最大值 21 （12 分）已知函数 f（x）a（x1）2+（x2）ex （）当 a1 时，求函数 f（x）在 x2，2上的最大值； （）讨论函数 f（x）的零点的个数 请考生在请考生在 22，23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分。两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分。选修选修 4-4：坐标：坐标 系与参数方程系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知 曲线 C1的极坐标方程为 sin4，曲线 C2的极坐标方程为 22cos4sin+10， 曲线 C3的极
8、坐标方程为 （R） （）求 C1与 C2的直角坐标方程； （）若 C2与 C1的交于 P 点，C2与 C3交于 A、B 两点，求PAB 的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x4|+|x+5| （）试求使等式 f（x）|2x+1|成立的 x 的取值范围； （）若关于 x 的不等式 f（x）a 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 21 页） 2018-2019 学年内蒙古呼和浩特市高三（上）期中数学试卷（文学年内蒙古呼和浩特市高三（上）期中数学试卷（文 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （
9、本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 在分在分.每小题给出的四个选项中，只有每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上）一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上） 1 （5 分）已知集合 A3，1，2，B1，a，若 ABB，则实数 a 的取值集合是（ ） A3 B2 C3，2 D3，1，2 【分析】由 ABB 得 BA，得 a2 或 3 【解答】解：ABB，BA，a2 或 3 实数 a 的取值集合是2，3 故选：C 【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，属 基础题 2 （5 分）已知
10、复数 z，其中 bR，i 为虚数单位，且|z|5，则 b（ ） A25 B1 C3 D5 【分析】由商的模等于模的商求解 b 的值 【解答】解：由 z，得|z|， 即，得 b25 故选：A 【点评】本题考查复数模的求法，是基础题 3 （5 分）如果函数 yf（x）的图象如图，那么导函数 yf（x）的图象可能是（ ） 第 6 页（共 21 页） A B C D 【分析】由 yf（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负 【解答】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正负正负， 故选：A 【点评】导数的正负决定函数的单调性 4 （5 分）如果 为锐角，那么 sin2 的值等于（ ）
11、 A B C D 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 cos 的值，进而利用二倍角的正弦函 数公式可求 sin2 的值 【解答】解： 为锐角， cos， sin22sincos2 故选：A 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数 化简求值中的应用，属于基础题 5 （5 分）已知 f（x）ax 2，g（x）log a|x|（a0 且 a1） ，若 f（5） g（5）0，则 yf（x） ，yg（x）在同一坐标 系内的大致图象是（ ） 第 7 页（共 21 页） A B C D 【分析】通过计算 f（5） g（5）0，可得 0a1，则 yax，ylog
12、ax 均为减函数， 结合 yf（x）的图象是将 yax的图象向右平移 2 个单位， yg（x）的图象关于 y 轴对称，且在 x（0，+）上，函数单调递减可得解 【解答】解：因为 f（5） g（5）0，得：a3loga50， 又 a0， 所以 a30， 所以 loga50， 即 0a1， yf（x）的图象是将 yax的图象向右平移 2 个单位，且过点（2，1） ，单调递减， yg（x）的图象关于 y 轴对称，在 x（0，+）上，函数单调递减，且过点（1，0） 故选：B 【点评】本题考查了函数图象的平移及偶函数图象的对称性，属简单题 6 （5 分） 在等差数列an中，a1+a21，a2018+a2
13、0193，Sn是数列an的前 n 项和， 则 S2019 （ ） A4036 B4038 C2019 D2009 【分析】直接利用等比数列的通项公式的应用求出结果 【解答】解：等差数列an中，a1+a21，a2018+a20193， 所以：a1+a2019a2+a20182， 所以： 故选：C 第 8 页（共 21 页） 【点评】题考查的知识要点：等比数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和 转化能力，属于基础题型 7 （5 分）设，为单位向量，且，的夹角为，若 +3， 2，则 向量 在 方向上的投影为（ ） A B C D2 【分析】 由题意可求， 然后求出， 进而求解向量 在 方向上
14、的投影为 【解答】解：由题意可得，|cos， +3， 2， （） （2）+65，| |2， 则向量 在 方向上的投影为 故选：B 【点评】本题主要考查了向量数量积的性质及向量投影定义的简单应用，属于基础试题 8 （5 分）对函数 f（x）ax2+bx+c（a0，b、cR）作 xh（t）的代换，使得代换前后 f（x）的值域总不改变的代换是（ ） Ah（t）2t Bh（t）t21 Ch（t）lgt Dh（t）tant，0t 【分析】因为 f（x）的定义域为 R，要使代换前后 f（x）的值域总不改变，必须 xh（t） 的值域为 R依次求函数的值域知：A，B，D 不符合故选 C 【解答】解：因为 f（
15、x）的定义域为 R，要使代换前后 f（x）的值域总不改变， 必须 xh（t）的值域为 R，由此排除 A，B， D 中函数的值域中没有 0，值域也不是 R，故排除 D 故选：C 【点评】本题考查了二次函数的性质与图象，属基础题 9 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a2，cosA，sinB 2sinC，则ABC 是（ ） 第 9 页（共 21 页） A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D形状不确定 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinA，由于 sinB2sinC，利用正弦定 理可得：b2c再利用余弦定理可解得 c，b，利用余弦定理可求
16、cosB0，求得 B 为钝 角即可得解 【解答】解：a2，cosA，sinB2sinC， 可得：b2csinA， 由 a2b2+c22bccosA，可得：84c2+c23c2，解得 c2，b4 cosB0，可得 B 为钝角，ABC 是钝角三角形 故选：B 【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形的面积公 式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 10 （5 分）下列命题中错误的是（ ） A若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则命题“p（q） ”为真命题 B命题“若 x+y5，则 x2 或 y3”为真命题 C对于命题 p：xR，x2+x+10，则p：x0R，x0
17、2+x0+10 D “x23x+20”是“x1”的充分不必要条件个 【分析】由复合命题的真值表即可判断 A；由原命题的逆否命题的真假，可判断 B； 由全称命题的否定为特称命题，可判断 C；由二次方程的解法，结合充分必要条件的定 义可判断 D 【解答】解；若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则q 为真命题， 命题“p（q） ”为真命题，故 A 正确； 命题“若 x+y5，则 x2 或 y3”的逆否命题为“若 x2 且 y3，则 x+y5”为真命 题， 可得原命题为真命题，故 B 正确； 命题 p：xR，x2+x+10，则p：x0R，x02+x0+10，故 C 正确； “x1”可推得“x23
18、x+20” ，反之不成立， “x23x+20”是“x1”的必要不充分条件，故 D 错误 故选：D 第 10 页（共 21 页） 【点评】本题考查复合命题的真假、四种命题的关系和命题的否定、充分必要条件的判 断，考查判断能力和推理能力，属于基础题 11 （5 分）函数 f（x）2sin（x+） （0，|） ，若xR，使 f（x+2）f（x） 4 成立，则 的最小值是（ ） A B C D 【分析】化简等式可得 sin（x+2+）sin（x+）2，由正弦函数的性质求得 （k1k2），k1，k2Z，结合范围 0 求得 的最小值 【解答】解：函数 f（x）2sin（x+） （0，|） ， xR，使 f
19、（x+2）f（x）4 成立， 即xR，使 2sin（x+2）+2sin（x+）4 成立， 即 sin（x+2+）sin（x+）2， xR，使 x+2+2k1+，x+2k2+，kZ， 解得：k1k2，k1，k2Z， 又0，| 的最小值是 故选：A 【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题 12（5 分） 已知方程 lnx+12ax 有且只有两个解 x1， x2（x1x2） ， 则以下判断正确的是 （ ） Ax1x21 B1x1x2 Cx11x2 Dx11x2 【分析】已知方程 lnx+12ax 有且只有两个解等价于函数 f（x）lnx2ax+1 的图象与 x 轴有两个交点， 设
20、 f（x）lnx2ax+1，由导数的运算得：a0 且 f（x）在区间（0，）为增函数， 在区间（，+）为减函数， 由图象知 f（x）maxf（）ln2a0，结合 f（1）12a0，得解 x11 x2， 第 11 页（共 21 页） 【解答】解：设 f（x）lnx2ax+1， 则 f（x）2a， 当 a0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）为增函数，显然不满足题意 当 a0 时， 由 0时，f（x）0，由 x时，f（x）0， 得 f（x）在区间（0，）为增函数，在区间（，+）为减函数， 即 f（x）maxf（）ln2a， 由方程 lnx+12ax 有且只有两个解 x1，x2（x1x2） ， 即
21、 f（x）lnx2ax+1 的图象与 x 轴有两个交点， 即，即 x1x2且 02a1， 又 f（1）12a0， 由零点定理可得，x11 结合得：x11x2， 故选：D 【点评】本题考查了方程与函数的相互转化，利用导数研究函数的单调性及最值，属中 档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 20 分把正确答案填在答题卡的相应位分把正确答案填在答题卡的相应位置置 13 （5 分）已知函数 f（x）x，则曲线 yf（x）点（2，f（2） ）处的切线方程为 y x3 【分析】求得 f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程 【解
22、答】解：函数 f（x）x的导数为 f（x）1+， 可得曲线在 x2 处切线的斜率为 k1+， 又 f（2）2， 可得曲线在 x2 处切线方程为 y（x2） ， 第 12 页（共 21 页） 化为 yx3 故答案为：yx3 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，属于基础题 14 （5 分）已知数列an满足 a11，an+12n+an，则数列an的通项公式 an 2n1 【分析】分别求出 a221+a1，a322+a2，an2n 1+a n1，累加即可 【解答】解：a11，an+12n+an， a221+a1， a322+a2， a423+a3 ， an2n 1+a n1，
23、 等式两边分别累加得： ana1+21+22+2n 1 2n1， 故答案为：2n1 【点评】本题考查了求数列的通项公式问题，考查等比数列的性质以及转化思想，是一 道常规题 15（5 分） 已知| | |，0， 若向量 满足|1， 则| |的取值范围为 1， 3 【分析】由题意可设 （） ， （0，） ， （x，y） ，然后由已知，结合向 量数量积的坐标表示可求 的坐标满足的方程，结合圆的性质可求 【解答】解：由| | |，0， 可设 （） ， （0，） ， （x，y） ， （x，y） ， 向量 满足|1， ， 第 13 页（共 21 页） 而| |的几何意义是圆上一点到原点的距离， 的圆心 C
24、（）到原点（0，0）的距离 2， 根据圆的性质可知，21| |2+1，即 1| |3， 故答案为：1，3 【点评】本题主要考查了向量数量积的坐标表示及利用圆的性质求解圆外一点到圆上距 离的最值问题 16 （5 分）已知函数 f（x）与 f（x1）都是定义在 R 上的奇函数，当 0x1 时，f（x） log2x，则 f（）+f（4）的值为 2 【分析】根据题意，由 f（x1）是定义在 R 上的奇函数可得 f（x）f（2x） ，结 合函数为奇函数，分析可得 f（x）f（x2） ，则函数是周期为 2 的周期函数，据此可得 f（）f（）f（） ，结合函数的解析式可得 f（）的值，结合函数的奇 偶性与周
25、期性可得 f（0）的值，相加即可得答案 【解答】解：根据题意，f（x1）是定义在 R 上的奇函数，则 f（x）的图象关于点（ 1，0）对称， 则有 f（x）f（2x） ， 又由 f（x）也 R 上的为奇函数，则 f（x）f（x） ，且 f（0）0； 则有 f（2x）f（x） ，即 f（x）f（x2） ， 则函数是周期为 2 的周期函数， 则 f（）f（）f（） ，又由 f（）log2（）2，则 f（）2， f（4）f（0）0， 故 f（）+f（4）2+02； 故答案为：2 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的对称性， 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题
26、，共 70 分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。 ）分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。 ） 17 （12 分）已知数列an是等差数列，且 a81，S1624 （）求数列an的通项公式 an； （）若数列bn是递增的等比数列，且 b1+b49，b2b38，求（a1+b1）+（a3+b3）+ 第 14 页（共 21 页） （a5+b5）+（a2n1+b2n1） 【分析】 （）由已知可得，即可求出数列an的通项公式 an； （）由已知可得 可得 bn2n 1，再分组求和即可 【解答】解： （）由已知可得 （2 分） a16，d1 （3 分） an6+（n1）n7 （4 分） （）由已知
27、可得 5 分 又bn是递增的等比数列，故解得：b11，b48，q2 bn2n 1.8 分， （a1+b1）+（a3+b3）+（a5+b5）+（a2n1+b2n1） （a1+a3+a5+a2n1）+（b1+b3+b5+b2n1） ， +， n27n+12 分 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题 18 （12 分）在四边形 ABCD 中，ADBC，AB，A120，BD3 （1）求 AD 的长； （2）若BCD105，求四边形 ABCD 的面积 【分析】 （1）由余弦定理得能求出 AD 的长 第 15 页（共 21 页） （2）
28、由正弦定理得，从而 BC3，DC ，过 A 作 AEBD，交 BD 于 E，过 C 作 CFBD，交 BD 于 F，则 AE ， CF ， 四 边 形 ABCD 的 面 积 ： S SABD+SBDC ，由此能求出结果 【解答】解： （1）在四边形 ABCD 中，ADBC，AB，A120，BD3 由余弦定理得：cos120， 解得 AD（舍去 AD2） ， AD 的长为 （2）ADBC，AB，A120，BD3，AD， BCD105， DBC30，BDC45， ， 解得 BC3，DC， 如图，过 A 作 AEBD，交 BD 于 E，过 C 作 CFBD，交 BD 于 F， 则 AE，CF， 四边
29、形 ABCD 的面积： SSABD+SBDC 【点评】本题考查三角形的边长的求法，考查四边形的面积的求法，考查余弦定理、正 弦定理、三角形性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化 第 16 页（共 21 页） 思想、函数与方程思想，是中档题 19 （12 分）某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件， 为了估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量， y 与月份 x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数 yabx+c（a、b、c 为常数）已 知四月份该产品的产量为 1.37 万件，请问用以上哪
30、个函数作模拟函数较好？说明理由 【分析】先设二次函数为 ypx2+qx+r 由已知得出关于 a，b，c 的方程组，从而求得其解 析式，得出 x4 时的函数值；又对函数 yabx+c 由已知得出 a，b，c 的方程，得出其 函数式，最后求得 x4 时的函数值，最后根据四月份的实际产量决定选择哪一个函数式 较好 【解答】解：设二次函数为 ypx2+qx+r 由已知得 解之得 所以 y0.05x2+0.35x+0.7， 当 x4 时，y10.0542+0.354+0.71.3（4 分） 又对函数 yabx+c 由已知得解之得， 当 x4 时，（8 分） 根据四月份的实际产量为 1.37 万元，而|y
31、21.37|0.020.07|y11.37| 所以函数作模拟函数较好（12 分） 【点评】考查学生会根据实际问题选择函数类型，会用不同的自变量取值求函数的解析 式及比较出优劣考查了待定系数法等数学方法 20 （12 分）已知函数 f（x）2cosxsin（x） （）求曲线 yf（x）相邻两个对称中心之间的距离； （）若函数 f（x）在0，m上单调递增，求 m 的最大值 【分析】 （）将 f（x）化成 f（x）sin（2x） ，其相邻两个对称中心之间的距离是 第 17 页（共 21 页） 半个周期，； （）因为 x0，m，所以 2x，2m，在根据，2m ，列式可得 m 的范围为：0m，所以其最大
32、值为 【解答】解： （）f（x）2cosx（sinxcosx）+ sinxcosxcos2x+ sin2x+ sin（2x） ， 所以函数 f（x）的最小正周期 T 所以曲线 yf（x）的相邻两个对称中心之间的距离为，即 因为 g（x）cos2xsin（2x+） 所以 g（x）sin（2x+）sin（2x）f（x） 所以 g（x）只需向右平移即可得到 f（x）的图象 （）由（）可知 f（x）sin（2x） ， 当 x0，m时，2x，2m， 因为 ysinx 在，上单调递增，且 f（x）在0，m上单调递增， 所以 2x，2m， 即， 解得0m， 故 m 的最大值为 【点评】本题考查了三角函数中的
33、恒等变换应用，属中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）a（x1）2+（x2）ex （）当 a1 时，求函数 f（x）在 x2，2上的最大值； （）讨论函数 f（x）的零点的个数 第 18 页（共 21 页） 【分析】 （）a1 时，f（x）（x1）2+（x2）ex，可得 f（x）（x1） （ex+2） ， 利用导数研究函数的单调性即可得出最值 （）令 a（x1）2+（x2）ex0，则 a（x1）2（2x）ex，讨论 f（x）a（x 1）2+（x2）ex的零点个数，即转化为讨论二次函数 ya（x1）2与函数 g（x） （2x）ex的图象交点个数画出函数 g（x）（2x）ex的图象大致如图对
34、 a 分类 讨论即可得出 【解答】.解： （）a1 时，f（x）（x1）2+（x2）ex， 可得 f（x）2（x1）+（x1）ex（x1） （ex+2）1 分 由 f（x）0，可得 x1；由 f（x）0，可得 x1， 即有 f（x）在（，1）递减；在（1，+）递增.2 分 ，所以 f（x）在 单调递减，在 上单调递增 所以 f（x）minf（1）e，又 f（2）9f（2）1 所以f（x） max 9 4 分 （）令 a（x1）2+（x2）ex0，则 a（x1）2（2x）ex 讨论 f（x）a（x1）2+（x2）ex的零点个数， 即转化为讨论二次函数 ya（x1）2与函数 g（x）（2x）ex的
35、图象交点个 数6 分 由 g（x）（2x）ex，可得 g（x）（1x）ex 由单调性可得：图象大致如右图： 所以当 a0 时，ya（x1） 2 与函数 g（x）（2x）ex有两个交点 10 分 当 a0 时，yya（x1）2与 g（x）（2x）ex图象只有一个点 11 分 所以当 a0 时，f（x）a（x1）2+（x2）ex有两个零点 a0 时，f（x）a（x1）2+（x2）ex有一个零点12 分 第 19 页（共 21 页） 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、数形结合方法、分类讨论 方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 请考生在请考生在 22，23
36、 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分。两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分。选修选修 4-4：坐标：坐标 系与参数方程系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知 曲线 C1的极坐标方程为 sin4，曲线 C2的极坐标方程为 22cos4sin+10， 曲线 C3的极坐标方程为 （R） （）求 C1与 C2的直角坐标方程； （）若 C2与 C1的交于 P 点，C2与 C3交于 A、B 两点，求PAB 的面积 【分析】 （）由曲线 C1的极坐标方程能求出曲线 C1的普通方程，由曲线 C2的极坐标 方程能求出
37、曲线 C2的普通方程 （）由曲线 C3的极坐标方程求出曲线 C3的普通方程，联立 C1与 C2得 x22x+10， 解得点 P 坐标 （1， 4） ， 从而点 P 到 C3 的距离 d 设 A （1， 1） ， B（2， 2） 将 代入 C2，得，求出|AB|12|，由此能求出PAB 的面积 【解答】选修 44，坐标系与参数方程（10 分） 解： （）曲线 C1的极坐标方程为 sin4， 根据题意，曲线 C1的普通方程为 y4，（2 分） 曲线 C2的极坐标方程为 22cos4sin+10， 曲线 C2的普通方程为 x2+y22x4y+10，即（x1）2+（y2）24（4 分） （）曲线 C3
38、的极坐标方程为 （R） 曲线 C3的普通方程为 yx， 第 20 页（共 21 页） 联立 C1与 C2：， 得 x22x+10，解得 x1，点 P 坐标（1，4） 点 P 到 C3 的距离 d（6 分） 设 A（1，1） ，B（2，2） 将代入 C2，得， 则 1+23，121， |AB|12|，（8 分） SPAB|AB|d（10 分） 【点评】本小题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查极坐标 方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转 化思想，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x4|+|x+5
39、| （）试求使等式 f（x）|2x+1|成立的 x 的取值范围； （）若关于 x 的不等式 f（x）a 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围 【分析】 （）f（x）|x4|+|x+5|和 f（x）|2x+1|，根据绝对值不等式，对|x4|+|x+5| 放缩，注意等号成立的条件， （）把关于 x 的不等式 f（x）a 的解集不是空集，转化为关于 x 的不等式 f（x）a 的解集非空，求函数 f（x）的最小值 【解答】解： （）因为 f（x）|x4|+|x+5|（x4）+（x+5）|2x+1|， 当且仅当（x4） （x+5）0，即 x5 或 x4 时取等号 所以若 f（x）|2x+1|成立，则 x 的取值范围是（，54，+） （）因为 f（x）|x4|+|x+5|（x4）（x+5）|9， 所以若关于 x 的不等式 f（x）a 的解集非空，则 af（x）min9， 即 a 的取值范围是（9，+） 【点评】考查绝对值不等式|a+b|a|+|b|，及等号成立的条件是 ab，求解问题（）体 现了转化的数学思想，属中档题
