1、2019-2020 学年陕西省咸阳市武功县高三（下）第三次质检数学试卷（文科）学年陕西省咸阳市武功县高三（下）第三次质检数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题列出的四个选项中，选出在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项）符合题目要求的一项） 1已知集合 Ax|2x4，Bx|x2，则 A（RB）（ ） A （2，4） B （2，4） C （2，2） D （2，2 2已知复数 z 满足（2i）Z|3+4i|，则 Z（ ） A2i B2i C2+i D2+i 3已知 （1，k） ， （k，4） ，
2、那么“k2”是“ ， 共线”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C非充分非必要条件 D充要条件 4古代数字著作九章算术有如下问题： “今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几 何？”意思是： “一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于 50 尺，该女子所需的天数至少为（ ） A7 B8 C9 D10 5设长方体的长、宽、高分别为、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面 积为（ ） A3a2 B6a2 C12a2 D24a2 6某一个班全体学生参加物理测试，成绩的频率分布直方图
3、如图，则该班的平均分估计是 （ ） A70 B75 C68 D66 7已知 tan3，则 cos（2）（ ） A B C D 8圆：x2+y22x2y+10 上的点到直线 xy2 的距离最大值是（ ） A2 B C D 9在区间上随机取一个 x，sinx 的值介于与之间的概率为（ ） A B C D 10设 l 是直线， 是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A若 l，l，则 B若 l，l，则 C若 ，l，则 l D若 ，l，则 l 11函数 y（x3x）2|x|图象大致是（ ） A B C D 12已知 M 为抛物线 y24x 上一动点，F 为抛物线的焦点，定点 P（3，1） ，则
4、|MP|+|MF| 的最小值为（ ） A3 B4 C5 D6 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）设变量 x， y 满足约束条件， 则目标函数 z5x+y 的最大值为 14 （5 分）在等差数列an中，a1+a2+a33，a18+a19+a2087，则该数列前 20 项的和 为 15 （5 分）计算（）0.5+20+4log45lne5+lg200lg2 16 （5 分）已知函数 f（x）的导函数为 f（x） ，且 f（x）2xf（1）+lnx，则 f（1） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题
5、，共小题，共 70 分分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） （一）解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） （一） 必考题（共必考题（共 60 分）分） 17 （12 分）已知函数 f（x）4cosxsin（x+）+a 的最大值为 2 （1）求 a 的值及 f（x）的最小正周期； （2）在坐标纸上做出 f（x）在0，上的图象 18 （12 分）某地区有小学 21 所，中学 14 所，大学 7 所，现采用分层抽样的方法从这些学 校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进 一步数据分析 （1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目； （2）求
6、抽取的 6 所学校中的 2 所学校均为小学的概率 19 （12 分）已知椭圆的两焦点是 F1（0，1） ，F2（0，1） ，离心率 e （1）求椭圆方程； （2）若 P 在椭圆上，且|PF1|PF2|1，求 cosF1PF2 20（12 分） 如图， 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， ABE 为等腰三角形， AEBE， 平面 ABCD平面 ABE， （）求证：平面 ADE平面 BCE； （）求三棱锥 DACE 的体积 21 （12 分）设 a 为实数，函数 f（x）x3（a1）x2ax（xR） （1）当 a1 时，求 f（x）的单调区间； （2）求 f（x）在 R 上的极大值与极小值
7、 选修选修 4-4：参数方程与极坐标：参数方程与极坐标 22 （10 分）在极坐标系中，过曲线 L：sin22acos（a0）外的一点 （其中 tan2， 为锐角）作平行于的直线 l 与曲线分别交于 B，C （） 写出曲线 L 和直线 l 的普通方程（以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建系） ； （）若|AB|，|BC|，|AC|成等比数列，求 a 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x） （1）当 a5 时，求函数 f（x）的定义域； （2）若函数 f（x）的定义域为 R，试求 a 的取值范围 2019-2020 学年陕西省咸阳市武功县高三（下）第三次质检学年陕
8、西省咸阳市武功县高三（下）第三次质检数学数学 试卷（文科）试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题列出的四个选项中，选出在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项）符合题目要求的一项） 1 【分析】进行交集、补集的即可 【解答】解：RBx|x2； A（RB）（2，2） 故选：C 【点评】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算 2 【分析】把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由（2i）Z|3+4i|5， 得 Z 故选：D 【点评】本题考查
9、复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 3 【分析】根据向量共线的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判定即可 【解答】解：若 k2，则 （1，2） ， （2，4） ，满足 2 ，即 ， 共 线，充分性成立， 若 ， 共线，则 k24，即 k2，即必要性不成立， 故“k2”是“ ， 共线”的充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用向量共线的等价条件是解决本 题的关键，比较基础 4 【分析】设该女子所需的天数至少为 n 天，第一天织布 a1尺，先由等比数列前 n 项和公 式求出 a1，再由等比数列前 n 项和公式列出不等式，能求出要使织布的
10、总尺数不少 于 50 尺，该女子所需的天数至少为多少天 【解答】解：设该女子所需的天数至少为 n 天，第一天织布 a1尺， 则由题意知：5，解得 a1， ， 解得 2n311，由 29512，28256， 要使织布的总尺数不少于 50 尺，该女子所需的天数至少为 9 天 故选：C 【点评】本题考查等比数列的项数 n 的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比 数列的性质的合理运用 5 【分析】利用长方体的外接球的直径为长方体的体对角线求解 【解答】 解： 设长方体的外接球的半径为 R， 则 R， 外接球的表面积为：4R26a2 故选：B 【点评】本题主要考查了长方体的外接球，是基础题 6 【
11、分析】根据频率分布直方图，求出该班的平均分是多少即可 【解答】解：根据频率分布直方图，得： 该班的平均分估计是 （0.00530+0.0150+0.0270+0.01590）2068； 故选：C 【点评】本题考查了利用频率分布直方图，求数据的平均数的问题，在频率分布直方图 中，平均数是各小长方形底边中点横坐标与对应小组频率之积的和 7 【分析】利用诱导公式变形，再化弦为切求解 【解答】解：由 tan3， 得 cos（2）sin2 故选：A 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及诱导公式的应用，是基础题 8 【分析】先将圆 x2+y22x2y+10 转化为标准方程： （x1）2+（y
12、1）21，明确圆 心和半径，再求得圆心（1，1）到直线 xy2 的距离，最大值则在此基础上加上半径 长即可 【解答】解：圆 x2+y22x2y+10 可化为标准形式： （x1）2+（y1）21， 圆心为（1，1） ，半径为 1 圆心（1，1）到直线 xy2 的距离， 则所求距离最大为， 故选：B 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，当考查圆上的点到直线的距离问题，基本 思路是：先求出圆心到直线的距离，最大值时，再加上半径，最小值时，再减去半径 9 【分析】解出关于三角函数的不等式，使得 sinx 的值介于到 之间，在所给的范围 中，求出符合条件的角的范围，根据几何概型公式用角度之比求解概率
13、 【解答】解：sinx， 当 x，时， x（，） 在区间 上随机取一个数 x， sinx 的值介于到 之间的概率 P， 故选：A 【点评】本题是一个几何概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，在解题过 程中不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值 得到 10 【分析】在 A 中， 与 相交或平行；在 B 中，由面面垂直的判定定理得 ；在 C 中，l 与 相交、平行或 l；在 D 中，l 与 相交、平行或 l 【解答】解：由 l 是直线， 是两个不同的平面，知： 在 A 中，若 l，l，则 与 相交或平行，故 A 错误； 在 B 中，若 l，l，则由面面垂直
14、的判定定理得 ，故 B 正确； 在 C 中，若 ，l，则 l 与 相交、平行或 l，故 C 错误； 在 D 中，若 ，l，则 l 与 相交、平行或 l，故 D 错误 故选：B 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是 中档题 11 【分析】根据函数 y 为奇函数，它的图象关于原点对称，当 0x1 时，y0；当 x1 时，y0，结合所给的选项得出结论 【解答】解：由于函数 y（x3x）2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称， 当 0x1 时，y0；当 x1 时，y0， 故选：B 【
15、点评】本题主要考查函数的图象和性质，属于基础题 12 【分析】设点 M 在准线上的射影为 D，则根据抛物线的定义可知|MF|MD|进而把问题 转化为求|MP|+|MD|取得最小，进而可推断出当 D，M，P 三点共线时|MP|+|MD|最小，答 案可得 【解答】解：设点 M 在准线上的射影为 D，则根据抛物线的定义可知|MF|MD| 要求|MP|+|MF|取得最小值，即求|MP|+|MD|取得最小， 当 D，M，P 三点共线时|MP|+|MD|最小，为 3（1）4 故选：B 【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当 D，M，P 三 点共线时|PM|+|MD|最小，是解题
16、的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 z5x+y 过点 A（1，0）时，z 最大值即可 【解答】解：根据约束条件画出可行域 直线 z5x+y 过点 A（1，0）时， z 最大值 5， 即目标函数 z5x+y 的最大值为 5， 故答案为 5 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题 14 【分析】由已知条件，利用等差数列的通项公式推导出 a1+a2030，由此能求出该数列 前 20 项的和 【解答】解：在等差数列a
17、n中， a1+a2+a33，a18+a19+a2087， a1+a2+a3+a18+a19+a20 3（a1+a20）3+8790， 解得 a1+a2030， S201030300 故答案为：300 【点评】本题考查等差数列的前 20 项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的通 项公式的灵活运用 15 【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解 【解答】解：原式+2+55+lg（2100）lg22+lg2+lg100lg2 2+2， 故答案为： 【点评】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运 算法则及换底公式的合理运用 16 【分析】对函数 f（x）的解析
18、式求导，得到其导函数，把 x1 代入导函数中，列出关于 f（1）的方程，进而得到 f（1）的值 【解答】解：f（x）2xf（1）+lnx，求导得：f（x）2f（1）+， 令 x1，得到 f（1）2f（1）+1，解得：f（1）1， 故答案为：1 【点评】此题考查了导数的运算，以及函数的值，属于基础题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） （一）解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） （一） 必考题（共必考题（共 60 分）分） 17 【分析】 （1）利用和角的正弦公式、辅助角公式，化简函数，根据函数的最大值为 2，
19、 求出 a 的值； （2）列表，可以做出 f（x）在0，上的图象 【解答】 解；（1） f （x） 4cosxsin （x+） +a4cosx （sinx+cosx） +asin2x+2cos2x+a 2sinx（2x+）+1+a 函数的最大值为 2， a1，T； （2）列表 画图如下： 【点评】本题考查三角函数的化简，考查函数的最值，考查三角函数的图象，考查学生 分析解决问题的能力，正确化简函数是关键 18 【分析】 （1）由题意利用分层抽样的定义和方法，求出答案 （2）由题意利用古典概型及其计算公式，求得结果 【解答】 解：（1） 由题意， 应从小学、 中学、 大学中分别抽取的学校数目分别
20、为 6 3 所，62 所，61 所 （2）抽取的 6 所学校中，小学 3 所，中学 2 所，大学 1 所，故抽取的 2 所学校均为小学 的概率为 【点评】本题主要考查分层抽样，古典概型及其计算公式，属于基础题 19 【分析】 （1）由题意可求得 c，a，b从而可求得椭圆方程； （2）由 P 在椭圆上，可得|PF1|+|PF2|4，与已知条件联立可求得|PF1|与|PF2|，再利用余 弦定理即可求得答案 【解答】解： （1）依题意，c1， a2，b 椭圆方程为+1； （2）点 P 在椭圆上， ， ， cosF1PF2 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查余弦定理，着重考查方程思想与运算能力，属
21、于中档题 20 【分析】 （）首先，得到 ADAB，然后，根据面面垂直，得到 ADBE，再借助于直 角三角形，得到 AEBE，从而得到证明； （）首先，取 AB 中点 O，然后，借助于 VDACEVEACD求解 【解答】解： （）四边形 ABCD 是正方形， ADAB 又平面 ABCD平面 ABE，平面 ABCD平面 ABEAB，AD平面 ABCD， AD平面 ABE，而 BE平面 ABE ADBE 又AEBE，AB2， AB2AE2+BE2，AEBE 而 ADAEA，AD、AE平面 ADE， BE平面 ADE 而 BE平面 BCE， 平面 ADE平面 BCE （）取 AB 中点 O，连接 O
22、E ABE 是等腰三角形，OEAB 又平面 ABCE平面 ABE，平面 ABCD平面 ABEAB，OE平面 ABCD OE平面 ABCD 即 OE 是三棱锥 DACE 的高 又AEBEAB2OE1 VDACEVEACDOES正方形ADC 【点评】本题重点考查了空间中垂直关系、空间几何体的体积公式及其运算等知识，属 于中档题 21 【分析】 （1）先求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间； （2）先求导，再分类讨论，根据导数和函数极值的关系即可求出极值 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）x3x， f（x）x21， 令 f（x）0，解得 x1，或 x1， 当 f（x）0 时，即
23、 x1，或 x1 时，函数为增函数， 当 f（x）0 时，即1x1，函数为减函数， f（x）在（，1） ， （1，+）上单调递增，在（1，1）上单调递减； （2）f（x）x2（a1）xa（xa） （x+1） ， 令 f（x）0，解得 x1 或 xa， 当 a1 时，f（x）0 恒成立， f（x）单调递增，函数无极值， 当 a1 时， 当 f（x）0 时，即 xa，或 x1 时，函数为增函数， 当 f（x）0 时，即1xa，函数为减函数， 当 x1 时，函数有极大值，极大值为 f（1）（a1）+aa+， 当 xa 时，函数有极小值，极大值为 f（a）a3（a1）a2+a2a3+a2， 当 a1
24、时， 当 f（x）0 时，即 x1，或 xa 时，函数为增函数， 当 f（x）0 时，即 ax1，函数为减函数， 当 x1 时，函数有极小值，极小值为 f（1）a+， 当 xa 时，函数有极大值，极大值为 f（a）a3+a2 【点评】本题考查导数知识的运用，函数的单调性，函数的极值以及分类讨论的思想， 属于中档题 选修选修 4-4：参数方程与极坐标参数方程与极坐标 22 【分析】 （I）根据极坐标方程与直角坐标系下的普通方程的互化公式可求曲线方程及直 线方程 （ II ） 写 出 直 线l的 参 数 方 程 为， 代 入y2 2ax得 到 ，则有，由|BC|2 |AB|，|AC|，代入可求 a
25、 的值 【解答】解： （）根据极坐标的转化可得，即 y2 2ax，A（2，4） 直线 L 的方程为 y+4x+2 即 yx2（3 分） （）直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 代入y22ax得到，则有 因为|BC|2|AB|AC|，所以（t1t2）2（t1+t2）24t1t2t1t2 解得 a1（7 分） 【点评】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，直线与曲线的位置关系的应用，解 题的关键是要熟练应用极坐标与直角坐标的互化 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23 【分析】 （1）由|x+1|+|x2|50，然后构造函数 y|x+1|+|x2|，在同一坐标系内画出 函数 y|x+
26、1|+|x2|与 y5 的图象得答案； （2）函数 f（x）的定义域为 R，说明当 xR 时，恒有|x+1|+|x2|+a0，即|x+1|+|x2| a，然后结合绝对值的几何意义求得 a 的取值范围 【解答】解： （1）由题设知：|x+1|+|x2|50， 如图，在同一坐标系中作出函数 y|x+1|+|x2| 和 y5 的图象（如图所示） ，知定义域为（，23，+） ； （2）由题设知，当 xR 时，恒有|x+1|+|x2|+a0， 即|x+1|+|x2|a，由（1）|x+1|+|x2|3， a3，即 a3 【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了数形结合的解题思想方法，考查了 绝对值的几何意义，是中档题
