1、设集合 AxZ|x22x30，B1，0，1，2，则 AB（ ） A0，1 B0，1，2 C1，0，1 D1，0 2 （3 分）设复数 z 满足 z（1+i）2i，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A|z|2 Bz 的虚部是 i Cz 在复平面内所对应的点为（1，1） D 1+i 3 （3 分）设函数 f（x）sinxcosx，则下列结论正确的是（ ） Af（x）的最小正周期为 Bf（x）的图象关于直线对称 Cf（x+）的一个零点为 Df（x）在，上单调递减 4 （3 分）函数的图象大致为（ ） A B C D 5 （3 分）某工厂利用随机数表对生产的 600 个零件进行抽样测试，先将
2、600 个零件进行编 号，编号分别为 001，002，599，600 从中抽取 60 个样本，如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 54 78 32 45 77 89 23 45 第 2 页（
3、共 23 页） 若从表中第 6 行第 6 列开始向右依次读取数据，则得到的第 6 个样本编号（ ） A478 B324 C535 D522 6 （3 分）设直线 m，n 和平面 、，则 的一个充分条件是（ ） Amn，m，n Bmn，m，n Cmn，n，m Dmn，m，n 7 （3 分）已知 为圆周率，e 为自然对数的底数，则（ ） Ae3e B3e 23e2 Clogelog3e Dlog3e3loge 8 （3 分）已知三点 A（2，0） ，则ABC 的外接圆的圆心到原 点的距离为（ ） A B C D 9 （3 分）已知双曲线 C 与双曲线有公共的渐近线，且经过点，则 双曲线 C 的离心
4、率为（ ） A B C4 D2 10（3 分） 在ABC 中， B， AB3， E 为 AB 的中点， SBCE， 则 AC 等于 （ ） A B C D3 11 （3 分）已知向量 ， 满足，则的取值范围是（ ） A （2，2） B2，4 C （4，2） D2，2 12 （3 分）如图，棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 是线段 A1B 上的动点，则下 列结论正确的是（ ） 异面直线 AD 与 CB1所成的角为 45 DC1D1M 三棱锥 MDCC1的体积为定值 AM+MD1的最小值为 2 第 3 页（共 23 页） A B C D 二、填空题：二、填空题： 13 （3 分
5、）如图所示，在边长为 2 的正方形中随机撒 1500 粒豆子，有 300 粒落到阴影部分， 据此估计阴影部分的面积为 14 （3 分） 孙子算经是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有圆 窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为： “有圆柱形容器，底面圆周长五 丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米” （古制 1 丈10 尺，1 斛1.62 立方尺， 圆周率 3） ，则该圆柱形容器能放米 斛 15 （3 分）现代足球运动是世上开展得最广泛、影响最大的运动项目，有人称它为“世界 第一运动” 早在 2000 多年前的春秋战国时代，就有了一种球类游戏“蹴鞠” ，后来经过
6、阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球1863 年 10 月 26 日，英国人在伦敦成立了世界上 第一个足球运动组织英国足球协会，并统一了足球规则人们称这一天是现代足球 的诞生日如图所示，足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的，我们 把这些正五边形和正六边形都称为足球的面， 任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱 已 知足球表面中的正六边形的面为 20 个，则该足球表面中的正五边形的面为 个， 该足球表面的棱为 条 第 4 页（共 23 页） 16 （3 分）已知函数的图象上存在两点关于 y 轴对称，则实数 mm 的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第三、解答题：
7、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生都必须作答，第题考生都必须作答，第 2223 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题 17如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，ABCD 是平行四边形，ACABAD 2，AC、BD 交于点 O，E 是 PB 上一点 （1）求证：ACDE； （2）已知 PD3，若 E 为 PB 的中点，求三棱锥 EPCD 的体积 18已知数列an满足，2anan11（n2） （1）求证：an+1为等比数列，并求数列an的通项公式； （2）若数列an+bn是首
8、项为 1，公差为 3 的等差数列，求数列bn的前 n 项和 192017 年 3 月 18 日，国务院办公厅发布了生活垃圾分类制度实施方案 ，我市环保部 门组织了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民都可以通过电脑网络或手机微信 平台参与，但仅有一次参加机会工作人员通过随机抽样，得到参与网络问卷调查的 100 人的得分（满分按 100 分计）数据，统计结果如表 第 5 页（共 23 页） 组别 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 女 2 4 4 15 21 9 男 1 4 10 10 12 8 （1）环保部门规定：问卷得分不低于 70 分的市民
9、被称为“环保关注者” 请列出 22 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下，认为是否为“环保关注者” 与性别有关？ （2）若问卷得分不低于 80 分的人称为“环保达人” 现在从本次调查的“环保达人”中 利用分层抽样的方法随机抽取 5 名市民参与环保知识问答，再从这 5 名市民中抽取 2 人 参与座谈会，求抽取的 2 名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率 附表及公式：K2，na+b+c+d P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.10 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 1
10、0.828 20已知函数 f（x）（xa）ex （1）求函数 f（x）的极值； （2）若 f（x）f（1） ，证明： 21已知 P 为椭圆上的动点，PQx 轴于 Q，M 为 PQ 的中点，设点 M 的 轨迹为 T （1）求曲线 T 的方程； （2）若点，直线 ykx（k0）与曲线 T 交于 C，D 两点，与椭圆 S 交于 E， F 两点，问是否存在与 k 无关的实数 l，使得成立，若存在求出 的值；若 不存在请说明理由（kAC，kAE，kAF，kAD分别表示直线 AC，AE，AF，AD 的斜率） （二）选考题（二）选考题选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在极坐标系中，曲
11、线 C 的极坐标方程为，以极点为原点，以极轴所在 直线为 x 轴建立直角坐标系，曲线 C 分别与 x 轴正半轴和 y 轴正半轴交于点 A，B，P 为 直线 AB 上任意一点，点 Q 在射线 OP 上运动，且 （1）求曲线 C 的直角坐标方程； 第 6 页（共 23 页） （2）求点 Q 轨迹围成的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|xm|+|x3m|，mN*，存在实数 x，使得 f（x）4 成立 （1）求不等式 f（x）2x 的解集； （2）若 a3，b3，且满足 f（a）+f（b）12，求证： 第 7 页（共 23 页） 2019-2020 学年内蒙古赤峰市
12、高三（上）期末数学试卷（文科）学年内蒙古赤峰市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的有一个选项是符合题目要求的 1 （3 分）设集合 AxZ|x22x30，B1，0，1，2，则 AB（ ） A0，1 B0，1，2 C1，0，1 D1，0 【分析】先求出集合 A0，1，2，然后进行交集的运算即可 【解答】解：AxZ|1x30，1，2； AB0，1，2 故选：B 【点评】考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集的运算 2 （3 分）设复数 z 满足 z（1+i
13、）2i，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A|z|2 Bz 的虚部是 i Cz 在复平面内所对应的点为（1，1） D 1+i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由 z（1+i）2i，得 z z 在复平面内所对应的点为（1，1） 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 3 （3 分）设函数 f（x）sinxcosx，则下列结论正确的是（ ） Af（x）的最小正周期为 Bf（x）的图象关于直线对称 Cf（x+）的一个零点为 Df（x）在，上单调递减 【分析】先利用辅助角公式对已知函数进行化简，然
14、后结合正弦函数的周期公式，对称 第 8 页（共 23 页） 性及零点和单调性进行判断 【解答】解：因为 f（x）sinxcosx， 结合周期公式可知 T2，故 A 错误； 结合正弦函数的对称性可知，当 x时，函数值为 0，不是最值，不符合对称轴处取 得最值的条件，故 B 错误； 由于 f（x+），当 x时，函数值为 0，即为 f（x+）的一个 零点，故 C 正确； 结合正弦函数的性质可知，函数 f（x）在（，）上单调递增，故 D 错误 故选：C 【点评】本题主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于基础试题 4 （3 分）函数的图象大致为（ ） A B C D 【分析】根据函数的单调性排除 B，
15、D，根据函数值，排除 C 【解答】解：由于函数 yln（x+1）在（1，0） ， （0，+）单调递减，故排除 B， D， 当 x1 时，y1ln20，故排除 C， 故选：A 【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用，属于基础题 5 （3 分）某工厂利用随机数表对生产的 600 个零件进行抽样测试，先将 600 个零件进行编 号，编号分别为 001，002，599，600 从中抽取 60 个样本，如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行： 第 9 页（共 23 页） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78
16、 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 54 78 32 45 77 89 23 45 若从表中第 6 行第 6 列开始向右依次读取数据，则得到的第 6 个样本编号（ ） A478 B324 C535 D522 【分析】根据随机数表法抽样的定义进行抽取即可 【解答】解：第 6 行第 6 列的数开始的数为 808，不合适，436，789 不合适，535，577， 34
17、8，994 不合适，837 不合适，522，535 重复不合适，478 合适 则满足条件的 6 个编号为 436，535，577，348，522，478， 则第 6 个编号为 478， 故选：A 【点评】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关 键 6 （3 分）设直线 m，n 和平面 、，则 的一个充分条件是（ ） Amn，m，n Bmn，m，n Cmn，n，m Dmn，m，n 【分析】根据面面垂直的判定定理即可判断出正误 【解答】解：Amn，m，n，则 不一定成立； Bmn，m，n，则 不一定成立； Cmn，n，m，根据面面垂直的判定定理可知正确 Dmn，m，n
18、， 不一定成立 故选：C 【点评】本题考查面面垂直的判定定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算 能力，属于基础题 7 （3 分）已知 为圆周率，e 为自然对数的底数，则（ ） Ae3e B3e 23e2 Clogelog3e Dlog3e3loge 【分析】根据 3e1，指数函数、对数函数的单调性和特殊点，逐一判断各个选项 是否正确，从而得出结论 第 10 页（共 23 页） 【解答】解：已知 为圆周率，e 为自然对数的底数，e2，1，e 3e，故 A 错误； 01，1e20，3e 23e2，故 B 错误； 3，logelog3e，故 C 错误； 由 3，可得 log3eloge，lo
19、g3e3loge，故 D 正确， 故选：D 【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于中档题 8 （3 分）已知三点 A（2，0） ，则ABC 的外接圆的圆心到原 点的距离为（ ） A B C D 【分析】根据题意，设ABC 的外接圆的圆心为 M，分析可得 M 在线段 BC 的垂直平分 线上，则设 C 的坐标为（2，t） ，进而可得t2（21）2+（t）2，解可得 t 的 值，即可得圆心的坐标，计算可得答案 【解答】解：根据题意，设ABC 的外接圆的圆心为 M， 又由，则 M 在线段 BC 的垂直平分线上，则设 C 的坐标为（2， t） ， 则有（22）2+（t0）2（21）
20、2+（t）2， 解可得：t，故圆心的坐标为（2，） ， 则|OC|； 故选：B 【点评】本题考查圆的标准方程，关键是求出ABC 的外接圆圆心的坐标，属于基础题 9 （3 分）已知双曲线 C 与双曲线有公共的渐近线，且经过点，则 双曲线 C 的离心率为（ ） A B C4 D2 【分析】根据题意，由双曲线的几何性质可以设双曲线 C 的方程，将 P 的坐标代入双曲 线的方程可得 t 的值，即可得双曲线 C 的方程，变形可得其标准方程，计算可得 c 的值， 第 11 页（共 23 页） 由焦距的定义即可得答案 【解答】解：根据题意，双曲线 C 与双曲线有公共的渐近线，设双曲线 C 的 方程为， （t
21、0） ， 又由双曲线 C 经过点 P（2，） ，则有 2t，则 t， 则双曲线的 C 的方程为，即：1，其焦距 c2，a， 所以双曲线的离心率为：e2 故选：D 【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是设出双曲线 C 的方程是基础题 10（3 分） 在ABC 中， B， AB3， E 为 AB 的中点， SBCE， 则 AC 等于 （ ） A B C D3 【分析】在BCE 中，由面积公式可得 BC，再由余弦定理可得 【解答】解：由题意可知在BCE 中，B，BE， BCE 的面积 SBCBEsinBBC， 解得 BC1，在ABC 中由余弦定理可得： AC2AB2+BC22ABBCcosB32+
22、12231（）13， AC， 故选：A 【点评】本题考查利用正余弦定理解三角形以及面积的应用，是中档题，解题时要注意 余弦定理的合理运用 11 （3 分）已知向量 ， 满足，则的取值范围是（ ） A （2，2） B2，4 C （4，2） D2，2 第 12 页（共 23 页） 【分析】根据及向量加法和减法的定义和几何意义即可得出 ，从而可得出的取值范围 【解答】解：， ， ， ， 的取值范围是2，2 故选：D 【点评】本题考查了向量加法、减法的定义和几何意义，不等式的性质，考查了推理和 计算能力，属于基础题 12 （3 分）如图，棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 是线段 A
23、1B 上的动点，则下 列结论正确的是（ ） 异面直线 AD 与 CB1所成的角为 45 DC1D1M 三棱锥 MDCC1的体积为定值 AM+MD1的最小值为 2 A B C D 【分析】利用异面直线所成角，直线与平面垂直，几何体的体积，距离分别判断命题的 真假即可 【解答】解：由题意可知，异面直线 AD 与 CB1所成的角，就是直线 BC 与 CB1所成的 角为 45，所以正确； 第 13 页（共 23 页） 因为 AB1平面 A1D1B，所以 DC1D1M，所以正确； 因为DCC1的面积是定值，M 到平面 DCC1的距离是定值，所以三棱锥 MDCC1的体 积为定值，所以正确； 把三角形 AB
24、A1，沿 A1B 折起，与 A1D1CB 在一个平面内，连接 AD1， （图形中红色虚线） 此时 AD1的距离就是 AM+MD1的最小值为： 2，所以不正确； 故选：A 【点评】本题考查命题的真假，空间几何体的直线与平面的位置关系的综合应用，异面 直线所成角，直线与平面垂直，几何体的体积，以及距离的最小值的求法，考查空间想 象能力，逻辑推理能力计算能力，是中档题 二、填空题：二、填空题： 13 （3 分）如图所示，在边长为 2 的正方形中随机撒 1500 粒豆子，有 300 粒落到阴影部分， 据此估计阴影部分的面积为 【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论 【解答】解：正方形的面积 S4
25、，设阴影部分的面积为 S， 随机撒 1500 粒豆子，有 300 粒落到阴影部分， 几何槪型的概率公式进行估计得 ， 即 S， 第 14 页（共 23 页） 故答案为： 【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用豆子之间的关系建立比例关系是解 决本题的关键，比较基础 14 （3 分） 孙子算经是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有圆 窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为： “有圆柱形容器，底面圆周长五 丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米” （古制 1 丈10 尺，1 斛1.62 立方尺， 圆周率 3） ，则该圆柱形容器能放米 2700 斛 【分析】由底
26、面圆周长五丈四尺求出圆柱底面半径，根据圆柱的体积公式计算出对应的 体积，除以 1.62 得答案 【解答】解：设圆柱的底面半径为 r，则 2r54，r9， 故米堆的体积为 92184374 立方尺， 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺， 43741.622700 斛， 故答案为 2700 【点评】本题考查圆柱体积的求法，考查圆的周长公式的应用，是基础题 15 （3 分）现代足球运动是世上开展得最广泛、影响最大的运动项目，有人称它为“世界 第一运动” 早在 2000 多年前的春秋战国时代，就有了一种球类游戏“蹴鞠” ，后来经过 阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球1863 年 10 月 26 日，英
27、国人在伦敦成立了世界上 第一个足球运动组织英国足球协会，并统一了足球规则人们称这一天是现代足球 的诞生日如图所示，足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的，我们 把这些正五边形和正六边形都称为足球的面， 任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱 已 知足球表面中的正六边形的面为 20 个，则该足球表面中的正五边形的面为 12 个，该 足球表面的棱为 90 条 第 15 页（共 23 页） 【分析】简单多面体的顶点数 V，面数 F 与棱数 E 间有关系式 V+FE2，设该足球表 面中的正五边形的面为 x 个，正六边形的面为 y 个，则 Fx+y，V5x，E5x+y，从 而 5x+（x+y）（
28、5x+）2，单从正五边形看，这 x 个正五边形共有 5x 条边，从正 六边形的角度看，每个正六边形有 3 条边是正五边形的边，y 个正六边形有 6y 条边，共 中正五边形的边的总数为：6y3y，由此能求出该足球表面中的正五边形的面和该 足球表面的棱的个数 【解答】解：简单多面体的顶点数 V，面数 F 与棱数 E 间有关系式 V+FE2， 设该足球表面中的正五边形的面为 x 个，正六边形的面为 y 个， 则 Fx+y，V5x，E5x+y， 5x+（x+y）（5x+）2， 化简，得 2xy4， 正五边形的边有两种算法： 单从正五边形看，这 x 个正五边形共有 5x 条边， 从正六边形的角度看，每个
29、正六边形有 3 条边是正五边形的边， y 个正六边形有 6y 条边，共中正五边形的边的总数为：6y3y， 5x3y 联立，解得 x12，y20， 该足球表面中的正五边形的面为 12 个， 该足球表面的棱为 E5x+y90 个 故答案为：12，90 【点评】本题考查足球表面中正五边形的面和足球表面的棱的条数的求法，考查欧拉公 式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 16 （3 分）已知函数的图象上存在两点关于 y 轴对称，则实数 mm 的取值范围是 （2e，+） 【分析】先根据函数的图象上存在两点关于 y 轴对称；转化 第 16 页（共 23 页） 为函数 yx2+e 的图象关于 y 轴对称变
30、换后，与 yex+e xm，x0 的图象有交点， 进而得到 mx2+ex+e xe 有正根；最后利用导函数求解即可 【解答】解：函数图象上存在两点关于 y 轴对称， 则函数 yx2+e 的图象关于 y 轴对称变换后，与 yex+e xm，x0 的图象有交点， 即 ex+e xmx2+e 有正根， 即 mx2+ex+e xe 有正根， 令 g（x）x2+ex+e xe， 则 g（x）2x+exe x； x0； g（x）0； 所以 g（x）x2+ex+e xe 单调递增； g（x）g（0）2e； 实数 m 的取值范围是（2e，+） 故答案为： （2e，+） 【点评】本题主要考查分段函数的应用，方程
31、的根与函数图象交点的关系，导数法求最 值，其中将问题转化为 mx2+ex+e xe 有正根，是解决本题的关键综合性较强，有 一定的难度 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生都必须作答，第题考生都必须作答，第 2223 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题 17如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，ABCD 是平行四边形，ACABAD 2，AC、BD 交于点 O，E 是 PB 上一点 （1）求证：ACDE； （2
32、）已知 PD3，若 E 为 PB 的中点，求三棱锥 EPCD 的体积 第 17 页（共 23 页） 【分析】 （1）由 PD平面 ABCD，可得 PDAC利用菱形的性质可得：BDAC利 用线面垂直的判定定理即可证明 ACDE （2）由（1）知 CA平面 PBD，利用三棱锥的体积计算公式、等体积变形即可得出 【解答】解： （1）证明：PD平面 ABCD，AC平面 ABCD，PDAC 又ABCD 为菱形，BDAC 又 BDPDD，AC平面 PBD，DE平面 PBD， ACDE （2）由（1）知 CA平面 PBD， 所以 【点评】本题考查了空间线面位置关系、菱形的性质、线面垂直的判定定理、三棱锥的
33、体积计算公式、等积变形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18已知数列an满足，2anan11（n2） （1）求证：an+1为等比数列，并求数列an的通项公式； （2）若数列an+bn是首项为 1，公差为 3 的等差数列，求数列bn的前 n 项和 【分析】本题第（1）题对递推公式进行变形，可得 2（an+1）an1+1，则可发现数列 an+1为等比数列，则可计算得到数列an的通项公式；第（2）题先根据题意写出数列 an+bn的通项公式，再根据第（1）题计算出数列bn的通项公式，再运用分组求和法， 等差数列和等比数列的求和公式即可计算出数列bn的前 n 项和 【解答】解： （1）依题意，由
34、2anan11（n2） ，可得 2（an+1）an1+1， 即， 又， 第 18 页（共 23 页） an+1是以为首项，公比为的等比数列 ， ，nN* （2）由已知得 an+bn1+（n1）33n2， ， 数列bn的前 n 项和为 【点评】本题主要考查根据递推式求和数列的通项公式，以及等差数列和等比数列的基 础知识，分组求和法进行求和本题属中档题 192017 年 3 月 18 日，国务院办公厅发布了生活垃圾分类制度实施方案 ，我市环保部 门组织了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民都可以通过电脑网络或手机微信 平台参与，但仅有一次参加机会工作人员通过随机抽样，得到参与网络问卷调查的 1
35、00 人的得分（满分按 100 分计）数据，统计结果如表 组别 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 女 2 4 4 15 21 9 男 1 4 10 10 12 8 （1）环保部门规定：问卷得分不低于 70 分的市民被称为“环保关注者” 请列出 22 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下，认为是否为“环保关注者” 与性别有关？ （2）若问卷得分不低于 80 分的人称为“环保达人” 现在从本次调查的“环保达人”中 利用分层抽样的方法随机抽取 5 名市民参与环保知识问答，再从这 5 名市民中抽取 2 人 参与座谈会，求抽取的 2
36、 名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率 第 19 页（共 23 页） 附表及公式：K2，na+b+c+d P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.10 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】 （1）列出 22 列联表，再利用 K2公式计算出 K23.0302.706，所以在犯错 误的概率不超过 0.10 的前提下，可以认为是否为是“环保关注者”与性别是有关的； （2）先求出女抽得女“环保达人”3 人，男“环保达人”2 人，再利用古典概型的概率 计算公式即可 【解答】解：
37、（1）22 列联表如下： 非“环保关注者” “环保关注者” 合计 女 10 45 55 男 15 30 45 合计 25 75 100 将2 2列 联 表 中 的 数 据 代 入 公 式 计 算 ， 得K2的 观 测 值 ， 所以在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下，可以认为是否为是“环保关注者”与性别是 有关的； （2）由题意可知，利用分层抽样的方法可得女“环保达人”3 人，男“环保达人”2 人 设女“环保达人”3 人分别为 A，B，C；男“环保达人”2 人为 D，E 从中抽取两人的所有情况为： （A，B） ， （A，C） ， （A，D） ， （A，E） ， （B，C） ， （B，D）
38、， （B，E） ， （C，D） ， （C，E） ， （D，E） ，共 l0 种情况 既有女“环保达人”又有男“环保达人”的情况有（A，D） ， （A，E） ， （B，D） ， （B，E） ， （C，D） ， （C，E） ，共 6 种情况 故所求概率为 【点评】本题主要考查了独立性检验和古典概型的概率计算公式，是中档题 20已知函数 f（x）（xa）ex （1）求函数 f（x）的极值； （2）若 f（x）f（1） ，证明： 第 20 页（共 23 页） 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数与单调性及极值的关系即可求解， （2）由 f（x）f（1）知 f（x）minf（1） ，则 1 为 f
39、（x）极小值点，代入可求 a，然后 构造函数，然后结合导 数与单调性的 关系求证 【解答】解： （1）函数 f（x）的定义域为（，+） ， 由 f（x）（xa）ex，得 f（x）（xa+1）ex， 由 f（x）0 得 f（x）在（a1，+）上为增函数， 由 f（x）0 得 f（x）在（，a1）上为减函数， 所以，无极大值 （2）由 f（x）f（1）知 f（x）minf（1） ，则 1 为 f（x）极小值点， 由（1）知 a11，则 a2，f（x）（x2）ex， 令， 则 g（x）（x1） （exx） ， yex的图象在 yx 图象的上方， exx0，g（x）0x1，g（x）0x1， g（x）在
40、（，1）为减函数，在（1，+）为增函数， ，即 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值及利用导数证明不等式，属 于中档试题 21已知 P 为椭圆上的动点，PQx 轴于 Q，M 为 PQ 的中点，设点 M 的 轨迹为 T （1）求曲线 T 的方程； （2）若点，直线 ykx（k0）与曲线 T 交于 C，D 两点，与椭圆 S 交于 E， F 两点，问是否存在与 k 无关的实数 l，使得成立，若存在求出 的值；若 不存在请说明理由（kAC，kAE，kAF，kAD分别表示直线 AC，AE，AF，AD 的斜率） 【分析】 （1）根据题意，用 M 点坐标表示 P 点坐标，并代入 S 方程，即
41、可求得曲线 T 的 第 21 页（共 23 页） 方程； （2）要证明成立，只要 kACkADkAEkAF成立即可，根据直线的斜率公 式，分别表示 kACkAD，kAEkAF，即可求得 的值 【解答】解： （1）设 P（x0，y0） ，M（x，y） ，由题意得， 又 P 在椭圆 S 上，代入得， 故曲线 T 的方程为 （2）要使成立，只要 kACkADkAEkAF成立即可， 设 C（xC，yC） ，D（xC，yC） ，E（xE，yE） ，F（xE，yE） ， 又已知点，得， ， 因为 C（xC，yC）在椭圆上，所以， 因为 E（xE，yE）在椭圆上， 所以， 因为 kACkADkAEkAF，所
42、以 故存在与 k 无关的实数，使得成立 【点评】本题考查轨迹方程求法，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题 （二）选考题（二）选考题选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为，以极点为原点，以极轴所在 直线为 x 轴建立直角坐标系，曲线 C 分别与 x 轴正半轴和 y 轴正半轴交于点 A，B，P 为 第 22 页（共 23 页） 直线 AB 上任意一点，点 Q 在射线 OP 上运动，且 （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）求点 Q 轨迹围成的面积 【分析】 （1）由，可得 322（cos2sin2）4把 xcos，y sin，代入
43、化简即可得出 （2）由（1）知，B（0，1） ，直线 AB 的直角坐标方程为，即 可得出极坐标方程在极坐标系中，设 Q（，） ，P（，） ，则根据点 P 在直线 AB 上，即可得出极坐标方程，进而得出点 Q 轨迹的直角坐标方程 【解答】解： （1）， 322（cos2sin2）4 由 xcos，ysin，得 x2+2y22 曲线 C 的直角坐标方程 （2）由（1）知，B（0，1） ， 则直线 AB 的直角坐标方程为， 极坐标方程为 在极坐标系中，设 Q（，） ，P（，） ，则 点 P 在直线 AB 上， ， ， 即，即 点 Q 轨迹的直角坐标方程为， 即， 点 Q 的轨迹为半径为的圆，圆的面积
44、为 【点评】本题考查了极坐标方程化为普通方程、圆的面积、三角函数求值，考查了推理 能力与计算能力，属于基础题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|xm|+|x3m|，mN*，存在实数 x，使得 f（x）4 成立 第 23 页（共 23 页） （1）求不等式 f（x）2x 的解集； （2）若 a3，b3，且满足 f（a）+f（b）12，求证： 【分析】 （1）先求得 m1，再分类讨论解不等式组即可； （2）分析可知 a+b10，再利用基本不等式即可得证 【解答】解： （1）由已知得|xm|+|x3m|（xm）（x3m）|2|m|4， 又mN*， m1， f（x）|x1|+|x3|2x 等价于 或或 解得 x1 或 1x3 或 x3， 所以不等式 f（x）2x 的解集为1，+） （2）证明：由（1）知 f（a）+f（b）|a1|+|a3|+|b1|+|b3|， a3，b3， f（a）+f（b）2a+2b812，即：a+b10， 所以当且仅当时等号成立，即，时等号成立 【点评】本题考查绝对值不等式的解法及其性质，考查基本不等式的运用，属于基础题
