2019-2020学年上海市闵行区高二(上)9月月考数学试卷(含详细解答)

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资源描述

1、已知函数 f(x)logax+xb(a0,且 a1) 当 2a3b4 时,函数 f(x) 的零点 x0(n,n+1) ,nN*,则 n 8 (3 分)已知 a,b 是函数 f(x)x2mx+n(m0,n0)的两个不同的零点,且 a,b, 4 这三个数可适当排序后成等差数列, 也可适当排序后成等比数列, 则 m+n 9 (3 分)若将函数的图象向左平移个单位后,所得图象 对应的函数为偶函数,则 的最小值是 10 (3 分)若数列an满足 a110,an+1an+18n+10(nN*) ,记x表示不超过实数 x 的 最大整数,则 11 (3 分)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有

2、这样一列数:1,1, 2,3,5,8,13,21,其中从第三项开始,每个数都等于它前面两个数的和,后来 人们把这样的一列数组成的数列an称为 “斐波那契数列” , 那么(n 3) ,是斐波那契数列的第 项 12 (3 分)已知数列an满足 annkn(nN*,0k1) ,下面命题: 当 k时,数列an为递减数列; 第 2 页(共 20 页) 当k1 时,数列an不一定有最大项; 当 0k时,数列an为递减数列; 当为正整数时,数列an必有两项相等的最大项 其中正确命题的序号是 二二.选择题选择题 13 (3 分)若 x0,则函数的最小值为( ) A B C D 14 (3 分) 设等差数列an

3、的前 n 项和为 Sn, 且满足 S190, S200, 则, , 中最大项为( ) A B C D 15 (3 分)已知ABC 中,AB2,则ABC 的面积的最大值为 ( ) A2 B2 C2 D 16 (3 分)设 、 、 为同平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足 与 不共线, ,则的值一定等于( ) A以 、 为两边的三角形面积 B以 、 为邻边的平行四边形的面积 C以 、 为两边的三角形面积 D以 、 为邻边的平行四边形的面积 三三.解答题解答题 17已知 A|2cos23cos+10,R,B|2sin1,R, (1)求集合 AB; (2)若对任意 xAB,都有恒成立,求 m

4、第 3 页(共 20 页) 的取值范围 18已知数列an 的前 n 项和,bn是等差数列,且 anbn+bn+1; (1)求数列bn的通项公式; (2)求的最大项的值,并指出是第几项 19 某市 2013 年发放汽车牌照 12 万张, 其中燃油型汽车牌照 10 万张, 电动型汽车 2 万张 为 了节能减排和控制总量,从 2013 年开始,每年电动型汽车牌照按 50%增长,而燃油型汽 车牌照每一年比上一年减少 0.5 万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过 15 万张,以后 每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变 (1)记 2013 年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列an

5、,每年发放的电 动型汽车牌照数为构成数列bn,完成下列表格,并写出这两个数列的通项公式; a110 a29.5 a3 a4 b12 b2 b3 b4 (2)从 2013 年算起,累计各年发放的牌照数,哪一年开始超过 200 万张? 20已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 S20,2Sn+nnan(nN*) (1)计算 a1,a2,a3,a4,并求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足 b1+3b2+5b3+(2n1)bn2nan+3,求证:数列bn是等比数 列; (3)由数列an的项组成一个新数列cn:c1a1,c2a2+a3,c3a4+a5+a6+a7, cn+, 设Tn为数列cn的

6、前n项和, 试求 的值 21已知集合 M 是具有下列性质的函数 f(x)的全体,存在有序实数对(m,n) ,使 f(m+x) f(mx)n 对定义域内任意实数 x 都成立 (1)判断函数 f(x)2x,g(x)2x是否属于集合 M,并说明理由; (2)若函数(ab0,a、b 为常数)具有反函数,且存在实数对(0,k) 使 f(x)M,求实数 a、b 满足的关系式; (3) 若定义域为 R 的函数 f (x) M, 存在满足条件的实数对 (0, 1) 和 (1, 4) , 当 x0, 1时,f(x)值域为1,2,求当 x0,2019时函数 f(x)的值域 第 4 页(共 20 页) 第 5 页(

7、共 20 页) 2019-2020 学年上海市闵行区七宝中学高二(上)学年上海市闵行区七宝中学高二(上)9 月月考数学月月考数学 试卷试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题填空题 1 (3 分) “x0”是“xa”的充分非必要条件,则 a 的取值范围是 (0,+) 【分析】根据充分必要条件的定义求出 a 的范围即可 【解答】解:若“x0”是“xa”的充分非必要条件, 则 a 的取值范围是(0,+) , 故答案为: (0,+) 【点评】本题考查了充分必要条件,考查集合的包含关系,是一道基础题 2 (3 分)函数 f(x)lg(x3)+的定义域是 (3,+) 【分析】结合对数函数

8、的性质以及指数幂的性质得到不等式组,从而求出函数的定义域 【解答】解:由题意得: ,解得:x3, 故答案为: (3,+) ; 【点评】本题考查了函数的定义域问题,考查对数函数以及指数幂的性质,是一道基础 题 3 (3 分)已知向量,则向量 在向量 方向上的投影为 【分析】根据向量的坐标即可求出,从而根据投影的计算公式 即可得出向量 在 方向上的投影 【解答】解:, 向量 在向量 方向上的投影为: 故答案为: 第 6 页(共 20 页) 【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算,根据向量坐标求向量长度的方法,投影的 计算公式,向量夹角的余弦公式,考查了计算能力,属于基础题 4 (3 分)已知点 P

9、 是直线 P1P2上一点,且,若,则实数 【分析】本题可根据向量的线性运算及数乘可得出结果 【解答】解:由题意, (+)(+) 故答案为: 【点评】本题主要考查向量的线性运算及数乘运算能力本题属基础题 5 (3 分)已知向量 、 满足,且它们的夹角为 120,则向量与 向量 夹角的大小为 【分析】由题意利用两个向量的夹角公式,求出向量与向量 夹角的余弦值,再根 据反余弦函数的定义,求出这个夹角 【解答】解:向量 、 满足,且它们的夹角为 120, 12cos1201 设向量与向量夹角的大小为 ,0,2,则 cos , arccos()arccos, 故答案为:arccos 【点评】本题主要考查

10、两个向量的夹角公式,反余弦函数的定义,属于中档题 6 (3 分)已知正方形 ABCD 中,M 是 BC 的中点,则 + 【分析】本题根据题意画出图形,然后将所有向量都用基底向量,表示出来,再根 第 7 页(共 20 页) 据等式即可得到系数相等,从而解出 和 的值,得出结果 【解答】解:根据题意画图如下: 由图,+, +, +(+)+() ()+(+), ,解得 + 故答案为: 【点评】本题主要考查建立基底向量然后进行线性表示的数学能力,根据系数一致进行 计算的能力本题属基础题 7 (3 分)已知函数 f(x)logax+xb(a0,且 a1) 当 2a3b4 时,函数 f(x) 的零点 x0

11、(n,n+1) ,nN*,则 n 2 【分析】把要求零点的函数,变成两个基本初等函数,根据所给的 a,b 的值,可以判断 两个函数的交点的所在的位置,同所给的区间进行比较,得到 n 的值 【解答】解:设函数 ylogax,mx+b 根据 2a3b4, 对于函数 ylogax 在 x2 时,一定得到一个值小于 1, 在同一坐标系中划出两个函数的图象,判断两个函数的图形的交点在(2,3)之间, 函数 f(x)的零点 x0(n,n+1)时,n2, 第 8 页(共 20 页) 故答案为:2 【点评】本题考查函数零点的判定定理,是一个基本初等函数的图象的应用,这种问题 一般应用数形结合思想来解决 8 (

12、3 分)已知 a,b 是函数 f(x)x2mx+n(m0,n0)的两个不同的零点,且 a,b, 4 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 m+n 26 【分析】根据 a,b 是函数 f(x)的两个不同的零点,和方程根与系数的关系,利用判别 式0,等差与等比数列,求出 m,n 的值,即可得出 m+n 的值 【解答】解:a,b 是函数 f(x)x2mx+n(m0,n0)的两个不同的零点, a+bm,abn,且m24n0; 不妨设 ab, 由于 a,b,4 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列, 4,a,b 或 b,a,4 成等差数列,a,4,b 或 b,

13、4,a 成等比数列, b42a,ab(4)2, 解得 a2,b8 m10,n16, 满足0; 则 m+n26 故答案为:26 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系 数的关系,也考查了推理能力与计算能力,是综合性题目 9 (3 分)若将函数的图象向左平移个单位后,所得图象 第 9 页(共 20 页) 对应的函数为偶函数,则 的最小值是 【分析】由三角函数图象的平移变换及函数的奇偶性得:g(x)cos(x+) , 因为 g(x)为偶函数,所以k,kZ,由 0,所以 的最小值为,得 解 【解答】解:将函数的图象向左平移个单位后,所得 图象对应的函数为 g(x)

14、cos(x+)cos(x+) , 因为 g(x)为偶函数, 所以k,kZ, 由 0, 所以 的最小值为, 故答案为: 【点评】本题考查了三角函数图象的平移变换及函数的奇偶性,属中档题 10 (3 分)若数列an满足 a110,an+1an+18n+10(nN*) ,记x表示不超过实数 x 的 最大整数,则 【分析】由已知变形,利用累加法求得数列通项公式,然后代入求 得答案 【解答】解:由 an+1an+18n+10,得 a110, 又 a110, a2a1181+10, a3a2182+10, anan118(n1)+10, 累加得:ana1+181+2+(n1)+10(n1)10n+189n

15、2+n 3n 第 10 页(共 20 页) 则 故答案为: 【点评】本题考查数列的极限,训练了累加法求数列的通项公式,是中档题 11 (3 分)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1, 2,3,5,8,13,21,其中从第三项开始,每个数都等于它前面两个数的和,后来 人们把这样的一列数组成的数列an称为 “斐波那契数列” , 那么(n 3) ,是斐波那契数列的第 n+1 项 【分析】利用 an+2an+1+an,结合叠加法,即可得出结论 【解答】解:an+2an+1+an, anan+1an2+an1an, an1anan12+an2an1, a3a2a22+a

16、2a1, anan+1an2+an12+a22+a12, an+1, 故答案为:n+1 【点评】本题考查斐波那契数列,考查叠加法,考查学生的计算能力,属于中档题 12 (3 分)已知数列an满足 annkn(nN*,0k1) ,下面命题: 当 k时,数列an为递减数列; 当k1 时,数列an不一定有最大项; 当 0k时,数列an为递减数列; 当为正整数时,数列an必有两项相等的最大项 其中正确命题的序号是 【分析】当时,作差 anan+10,n1 时取等号,a1a2,即可 判断出单调性 第 11 页(共 20 页) 当时,作商,由于1+2k,即可判断 出结论 当时,作商,即可得出数列an的单调

17、性 当为正整数时,1, 当 k时, 因此数列an 必有两项相等的最大项 【解答】解:当时,ann,则 anan+1n(n+1) 0,n1 时取等号,因此数列an不是递减数列,不正确; 当时,1+2k, 因此数列an一定有最大项,不正确; 当时,1,anan+1,因此数列 an是递减数列,正确; 当为正整数时,1,当 k时,数列an 必有两项相等的最大项,正确 综上可得:只有正确 故答案为: 【点评】本题考查了数列的递推关系、单调性,考查了作差与作商方法、推理能力与计 算能力,属于中档题 二二.选择题选择题 13 (3 分)若 x0,则函数的最小值为( ) A B C D 【分析】构造思想,函数

18、 yx+变形为 y(x+)+(),利用基本不 第 12 页(共 20 页) 等式的性质即可得出 【解答】解:x0, 函数 yx+(x+)+()2,当且仅当 x时 取等号 函数 yx+的最小值为 故选:B 【点评】本题考查了构造思想,基本不等式的性质的运用,属于基础题 14 (3 分) 设等差数列an的前 n 项和为 Sn, 且满足 S190, S200, 则, , 中最大项为( ) A B C D 【分析】由等差数列的前 n 项和的公式分别表示出 S190,S200,然后再分别利用等 差数列的性质得到 a10大于 0 且 a11小于 0,得到此数列为递减数列,前 10 项为正,11 项及 11

19、 项以后为负,由已知的不等式得到数列的前 1 项和,前 2 项的和,前 19 项 的和为正,前 20 项的和,前 21 项的和,的和为负,所以得到 b11及以后的各项都为 负,即可得到 b10为最大项,即可得到 n 的值 【解答】解:由 S1919a100,得到 a100; 由 S2010(a10+a11)0,得到 a110, 等差数列an为递减数列 则 a1,a2,a10为正,a11,a12,为负;S1,S2,S19为正,S20,S21,为负, 则0,0,0, 又 S10S10,a1a100,得到0,则最大 故选:C 第 13 页(共 20 页) 【点评】此题考查了等差数列的前 n 项和公式

20、,等差数列的性质,以及数列的函数特性, 数熟练掌握等差数列的性质及求和公式是解本题的关键 15 (3 分)已知ABC 中,AB2,则ABC 的面积的最大值为 ( ) A2 B2 C2 D 【分析】设 BCa,则 ACa,利用余弦定理可求得 cos2B+,再利用三 角形的面积公式可求得 SABCasinB,继而可求 SABC2(a212)2+8,从而可 得ABC 面积的最大值 【解答】解:依题意,设 BCa,则 ACa,又 AB2, 由余弦定理得: (a)2a2+AB22aABcosB, 即 a2+4acosB40, cosB, cos2B+, sin2B1cos2B SABCABBCsinB2

21、asinBasinB, S2ABCa2sin2Ba2() +a21(a424a2) 1 (a212)2+8, 当 a212,即 a2时,2、2、2能组成三角形, S2max8, Smax2 故选:A 【点评】本题考查余弦定理与正弦定理的应用,着重考查转化思想与二次函数的配方法, 求得 S2ABC(a212)2+8 是关键,也是难点,属于难题 16 (3 分)设 、 、 为同平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足 与 不共线, 第 14 页(共 20 页) ,则的值一定等于( ) A以 、 为两边的三角形面积 B以 、 为邻边的平行四边形的面积 C以 、 为两边的三角形面积 D以 、 为邻

22、边的平行四边形的面积 【分析】由题意可以画出图形:记,由于这三向量的起点相同, 且满足 与 不共线,利用向量的内积及图形可以求得 【解答】解:由题意可以画出图形:记,记 因为这三向量的起点相同,且满足 与 不共线,利用向量的内积 定义,所以|OB|OC|cos|, 又由于,所以|OB|OC|sin|S四边形OBDC 故选:B 【点评】此题考查了利用图形分析题意的数形结合的能力,向量的内积,三角形的面积 公式 三三.解答题解答题 17已知 A|2cos23cos+10,R,B|2sin1,R, (1)求集合 AB; (2)若对任意 xAB,都有恒成立,求 m 的取值范围 【分析】 (1)分别求出

23、关于 A、B 中的 的范围,从而求出 AB, (2)问题转化为对任 意 xAB,都有 m(cosx)2恒成立,求出即可 【解答】解(1)A|2cos23cos+10,R 第 15 页(共 20 页) |(2cos1) (cos1)0,R |cos1,R |2k2k+,R, B|2sin1,R|sin0|2k2k+, AB|2k2k+,kZ, (2)由 cos2x4sin(+)cos(+)+m0 cos2x2sin(+x)+m0 cos2x2cosx+m0 2cos2x12cosx+m0 m2(cosx)2 若对任意 xAB,都有恒成立, 即对任意 xAB,都有 m2(cosx)2恒成立, x(

24、2k,2k+,cosx,1) , 02(cosx)2, m 【点评】本题考查了集合的运算,考查三角函数的运算,考查函数恒成立问题,本题是 一道中档题 18已知数列an 的前 n 项和,bn是等差数列,且 anbn+bn+1; (1)求数列bn的通项公式; (2)求的最大项的值,并指出是第几项 【分析】 (1)运用 n1,a1S1;当 n2 时,anSnSn1,可得 an,再由等差数列的 通项公式可得 bn的通项或由 n1,n2,解方程可得 bn的通项; (2)求出 cn,变形,运用 n4 时,cn递减,且 n1,2,3 均为负的,即可得到所求最 第 16 页(共 20 页) 大值 【解答】解:

25、 (1)当 n1 时,a1S13+811, 当 n2 时, 又 an6n+5 对 n1 也成立, 所以 an6n+5 又因为bn是等差数列,设首项为 b1,公差为 d, 则由 anbn+bn+1得:6n+5(2d)n+(2b1d) ,且该等式恒成立, 所以:,所以,所以 bn3n+1; 法二:当 n1 时,2b111d;当 n2 时,2b217d, 相减可得 d3,所以数列bn的通项公式为 (2), 由 n4 时,cn递减,且 c4;又 c10,c20,c30, 所以当 n4 的时候取得最大值 【点评】本题考查数列通项的求法,注意运用数列递推式和等差数列通项公式,考查数 列中的最大值,注意运用

26、数列的单调性,考查化简整理的运算能力,属于中档题 19 某市 2013 年发放汽车牌照 12 万张, 其中燃油型汽车牌照 10 万张, 电动型汽车 2 万张 为 了节能减排和控制总量,从 2013 年开始,每年电动型汽车牌照按 50%增长,而燃油型汽 车牌照每一年比上一年减少 0.5 万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过 15 万张,以后 每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变 (1)记 2013 年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列an,每年发放的电 动型汽车牌照数为构成数列bn,完成下列表格,并写出这两个数列的通项公式; a110 a29.5 a3 9 a4 8.5

27、 b12 b2 3 b3 4.5 b4 6.75 (2)从 2013 年算起,累计各年发放的牌照数,哪一年开始超过 200 万张? 【分析】 (1)利用从 2013 年开始,每年电动型汽车牌照按 50%增长,而燃油型汽车牌照 每一年比上一年减少 0.5 万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过 15 万张,以后每一年 第 17 页(共 20 页) 发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变,可填写表格,并写出这两个数列 的通项公式; (2) 利用等差数列与等比数列的求和公式, 可得n2+17n200, 即可得出结论 【解答】解: (1) a110 a29.5 a39 a48.5 b12 b23

28、 b34.5 b46.75 (2 分) 当 1n20 且 nN*,an10+(n1)(0.5)0.5n+10.5; 当 n21 且 nN*,an0 an(5 分) 而 a4+b415.2515 bn,(8 分) (2)当 n4 时,Sna1+a2+a3+a4+b1+b2+b3+b453.25 当5 n 21时 , Sn ( a1+a2+ +an) + ( b1+b2+b3+b4+b5+ +bn) 10n+6.75(n4) n2+17n(11 分) 由 Sn200 得n2+17n200,即 n268n+8430,得 34n21 (13 分) 到 2029 年累积发放汽车牌照超过 200 万张(1

29、4 分) 【点评】本题考查数列的应用,考查利用数学知识解决实际问题,考查数列的求和,考 查学生分析解决问题的能力,属于中档题 20已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 S20,2Sn+nnan(nN*) (1)计算 a1,a2,a3,a4,并求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足 b1+3b2+5b3+(2n1)bn2nan+3,求证:数列bn是等比数 列; 第 18 页(共 20 页) (3)由数列an的项组成一个新数列cn:c1a1,c2a2+a3,c3a4+a5+a6+a7, cn+, 设Tn为数列cn的前n项和, 试求 的值 【分析】 (1)通过计算出前几项的值,猜想通项公式,

30、进而利用数学归纳法证明; (2)通过 b1+3b2+5b3+(2n1)bn2nan+3 与 b1+3b2+5b3+(2n3)bn12n 1a n1+3 作差,进而计算即得结论; (3)通过(2) ,利用分组法求和,进而计算可得结论 【解答】 (1)解:当 n1 时,由 2S1+1a1,得 a11; 由 S2a1+a20,得 a21; 当 n3 时,由 2S3+32a3+33a3,得 a33; 当 n4 时,由 2S4+42a4+104a4,得 a45; 猜想:an2n3(nN*) 下面用数学归纳法证明: 当 n2 时,a21,结论显然成立; 假设当 nk2 时,ak2k3, 由条件知 2Snn

31、ann, 故 2ak+12Sk+12Sk (k+1)ak+1(k+1)(kakk) (k+1)ak+1kak1, 于是(k1)ak+1kak+1k(2k3)+1(k1) (2k1) , 从而 ak+12(k+1)3, 故数列an的通项公式为:an2n3(nN*) ; (2)证明:当 n1 时,b12a1+31,当 n2 时,由条件得 (2n1)bnb1+3b2+5b3+(2n3)bn1+(2n1)bnb1+3b2+5b3+(2n3) bn1 (2nan+3)(2n 1a n1+3)2n(2n3)2n 1(2n5)2n1(2n1)(8 分) 从而 bn2n 1, 故数列bn是以 1 为首项,2

32、为公比的等比数列; 第 19 页(共 20 页) (3)解:由题意,得 cn+ (22n 13)+(22n11)+(22n1+1)+(22n7)+(22n5) (12 分) 故 Tn(4+42+4n)(22+23+2n+1) 4n42n+3, 从而(16 分) 【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累, 属于中档题 21已知集合 M 是具有下列性质的函数 f(x)的全体,存在有序实数对(m,n) ,使 f(m+x) f(mx)n 对定义域内任意实数 x 都成立 (1)判断函数 f(x)2x,g(x)2x是否属于集合 M,并说明理由; (2)若函数(ab0,

33、a、b 为常数)具有反函数,且存在实数对(0,k) 使 f(x)M,求实数 a、b 满足的关系式; (3) 若定义域为 R 的函数 f (x) M, 存在满足条件的实数对 (0, 1) 和 (1, 4) , 当 x0, 1时,f(x)值域为1,2,求当 x0,2019时函数 f(x)的值域 【分析】 (1)根据已知中集合 M 的定义,分别判断两个函数是否满足条件,可得结论; (2)假定 f(x)M,求出的 a,b 的关系; (3)利用题中的新定义,列出两个等式恒成立将 x 用 2+x 代替,两等式结合得到函数的 递推关系;用不完全归纳的方法求出值域 【解答】解: (1)当 f(x)2x 时,f

34、(mx) f(m+x)2(mx) 2(m+x)4(m2 x2)不是常数,所以 f(x)2xM; 当 g(x)2x时,g(m+x) g(mx)2m+x2m x2m+x+mx22m,故存在实数(0, 1) ,使得 f(0+x) f(0x)1 对定义域内的任意实数都成立故 g(x)M (2)因为 f(x)M,所以 f(m+x) f(mx) 第 20 页(共 20 页) n 对定义域内的任意实数都成立, (m+a)2(m)2, a 当 a时,f(x)b,此时 f(x)无反函数, 当 a时,f(x)存在反函数符合题意 故 ab1 (3)依题意得 f(x)f(x)1 且 f(1+x)f(1x)4, 在 f

35、(1+x)f(1x)4 中令 xx1 得 f(x)f(2x)4, 当 x1,2时,2x0,1,f(x)2,4, x0,2时,f(x)1,4, 又由 f(x) f(x)1 得 f(x),故,即 4f(x)f(2 x) ,则有 f(2+x)4(x) , x2,4时,f(x)4,16, x4,8时,f(x)16,64, 以此类推可知:x2k,2k+2时,f(x)22k,22k+2, 故 x2016,2018时,f(x)22016,22018, 综上所述:x0,2019时,f(x)1,22019 【点评】本题考查理解题中的新定义、判断函数是否具有特殊函数的条件、利用新定义 得到恒等式、通过仿写的方法得到函数的递推关系、考查利用归纳的方法得结论

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