1、2020 年高考（文科）数学二诊试卷年高考（文科）数学二诊试卷 一、选择题（共 12 小题） 1已知集合 Ax|log2（x1）2，BN，则 AB（ ） A2，3，4，5 B2，3，4 C1，2，3，4 D0，1，2，3，4 2设 i 为虚数单位，复数 z（a+i）（1i）R，则实数 a 的值是（ ） A1 B1 C0 D2 3等比数列an，若 a34，a159，则 a9（ ） A6 B6 C6 D 4若 f（x）x（1+ax）2（aR），则“ “是“f（3）27“的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5曲线 x24y 在点（2，t）处的切线方程为（
2、 ） Ayx1 By2x3 Cyx+3 Dy2x+5 6阅读如图的程序框图，若输出的值为 25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是 （ ） Ai5 Bi8 Ci10 Di12 7若双曲线 的离心率 ，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A B.2 C. D.1 8将函数 f 向左平移 个单位，得到 g（x）的图象，则 g（x）满足 （ ） A图象关于点（ ，0）对称，在区间 ， 上为增函数 B函数最大值为 2，图象关 ， 于点对称 C图象关于直线 对称，在 ， 上的最小值为 1 D最小正周期为 ，g（x）1 在 ， 有两个根 9若函数 f（x）的图象如图所示，则 f（x）的解析式可
3、能是（ ） A B C D 10如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，2AB3AA16， ，点 T 在棱 AA1上， 若 TP平面 PBC则 （ ） A1 B1 C2 D2 11已知 alog1213，b（ ） ，clog1314，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bcab Cbca Dacb 12一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数：从第三项起，每一项都等于前面 所有项之和（例如：1，3，4，8，16）则首项为 2，某一项为 2020 的超级斐波那契 数列的个数为（ ） A3 B4 C5 D6 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13从甲、乙、
4、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为 14定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（1+x）f（1x），并且当 0x1 时，f（x） 2x1，则 f（123） 15已知平面向量 ， 的夹角为 ， ， ，且 则 16 数学家狄里克雷对数论， 数学分析和数学物理有突出贡献， 是解析数论的创始人之一 函 数 D（x） ， 为有理数 ， 为无理数，称为狄里克雷函数则关于 D（x）有以下结论： D（x）的值域为0，1； xR，D（x）D（x）； TR，D（x+T）D（x）； ； 其中正确的结论是 （写出所有正确的结论的序号） 三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤.共 70 分） 17
5、传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源，传播途径和人群易感性三个环节 必须同时存在，方能构成传染病流行呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要 传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩某地区已经出 现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样 的方法从全体居民中抽出一个容量为 100 的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口 罩的情况，得到下面列联表： 戴口罩 不戴口罩 青年人 50 10 中老年人 20 20 （1）用样本估计总体，分别估计青年人、中老年人出行戴口罩的概率 （2）能否有 99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为
6、与年龄有关？ 附：K2 P（K2k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 18如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，点 M 是棱 PC 的中点，AB2，PDt（t0） （1）若 t2，证明：平面 DMA平面 PBC； （2）若三棱锥 CDBM 的体积为 ，求三棱锥 BPAC 的体积 19如图，在平面四边形 ABCD 中，D ，sinBACcosB ，AB13 （1）求 AC； （2）求四边形 ABCD 面积的最大值 20设 f（x）（a4）loga x （a0 且 a1） （1）证明：当
7、 a4 时，lnx+f（x）0； （2）当 x1 时 f（x）0，求整数 a 的最大值（参考数据：ln20.69，ln31.10，ln5 1.61，ln71.95） 21已知 F1（1，0），F2（1，0）分别是椭圆 ： 的左焦点和右焦 点，椭圆 C 的离心率为 ， ，B 是椭圆 C 上两点，点 M 满足 （1）求 C 的方程； （2）若点 M 在圆 x2+y21 上，点 O 为坐标原点，求 的取值范围 请考生在第 22，23 两题中选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第 一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4：坐标系 与参数方
8、程 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），直线 l 与曲线 C： （x1）2+y21 交于 A、B 两点 （1）求|AB|的长； （2）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点 P 的极坐标为 ， ，求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 选修 4-5：不等式选讲 23设 f（x）|x|2|xa|（a0） （1）当 a1 时，求不等式 f（x）1 的解集； （2）若 f（x）1，求 a 的取值范围 参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题每题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.） 1已知集合
9、Ax|log2（x1）2，BN，则 AB（ ） A2，3，4，5 B2，3，4 C1，2，3，4 D0，1，2，3，4 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 Ax|log2（x1）2x|1x5， BN， AB2，3，4 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2设 i 为虚数单位，复数 z（a+i）（1i）R，则实数 a 的值是（ ） A1 B1 C0 D2 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为 0 求得 a 值 解：z（a+i）（1i）（a+1）+（1a）iR， 1a0，即 a1 故选：A 【点评】本题考查复数
10、代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3等比数列an，若 a34，a159，则 a9（ ） A6 B6 C6 D 【分析】由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同可得 解：由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同， 等比数列an，若 a34，a159，则 a92a3 a1536， a96， 故选：B 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题 4若 f（x）x（1+ax）2（aR），则“ “是“f（3）27“的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合函数表达式进行
11、计算即可 解：当 时，f（x）x（1 x） 2，则 f（3）3（1+2）23927，即充分性成 立， 若 f（3）27，得 f（3）3（1+3a）227，得（3a+1）29， 即 3a+13 或 3a+13，得 a 或 a2，即必要性不成立， 故“ “是“f（3）27“的充分不必要条件， 故选：B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义是 解决本题的关键比较基础 5曲线 x24y 在点（2，t）处的切线方程为（ ） Ayx1 By2x3 Cyx+3 Dy2x+5 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在 x2 处的导数，求出 t，再由直线方程的点 斜式得答案
12、解：由 x24y，得 y ，则 y ， y|x21，又 t ， 曲线 x24y 在点（2，t）处的切线方程为 y11（x2）， 即 yx1 故选：A 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数 的导函数，是基础题 6阅读如图的程序框图，若输出的值为 25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是 （ ） Ai5 Bi8 Ci10 Di12 【分析】由循环体的功能看出，这是一个求奇数数列前 n 项和的程序框图，注意这是一 个直到型循环结构 解：由题意知，该循环体的算法功能是求数列等差数列 1，3，5，7，前 n 项和，并 将符合题意的结果 S 输出 令 ，解得
13、n5所以加到第 5 项，显然第五项是 9 故判断框内填：i10 故选：C 【点评】本题考查程序框图的算法功能识别问题，本题容易错选 A，注意辨别属于中 档题 7若双曲线 的离心率 ，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A B.2 C. D.1 【分析】求得双曲线的 a2，由离心率公式解得 b，求出渐近线方程和焦点，运用点到 直线的距离公式，计算即可得到所求值 解：双曲线 的 a2，c ， 由 e ，解得 b 渐近线方程为 y x，即为 x2y0， 则双曲线的右焦点（ ，0）到渐近线的距离是 故选：C 【点评】本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查 离心率公式
14、的运用，以及运算能力，属于基础题 8将函数 f 向左平移 个单位，得到 g（x）的图象，则 g（x）满足 （ ） A图象关于点（ ，0）对称，在区间 ， 上为增函数 B函数最大值为 2，图象关 ， 于点对称 C图象关于直线 对称，在 ， 上的最小值为 1 D最小正周期为 ，g（x）1 在 ， 有两个根 【分析】由题意利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，求得 g（x）的解析式，再 利用正弦函数的图象和性质，得出结论 解：将函数 f 2sin（2x ）的图象向左平移 个单位， 得到 g（x）2sin（2x ）的图象， 故 g（x）的最大值为 2，最小正周期为 令 x ，求得 g（x） ，故
15、 g（x）的图象不关于点（ ，0）对称，故 A 不正确； 令 x ，求得 g（x）1，故 g（x）的图象不关于点（ ，0）对称，故 B 不正确； 令 x ，求得 g（x）2，为最大值，故 g（x）的图象关于直线 对称， 在 ， 上，2x ， ，g（x）的最小值为 1，故 C 正确； 在 ， 上，2x ， ，由 g（x）1，可得 sin（2x ） ， 此时，2x ，x0，故 g（x）1 在 ， 上仅有一个实数根，故 D 错误， 故选：C 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质， 属于中档题 9若函数 f（x）的图象如图所示，则 f（x）的解析式可能是（
16、） A B C D 【分析】根据题意，由排除法分析选项中函数的图象，排除 A、B、D，即可得答案 解：根据题意，依次分析选项： 对于 A， 1，当 x时，f（x）1，不符合题意； 对于 B，f（x） ，有 f（1）0，不符合题意； 对于 D，f（x） ，在区间（，1）上，f（x）0，在区间（1，0）上，f （x）0，不符合题意； 故选：C 【点评】本题考查函数图象的分析，涉及函数特殊值的分析，属于基础题 10如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，2AB3AA16， ，点 T 在棱 AA1上， 若 TP平面 PBC则 （ ） A1 B1 C2 D2 【分析】先根据已知得到 TPPB，且 AP
17、2，BP1；再利用向量的三角形法则对所求 一步步转化即可求解 解：因为长方体 ABCDA1B1C1D1中，2AB3AA16， ，点 T 在棱 AA1上， 且 TP平面 PBC TPPB，且 AP2，BP1； （ ） 0 （ ） 21cos1802； 故选：D 【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的三角形法则，属于基础题 11已知 alog1213，b（ ） ，clog1314，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bcab Cbca Dacb 【分析】作差即可得出 ，而根据基本不等式即可 得出 log1314 log13121，从而可得出 ac1，并容易得出 b1，从而可得出
18、 a，b，c 的大小关系 解： ， 1， log1314log1213，且 log13141， ， acb 故选：D 【点评】本题考查了作差比较式子大小的方法，基本不等式的应用，对数的运算性质和 对数的换底公式，对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题 12一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数：从第三项起，每一项都等于前面 所有项之和（例如：1，3，4，8，16）则首项为 2，某一项为 2020 的超级斐波那契 数列的个数为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】根据超级斐波那契数列的定义，用等比数列通向公式表达该数列第三项起的式 子，在正整数的限制下，计算某一项为 2
19、020 即可 解：由题意，根据超级斐波那契数列的定义及首项为 2，设第二项为 m， 则该级斐波那契数列： 第一项：2； 第二项：m； 第三项：2+m； 第四项：2（2+m）； 第五项：22（2+m）； 第 n 项：2n3（2+m）（n3） 由题，该级斐波那契数列的某一项为 2020 n2 时，m2020 成立； n3 时，令 2n3（2+m）2020，m 为正整数，n 也为正整数， 符合题意的情况有以下三种： n3，m2018； n4，m1008； n5，m503 综上所述，首项为 2，某一项为 2020 的超级斐波那契数列的个数共有 4 种 故选：B 【点评】 本题属于新定义类题目， 考查等
20、比数列的应用， 需要学生分析题目中数字特征， 在限制性条件下解题，是中档题，需要学生考虑全面细致 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为 【分析】由题意列出选出二个人的所有情况，再根据等可能性求出事件“甲被选中”的 概率 解：由题意：甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，共有六种情况： 甲和乙、甲和丙、甲和丁、乙和丙、乙和丁、丙和丁， 因每种情况出现的可能性相等，所以甲被选中的概率为 故答案为： 【点评】本题考查了等可能事件的概率的求法，即列出所有的实验结果，再根据每个事 件结果出现的可能性相等求出对应事件的概率 14定义
21、在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（1+x）f（1x），并且当 0x1 时，f（x） 2x1，则 f（123） 1 【分析】由已知可得函数的周期 T4，然后结合周期及已知函数解析式可求 解：由定义在 R 上的奇函数 f（x），即 f（x）f（x）， 又因为 f（1+x）f（1x）f（x1）， 所以 f（x+2）f（x）， 所以 f（x+4）f（x），可知函数的周期 T4， 因为当 0x1 时，f（x）2x1， 则 f（123）f（3141）f（1）f（1）1 故答案为：1 【点评】本题主要考查了利用函数的对称性及周期性求解函数值，解题的关键是把所求 函数值转化到已知区间上 15已知平面向量
22、， 的夹角为 ， ， ，且 则 1 【分析】根据平面向量的数量积求夹角和模长即可 解：由 （ ，1），得| | 2， 又平面向量 ， 的夹角为 ，且 ， 所以 2 422| |cos 3， 化简得 2 10， 解得 1 故答案为：1 【点评】本题考查了平面向量的数量积与夹角和模长的计算问题，是基础题 16 数学家狄里克雷对数论， 数学分析和数学物理有突出贡献， 是解析数论的创始人之一 函 数 D（x） ， 为有理数 ， 为无理数，称为狄里克雷函数则关于 D（x）有以下结论： D（x）的值域为0，1； xR，D（x）D（x）； TR，D（x+T）D（x）； ； 其中正确的结论是 （写出所有正确的
23、结论的序号） 【分析】可由题意求出值域， 分类讨论，有理数，无理数，分别证明， 实数加减时，可是有理数，可是无理数，可举例知其错， 从已给的去取值中找出所有的有理数个数，可求结果 解：由题意知值域为0，1，错； 如果 x 为有理数，x 也为有理数，D（x）D（x）1； 如果 x 为无理数，x 也为无理数，D（x）D（x）0； 故xR，D（x）D（x），对； 实数加减时，可能是有理数，可能是无理数，例如取 ， ，则 D（x+T） 1D（x）0，错； x1， ， ， ，则 x 只有取 1，2，3，44 ，共 44 个有理数， 即只有 44 个数使 D（x）1，错； 故答案为 【点评】本题考查简易逻
24、辑，以及实数的应用，属于难题 三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤.共 70 分） 17传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源，传播途径和人群易感性三个环节 必须同时存在，方能构成传染病流行呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要 传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩某地区已经出 现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样 的方法从全体居民中抽出一个容量为 100 的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口 罩的情况，得到下面列联表： 戴口罩 不戴口罩 青年人 50 10 中老年人 20 20 （1）用样本估计总体
25、，分别估计青年人、中老年人出行戴口罩的概率 （2）能否有 99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？ 附：K2 P（K2k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 【分析】（1）补充列联表，分别计算表中青年人、中老年人出行戴口罩的概率值； （2）由列联表中数据，计算 K2，对照临界值得出结论 解：（1）补充列联表，如下； 戴口罩 不戴口罩 合计 青年人 50 10 60 中老年人 20 20 40 合计 70 30 100 用样本估计总体，估计青年人出行戴口罩的概率为 P ； 估计中老年人出行戴口罩的概率为 P （2
26、）由列联表中数据，计算 K2 12.69810.828， 所以有 99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了用样本数字特征估计总体的 问题，是基础题 18如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，点 M 是棱 PC 的中点，AB2，PDt（t0） （1）若 t2，证明：平面 DMA平面 PBC； （2）若三棱锥 CDBM 的体积为 ，求三棱锥 BPAC 的体积 【分析】（1）推导出 PDCB，CDCB，从而 BC平面 PCD，进而 DMBC，推导 出 DMPC，从而 DM平面 PBC，由此能
27、证明平面 DMA平面 PBC （2）由 PDt（t0），得 M 到平面 BDC 的距离 d ，由三棱锥 CDBM 的体积为 ， 解得 t4，从而三棱锥 BPAC 的体积为：VBPACVPABC ，由此能求出 结果 【解答】 （1） 证明： 在四棱锥 PABCD 中， 四边形 ABCD 为正方形， PD平面 ABCD， PDCB，CDCB， PDCDD，BC平面 PCD， DM平面 PCD，DMBC， 点 M 是棱 PC 的中点，AB2，PD2，DMPC， BCPCC，DM平面 PBC， DM平面 DMA，平面 DMA平面 PBC （2）解：PDt（t0），M 到平面 BDC 的距离 d ， 三
28、棱锥 CDBM 的体积为 ， VCDBMVMBDC ， 解得 t4， 三棱锥 BPAC 的体积为： VBPACVPABC 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19如图，在平面四边形 ABCD 中，D ，sinBACcosB ，AB13 （1）求 AC； （2）求四边形 ABCD 面积的最大值 【分析】 （1）由 sinBACcosB ，可得 ACBC，再由 AB 的值，进而求出 AC； （2）四边形的面积分成 2 个三角形的面积，三角形 ABC 为直角三角形，由（1）可得 S ABC面积，在三角
29、形 ADC 中由余弦定理及均值不等式可得 AD DC 的最大值，代入面积 公式可得 SADC的最大值，进而求出 SABCD的最大值 解：（1）在三角形 ABC 中，sinBACcosB ，可得 ACBC， AB13，所以 BCAB cosB13 3，ACAB sinB13 12， 所以 AC12 （2） SABCDSABC+SADC ADCDsinD ADCD30 AD CD， 在三角形 ADC 中， 由余弦定理 AC2AD2+CD22AD DC cos 2AD DC+DC3AD DC， 所以 3AD DCAC2122，所以 AD DC48， 所以 SABCD30 4830+12 ， 所以四边
30、形 ABCD 面积的最大值为 30+12 【点评】本题考查三角形中的几何运算，由两角中的一个角正弦值等于另一个角的余弦 值可得是直角三角形，及面积公式和均值不等式的应用，属于中档题 20设 f（x）（a4）loga x （a0 且 a1） （1）证明：当 a4 时，lnx+f（x）0； （2）当 x1 时 f（x）0，求整数 a 的最大值（参考数据：ln20.69，ln31.10，ln5 1.61，ln71.95） 【分析】（1）将 a4 代入，令 g（x）lnx+f（x）lnxx+1（x0），利用导数求函 数 g（x）的最大值小于等于 0 即可得证； （2）求导得 ，然后分 0a1，1a4
31、及 a4 三种情况讨论，利 用导数结合零点存在性定理即可得出结论 解：（1） 证明： 当 a4 时， 令 g （x） lnx+f （x） lnxx+1 （x0） ， 则 ， 当 0x1 时，g（x）0，g（x）单增，当 x1 时，g（x）0，g（x）单减， g（x）g（1）0， lnx+f（x）0； （2） ， 当 0a1 时，f（x）0，f（x）在1，+）单调递增，则 f（x）f（1）0，不合 题意； 当 1a4 时，f（x）0，f（x）在1，+）单调递减，则 f（x）f（1）0，满足 题意； 当 a4 时，令 f（x）0，解得 ，记 ， f（x）在（0，x0）单调递增，在（x0，+）单调递
32、减， 又 f（1）0，要使 f（x）0 在1，+）上恒成立，需使 x01，即 ， 即 3lnaa2+5a40， 令 h（a）3lnaa2+5a4（a4），则 ， h（a）在（4，+）上单调递减， 又 h（5）3ln5431.6140，h（6）3ln610331010， 由零点存在性定理可知，存在 a0（5，6），使得 h（a0）0， 4aa0， 综上，1aa0，且 a0（5，6）， 故当 x1 时，使得 f（x）0 恒成立的整数 a 的最大值为 5 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值以及不等式的恒成立问题，考查转 化思想及分类讨论思想，考查逻辑推理能力以及计算能力，属于中档题 21
33、已知 F1（1，0），F2（1，0）分别是椭圆 ： 的左焦点和右焦 点，椭圆 C 的离心率为 ， ，B 是椭圆 C 上两点，点 M 满足 （1）求 C 的方程； （2）若点 M 在圆 x2+y21 上，点 O 为坐标原点，求 的取值范围 【分析】（1）依题意可得， ， ， ，由此可得椭圆方程； （2）易知 M 为 AB 的中点，当 AB 与 x 轴垂直时，易求得 ，当 AB 与 x 轴 不垂直时，设出直线方程 ykx+m，并与椭圆方程联立，由韦达定理及点 M 在圆上，可 得 ，再利用平面向量数量积公式，化简后用变量 k 表示出 ，通过 换元，利用双勾函数的性质可得 的取值范围，综合即可得解 解
34、：（1）由题意可知， ， ，则 ， ， 椭圆的方程为 ； （2）由 可知，M 为 AB 的中点，又点 M 在圆 x2+y21 上， 当 AB 与 x 轴垂直时，直线 AB 的方程为 x1，将其代入椭圆方程 中， 得 ， ， ， ， ， ； 当 AB 与 x 轴不垂直时，设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 AB 的方程为 ykx+m， 将其代入椭圆方程 中， 消 y 并整理得，（4+5k2 ） x 2+10kmx+5m2200， 则 ， ， 设 M（x0，y0），则 ， ， M 在圆 x2+y21 上， ，即 ， ， ， 设 t4+5k2，5k2t4（t4）， 则 ， 设 ， ，则 ，
35、 由双勾函数的性质可知， 在4，5）上为增函数， ，即 ， 综上， 的取值范围为 ， 【点评】本题涉及了椭圆的标准方程及其性质，直线与椭圆的位置关系，平面向量的数 量积，双勾函数的性质等知识点，考查换元思想及函数思想的运用，锻炼了学生的运算 化简能力，对计算能力要求较高，属于较难题目 一、选择题 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），直线 l 与曲线 C： （x1）2+y21 交于 A、B 两点 （1）求|AB|的长； （2）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点 P 的极坐标为 ， ，求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 【分析】
36、（1）直接利用转换关系的应用求出结果 （2）利用一元二次方程的解法和两点间的距离公式的应用求出结果 解：（1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数），转换为直角坐标方程为：xy0 直线 l 与曲线 C：（x1）2+y21 交于 A、B 两点 所以：圆心（1，0）到直线 xy0 的距离 d 则：|AB|2 （2）把直线 xy0 代入曲线 C：（x1）2+y21 的方程得到 2x22x0，解得 x0 或 1，所以交点的坐标为 A（0，0），B（1，1）， 所以 M（ ， ）， P 的极坐标为 ， ，转换为直角坐标为（2，2）， 所以|PM| 【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐
37、标方程之间的转换，三 角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换 能力及思维能力，属于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23设 f（x）|x|2|xa|（a0） （1）当 a1 时，求不等式 f（x）1 的解集； （2）若 f（x）1，求 a 的取值范围 【分析】 （1）将 a1 代入，利用零点分段法，可将函数的解析式化成分段函数的形式， 进而分类讨论各段上 f（x）1 的解，最后综合讨论结果，可得不等式 f（x）1 的 解集 （2）利用零点分段法，可将函数的解析式化成分段函数的形式，结合一次函数的单调性 可分析出函数的 f（x）的单调性，进而求出函数 f（x）的最大值，得到实数 a 的取值范 围 解：（1）f（x）|x|2|x1|1， 或 或 ， 分别解得 x或 x1 或 1x3， 综上所述不等式的解集为 ，3 （2）由 f（x） ， ， ， ， 则 f（x）在（，a）上单调递增，在（a，+）上单调递减， 当 xa 时，f（x）取最大值 a， 若 f（x）1，则 0a1， 故 a 的取值范围为（0，1 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，绝对值不等式，其中利用零点分段法， 将函数的解析式化成分段函数的形式，进而分类讨论是解答此类问题的通法.
