2018-2019学年北京市101中学高二(下)期中数学试卷(含详细解答)

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资源描述

1、复数 z(i 为虚数单位)的共轭复数是 11 (5 分)曲线 yln(x+2)3x 在点(1,3)处的切线方程为 12 (5 分)若复数(a+i) (3+4i)的对应点在复平面的一、三象限角平分线上,则实数 a 13 (5 分)已知圆 C 的参数方程为( 为参数) ,则圆 C 的面积为 ; 圆心 C 到直线 l:3x4y0 的距离为 14 (5 分)若函数 f(x)2x3ax2+ex+1(aR)是实数集上的单调函数,则函数 f(x) 在区间1,1上的最大值与最小值的和的最小值为 三、解答题共三、解答题共 4 小题,共小题,共 50 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明、

2、演算步骤或证明过程 15 (12 分)设函数 f(x)+6lnx (1)求曲线 yf(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)求函数 yf(x)的单调区间与极值 16 (12 分)已知函数 f(x)axexx22x (1)当 al 时,求函数 f(x)的极值; (2)当 x(2,0)时,f(x)l 恒成立,求 a 的取值范围 17 (14 分)已知函数 f(x)x3x ()判断的单调性; ()求函数 yf(x)的零点的个数; ()令 g(x)+lnx,若函数 yg(x)在(0,)内有极值,求实数 a 的取值范围 18 (12 分)已知常数 a0,函数 f(x)ln(1+ax) (1)讨

3、论 f(x)在区间(0,+)上的单调性; (2)若 f(x)存在两个极值点 x1,x2,且 f(x1)+f(x2)0,求 a 的取值范围 第 3 页(共 13 页) 2018-2019 学年北京市学年北京市 101 中学高二(下)期中数学试卷中学高二(下)期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项要求的一项 1 (5 分)若 z3+4i,则|z|( ) A B5 C7 D25 【分析】利用复数的模长公式直接求解即可

4、 【解答】解: 故选:B 【点评】本题考查复数的模,属于基础题 2 (5 分)下列四个函数:yx3;yx2+1;y|x|;y2x其中在 x0 处取得 极值的是( ) A B C D 【分析】根据函数极值点的定义、取得极值的判断方法即可判断出结论 【解答】解:yx3;y2x在 R 上都单调递增,因此无极值 yx2+1;y2x0,解得 x0,x0 时,y0;x0 时,y0可得函数 y x2+1 在 x0 处取得极小值因此正确 同理可得:y|x|在 x0 处取得极小值 (虽然导数不存在,有点超出高中课本范围) , 因此正确 故选:B 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、不等式的解法,考查

5、了推理能力 与计算能力,属于基础题 3 (5 分)在极坐标系中,直线 sincos1 被曲线 截得的线段长为( ) A B C D2 【分析】首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换,进一步利用点到直 线的距离公式的应用求出结果 【解答】解:直线 sincos1 转换为直角坐标方程为:xy+10 曲线 转换为直角坐标方程为 x2+y22, 第 4 页(共 13 页) 所以圆心(0,0)到直线 xy+10 的距离 d, 所以 l2 故选:C 【点评】本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,点到 直线的距离公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属

6、于基础题 型 4 (5 分)f(x)x(2018+lnx) ,若 f(x0)2019,则 x0等于( ) Ae2 B1 Cln2 De 【分析】可求出导函数 f(x)lnx+2019,从而根据 f(x0)2019 即可得出 x0的值 【解答】解:f(x)x(2018+lnx) , 则 f(x)2019+lnx, f(x0)2019+lnx02019, x01, 故选:B 【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式,积的导数的计算公式,已知函数求值的 方法,考查了计算能力,属于基础题 5 (5 分)已知函数 yf(x)的导函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的极大值点共有 ( ) A1 个

7、B2 个 C3 个 D4 个 【分析】f(x)取得极大值,则满足:f(x)0,在 x 的左边 f(x)0,在 x 的右 边 f(x)0由图即可得出 【解答】解:f(x)取得极大值,则满足:f(x)0,在 x 的左边 f(x)0,在 x 的右边 f(x)0 由图可得:f(x)的极大值点共有 2 个:为2,2 故选:B 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、数形结合方法,考查了推理能力 第 5 页(共 13 页) 与计算能力,属于基础题 6 (5 分)已知曲线 f(x)在点(1,f(1) )处切线的斜率为 1,则实数 a 的值为 ( ) A B1 C D2 【分析】求出函数的导数 f(x

8、) ,利用 f(1)1,解 a 即可 【解答】解:f(x), f(x), x1 处切线斜率为 1,即 f(1)1, 1,解得 a1 故选:B 【点评】本题主要考查导数的几何意义,以及导数的基本运算,考查学生的运算能力, 比较基础 7 (5 分)已知函数,若,bf() ,cf(5) ,则( ) Acba Bcab Cbca Dacb 【分析】求出函数 f(x)的导数,判断函数的单调性,从而比较函数值的大小即可 【解答】解:f(x)的定义域是(0,+) , f(x)10, 故 f(x)在(0,+)递减, 而 5, f(5)f()f() , 即 cba, 故选:A 【点评】本题考查了函数的单调性问题

9、,考查导数的应用,是一道基础题 8 (5 分) 已知实数 a, b 满足 a23lnab0, cR, 则 (ac) 2+ (b+c)2 的最小值为 ( ) A1 B C2 D 第 6 页(共 13 页) 【分析】构造函数,yf(x)x23lnx, (x0) ,yx,则(ac)2+(b+c)2表示 曲线 yf(x)上的点到直线 yx 的距离的平方,求导,求出与 yx 平行的切线方 程,进而求出切点的坐标,求出两条平行线的距离,进而求出(ac)2+(b+c)2的最 小值 【解答】解:分别设 yf(x)x23lnx, (x0) ,yx,则(ac)2+(b+c)2表 示曲线 yf(x)上的点到直线 y

10、x 的距离的平方, 因为 f(x)x23lnx,所以 f(x)2x, 所以 2x1,x0,解得:x1,所以切点为 P(1,1) , 所以 P 到直线 y+x0 距离为:d, 所以(ac)2+(b+c)2的最小值为 2, 故选:C 【点评】本题考查导数的几何意义和平行线间的距离公式,关键是构造函数和直线,属 于中难题 二、填空题共二、填空题共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分分 9 (5 分)函数 f(x)x22lnx 的单调减区间是 (0,1) 【分析】依题意,可求得 f(x),由 f(x)0 即可求得函数 f(x) x22lnx 的单调减区间 【解答】解:f(x)x2

11、2lnx(x0) , f(x)2x, 令 f(x)0 由图得:0x1 函数 f(x)x22lnx 的单调减区间是(0,1) 故答案为(0,1) 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,考查解不等式的能力,属于中档题 10 (5 分)复数 z(i 为虚数单位)的共轭复数是 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 第 7 页(共 13 页) 【解答】解:z, 故答案为: 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题 11 (5 分)曲线 yln(x+2)3x 在点(1,3)处的切线方程为 2x+y10 【分析】求出函数的导数,由导数的几何意义可得切线的斜率,由点

12、斜式方程即可得到 所求切线的方程 【解答】解:yln(x+2)3x 的导数为 y3, 可得在点(1,3)处的切线斜率为 k132, 即有在点(1,3)处的切线方程为 y32(x+1) , 即为 2x+y10 故答案为:2x+y10 【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程,考查导数的几何意义,正确求导和运用 点斜式方程是解题的关键,考查运算能力,属于基础题 12 (5 分)若复数(a+i) (3+4i)的对应点在复平面的一、三象限角平分线上,则实数 a 7 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部与虚部相等列式求解 a 值 【解答】解:(a+i) (3+4i)(3a4)+(3+4a)i

13、 的对应点在复平面的一、三象限 角平分线上, 3a43+4a,解得 a7 故答案为:7 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是 基础题 13 (5 分)已知圆 C 的参数方程为( 为参数) ,则圆 C 的面积为 ;圆 心 C 到直线 l:3x4y0 的距离为 【分析】化圆的参数方程为普通方程,求出圆的圆心坐标与半径,则圆的面积可求;再 由点到直线的距离公式求圆心 C 到直线 l:3x4y0 的距离 第 8 页(共 13 页) 【解答】解:由圆 C,可得(x2)2+y21, 圆 C 的圆心坐标为(2,0) ,半径为 1, 则圆 C 的面积为 12; 圆心 C

14、(2,0)到直线 l:3x4y0 的距离为 d 故答案为:; 【点评】本题考查圆的参数方程,考查点到直线距离公式的应用,是基础题 14 (5 分)若函数 f(x)2x3ax2+ex+1(aR)是实数集上的单调函数,则函数 f(x) 在区间1,1上的最大值与最小值的和的最小值为 22 【分析】根据题意,函数 f(x)单调递增,根据导数判断出 f(x)的最大值和最小值, 求和,再求出结果即可 【解答】解:函数 f(x)2x3ax2+ex+1(aR)是实数集上的单调函数, 显然 f(x)6x22ax+e0 不恒成立, 若 f(x)6x22ax+e0, 4a224e0,a, 由 f(x)在1,1单调递

15、增, 故 f(x)maxf(1)3+ea,f(x)minf(1)1ea, , 故答案为: 【点评】本题考查利用导数法研究函数的单调性,最值,考查了导数的综合利用能力, 中档题 三、解答题共三、解答题共 4 小题,共小题,共 50 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 15 (12 分)设函数 f(x)+6lnx (1)求曲线 yf(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)求函数 yf(x)的单调区间与极值 【分析】 (1)求出函数的导数,求出 f(1) ,f(1)的值,代入直线方程即可; (2)求 出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数

16、的单调区间,从而求出函数的极值即 可 第 9 页(共 13 页) 【解答】解: (1),x0, f(1)8,切点为(1,8)(2 分) , , 切线斜率 kf(1)10(4 分) 切线方程为 y+810(x1) , 即 10xy180(6 分) (2) ,x0 (7 分) 令 f(x)0,0x6; 令 f(x)0,x6 (9 分) f(x)单调递增区间为(0,6) ; 单调递减区间为(6,+) ; f(x)极大值为 f(6)+6ln6,无极小值 (12 分) 【点评】本题考查了求曲线的切线方程问题,考查导数的应用以及函数的单调性、极值 问题,是一道中档题 16 (12 分)已知函数 f(x)a

17、xexx22x (1)当 al 时,求函数 f(x)的极值; (2)当 x(2,0)时,f(x)l 恒成立,求 a 的取值范围 【分析】 (1)把 a1 代入,对函数求导,判断单调性和极值即可; (2)当 x(2,0)时,f(x)1 恒成立,等价于当 x(2,0)时,axexx22x 1,即 axexx2+2x+1,因为 x(2,0) ,所以 a,构造函数求导,根据 最值判断即可 【解答】 (1)当 a1 时,f(x)xexx22x,f(x)xex+ex2x2(x+1) (ex2) , 令 f(x)0,得 x11,x2ln2 x (, 1) 1 (1,ln2) ln2 (ln2,+) 第 10

18、 页(共 13 页) f(x) + 0 0 + f(x) 极大值 极小值 所以,f(x)极大值f(1)1;f(x)极小值f(ln2)(ln2)2 (2)当 x(2,0)时,f(x)1 恒成立 等价于当 x(2,0)时,axexx22x1, 即 axexx2+2x+1,因为 x(2,0) , 所以 a, 令 h(x),x(2,0) ,h(x) x (2,1) 1 (1,0) h(x) + 0 h(x) 极大值 则 h(x)maxh(1)0, 因此 a0,即 a0,+) 【点评】本题考查导数法判断函数的单调性和极值,最值的应用,考查了导数的综合应 用能力,中档题 17 (14 分)已知函数 f(x

19、)x3x ()判断的单调性; ()求函数 yf(x)的零点的个数; ()令 g(x)+lnx,若函数 yg(x)在(0,)内有极值,求实数 a 的取值范围 【分析】 ()化简,并求导数,注意定义域: (0,+) ,求出单调区间; ()运用零点存在定理说明在(1,2)内有零点,再说明 f(x)在(0,+)上 有且只有两个零点; ()对 g(x)化简,并求出导数,整理合并,再设出 h(x)x2(2+a)x+1,说明 第 11 页(共 13 页) h(x)0 的两个根,有一个在(0, )内,另一个大于 e,由于 h(0)1,通过 h() 0 解出 a 即可 【解答】解: ()设 (x)x21(x0)

20、 , 则 (x)2x+0, (x)在(0,+)上单调递增; ()(1)10,(2)30,且 (x)在(0,+)上单调递增, (x)在(1,2)内有零点, 又 f(x)x3xx(x) ,显然 x0 为 f(x)的一个零点, f(x)在(0,+)上有且只有两个零点; ()g(x)+lnxlnx+, 则 g(x), 设 h(x)x2(2+a)x+1, 则 h(x)0 有两个不同的根 x1,x2,且有一根在(0,)内, 不妨设 0x1,由于 x1x21,即 x2e, 由于 h(0)1,故只需 h()0 即可, 即(2+a)+10,解得 ae+2, 实数 a 的取值范围是(e+2,+) 【点评】本题主要

21、考查导数在函数中的综合运用:求单调区间,求极值,同时考查零点 存在定理和二次方程实根的分布,是一道综合题 18 (12 分)已知常数 a0,函数 f(x)ln(1+ax) (1)讨论 f(x)在区间(0,+)上的单调性; (2)若 f(x)存在两个极值点 x1,x2,且 f(x1)+f(x2)0,求 a 的取值范围 【分析】 (1)利用导数判断函数的单调性,注意对 a 分类讨论; (2) 利用导数判断函数的极值, 注意 a 的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决 第 12 页(共 13 页) 【解答】解: (1)f(x)ln(1+ax),x(0,+) , f(x), (1+ax) (x+2

22、)20,当 1a0 时,即 a1 时,f(x)0 恒成立, 则函数 f(x)在(0,+)单调递增, 当 0a1 时,由 f(x)0 得 x, 则函数 f(x)在(0,)单调递减,在( ,+)单调递增 (2)由(1)知,当 a1 时,f(x)0,此时 f(x)不存在极值点 因此要使 f(x)存在两个极值点 x1,x2,则必有 0a1, 又 f(x)的极值点值可能是 x1,x2, 且由 f(x)的定义域可知 x且 x2, 且2,解得 a, 则 x1,x2分别为函数 f(x)的极小值点和极大值点, f(x1)+f(x2) ln1+ax1+ln(1+ax2) ln1+a(x1+x2)+a2x1x2 l

23、n(2a1)2 ln(2a1)2+2 令 2a1x,由 0a1 且 a得, 当 0a时,1x0;当a1 时,0x1 令 g(x)lnx2+2 (i)当1x0 时,g(x)2ln(x)+2, g(x)0, 第 13 页(共 13 页) 故 g(x)在(1,0)上单调递减,g(x)g(1)40, 当 0a时,f(x1)+f(x2)0; (ii)当 0x1g(x)2lnx+2,g(x)0, 故 g(x)在(0,1)上单调递减,g(x)g(1)0, 当a1 时,f(x1)+f(x2)0; 综上所述,a 的取值范围是(,1) 【点评】本题主要考查学生对含有参数的函数的单调性及极值的判断,考查利用导数判 断函数的单调性及求极值的能力, 考查分类讨论思想及转化划归思想的运用和运算能力, 逻辑性综合性强,属难题

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