1、 扫描全能王 创建 理科数学试题答案及评分参考第1页（共13页） 2020 年深圳市高三第一次调研考试 理科数学试题答案及评分参考 一、选择题 1. C 2. D 3. C 4. A 5. D 6. A 7. D 8. B 9. C 10. B 11. A 12. B 11. 解析：曲线 ( )yf x= 关于点 1 ( ,0) 4 对称， 1 1 4 k+=， 1 )kZ（1） 又曲线 ( )yf x= 关于直线 1 4 x = 对称， 2 1 + 42 k+=， 2 )kZ（2） 由（1） 、 （2）可得 12 2() 1 kk=，即(21) ()nnZ=（3） ( )f x在 1,2上有
2、且仅有3个零点， 24 21(0) ， 即24（4） ，由（3） 、 （4）可得3=， 1 ( )0 4 f=， 3 4 k+=，又 2 ， 4 =， ( )sin(3) 4 f xx=+，易知 12 ( ) 22 f= ，结论错误； 令 0 3 42 xk+=+，则 0 1 () 312 Z k xk+=， 令 1 01 312 k +，则可取0,1,2k =， 0 15 3 , 12 12 4 x =，结论正确； 令 2 32 242 kxk+，则( )f x的递增区间为 1212 , 43123 ()Zkkk + 当2k = 时， 195 , 124 为 ( )f x的一个递增区间， 而
3、 35195 (,), 24124 ， ( )f x在 35 (,) 24 上单调递增，结论正确； ( )sin(3) 4 f xx=+，( )f x的最小正周期 2 T= 3 ，结论错误， 综上所述，其中正确的结论为，故应选 A. 12. 解析： （法一）如图，显然ACB E，且ACDE， AC 平面B ED， 绝密启封并使用完毕前 绝密启封并使用完毕前 试题类型：试题类型：A 理科数学试题答案及评分参考第2页（共13页） E是AC的中点， 到点A，C的距离相等的点位于平面B ED内， 同理可知，到点 B ，D的距离相等的点位于平面ACF内， 球心O到点A， B ，C，D的距离都相等， 球心
4、O位于平面B ED与平面ACF的交线上，即直线EF上， 依题意可知，球心O落在线段EF上（不含端点E、F）， 显然EFB D，易知3EA=，4EB=，则 22 9OAOE=+， 且 222222222 ()16162OBOFFBOFEBEFEFOEEFOEEF OE=+=+=+=+， OA OB =， 22 9162OEOEEF OE+=+， 7 2 OE EF =， 显然OEEF， 7 2 EF EF ，即 14 2 EF ， 又4EF EB =， 14 4 2 EF，故应选 B. （法二）如图，由题意可知AB C的外心 1 O在中线BE上， 设过点 1 O的直线 1 l 平面AB C ，易
5、知 1 l 平面B ED， 同理，ADC的外心 2 O在中线DE上， 设过点 2 O的直线 2 l 平面ADC，则 2 l 平面B ED， 由对称性易知直线 1 l， 2 l的交点O在直线EF上， 根据外接球的性质，点O即为四面体AB CD的外接球球心， 易知3EA=，4BE = ，而 222 11 O AO EEA=+， 11 4O AOE BE +=， 1 7 8 O E =， 令B EF=，显然 0 2 ，cos4cos4EFB E =， 1 cos O EEF B EOE = ， 1 7 2 OE EFO E B E =，又OEEF， 2 7 2 EF ，即 14 2 EF ， 综上所
6、述， 14 4 2 EF，故应选 B. 二、填空题： 理科数学试题答案及评分参考第3页（共13页） 13. 1 14. 32 15. 3 16. 4 5 16. 解析:如图，不难发现直线 1 FM与圆O相切于点M，且 1 |MFb=， 由双曲线定义可知： 1212 2| |aNFNFMNMFNF=+， 22 | |MNNFOF=+，且 2 |OFc=， 2abc=+，2bca=， 2222 (2 )44bcacaca=+， 又 222 bca=， 22 44acaa=，45ca=， 双曲线的离心率 5 = 4 c e a =，故应填 5 4 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步
7、骤 17 （本小题满分 12 分） 函数 2 ( )(sincos )3cos(2)f xxxx . （1）求函数( )f x的最小正周期； （2） 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若 ()1 2 A f,sin2sinCB， 且2a，求ABC的面积. 解： （1） 2 ( )(sincos )3cos(2 )f xxxx 22 sincos2sin cos3cos2xxxxx sin23cos21xx 2sin(2)1 3 x ， 4 分 ( )f x的最小正周期为 2 2 T. 6 分 (2) ( )2sin()11 3 f AA， sin()0 3 A， 5 2 33
8、3 A， 0 3 A,即 3 A. 8 分 由正弦定理及sin2sinCB，可得2cb. 9 分 由余弦定理得 222 2cosabcbcA，可得 2 3 3 b =. 10 分 理科数学试题答案及评分参考第4页（共13页） 4 3 3 b =， 12 3 sin 23 ABC Sb cA. 12 分 【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理 解决三角形问题，检验学生的数学知识运用能力. 18 （本小题满分 12 分） 已知三棱柱 111 ABCABC的所有棱长都相等，平面 11 BBCC平面ABC， 11 BCCC. （1）求证： 1 AB平面 11 AB
9、C； （2）求二面角 111 AACB的余弦值. 解： （1）证明：设直线 1 AB与直线 1 BA交于点G，连接 1 C G， 四边形 11 ABB A为菱形， 11 ABAB， 2 分 又 1111 BCCCC A，G为 1 AB的中点，故 11 C GAB, 4 分 11 ABCGG，且 1 AB， 1 CG平面 11 ABC， 1 AB平面 11 ABC. 5 分 （2）（法一） 取BC中点O为坐标原点， 如图， 分别以 1 ,OA OC OC所在直线为 , ,x y z轴， 建立空间直角坐标系O xyz. 6 分 不妨设棱柱的棱长为2， 则 1 (0,1,0),(0,0, 3), (
10、 3,0,0), (0, 1,0)CCAB， 于是 1 (3,0, 3)AC，7 分 11 (3,1,0)ACAC， 11 (0,2,0)BCBC8 分 设平面 11 A AC的一个法向量为 1n ，且 1111 ( ,)nx y z，那么 111 nAC， 11 nAC， 则 111 11 0 0 nAC nAC ，得 30 330 xy xz ，取1z，则1x，3y， 1 (1, 3,1)n， 9 分 设平面 11 ABC的一个法向量为 2n ，且 2222 (,)nxy z，那么2 1 nAC，2 11 nBC， 则 21 211 0 0 nAC nBC ，得 330 20 xz y ，
11、取1z，则1x， 0y ， 2 (1,0,1)n， 11 分 12 12 12 210 cos 552 | n n n n nn ， , 理科数学试题答案及评分参考第5页（共13页） 即二面角 111 AACB的余弦值为 10 5 . 12 分 （法二）同（法一）建立空间直角坐标系，得 1 (3,0, 3)AC，7 分 11 AACC， 000 (3,)(0, 1, 3)xy z，点 1 A的坐标为( 3, 1, 3)， 1 ( 3,0, 3)BA， 1 (0, 1, 3)AA, 8 分 由于 1 AB平面 11 ABC,所以 1 BA是平面 11 B AC一个法向量. 9 分 设平面 11
12、A AC的一个法向量为n，且 ( , , )nx y z，那么 1 nAA， 1 nAC， 则 1 1 0 0 n AA n AC ，得 30 330 yz xz ，取1z，则1x，3y， (1, 3,1)n， 11 分 1 1 1 2 310 cos 5|65 BA n BA n BAn ， , 二面角 111 AACB的余弦值为 10 5 . 12 分 （法三）如图，连接 1 AC，交 1 AC于点M， 连接GM， 11 AACC是菱形， 11 AMAC. 由（1）知 1 AG平面 11 ABC，故 11 AGAC， 111 AGAMA， 1 AC平面 1 AMG， GM平面 1 AMG,
13、 1 GMAC，7 分 1 AMG为二面角 111 AACB的平面角， 不妨设棱柱的棱长为2， G，M是 1 ABC边 1 AB， 1 AC上的中点， 1 1 2 GMBC,8 分 取 11 BC中点为N，连接 1 A N，BN，易得 1 AN平面 11 BBCC， 1 ANBN， 1 A NB为直角三角形， 由勾股定理可得 1 6AB， 1 6 2 AG， 在 1 AGM中,由勾股定理可得 1 10 2 AM， 10 分 1 1 210 cos 510 GM AMG AM ， 理科数学试题答案及评分参考第6页（共13页） 二面角 111 AACB的余弦值为 10 5 . 12 分 【命题意图
14、】考查线面垂直判断定理、线面垂直性质定理等基本知识，考查空间想象能 力，计算能力，考查学生综合运用基本知识处理数学问题能力. 19 （本小题满分 12 分） 已知椭圆:C 22 22 1(0) xy ab ab +=的短轴长为2，离心率为 3 2 ，左顶点为A，过点A 的直线l与与C交于另一个点M，且与直线xt=交于点N. （1）求椭圆C的方程； （2）是否存在实数t，使得OM ON为定值? 若存在，求实数t的值；若不存在，请 说明理由. 解： （1）由题意，22b =，1b =，设椭圆的半焦距为c，1 分 则 3 2 c a =， 22 1ac=+， 2 4a =， 3 分 椭圆C的方程为
15、2 2 1 4 x y+=. 4 分 （2） （法一）设存在实数 0 =t t，使得OM ON 为定值， 由题意直线的斜率存在，因为 ( 2,0)A ，设直线l： (2)yk x=+ ， 00 (,)M x y， 联立 2 2 1 4 (2) x y yk x += =+ ，整理得 2222 (14)16(164)0kxk xk+=， 6 分 由韦达定理， 2 0 2 164 2 1 4 k x k = + ，则 2 0 2 82 14 k x k + = + ， 7 分 00 (2)yk x=+= 2 4 14 k k+ ， 2 22 824 , 1414 kk M kk + + . 8 分
16、 将 0 =t t代入(2)yk x=+得 00 ( , (2)N t k t +， 9 分 则 2 00 2 4(2)2 41 t kt OM ON k + = + ， 10 分 若OM ON为定值，则 00 842 41 tt =，即 0 2 3 t =，此时 4 3 OM ON=， 存在实数 2 3 t =，使得OM ON 为定值 4 3 . 12 分 （法二）设存在实数 0 =t t，使得OM ON 为定值， ( 2,0)A ，一般情况设: 2(0)l xmym= ， 00 (,)M x y， 理科数学试题答案及评分参考第7页（共13页） 联立2xmy=与 2 2 1 4 x y+=，
17、易知 2 0 2 28 4 m x m = + ， 0 2 4 4 m y m = + ，6 分 2 22 284 (,) 44 mm M mm + ， 7 分 在 2xmy= 中，令 0 xt=，则点 0 0 2 ( ,) t N t m + ， 8 分 则 2 00 2 284 4 t mt OM ON m + = + ，若OM ON 为定值， 则 00 1 2(84 ) 4 tt=，即 0 2 3 t =，此时 4 3 OM ON=，10 分 当直线l与x轴重合，且 0 2 3 t =时，点(2,0)M，点 2 ( ,0) 3 N， 也有 4 3 OM ON=， 11 分 综上，存在实数
18、 2 3 t =，使得OM ON 为定值 4 3 . 12 分 【命题意图】本题以直线与椭圆为载体，其几何关系向量表达为背景，利用方程思想解 决几何问题，主要考查椭圆的基本量，直线与椭圆的位置关系、向量的数量积运算，考查学 生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力. 20 （本小题满分 12 分） 某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识 大赛”，分预赛和复赛两个环节. 已知共有8000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学 生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图. （1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩
19、不低于60分的学生 中随机地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的概率； （2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布 () 2 ,N ，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区 间的中点值作代表） ，且 2 362=. 利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛 0.0125 （第 20 题图） 0 0.0100 0.0075 0.0150 学生的预赛成绩（百分制） 20 40 60 80 100 频率 组距 0.0050 理科数学试题答案及评分参考第8页（共13页） 成绩不低于91分的人数； （3）预赛成绩不低于91分的学生将参加复
20、赛，复赛规则如下：每人的复赛初始分均 为100分；参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n， 每一题都需要 “花”掉(即减去) 一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为0.1k (k =1，2，n)； 每答对一题加1.5分，答错既不加分也不减分；答完n题后参赛学生的最终分数即为复 赛成绩. 已知学生甲答对每道题的概率均为0.7，且每题答对与否都相互独立. 若学生甲期 望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少? （参考数据：36219；若Z 2 ( ,)N ，则()0.6827PZ+， ()220.9545PZ+，()330.9973PZ+）. 解： （1）易知样本中成绩不低
21、于 60 分的学生共有(0.01250.0075) 20 10040+=人， 其中成绩优良的人数为0.0075 20 10015=人. 1 分 记 “从样本中成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人， 恰有1人成绩优良” 为事件C， 则 11 2515 2 40 25 ( ) 52 C C P C C =. 3 分 （2）由题意可知，样本中的 100 名学生预赛成绩的平均值为: 10 0.1 30 0.250 0.370 0.2590 0.1553x =+=，则53=，4 分 又由 2 362=得，19. 所以(91)(2 )P ZP Z+= 11 (22 ) 2 PZ+0.02275， 5 分
22、 由此可估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于91分的人数为： 8000 0.02275182=，即全市参赛学生中成绩不低于91分的人数为182. 6 分 （3）以随机变量表示甲答对的题数，则( ,0.7)B n，且( )0.7En=，7 分 记甲答完n题所加的分数为随机变量X，则1.5X=， 所以()1.5 ( )1.05E XEn=，8 分 依题意，为了获取答n题的资格，甲需要“花”掉的分数为： 2 0.1 (123)0.05()nnn+=+， 9 分 设甲答完n题的最终分数为( )M n，则 ( )M n 2 1000.05()1.05nnn=+ 2 0.05(10)105n= +，
23、10 分 由于 * nN，所以当10n =时，( )M n取最大值105，即复赛成绩的最大值为105， 理科数学试题答案及评分参考第9页（共13页） 所以若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为10. 12 分 【命题意图】考查频率分布直方图，建模能力；考查超几何分布模型，正态分布，二项 分布；考查分析问题、解决问题的能力；处理数据能力，决策问题. 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 22 ( )2cosf xxax=+. （1）当1a =时，求( )f x的导函数( )fx在 , 2 2 上的零点个数； （2）若关于x的不等式 22 2cos(2sin )( )xa xaf
24、 x+在(,) +上恒成立，求实数a的 取值范围. 解： （1）易知( )2(sin2 )fxxx=， 1 分 显然(0)0f=，0x =为( )fx的一个零点； 2 分 令( )sin2g xxx= 0 2 x（） ，则( )1 2cos2g xx= ， x (0) 6 ， 6 ( 6 2 ， ( )g x 0 + ( )g x 极小值 ( )g x的最小值为 3 ( )0 662 g=， 又(0)0g=，且 ( )0 22 g=，( )g x在 (0 2 ，上存在唯一零点 0 x，且 0 ( , 6 2 x ， ( )2 ( )fxg x=在 (0 2 ，上亦存在唯一零点 0 x， 4 分
25、 ( )fx是奇函数，( )fx在 ,0) 2 上亦存在唯一零点 0 x， 综上所述，当1a =时，( )f x的导函数( )fx在 , 2 2 上的零点个数为3.5 分 （2）不等式 22 2cos(2sin )( )xa xaf x+恒成立，即不等式 2 cos(2sin )cosxax恒成立， 令sin 1,1xt= ，则等价于不等式 2 cos2(1)tat恒成立， 6 分 理科数学试题答案及评分参考第10页（共13页） （法一）若 2 1t =，即1t = 时，不等式显然成立，此时Ra； 7 分 若11t 时，不等式等价于 2 cos2 1 t a t ， 设 2 cos2 ( )(
26、 11) 1 t h tt t = ， 当01t 时， 2 2 2 2 cos2(1)sin2 ( ) (1) tttt h t t = ， 令 2 ( )cos2(1)sin2ttttt=(01)t ，则 2 ( )(21)cos2ttt=(01)t ， 易知 2 ()0 2 =， ( )0 4 =，且 2 24 ， 于是可得下表： x 2 0) 2 ， 2 2 2 () 24 ， 4 (1) 4 ， ( ) x 0 + 0 ( ) x 极小值 极大值 又(0)0=， 2 ( )10 4 t= ，( )0t在(0,1)上恒成立， 11 分 ( )h t在)0,1上单调递减，( )(0)1h
27、th=， 显然函数( )h t为偶函数，故函数( )h t在11 ，上的最大值为1， 因此1a ， 综上所述，满足题意的实数a的取值范围为1,)+. 12 分 （法二）当0t =时，由 2 cos2(1)tat得1a， 下证当且仅当1a时，不等式在 1,1t 时恒成立，7 分 令 2 ( )cos2H ttata=+( 11)t ，依题意( )0H t 恒成立， 又( )H t为偶函数，只需考虑( )0H t 在0,1t时恒成立即可， 8 分 若2a ，易知( )22sin222 2(24)0H tattattat= =，即( )0H t， ( )H t在0,1上单调递增，( )(1)cos2
28、0H tH=，符合题设要求；9 分 若12a， 2 10t ， 22 ( )cos2(1)cos2(1)H tta ttt=+， 令 2 ( )cos21ttt=+(01)t ，则( )2(sin2 )ttt=， (1)2(1 sin2)0=，由 （1） 不难知道存在唯一的实数 0 (0,1t）， 使得 0 ( )0t=， 理科数学试题答案及评分参考第11页（共13页） ( ) t在 0 0, )t上单调递减，在 0 ( ,1t上单调递增， 又(0)0=，且(1)cos20=， max ( )0t=，即( )0H t ，11 分 综上所述，满足题意的实数a的取值范围为1,)+. 12 分 （法
29、三）当0t =时，由 2 cos2(1)tat得1a， 7 分 下证当且仅当1a时，不等式在 1,1t 时恒成立， 只需证不等式在0,1t时恒成立即可， 8 分 若cos20t 时，即 ,1 4 t时，不等式显然成立； 9 分 若cos20t 时，即 0) 4 t，时， 2 cos2(1)tat等价于 2 22 1cos2 tat tt ， 令tant= (0) 4 ，则不等式等价于 2 tan2 cos2 at t ， 10 分 又不等式tansinxxx在 0, ) 2 x时显然成立（证明略） ， 11 分 0) 4 t， 20, ) 2 t，2sin2tt， 2sin2 tan2tan2
30、 cos2cos2 atat att tt =， tant=，tan2tan2t， 2 tan2 cos2 at t ，即不等式成立，亦即不等式成立， 综上所述，满足题意的实数a的取值范围为1,)+. 12 分 【命题意图】 本题以基本初等函数及不等式为载体，考查学生利用导数分析、解决问 的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性. 22 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧BC，AD和线段AB，CD四部分组 成，在极坐标系Ox中， (2,) 3 A， 2 (1,) 3 B， 4 (1,) 3 C， (
31、2,) 3 D，弧BC，AD所在圆的 圆心分别是(0,0)，(2,0)，曲线 1 M是弧BC，曲线 2 M是弧AD （1）分别写出 1 M， 2 M的极坐标方程； （2）点E，F位于曲线 2 M上，且 3 EOF=， 求EOF面积的取值范围 A B C D O x （第 22 题图） 理科数学试题答案及评分参考第12页（共13页） 解： （1）由题意， 1 M的极坐标方程是 24 1() 33 =， 2 分 记圆弧AD所在圆的圆心为 1(2,0) O，易得极点O在圆弧AD所在圆上， 设( , )P 为 2 M上任意一点，则在 1 OO P中， 可得4cos () 33 =, 4 分 1 M，
32、2 M的极坐标方程分别为 24 1() 33 =，4cos () 33 =； 5 分 （2）不妨设 1 (, )E ， 2 (,) 3 F (0) 3 ， 则 1 4cos=， 2 4cos() 3 =， 6 分 12 1 sin4 3 cos (coscossinsin) 2333 EOF S =+， 7 分 2 13 4 3( coscossin )2 3sin(2)3 226 =+=+， 8 分 又 0 3 ， 1 sin(2)1 26 +， 9 分 EOF的面积的取值范围是 2 3,3 3 . 10 分 【命题意图】本题主要考查极坐标的求解，极径的几何意义与应用，三角恒等变换 等知识点
33、，考查数学结合思想，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心 素养考察考生的化归与转化能力 23 （小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知 2 2 ( )23f xxtt x =+ (0)x . （1）若(1)2f=，求实数t的取值范围； （2）求证： ( )2f x 解:（1）(1)31312ftttt= + + =， 2 分 取等号的条件为(3)(1)0t t， 4 分 解得13t ，即实数t的取值范围为1,3. 5 分 （说明：分类讨论求解亦可，可相应给分.） 理科数学试题答案及评分参考第13页（共13页） (2) 易知 222 222 ( )23231f xxttxttx xxx =+ + + =+，6 分 0x ， 222 3 2111 1 33xxx xxxx x +=+=， 9 分 2 2 12x x +，( )2f x . 10 分 【命题意图】本题以绝对值不等式、均值不等式和二次不等式为载体，考查不等式的求 解及证明，分类讨论思想，及数学抽象，逻辑推理等数学核心素养.
