1、2020 年高考数学一模测试试卷年高考数学一模测试试卷 一、单项选择题. 1已知集合 Mx|yln（x+1），Ny|yex，则 MN（ ） A（1，0） B（1，+） C（0，+） DR 2若复数 z 满足（1+i）z2i，其中 i 为虚数单位，则 （ ） A1i B1+i C22i D2+2i 3设 xR，则“|x2|1”是“x2+2x30”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4数列Fn：F1F21，FnFn1+Fn2（n2），最初记载于意大利数学家斐波那契在 1202 年所著的算盘全书，若将数列Fn的每一项除以 2 所得的余数按原来项的顺序 构
2、成新的数列an，则数列an的前 50 项和为（ ） A33 B34 C49 D50 5设 ABCD 为平行四边形， ， ， ，若点 M，N 满足 ， ，则 （ ） A23 B17 C15 D9 6如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小 木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小 木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内若小球下落过程中向左、向右落下的机会均 等，则小球最终落号球槽的概率为（ ） A B C D 7设 P 为直线 3x4y+40 上的动点，PA，PB 为圆 C：（x2）2+y21 的两条切线，A， B 为切点，则
3、四边形 APBC 面积的最小值为（ ） A B C D 8已知函数 ，实数 m，n 满足不等式 f（2mn）+f（2n）0，则下列不 等关系成立的是（ ） Am+n1 Bm+n1 Cmn1 Dmn1 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符 合要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 92020 年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延，疫情就是命令，防控就是 责任在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场 坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争右侧的图表展示了 2 月 14 日至 29
4、日全国新冠肺 炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A16 天中每新增确诊病例数量呈下降趋势且 19 日的降幅最大 B16 天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数 C16 天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于 2000 D19 至 29 日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和 10已知 P 是双曲线 C：x23y2m1 上任一点，A，B 是双曲线上关于坐标原点对称的两 点，设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2（k1k20），若|k|1+|k2|t 恒成立，且实数 t 的 最大值为 233，则下列说法正确的（ ） A双曲线的方程为
5、 x23y21 B双曲线的离心率为 2 C函数 yloga（x1）（a0，a1）的图象恒过 C 的一个焦点 D直线 2x3y0 与 C 有两个交点 11如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P，M 分别为棱 CD，CC1的中点，Q 为面对角线 A1B 上任一点，则下列说法正确的是（ ） A平面 APM 内存在直线与 A1D1平行 9 B平面 APM 截正方体 ABCDA1B1C1D1所得截面面积为 C直线 AP 和 DQ 所成角可能为 60 D直线 AP 和 DQ 所成角可能为 30 12关于函数 f（x）ex+asinx，x（，+），下列说法正确的是（ ） A当 a1 时
6、，f（x）在（0，f（0）处的切线方程为 2xy+10 B当 a1 时，f（x）存在唯一极小值点 x0且1f（x0）0 C对任意 a0，f（x）在（，+）上均存在零点 D存在 a0，f（x）在（，+）上有且只有一个零点 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分 13已知 tan2，则 14 的展开式中 x3项的系数是 （用数字作答） 15已知点 A，BC 在半径为 2 的球面上，满足 ABAC1， 若 S 是球面上任 意一点，则三棱锥 SABC 体积的最大值为 16已知 F 为抛物线 x22py（p0）的焦点，抛物线内一点 A（1，p），M 为抛物线上任 意一点，|MA|+|M
7、F|的最小值为 3，则抛物线方程为 ；若线段 AF 的垂直平分线交 抛物线于 P，Q 两点，则四边形 APFQ 的面积为 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， （1）求角 A； （2）若 ，BC 边上的高为 3，求 c 18 已知等差数列an的前 n 项和为 Sn， bn是各项均为正数的等比数列， a1b4， ， b28，b13b34，是否存在正整数 k，使得数列 的前 k 项和 若存在，求出 k 的最小值；若不存在，说明理由 从S420，S32a3，3a3a4b2这三个条件中任选一个
8、，补充到上面问题中井 作答 注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分 19如图，三棱锥 PABC 中，点 E，F 分别是 AB，PB 的中点，点 G 是BCE 的重心 （1）证明：GF平面 PAC； （2）若平面 PAB平面 ABC，PAPB，PAPB，ACBC，AB2BC，求平面 EFG 与 平面 PFG 所成的锐二面角的余弦值 20推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要 环节 为了解居民对垃圾分类的了解程度某社区居委会随机抽取 1000 名社区居民参与问 卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表： 得分 30，40） 40，50） 50，60） 60
9、，70） 70，80） 80，90） 90，100 男性人数 40 90 120 130 110 60 30 女性人数 20 50 80 110 100 40 20 （1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试试估计其得分不低于 60 分的概率： （2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于 60 分）和“不太了 解”（得分低于 60）两类，完成 22 列联表，并判断是否有 95%的把握认为“居民对 垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？ 不太了解 比较了解 男性 女性 （3）从参与问卷测试且得分不低于 80 分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取 10 人，连同 n（nN*）名
10、男性调查员一起组成 3 个环保宣传队若从这 n+10 人中随机取 3 人作为队长，且男性队长人数的期望 不小于 2求 n 的最小值 附：K2 ，（na+b+c+d） 临界值表： P（K2k0 ） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21已知函数 f（x） （1）若 f（x）0 在（0，+）上恒成立，求 a 的取值范围，并证明：对任意的 nN*， 都有 1 ln（n+1）； （2）设 g（x）（x1）2ex讨论方程 f（x）g（x）实数根的个数 22已知椭圆 C：
11、 过点 ， ，且焦距为 4 （1）求椭圆 C 的标准方程 （2）设 P 为直线 l： 上一点，Q 为椭圆 C 上一点，以 PQ 为直径的圆恒过坐标 原点 O （i）求|OP|2+4|OQ|2的取值范围： （ii）是否存在圆心在原点的定圆恒与直线 PQ 相切？若存在，求出该定圆的方程；若不 存在，说明理由 参考答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求 1已知集合 Mx|yln（x+1），Ny|yex，则 MN（ ） A（1，0） B（1，+） C（0，+） DR 【分析】可以求出集合 M，N，然后进行交集的运算即可 解：M
12、x|x1，Ny|y0， MN（0，+） 故选：C 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，指数函数的值域，交集 的运算，考查了计算能力，属于基础题 2若复数 z 满足（1+i）z2i，其中 i 为虚数单位，则 （ ） A1i B1+i C22i D2+2i 【分析】通过化简求出 z，从而求出 z 的共轭复数即可 解：（1+i）z2i， z i（1i）1+i， 则 1i， 故选：A 【点评】本题考查了复数的运算，考查复数的化简求值，是一道基础题 3设 xR，则“|x2|1”是“x2+2x30”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析
13、】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 解：解不等式|x2|1，得 1x3；解不等式 x2+2x30，得 x3 或 x1设集合 Ax|1x3，集合 Bx|x3 或 x1 充分性：因为 AB，故充分性成立； 必要性：当 x3 或 x1 时，1x3 不一定成立，故必要性不成立； 综上“|x2|1”是“x2+2x30”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，对不等式的正确求解是解决本题的 关键 4数列Fn：F1F21，FnFn1+Fn2（n2），最初记载于意大利数学家斐波那契在 1202 年所著的算盘全书，若将数列Fn的每一项除以 2 所得的余数按原来项的顺
14、序 构成新的数列an，则数列an的前 50 项和为（ ） A33 B34 C49 D50 【分析】 将数列Fn的每一项除以 2 所得的余数按原来项的顺序构成新的数列an： 1， 1， 0，1，1，0，1，1，0，根据其周期性即可得出 解：将数列Fn的每一项除以 2 所得的余数按原来项的顺序构成新的数列an， 1，1，0，1，1，0，1，1，0， 则数列an的前 50 项和（1+1+0）16+1+134 故选：B 【点评】本题考查了斐波那契数列的通项公式及其性质、等差数列的通项公式、求和公 式、周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 5设 ABCD 为平行四边形， ， ， ，若点 M，N
15、满足 ， ，则 （ ） A23 B17 C15 D9 【分析】根据向量的三角形法则结合已知条件，把所求问题转化即可求解 解：如图： ABCD 为平行四边形， ， ， ，若点 M，N 满足 ， ， 则 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 42 46cos60 6 2 17 故选：B 【点评】本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是 向量的分解，表示 6如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小 木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小 木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内若小球下落过程中
16、向左、向右落下的机会均 等，则小球最终落号球槽的概率为（ ） A B C D 【分析】用小球落入球槽的种数除以小球落入下方的各个球槽的种数即可求得概率 解： 由题可知： 小球落入号球槽有 C 10 种情况， 小球落入下方球槽共有 2532， 小球最终落号球槽的概率为 故选：D 【点评】本题考查满足古典概型模型的事件的概率求法，属于中档题 7设 P 为直线 3x4y+40 上的动点，PA，PB 为圆 C：（x2）2+y21 的两条切线，A， B 为切点，则四边形 APBC 面积的最小值为（ ） A B C D 【分析】由题意可得四边形的面积等于两个相等的直角三角形的面积，可得 S r ， 最小时
17、是 PC 最小，即圆心到直线的距离最小，求出圆心到直线的距离即可 解：SAPBC2SPBC 2 BC PBBC r ， 由题意可得 BCr1，PC 最小是圆心（2，0）到直线的距离 d 2， 所以 S1 ， 故选：A 【点评】本题考查圆的切线方程，及圆心到直线上的点的最小距离为点到直线的距离， 属于中档题 8已知函数 ，实数 m，n 满足不等式 f（2mn）+f（2n）0，则下列不 等关系成立的是（ ） Am+n1 Bm+n1 Cmn1 Dmn1 【分析】容易看出 f（x）是 R 上的奇函数，并得出 ，从而得出 f（x） 是 R 上的增函数，这样即可由原不等式得出 f（2mn）f（n2），进而
18、得出 2mn n2，化简即可 解：f（x）的定义域为 R， ， f（x）是 R 上的奇函数， ，则 f（x）是 R 上的增函数， 由 f（2mn）+f（2n）0 得，f（2mn）f（n2）， 2mnn2， mn1 故选：C 【点评】本题考查了奇函数的定义，指数函数、反比例函数的单调性，增函数的定义， 考查了计算能力，属于基础题 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符 合要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 92020 年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延，疫情就是命令，防控就是 责任在党中央的坚强领导
19、和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场 坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争右侧的图表展示了 2 月 14 日至 29 日全国新冠肺 炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A16 天中每新增确诊病例数量呈下降趋势且 19 日的降幅最大 B16 天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数 C16 天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于 2000 D19 至 29 日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和 【分析】直接由频率分布折线图逐一核对四个选项得答案 解：由频率分布折线图可知，16 天中新增确诊病例数量整体呈下降趋势，但具体到每一
20、天有增有减，故 A 错误； 由每日新增确诊病例的数量大部分小于新增疑似病例的数量， 则 16 天中每日新增确诊病 例的中位数小于新增疑似病例的中位数，故 B 正确； 由图可知，16 天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于 2000，故 C 正确； 由图可知，20 日的新增治愈病例数量小于新增确诊与新增疑似病例之和，故 D 错误 正确的结论是 BC 故选：BC 【点评】本题考查频率分布折线图，考查学生读取图表的能力，是基础题 10已知 P 是双曲线 C：x23y2m1 上任一点，A，B 是双曲线上关于坐标原点对称的两 点，设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2（k1k20），若|
21、k|1+|k2|t 恒成立，且实数 t 的 最大值为 233，则下列说法正确的（ ） A双曲线的方程为 x23y21 B双曲线的离心率为 2 C函数 yloga（x1）（a0，a1）的图象恒过 C 的一个焦点 D直线 2x3y0 与 C 有两个交点 【分析】先设出涉及到的点 A、B、P 三点的坐标，然后代入双曲线方程，然后两式相减 可以得到 PA，PB 两直线斜率的关系，然后代入|k1|+|k2|化简，结合基本不等式即可得到 m 的值，问题可解 解：设 A（a，b），B（a，b），P（x，y）， 则 ， 两式相减得： ，即 ， ， 又因为 t 的最大值为 ，所以 m1 故双曲线的方程为 故 A
22、 正确； 所以 a ，b1，c2， 故 B 错误； 该双曲线的焦点为（2，0），函数 yloga（x1）的图象恒过点（2，0），故 C 正确； 又双曲线的渐近线为 y ，即 y ，直线 2x3y0 的斜率 ，且该直线 过原点，所以直线与双曲线没有交点故 D 错误 故选：AC 【点评】本题考查了双曲线的几何性质以及基本不等式等知识点，同时考查了学生运用 转化与化归思想、方程思想解决问题的能力，属于中档题 11如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P，M 分别为棱 CD，CC1的中点，Q 为面对角线 A1B 上任一点，则下列说法正确的是（ ） A平面 APM 内存在直线与 A1
23、D1平行 9 B平面 APM 截正方体 ABCDA1B1C1D1所得截面面积为 C直线 AP 和 DQ 所成角可能为 60 D直线 AP 和 DQ 所成角可能为 30 【分析】A 选项要验证直线 A1D1是否与平面 APM 平行可找与该直线平行的平面进行观 察； B 选项需要将面 APM 扩大，注意找平行线进行扩充； C，D 选项是否存在的问题可尝试寻找最大角和最小角 解：A 选项：直线 A1D1平面 ABCD，平面 ABCD平面 APM直线 AP，直线 AP 与直 线 A1D1不平行，于是 A 错； B 选项：平面 APM 截正方体为平面 APMB1，该四边形为等腰梯形， ，于是 B 正确；
24、 C，D 选项：当点 Q 在 A1时两直线的夹角最小，当 Q 在 B 处时两直线的夹角最大， ， ，所以可得 30，60，于是 C 正确，D 错误 故选：BC 【点评】本题考查的知识点比较多，难度较大既考查了线面的位置关系，有涉及到截 面和异面直线的夹角问题，难度较大 12关于函数 f（x）ex+asinx，x（，+），下列说法正确的是（ ） A当 a1 时，f（x）在（0，f（0）处的切线方程为 2xy+10 B当 a1 时，f（x）存在唯一极小值点 x0且1f（x0）0 C对任意 a0，f（x）在（，+）上均存在零点 D存在 a0，f（x）在（，+）上有且只有一个零点 【分析】直接法，逐一
25、验证选项，选项 A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方 程，选项 B 通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项 C、D，通过构造函数，将零 点问题转化判断函数与直线 ya 的交点问题 解：直接法，逐一验证 选项 A，当 a1 时，f（x）ex+sinx，x（，+），所以 f（0）1，故切点为（0， 1），f（x）ex+cosx，所以切线斜率 Kf（0）2， 故直线方程为：y12（x0），即切线方程为：2xy+10 选项 A 符合题意； 选项 B，当 a1 时，f（x）ex+sinx，x（，+），f（x）ex+cosx，f（x） exsinx0 恒成立，所以 f（x）单调递增， 又 f（ ）
26、e cos（ ）0 f（ ）20 故 f（x）存在唯一极值点， 不妨设 x0 （ ， ），则 f（x0）0，即 ， f（x0）e sinx0sinx0cosx0 sin（x0 ）（1，0），选项 B 符合题意； 对于选项 C、D，f（x）ex+asinx，x（，+），令 f（x）0，即 ex+asinx0， 当 xk，k1 且 kz 显然没有零点，故 xk，k1 且 kz， 所以 a 则令 F（x） ，F（x） ，令 F（x）0，解 得 x ，k3，kz， 所以 x（+k， ） 单调递减，x（ ，k） 单调递增，有极小 值 f（ ） ， x （k， ） 单调递增， x （ ， +k） 单调单调
27、递减， 有极大值 f （ ） ， 故选项 C，任意 a0 均有零点，不符合，选项 D，存在 a0，有且只有唯一零点，此时 a ， 故选：ABD 【点评】本题考查函数的切线、极值、零点问题，及参数 a 的处理，数学运算，逻辑推 理等学科素养的体现，属于中档题 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分 13已知 tan2，则 【分析】由已知利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简 所求即可计算得解 解：tan2， sin2 故答案为： 【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式 在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于
28、基础题 14 的展开式中 x3项的系数是 300 （用数字作答） 【分析】通项公式，分情况讨论 x3项，求得 r 的值，即可求 x3项的系数 解： 因为 （2x ） 6的展开式的通项公式为： T r+1 （2x） 6r 2 6r x 展开式中可得 x3项： 当 6 r0 即 r4 时，此时 x 3 系数为：1264 60 当 6 r3 即 r2 时，此时 x 3 的系数为：1262 240； x3项的系数为：60+240300 故答案为：300 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公 式，体现了转化的数学思想，属于基础题 15已知点 A，BC 在半径为 2
29、 的球面上，满足 ABAC1， 若 S 是球面上任 意一点，则三棱锥 SABC 体积的最大值为 【分析】在ABC 中，利用余弦定理求得 A ，在利用正弦定理求出ABC 的外接圆 的半径为 r1，由图可得当 SM平面 ABC，且三棱锥 SABC 的外接球的球心 O 在 SM 上时， 三棱锥SABC的体积的最大， 此时在RtOBM中， 利用勾股定理求出OM ， 所 以 SM2 ，再利用三棱锥的体积公式即可求出三棱锥 SABC 体积得最大值 解：在ABC 中，cosA ， 又A（0，）， A ， 设ABC 的外接圆的圆心为 M，半径为 r，在ABC 中，由正弦定理得 2r 2， r1， 如图所示：，
30、 当 SM平面 ABC，且三棱锥 SABC 的外接球的球心 O 在 SM 上时，三棱锥 SABC 的 体积的最大， 此时在 RtOBM 中，OB2，BM1，OM ，SM2 ， 三棱锥 SABC 的体积为： ， 故答案为： ， 【点评】本题主要考查了三棱锥外接球的问题，以及勾股定理的应用，是中档题 16已知 F 为抛物线 x22py（p0）的焦点，抛物线内一点 A（1，p），M 为抛物线上任 意一点，|MA|+|MF|的最小值为 3，则抛物线方程为 x24y ；若线段 AF 的垂直平分线 交抛物线于 P，Q 两点，则四边形 APFQ 的面积为 4 【分析】根据抛物线定义可得最小值为 A 到准线
31、y 的距离，进而可求得 p 的值；结 合条件可得 PQ：yx+2，联立方程，根据根与系数关系可得 PQ4 ，则可表示出 四边形的面积为 ，代入即可 解：由抛物线的定义可得|MA|+|MF|MA|+yM ，则最小值为 A 到准线 y 的距离， 所以（|MA|+|MF|）minp（ ）3，解得 p2，故抛物线的方程为 x 24y； 由 p2，得 A（1，2），F（0，1），则 AF 中点 N（ ， ），k AF1， 故 AF 垂直平分线 PQ 的方程为 y（x ） ，即 yx+2， 联立 ，整理得 x2+4x80， 设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则 x1+x24，x1x28， 所以|PQ
32、| 4 ， 则四边形 APFQ 的面积为 4 4 ， 故答案为 x24y，4 【点评】本题考查抛物线的定义的应用，考查直线与抛物线相交形成四边形的面积，属 于中档题 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， （1）求角 A； （2）若 ，BC 边上的高为 3，求 c 【分析】（1）根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求 得 cosA 的值进而求得 A （2）利用三角形的面积公式可求得 a ，进而根据余弦定理可得 c29c+180，解 方程可求 c 的值 解：（1）
33、 ， 由正弦定理可得： 2sinAcosA （sinBcosC+sinCcosB） ， 即 2sinAcosA sin （B+C） sinA， sinA0， cosA ， 由 A（0，），可得 A （2）SABC bcsinA a hBC，且 b2 ，h BC3，sinA ， c a3，解得 a ， 由余弦定理 a2b2+c22bccosA，可得（ ）2（2 ） 2+c22 c，即 c2 9c+180， 解得 c3 或 6 【点评】 本题主要考查了正弦定理、 余弦定理、 三角形的面积公式在解三角形中的应用 解 题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基础题 18已知等差数列an的
34、前 n 项和为 Sn，bn是各项均为正数的等比数列，a1b4， 或 或 ，b28，b13b34，是否存在正整数 k，使得数列 的前 k 项和 若存在，求出 k 的最小值；若不存在，说明理由 从S420，S32a3，3a3a4b2这三个条件中任选一个，补充到上面问题中井 作答 注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分 【分析】本题的第一步为求出数列通项公式，然后求出等差数列的前 n 项和题目中出 现的三个条件均可采用等差数列的定义和性质求解 解：设等比数列 的公比为 ，则 ，b38q， 于是 ， 即 ，解得 ， 舍 ， 若选，则 ， ， 解得 d2所以 ， ， 于是 令 ，解得 ，因为 为正
35、整数，所以k 的最小值为 16 若选：则 ， ，则 a1d2 下同 若选：则 a1b12，3（a1+2d）（a1+3d）8，解得 ， 于是 ， ， 于是 令 ，得 注意到 k 为正整数，解得 k7，所以 k 的最小值为 7 【点评】本题属于开放性的题目，要求我们选择合适的条件进行作答本题的难点在于 若选难度较大，需要我们合理的筛选 19如图，三棱锥 PABC 中，点 E，F 分别是 AB，PB 的中点，点 G 是BCE 的重心 （1）证明：GF平面 PAC； （2）若平面 PAB平面 ABC，PAPB，PAPB，ACBC，AB2BC，求平面 EFG 与 平面 PFG 所成的锐二面角的余弦值 【
36、分析】（1）利用中位线的性质可得 DEAC，进而得到 DE平面 PAC，同理可证 EF 平面 PAC，再利用面面平行的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面 EFG 与平面 PFG 的法向量，利用向量公式即可得 解 解：（1）证明：延长 EG 交 BC 于点 D，点 D 为 BC 的中点， D，E 分别是棱 BC，AB 的中点， DE 是ABC 的中位线，DEAC， 又 DE 不在平面 PAC 内，AC 在平面 PAC 内， DE平面 PAC， 同理可证 EF平面 PAC， 又 DEEFE，DE 在平面 DEF 内，EF 在平面 DEF 内， 平面 DEF平面 PAC， GF
37、在平面 DEF 内， GF平面 PAC； （2）连接 PE，因为 PAPB，E 是 AB 的中点，所以 PEAB， 又平面 PAB平面 ABC，平面 PAB平面 ABCAB，PE 在平面 PAB 内， PE平面 ABC， 以 E 为坐标原点，以 ， 所在直线分别为 y 轴，z 轴，以与 ， 垂直的方向为 x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Exyz， 设 EB1，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 EFG 的一个法向量为 ， ， ，则 ，则可取 ， ， ， 设平面 PFG 的一个法向量为 ， ， ，则 ，则可取 ， ， ， 设平面
38、EFG 与平面 PFG 所成的锐二面角的大小为 ，则 ， ， 平面 EFG 与平面 PFG 所成的锐二面角的余弦值为 【点评】本题考查面面平行的判定定理以及利用空间向量求解二面角的余弦值问题，考 查逻辑推理能力及计算能力，属于中档题 20推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要 环节 为了解居民对垃圾分类的了解程度某社区居委会随机抽取 1000 名社区居民参与问 卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表： 得分 30，40） 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 男性人数 40 90 120 130 110 60
39、30 女性人数 20 50 80 110 100 40 20 （1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试试估计其得分不低于 60 分的概率： （2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于 60 分）和“不太了 解”（得分低于 60）两类，完成 22 列联表，并判断是否有 95%的把握认为“居民对 垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？ 不太了解 比较了解 男性 250 330 女性 150 270 （3）从参与问卷测试且得分不低于 80 分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取 10 人，连同 n（n一、选择题*）名男性调查员一起组成 3 个环保宣传队若从这 n+10 人 中随机
40、取 3 人作为队长，且男性队长人数的期望 不小于 2求 n 的最小值 附：K2 ，（na+b+c+d） 临界值表： P（K2k0 ） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】（1）根据调查数据，算出问卷得分不低于 60 分的人数，即可得到得分不低于 60 分的概率： （2）计算 K 的观测值 K2，对照题目中的表格，得出统计结论； （3）随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，3，分别求出对应的概率，得到随机变量 的分布列，再由 E2，解出 n2 即可 解：
41、（1）由调查数据可得，问卷得分不低于 60 分的比率为： 0.6， 故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于 60 分的概率为 0.6； （2）由题意得列联表如下： 所以 K2 5.542， 因为 5.5423.841， 所以有 95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关； （3）由题意可知，分层抽样抽取的 10 人中，男性 6 人，女性 4 人， 随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，3， 其中 P （0） ， P （1） ， P （2） ， P （3） ， 所以随机变量 的分布列为： 0 1 2 3 P E 0 1 2 32， 1 2 32 ， 可得：6（n+6）+4（n+
42、6） （n+5） （n+6） （n+5） （n+4） （n+10） （n+9） （n+8）， 3（n+6）（n2+17n+72）2（n+10）（n+9）（n+8）， 3（n+6）2（n+10）， 解得：n2 【点评】本题考查了独立性检验的应用，考查了随机变量的期望，是中档题 21已知函数 f（x） （1）若 f（x）0 在（0，+）上恒成立，求 a 的取值范围，并证明：对任意的 nN*， 都有 1 ln（n+1）； （2）设 g（x）（x1）2ex讨论方程 f（x）g（x）实数根的个数 【分析】（1） 由已知不等式分离参数可得可得 a ， 然后构造函数 h （x） ， 然后 对其求导， 结合导
43、数与单调性的关系可求 h （x） 的范围， 然后进行合理的赋值即可证明； （2） 由f （x） g （x） 可得， ， 然后进行分离a ， 构 造函数 t（x） ，则对其求导，结合导数与单调性关系及函数的性质 可求 解：（1）由 f（x）0 在（0，+）上恒成立，可得 a ， 令 h（x） ，则 ， 当 x（0，1），h（x）0，函数单调递增，当 x（1，+），h（x）0，函数单 调递减， 故 h（x）在 x1 处取得最大值 h（1）1， 要使得 a ，则 a1， 显然当 a1 时， ，即 lnxx1 在 x1 时成立， 令 x 则 ln 1 ， 所以 ln ， 即 ， （2）由 f（x）g（
44、x）可得， ， 即 a ， 令 t（x） ，则 ， 当 x（0，1）时，t（x）0，函数单调递增，当 x（1，+）时，t（x）0，函 数单调递减， 故当 x1 时，t（x）取得最大值 t（1）1， 因为 x0 时，h（x），x+时，t（x）， 当 a1 时，f（x）g（x）只有一个实数解， 当 a1 时，方程 f（x）g（x）有 2 个不同的实数解， 当 a1 时，f（x）g（x）没有实数根 【点评】本题主要考查了利用导数及函数的性质在求解不等式的恒成立问题中的应用， 体现了转化思想的应用 22已知椭圆 C： 过点 ， ，且焦距为 4 （1）求椭圆 C 的标准方程 （2）设 P 为直线 l： 上一点，Q 为椭圆 C 上一点，以 PQ 为直径的圆恒过坐标 原点 O （i）求|OP|2+4|OQ|2的取值范围： （ii）是否存在圆心在原点的定圆恒与直线 PQ 相切？若存在，求出该定圆的方程；若不 存在，说明理由 【分析】（1）根据题意，列出关于 a，b，c 的方程组，解出 a，b，c 的值，即可求出椭 圆 C 的标准方程； （2）设 P（t，2 ），Q（x1，y1），由 0 可得 ，（i）代入椭圆， 得 ， ，利用两点间距离公式结合基本不等式可求 |OP|2+4
