1、已知 a0，b0，那么下列不等式中一定成立的是（ ） Aba0 Ba2b2 Ca2ab D 4 （5 分）已知数列an中，a12，an+1an2，那么 a8等于（ ） A16 B12 C12 D16 5 （5 分）已知点 A 的坐标是（1，0） ，点 M 满足|MA|2，那么 M 点的轨迹方程是（ ） Ax2+y2+2x30 Bx2+y22x30 Cx2+y2+2y30 Dx2+y22y30 6 （5 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，如表给出了 Sn的部分数据： n 1 2 3 4 5 6 Sn 1 那么数列an的第四项 a4等于（ ） A B C或 D或 7 （5 分）已知直线
2、yx1 交抛物线 y22x 于 A，B 两点，点 O 为坐标原点，那么OAB 的面积是（ ） A B C D 8 （5 分）如图所示，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA底面 ABCD，PA AB2，点 E，F 分别为棱 PD 的三等分点，点 M 为直线 PD 上的动点当直线 PB 与直 第 2 页（共 21 页） 线 CM 所成的角为 30时，M 点在（ ） A线段 PE 上 B线段 EF 上 C线段 FD 上 DPD 的延长线上 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分. 9 （5 分）当且仅当 x 时，函数取得
3、最小值 10 （5 分）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为 y2，那么该抛物线的标准方程 是 11 （5 分）已知向量 （2，4，2） ， （1，2，1）分别是两个不同平面 ， 的 法向量，可得向量与的数量关系是 ，进而得到平面 与 的位置关系 是 12 （5 分）写出满足下列条件的一个双曲线的方程： 焦点在 x 轴上，y 轴是对称轴； 一条渐近线的方程是 ykx（k2） 13 （5 分）如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖上有桥 AB（AB 是圆 O 的直径） 湖 的一侧有一条直线型公路 l，规划在公路 l 上选一个点 P，并修建一段直线型道路 PB已 知点 A，B 到直线 l 的距离分
4、别为 AC，BD，测得 AB10，AC6，BD12（单位：百 米） 若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长 某同学设计了下面的解题思路，请你将其补充完整 如图 3，过 O 作 OHl，垂足为 H，以 O 为坐标原点， 直线 OH 为 y 轴，建立平面直角坐标系 由已知 AB10，AC6，BD12， 计算得出 OH9，A（4，3） ，B（4，3） 从而得到直线 l 的方程为 y9，直线 AB 的斜率为 第 3 页（共 21 页） 由 PBAB，得直线 PB 的斜率为 ，进而得到直线 PB 的方程为 ， 得到点 P 的坐标为 ，计算得出 PB 的长为 百米 14 （5 分） “斐波那契
5、数列”是数学史上的一个著名的数列在斐波那契数列an中，a11， a21， an+2an+an+1（nN*） 设数列an的前 n 项和为 Sn， 若 a99， S99 （， R） ， 则 a100 三、 解答题：三、 解答题： 本大题共本大题共 6 小题， 共小题， 共 80 分分.解答应写出必要的文字说明； 证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明； 证明过程或演算步骤 15 （13 分）已知数列an是公差为 d 的等差数列，数列bn是公比为 q（q0）的等比数 列，且 a1b12，a4+a525，a3b34 （）求数列an和bn的通项公式； （）设 cnan+2，求数列cn的前 n 项和
6、Sn 16 （13 分）已知双曲线，抛物线 y22px（p0）的焦点与双曲线的一个焦点 相同，点 P（x0，y0）为抛物线上一点 （）求双曲线的焦点坐标； （）若 P 点到抛物线的焦点的距离是 5，求 x0的值 17 （13 分）已知圆 C 的圆心在 y 轴上，且过（0，0） ， （0，2）两点 （）求圆 C 的方程； （）若直线 l 经过点 P（2，2） ，且与圆 C 相切，求直线 l 的方程 18 （13 分）已知椭圆的上、下顶点分别为 A，B，点 M 是椭圆上异于 A，B 的 任意一点，过 M 点作 MNy 轴于点 N，E 为线段 MN 的中点，直线 AE 与直线 y1 交于点 C，G
7、为线段 BC 的中点，O 为坐标原点，连接 OE，EG，求OEG 的大小 以下是某同学的部分解答过程： 解：如图 4，因为点 A，B 为椭圆的上、下顶点， 所以 A（0，1） ，B（0，1） 第 4 页（共 21 页） 设 M（x0，y0） （x00） ， 所以 N（0，y0） ，图 4 因为 A（0，1） ，所以直线 AE 的方程为 令 y1，得，所以 因为 B（0，1） ，G 为线段 BC 的中点， 所以 （）请指出上述解答过程中的错误之处（指出错误源头即可） ； （）写出完整的正确的解答过程 19 （14 分）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别是 AB，A1C
8、的中点，AD AA12， （）求证：EF平面 ADD1A1； （）求二面角 FDEC 的余弦值； （）在线段 A1D1上是否存在点 M，使得 BM平面 EFD？若存在，求出的值； 若不存在，请说明理由 20 （14 分）已知椭圆+1（ab0）的焦点是 F1，F2，且|F1F2|2，离心率为 （）求椭圆的方程； （）过椭圆右焦点 F2的直线 l 交椭圆于 A（x1，y1） ，B（x2，y2） （x1x2）两点 第 5 页（共 21 页） （i）求|AF2|BF2|的最小值； （ii）点 Q 在直线 l 上异于 F2的一点，且满足，求证：点 Q 在一条定直 线上 第 6 页（共 21 页） 201
9、9-2020 学年北京市通州区高二（上）期末数学试卷学年北京市通州区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题：本大题共、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每个小题给出的四个备选答案中，在每个小题给出的四个备选答案中， 只有一个是符合题目要求的只有一个是符合题目要求的. 1 （5 分）双曲线的离心率是（ ） A B C D 【分析】双曲线的离心率等于半焦距 c 与半实轴 a 的比值，即 e，因此可以先根据双 曲线标准方程， 求出半实轴 a 和半虚轴 b 的值， 再用平方关系计算出半焦距 c， 最后算出双曲线的离心率
10、e 的值 【解答】解：双曲线方程为 双曲线的半实轴 a2，半虚轴 b1 双曲线的半焦距 c 可得双曲线的离心率为 e 故选：C 【点评】本题用一个简单的双曲线为例，考查了双曲线的基本概念和离心率的求法，属 于基础题 2 （5 分）已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1（3，0） ，F2（3，0） ，点 P 为椭圆 C 上一点， 且|PF1|+|PF2|10，那么椭圆 C 的短轴长是（ ） A6 B7 C8 D9 【分析】由已知求得 c，再由椭圆定义得 a，结合隐含条件求得 b，则椭圆 C 的短轴长可 求 【解答】解：由椭圆 C 的两个焦点分别为 F1（3，0） ，F2（3，0） ，得 c3， 又
11、 P 为椭圆 C 上一点，且|PF1|+|PF2|10，得 2a10，a5 ，则椭圆 C 的短轴长是 2b8 故选：C 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义的应用，是基础题 第 7 页（共 21 页） 3 （5 分）已知 a0，b0，那么下列不等式中一定成立的是（ ） Aba0 Ba2b2 Ca2ab D 【分析】由不等式的性质，逐项判断即可 【解答】解：由 a0 可得，a0，又 b0，故 ba0，故选项 A 错误； 取 a2，b1，则可知选项 B 错误； 由 a0，b0 可知，ab0，则选项 C 错误； 由 a0，b0 可知，故选项 D 正确 故选：D 【点评】本题考查不等式的性质，
12、考查逻辑推理能力，属于基础题 4 （5 分）已知数列an中，a12，an+1an2，那么 a8等于（ ） A16 B12 C12 D16 【分析】利用等差数列的通项公式即可得出 【解答】解：数列an中，a12，an+1an2，即 an+1an2， 数列an为等差数列，公差为2 那么 a822712 故选：B 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 5 （5 分）已知点 A 的坐标是（1，0） ，点 M 满足|MA|2，那么 M 点的轨迹方程是（ ） Ax2+y2+2x30 Bx2+y22x30 Cx2+y2+2y30 Dx2+y22y30 【分析】设出 M
13、的坐标，利用已知条件列出方程化简求解即可 【解答】解：设 M（x，y） ，点 A 的坐标是（1，0） ，点 M 满足|MA|2， 可得： （x+1）2+（y0）24， 即：x2+y2+2x30， 故选：A 【点评】本题考查轨迹方程的求法，是基本知识的考查，基础题 6 （5 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，如表给出了 Sn的部分数据： n 1 2 3 4 5 6 第 8 页（共 21 页） Sn 1 那么数列an的第四项 a4等于（ ） A B C或 D或 【分析】由题意得等比数列an中，且 q0，由此求 出公式 q，从而能求出结果 【解答】解：由题意得等比数列an中， ，且 q0，
14、 ，解得 q， 故选：B 【点评】本题考查等比数列的第 4 项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题 7 （5 分）已知直线 yx1 交抛物线 y22x 于 A，B 两点，点 O 为坐标原点，那么OAB 的面积是（ ） A B C D 【分析】联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|AB|，由点到直线 的距离公式可得 O 到 AB 的距离，再由三角形的面积公式可得所求值 【解答】解：直线 yx1 与抛物线 y22x 联立，可得 x24x+10， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，可得 x1+x24，x1x21， 则|AB|2， 点 O 到直
15、线 xy10 的距离为 d， 则ABO 的面积为 S|AB|d2， 第 9 页（共 21 页） 故选：C 【点评】本题考查直线和抛物线的位置关系，考查弦长公式的运用，以及点到直线的距 离公式，考查化简运算能力，是一道基础题 8 （5 分）如图所示，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA底面 ABCD，PA AB2，点 E，F 分别为棱 PD 的三等分点，点 M 为直线 PD 上的动点当直线 PB 与直 线 CM 所成的角为 30时，M 点在（ ） A线段 PE 上 B线段 EF 上 C线段 FD 上 DPD 的延长线上 【分析】由已知可得 AB、AD、AP 两两互相垂直，以 A
16、 为坐标原点，分别以 AB、AD、 AP 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，求出，设，则 ，由直线 PB 与直线 CM 所成的角为 30，得|cos|，由此求 值得答案 【解答】解：如图，底面 ABCD 是正方形，PA底面 ABCD， AB、AD、AP 两两互相垂直， 以 A 为坐标原点，分别以 AB、AD、AP 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系， 则 B（2，0，0） ，P（0，0，2） ，C（2，2，0） ，D（0，2，0） ， ， 设，则， 由直线 PB 与直线 CM 所成的角为 30， 得|cos|， 解得：（舍）或 第 10 页（共 21 页） M 点在线段
17、FD 上 故选：C 【点评】本题考查利用空间向量求解空间角，考查空间想象能力与思维能力，考查计算 能力，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分. 9 （5 分）当且仅当 x 时，函数取得最小值 【分析】利用基本不等式的性质即可得出 【解答】解：x0，yx+21，当且仅当 x时取等号 故答案为： 【点评】本题考查了基本不等式的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 10 （5 分）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为 y2，那么该抛物线的标准方程是 x2 8y 【分析】根据题意，要求抛物线的方程为 x22py，
18、由抛物线的准线方程可得2， 解可得 p 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，抛物线的顶点在原点，准线方程为 y2，则抛物线的焦点在 y 轴正半轴上， 设要求抛物线的方程为 x22py， 则有2，解可得 p4， 则抛物线的标准方程为：x28y； 故答案为：x28y 第 11 页（共 21 页） 【点评】本题考查抛物线的标准方程以及抛物线的准线方程，注意抛物线标准方程的形 式，属于基础题 11 （5 分）已知向量 （2，4，2） ， （1，2，1）分别是两个不同平面 ， 的 法向量，可得向量 与 的数量关系是 ，进而得到平面 与 的位置关系是 平行 【分析】根据两个向量的坐标能求出两个向量的数
19、量关系，利用两个向量的倍数关系能 判断两个平面的位置关系 【解答】解：向量 （2，4，2） ， （1，2，1）分别是两个不同平面 ， 的法向量， 可得向量 与 的数量关系是， 进而得到平面 与 的位置关系是平行 故答案为：，平行 【点评】本题考查两个平面的法向量的数量关系和判断，进而考查两个平面的位置关系 的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 12 （5 分）写出满足下列条件的一个双曲线的方程： x21（答案不唯一） 焦点在 x 轴上，y 轴是对称轴； 一条渐近线的方程是 ykx（k2） 【分析】由可知双曲线是焦点在 x 轴上的双曲线，再由可得
20、2，由此可写出满 足条件的一个双曲线的方程 【解答】解：由可知，双曲线方程为（a0，b0） ， 由可知，2，则2 由此可得，双曲线的方程为 x21（答案不唯一） 第 12 页（共 21 页） 故答案为：x21（答案不唯一） 【点评】本题考查双曲线的简单性质，是基础题 13 （5 分）如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖上有桥 AB（AB 是圆 O 的直径） 湖 的一侧有一条直线型公路 l，规划在公路 l 上选一个点 P，并修建一段直线型道路 PB已 知点 A，B 到直线 l 的距离分别为 AC，BD，测得 AB10，AC6，BD12（单位：百 米） 若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路
21、PB 的长 某同学设计了下面的解题思路，请你将其补充完整 如图 3，过 O 作 OHl，垂足为 H，以 O 为坐标原点， 直线 OH 为 y 轴，建立平面直角坐标系 由已知 AB10，AC6，BD12， 计算得出 OH9，A（4，3） ，B（4，3） 从而得到直线 l 的方程为 y9，直线 AB 的斜率为 由 PBAB， 得直线 PB 的斜率为 ， 进而得到直线 PB 的方程为 4x+3y+250 ， 得到点 P 的坐标为 （13，9） ，计算得出 PB 的长为 15 百米 【分析】由 A，B 的坐标直接求出直线 AB 的斜率，再由 PBAB，斜率互为负倒数求出 直线 PB 的斜率， 进而求出
22、过 B 的直线方程， 再由直线 PB 的方程与 y9 求出交点坐标 P， 最后由两点间的距离公式求出 PB 的长 【解答】解：由 A，B 的坐标直接求出 AB 的斜率 k； PBAB， 所以 kPB， 所以直线 PB 的方程为：y （3）x （4）， 整理得：4x+3y+250； 联立直线 PB 与直线 l 的方程：解得：，即 P 的坐标： （13，9） ； 由两点间的距离公式 d15； 第 13 页（共 21 页） 故答案分别为：，4x+3y+250， （13，9） ，15 【点评】考查两点式求斜率，互相垂直的直线的斜率关系，直线的点斜式方程，两条直 线的交点即两点间的距离公式，属于基础题
23、14 （5 分） “斐波那契数列”是数学史上的一个著名的数列在斐波那契数列an中，a11， a21， an+2an+an+1（nN*） 设数列an的前 n 项和为 Sn， 若 a99， S99 （， R） ， 则 a100 +1 【分析】由已知条件，a1+a2a3，a2+a3a4，a97+a98a99，a98+a99a100，以上 累加即可得到答案 【解答】解：依题意， a1+a2a3， a2+a3a4， a3+a4a5， a97+a98a99， a98+a99a100， 以上各式相加得， a1+2a2+2a3+2a98+a99a3+a4+a98+a99+a100， a1+a2+a99a99+
24、a100a2， S99a99+a1001， a100+1 故答案为：+1 【点评】本题考查数列的递推关系，考查累加法的运用，考查运算能力及逻辑推理能力， 难度不大 三、 解答题： 本大题共三、 解答题： 本大题共 6 小题， 共小题， 共 80 分分.解答应写出必要的文字说明； 证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明； 证明过程或演算步骤 15 （13 分）已知数列an是公差为 d 的等差数列，数列bn是公比为 q（q0）的等比数 列，且 a1b12，a4+a525，a3b34 （）求数列an和bn的通项公式； （）设 cnan+2，求数列cn的前 n 项和 Sn 【分析】 （）由题意列式
25、求得 d，得到等差数列的通项公式，求得 a3，再由 a3b34 求 第 14 页（共 21 页） 得 b3，得到公比，则等比数列的通项公式可求； （）把（）中的通项公式代入 cnan+2，利用数列的分组求和及等差数列的前 n 项 和公式求数列cn的前 n 项和 Sn 【解答】解： （）数列an是公差为 d 的等差数列，a12，a4+a525， a1+3d+a1+4d25，得 d3 an2+3（n1）3n1， a38 a3b34， ， b12，q0， ； （）cnan+2，Sn是数列cn的前 n 项和， Snc1+c2+cna1+2+a2+2+an+2（a1+a2+an）+（2+2+2） 【点评
26、】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和，考查等比数列的通项公式，是基础 题 16 （13 分）已知双曲线，抛物线 y22px（p0）的焦点与双曲线的一个焦点 相同，点 P（x0，y0）为抛物线上一点 （）求双曲线的焦点坐标； （）若 P 点到抛物线的焦点的距离是 5，求 x0的值 【分析】 （）求得双曲线的 a，b，c，可得焦点坐标； （）求得抛物线的焦点坐标和准线方程，由题意可得 p4，再由抛物线的定义，可得 所求点的横坐标 【解答】解： （）因为双曲线的方程为， 所以 a21，b23， 所以 c2a2+b24所以 c2， 第 15 页（共 21 页） 所以双曲线的焦点坐标为（2，0）
27、， （2，0） ； （）因为抛物线 y22px（p0）的焦点与双曲线的一个焦点相同， 所以抛物线 y22px（p0）的焦点是（2，0） ， 所以 p4， 因为点 P（x0，y0）为抛物线上一点， 所以点 P（x0，y0）到抛物线的焦点的距离等于点 P（x0，y0）到抛物线的准线 x2 的 距离 因为 P 点到抛物线的焦点的距离是 5，所以 x0+25， 所以 x03 【点评】本题考查双曲线和抛物线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属 于基础题 17 （13 分）已知圆 C 的圆心在 y 轴上，且过（0，0） ， （0，2）两点 （）求圆 C 的方程； （）若直线 l 经过点 P（2，
28、2） ，且与圆 C 相切，求直线 l 的方程 【分析】 （）根据题意，设 C 的坐标为（0，b） ，可得圆 C 的方程为 x2+（yb）2r2， 将两个点的坐标代入，计算可得 b、r 的值，即可得答案； （）根据题意，设直线 l 的方程为 y2k（x2） ，即 kxy2k+20，由直线与圆 相切的判断方法可得解可得 k 的值，将 k 的值代入直线的方程，即可得 答案 【解答】解： （）根据题意，因为圆 C 的圆心在 y 轴上，则设 C 的坐标为（0，b） ， 则圆 C 的方程为 x2+（yb）2r2， 因为圆 C 过（0，0） ， （0，2）两点， 所以解得 所以圆 C 的方程是 x2+（y1
29、）21； （）依题意，知直线 l 的斜率存在，又由直线 l 经过点 P（2，2） ， 所以设直线 l 的方程为 y2k（x2） ，即 kxy2k+20； 因为直线 l 与圆 C 相切，则有解得 k0，或； 第 16 页（共 21 页） 所以直线 l 的方程是 y2 或 【点评】本题考查圆的标准方程以及直线与圆相切的判断，关键是求出圆的方程，属于 基础题 18 （13 分）已知椭圆的上、下顶点分别为 A，B，点 M 是椭圆上异于 A，B 的 任意一点，过 M 点作 MNy 轴于点 N，E 为线段 MN 的中点，直线 AE 与直线 y1 交于点 C，G 为线段 BC 的中点，O 为坐标原点，连接
30、OE，EG，求OEG 的大小 以下是某同学的部分解答过程： 解：如图 4，因为点 A，B 为椭圆的上、下顶点， 所以 A（0，1） ，B（0，1） 设 M（x0，y0） （x00） ， 所以 N（0，y0） ，图 4 因为 A（0，1） ，所以直线 AE 的方程为 令 y1，得，所以 因为 B（0，1） ，G 为线段 BC 的中点， 所以 （）请指出上述解答过程中的错误之处（指出错误源头即可） ； （）写出完整的正确的解答过程 【分析】 （）直接指出：直线 AE 的方程为处出错 （ ） 通 过 已 知 解 得， 修 改 直 线 AE 的 方程 为 ： y 1 ， 推 出 然后求解向量的数量积，
31、化简求解即可 第 17 页（共 21 页） 【解答】解： （） “所以直线 AE 的方程为处出错 （）因为点 A，B 为椭圆的上、下顶点，所以 A（0，1） ，B（0，1） 设 M（x0，y0） （x00） ， 所以 N（0，y0） ， 因为 A（0，1） ，所以直线 AE 的方程为：y1， 令 y1，得，所以 因为因为 B（0，1） ，G 为线段 BC 的中点， 所以 所以， 因为点 M 是椭圆上的一点，所以，即 所以 1y01+y00 所以 所以OEG90 所以EOG 的大小是 90 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是 中档题 19 （14 分）如
32、图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别是 AB，A1C 的中点，AD AA12， （）求证：EF平面 ADD1A1； （）求二面角 FDEC 的余弦值； 第 18 页（共 21 页） （）在线段 A1D1上是否存在点 M，使得 BM平面 EFD？若存在，求出的值； 若不存在，请说明理由 【分析】 （） 连接 AD1， A1D 交于点 O， 连接 FO， 推导出四边形 AEFO 是平行四边形 从 而 EFAO由此能证明 EF平面 ADD1A1 （）以点 A 为坐标原点，直线 AB，AD，AA1为分别 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角 坐标系，利用向量法能求出二面角 FDE
33、C 的余弦值 （） 假设在线段 A1D1上存在一点 M， 使得 BM平面 EFD 求出 和 平面 EFD 的一个法向量为， 由与 不平行 得到在线段 A1D1上不 存在点 M，使得 BM平面 EFD 【解答】解： （）证明：连接 AD1，A1D 交于点 O，连接 FO，所以点 O 是 A1D 的中点 又因为 F 是 A1C 的中点，所以 OFCD， 因为 AECD，所以 OFAE，OFAE 所以四边形 AEFO 是平行四边形所以 EFAO 因为 EF平面 ADD1A1，AO平面 ADD1A1， 所以 EF平面 ADD1A1 第 19 页（共 21 页） （）解：以点 A 为坐标原点，直线 AB
34、，AD，AA1为分别 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间 直角坐标系， 因为点 E，F 分别是 AB，A1C 的中点，ADAA12，AB， 所以，D（0，2，0） ， 所以， 设平面 EFD 的法向量为， 所 以即令y 1 ， 则z 1 ， 所 以 由题知，平面 ABCD 的一个法向量为， 所以 又因为二面角 FDEC 为锐角，所以二面角 FDEC 的余弦值是 （）解：假设在线段 A1D1上存在一点 M，使得 BM平面 EFD 设点 M 的坐标为（0，t，2） 所以 因为平面 EFD 的一个法向量为， 所以与 不平行 所以在线段 A1D1上不存在点 M，使得 BM平面 EFD 【点评】本题考查线
35、面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面垂直的 点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考 查运算求解能力，是中档题 20 （14 分）已知椭圆+1（ab0）的焦点是 F1，F2，且|F1F2|2，离心率为 （）求椭圆的方程； （）过椭圆右焦点 F2的直线 l 交椭圆于 A（x1，y1） ，B（x2，y2） （x1x2）两点 （i）求|AF2|BF2|的最小值； 第 20 页（共 21 页） （ii）点 Q 在直线 l 上异于 F2的一点，且满足，求证：点 Q 在一条定直 线上 【分析】 （）求出 c1结合离心率为，求出 a，b，然后求解椭圆的方程
36、 （） （i）通过当直线 l 的斜率不存在时，验证即可 当直线 l 的斜率存在时，设为 k，所以直线 l 的方程可设为：yk（x1） 联立方程组 消去 y，整理得（1+2k2）x24k2x+2k220利用韦达定理，弦长公式， 推出|AF2|BF2|的表达式，然后求解最小值 （ii）点 Q 在直线 l 上，设点 Q 的坐标是（m，k（m1） ） 通过，点 Q 一定在 BA 的延长线上，得到求出 m，然后推出结果 【解答】 （）解：因为椭圆的焦点是 F1，F2，且|F1F2|2，所以 c1 因为离心率为，所以 所以 b1 所以椭圆的方程是 （） （i）解：由（）知 F2（1，0） ， 当直线 l
37、的斜率不存在时， 所以 当直线 l 的斜率存在时，设为 k，所以直线 l 的方程可设为：yk（x1） 联立方程组消去 y，整理得（1+2k2）x24k2x+2k220 所以， 所以， 第 21 页（共 21 页） 所以 当 k20 时，|AF2|BF2|取最大值为 1 所以|AF2|BF2|的取值范围是 因为当直线 l 的斜率不存在时， 所以|AF2|BF2|的最小值是 （ii）证明：因为点 Q 在直线 l 上，所以设点 Q 的坐标是（m，k（m1） ） 因为，所以点 Q 一定在 BA 的延长线上 所以 所以（m+1） （x1+x2）2x1x22m0 所以 所以 m2 所以点 Q 的坐标是（2，k） 所以点 Q 在定直线 x2 上 【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合 应用，考查转化思想以及计算能力，是难题
