1、已知 i 是虚数单位，a，bR， “a0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5 （4 分）已知数列an满足 an+12an0，且 a1+a3+a521，那么 a3+a5+a7（ ） A B33 C42 D84 6 （4 分）同学们都知道，在需要评委打分的比赛中，为防止极端值对平均分的影响，计算 最终平均分的时候，需要去掉最高分和最低分如果在某次比赛中，n（n3）位评委所 打分数去掉一个最高分算得平均分记为， 去掉一个最低分算得平均分记为， 同时去 掉一个最高分和一个最低分算得平均分记为，那么，的大小关系为（ ）
2、A B C D 7 （4 分）已知函数的导函数为 f（x） ，若 f（x1）f（x2）则 x1，x2的大小关系 不可能为（ ） A0x1x2 B0x2x1 Cx10x2 Dx20x1 第 2 页（共 16 页） 8 （4 分）已知等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，首项 a124若当且仅当 n4 时，Sn取得最小值，则 d 的取值可能是（ ） A5 B6 C7 D8 9 （4 分）已知 a0，b0若 2 是 2a与 2b的等比中项，则 a2+b2的最小值为（ ） A B C2 D4 10 （4 分）某同学解答一道导数题： “已知函数 f（x）sinx，曲线 yf（x）在点（0，0）
3、 处的切线为 l求证：直线 l 在点（0，0）处穿过函数 f（x）的图象 ” 该同学证明过程如下： 证明：因为 f（x）sinx， 所以 f（x）cosx 所以 f（0）1 所以曲线 yf（x）在点（0，0）处的切线方程为 yx 若想证直线 l 在点（0，0）处穿过函数 f（x）的图象， 只需证 g（x）f（x）xsinxx 在 x0 两侧附近的函数值异号 由于 g（x）cosx10， 所以 g（x）在 x0 附近单调递减 因为 g（0）0， 所以 g（x）在 x0 两侧附近的函数值异号 也就是直线 l 在点（0，0）处穿过函数 f（x）的图象 参考该同学解答上述问题的过程，请你解答下面问题：
4、 已知函数 f（x）x3ax2，曲线 yf（x）在点 P（1，f（1） ）处的切线为 l若 l 在点 P 处穿过函数 f（x）的图象，则 a 的值为（ ） A3 B C0 D3 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 11 （4 分）已知 i 是虚数单位，复数 12 （4 分）不等式 x（1x）0 的解集是 13 （4 分）已知函数 ysinx 在区间，上的平均变化率分别为，k1， k2，那么 k1，k2的大小关系为 第 3 页（共 16 页） 14 （4 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，Sn2n+cn （n1，nN*） ，且 a37，则首
5、项 a1 的值是 15（4 分） 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 直线 BD1与平面 A1C1D 所成角的大小为 16 （4 分）有边长为 1 的正方形，取其对角线的一半作边，构成新的正方形，再取新正方 形对角线的一半作边，构成正方形如此形成一个边长不断缩小的正方形系列 （1）从原始的正方形开始计数，到第 2 次构成新正方形时，共有 3 个正方形，第 3 个正 方形的边长为 ； （2）如果将这一过程延续下去，记前 n 个正方形面积的和为 Sn若nN*，Snm，则 整数 m 的最小值为 三、解答题共三、解答题共 4 小题，小题，共共 36 分解应写出文学说明，演算步骤或证明过程分解应写出
6、文学说明，演算步骤或证明过程 17 （9 分）已知函数 f（x）exx （1）求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）求函数 f（x）的单调区间 18 （9 分）设an是等差数列，且 a22，2a1+a35 （1）求an的通项公式； （2）设，求数列bn的前 n 项和为 Sn 19 （9 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 ACC1A1平面 ABB1A1，ACABAA1 2CAA1BAA160，O 为 AA1的中点 （1）求证：OC平面 ABB1A1； （2）求证：直线 AB 与 A1C1不垂直； （3）求二面角 A1ABC1的余弦值 20 （9 分）已知函数
7、 f（x）lnx+1，f（x）是 f（x）的导函数 （1）令函数 g（x）f（x）+f（x） ，求 g（x）的最小值； （2）若关于 x 的方程 f（x）f（x）a 恰有两个不同的实根 x1，x2 （i）写出实数 a 的取值范围（不需要证明） ； 第 4 页（共 16 页） （ii）证明：|x2x1|1 第 5 页（共 16 页） 2019-2020 学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小小题，每小题题 4 分，共分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题分，在每
8、小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分）若 ab0，c0，则有（ ） Aacbc Bb+ca+c Cacbc D 【分析】利用不等式的性质直接判断即可 【解答】解：c0， c0， 又 ab0， acbc， 故选：A 【点评】本题考查不等式性质的运用，属于基础题 2 （4 分）已知向量（1，0，1） ，（2，1，1） ，那么向量（ ） A （3，1，0） B （1，1，2） C （1，1，2） D 【分析】直接利用向量减法坐标运算公式，即可求出向量坐标 【解答】解：因为：向量（1，0，1） ，（2，1，1） ， 所以向量（1，1，2） 故选：C 【点评】本题考查
9、了中点坐标公式、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 3 （4 分）命题“x（0，+） ，exx+1”的否定是（ ） Ax（，0，exx+1 Bx（，0，exx+1 Cx0（0，+） ，+1 Dx0（0，+） ，+1 第 6 页（共 16 页） 【分析】根据全称命题“xp，p（x） ； “的否定是：特称命题“x0p，p（x0） ； “对 照选项即可选出 【解答】解：命题“x（0，+） ，exx+1”的否定是：x0（0，+） ，+1； 故选：D 【点评】本题考查了全称命题的否定，属于基础题 4 （4 分）已知 i 是虚数单位，a，bR， “a0”是“复数 a+bi 是纯虚数”
10、的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】复数 a+bi 是纯虚数，则，即可判断出结论 【解答】解：复数 a+bi 是纯虚数，则， “a0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了纯虚数的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 5 （4 分）已知数列an满足 an+12an0，且 a1+a3+a521，那么 a3+a5+a7（ ） A B33 C42 D84 【分析】判断数列是等比数列，结合公比，利用等比数列的性质求解即可 【解答】解：数列an满足 an+12an0，所以数列是等比
11、数列，公比为 2， a1+a3+a521，那么 a3+a5+a7（a1+a3+a5）2221484 故选：D 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的性质的应用，考查计算能力 6 （4 分）同学们都知道，在需要评委打分的比赛中，为防止极端值对平均分的影响，计算 最终平均分的时候，需要去掉最高分和最低分如果在某次比赛中，n（n3）位评委所 打分数去掉一个最高分算得平均分记为， 去掉一个最低分算得平均分记为， 同时去 掉一个最高分和一个最低分算得平均分记为，那么，的大小关系为（ ） A B C D 第 7 页（共 16 页） 【分析】直接由几组数的定义即可判断 【解答】解：评委所打分数去
12、掉一个最高分算得平均分记为， 去掉一个最低分算得平均分记为， 同时去掉一个最高分和一个最低分算得平均分记为， 所以：，的大小关系为： 故选：D 【点评】本题主要考查数据分析，属于基础题目 7 （4 分）已知函数的导函数为 f（x） ，若 f（x1）f（x2）则 x1，x2的大小关系 不可能为（ ） A0x1x2 B0x2x1 Cx10x2 Dx20x1 【分析】先对函数求导，结合已知不等式，代入结合选项即可判断 【解答】解：， f（x）， 若 f（x1）f（x2） ， ， ， 结合选项可知，0x2x1显然不可能， 故选：B 【点评】本题主要考查了导数的基本运算，属于基础试题 8 （4 分）已知
13、等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，首项 a124若当且仅当 n4 时，Sn取得最小值，则 d 的取值可能是（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】结合已知可得，解不等式可求公差的范围，可求 【解答】解：等差数列an的公差为 d，a124当且仅当 n4 时，Sn取得最小值， 第 8 页（共 16 页） 则， 解可得 6d8， 结合选项可知，C 符合 故选：C 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题 9 （4 分）已知 a0，b0若 2 是 2a与 2b的等比中项，则 a2+b2的最小值为（ ） A B C2 D4 【分析】结合基本不等式（）2即可求解最小值
14、 【解答】解：由题意可得，2a2b4，即 a+b2， 由（）2可得，a2+b22， 当且仅当 ab 时取得等号，此时最小值 2 故选：C 【点评】本题主要考查 了利用基本不等式求解最值，属于基础试题 10 （4 分）某同学解答一道导数题： “已知函数 f（x）sinx，曲线 yf（x）在点（0，0） 处的切线为 l求证：直线 l 在点（0，0）处穿过函数 f（x）的图象 ” 该同学证明过程如下： 证明：因为 f（x）sinx， 所以 f（x）cosx 所以 f（0）1 所以曲线 yf（x）在点（0，0）处的切线方程为 yx 若想证直线 l 在点（0，0）处穿过函数 f（x）的图象， 只需证 g
15、（x）f（x）xsinxx 在 x0 两侧附近的函数值异号 由于 g（x）cosx10， 所以 g（x）在 x0 附近单调递减 因为 g（0）0， 所以 g（x）在 x0 两侧附近的函数值异号 也就是直线 l 在点（0，0）处穿过函数 f（x）的图象 参考该同学解答上述问题的过程，请你解答下面问题： 第 9 页（共 16 页） 已知函数 f（x）x3ax2，曲线 yf（x）在点 P（1，f（1） ）处的切线为 l若 l 在点 P 处穿过函数 f（x）的图象，则 a 的值为（ ） A3 B C0 D3 【分析】求出切线方程，构造函数 g（x） ，只需证 g（x）f（x）（32a）xa+2 在 x
16、1 两侧附近的函数值异号，利用 g（x）的单调性判断出即可 【解答】解：f（x）x3ax2，f（x）3x22ax， f（1）32a，f（1）1a， 所以直线 l：y（32a） （x1）+1a，y（32a）x+a2， 若 l 在点 P 处穿过函数 f（x）的图象， 只需证 g（x）x3ax2（32a）xa+2 在 x1 两侧附近的函数值异号 由于 g（1）1a（32a）a+20， g（x）3x22ax（32a）（x1） （3x+32a）3（x1） （x） ， 当 a3 时，g（x）函数在（，1）递增，在（1，）递减，而 g （1）0，所以 g（1）为函数的极大值， 在 x1 两侧函数值小于等于
17、0，不成立， 同理当 a3 时，也不成立， 当 a3 时，g（x）3（x1）20，所以函数 g（x）单调递增，又 g（1）0， 所以在 x1 两侧附近的函数值异号， 故 a3， 故选：A 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是中档题 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 11 （4 分）已知 i 是虚数单位，复数 2i 【分析】利用复数的四则运算法则进行化简即可 【解答】解： 故答案为：2i 【点评】本题主要考查复数的四则运算，比较基础 12 （4 分）不等式 x（1x）0 的解集是 （0，1） 第 10 页（共 16 页）
18、【分析】把不等式 x（1x）0 化为 x（x1）0，求出解集即可 【解答】解：不等式 x（1x）0 可化为 x（x1）0， 解得 0x1， 该不等式的解集是（0，1） 故答案为： （0，1） 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是容易题 13 （4 分）已知函数 ysinx 在区间，上的平均变化率分别为，k1， k2，那么 k1，k2的大小关系为 k1k2 【分析】根据平均变化率列出相应的式子，在讨论自变量的情况下，比较两个数的大小 【解答】解：当 x0，时，平均变化率 k1， 当 x，时，平均变化率 k2， k1k2， 故答案为：k1k2 【点评】应熟练掌握函数在某点附近的平均
19、变化率，属于基础 题 14 （4 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，Sn2n+cn （n1，nN*） ，且 a37，则首项 a1 的值是 5 【分析】本题利用公式 anSnSn1（n2）即可得到 a3的表达式，再根据 a37 可得 到 c 的值，再根据 a1S1即可计算出结果 【解答】解：由题意，当 n1 时，a1S121+c2+c， 当 n2 时，anSnSn12n+cn2n 1c（n1）2n1+c a323 1+c4+c7， 解得 c3 a12+c2+35 故答案为：5 第 11 页（共 16 页） 【点评】本题主要考查求数列的通项公式，再根据通项公式求出具体项的值，本题属基 础题 1
20、5（4 分） 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 直线 BD1与平面 A1C1D 所成角的大小为 【分析】利用正方体的性质可得：BD1A1C1，BD1A1D，即可证明 【解答】解：如图所示， 由正方体的性质可得：BD1A1C1，BD1A1D， A1C1A1D， BD1平面 A1C1D， BD1与平面 A1C1D 所成的角为 故答案为： 【点评】本题考查了正方体的性质、空间角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 16 （4 分）有边长为 1 的正方形，取其对角线的一半作边，构成新的正方形，再取新正方 形对角线的一半作边，构成正方形如此形成一个边长不断缩小的正方形系列 （1）从原始的正方形开
21、始计数，到第 2 次构成新正方形时，共有 3 个正方形，第 3 个正 方形的边长为 ； （2）如果将这一过程延续下去，记前 n 个正方形面积的和为 Sn若nN*，Snm，则 整数 m 的最小值为 2 【分析】 （1）分别写出对应的正方形边长，即可得出第 3 个正方形的边长； （2）设原正方形面积为 A1，新的正方形面积依次为 A2，A3，An； 易知An是等比数列，求出它的前 n 项和，即可得出 m 的最小值 【解答】解： （1）原正方形的边长为 1，第 1 次构成正方形的边长为， 第 2 次构成新正方形的边长为， 第 12 页（共 16 页） 即第 3 个正方形的边长为； （2）设原正方形面
22、积为 A1，新的正方形面积依次为 A2，A3，An； 易知：A11，A2，A3，An， 该数列是一个等比数列； 由 A1+A2+A3+An22， 若nN*，Snm，则整数 m 的最小值为 2 故答案为：，2 【点评】本题考查了等比数列的判断与求和问题，也考查了分析解决问题的能力，是中 档题 三、解答题共三、解答题共 4 小题，共小题，共 36 分解应写出文学说明，演算步骤或证明过程分解应写出文学说明，演算步骤或证明过程 17 （9 分）已知函数 f（x）exx （1）求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）求函数 f（x）的单调区间 【分析】 （1）结合导数的几何意义可求
23、切线斜率，进而可求切线方程， （2）结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调区间 【解答】解： （1）由题意可得 f（0）1，即切点（0，1） ， f（x）ex1， 故在（0，1）处的切线斜率 k0，切线方程为 y1， （2）f（x）ex1， 当 x（0，+）时，f（x）ex10，函数单调递增，当 x（，0）时，f（x） ex10，函数单调递减， 故函数的单调递增区间为（0，+） ，单调递减区间为（，0） 【点评】本题主要考查了函数的导数几何意义及单调性与导数关系的简单应用，属于基 础试题 18 （9 分）设an是等差数列，且 a22，2a1+a35 （1）求an的通项公式； 第 13 页（共
24、 16 页） （2）设，求数列bn的前 n 项和为 Sn 【分析】 （1）联立解方程组，求出公差 d 和首项，代入即可； （2）求出 bn，利用分组求和法求出数列前 n 项和 【解答】解： （1）an是等差数列，且 a22，2a1+a35，2（a2d）+a2+d3a2d6 d5， 故 d1，所以 a11， 故数列an得通项公式为 ann； （2） ）2n+2n， n（n+1）+2n+12 n2+n2+2n+1 【点评】考查等差数列的性质，求数列通项公式，分组求和法求数列的和，中档题 19 （9 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 ACC1A1平面 ABB1A1，ACABAA1 2C
25、AA1BAA160，O 为 AA1的中点 （1）求证：OC平面 ABB1A1； （2）求证：直线 AB 与 A1C1不垂直； （3）求二面角 A1ABC1的余弦值 【分析】 （1）连结 A1C，推导出 COAA1，由此能证明 OC平面 ABB1A1 （2）推导出ABA1是等边三角形，由此能证明直线 AB 与 A1C1不垂直 （3）连结 OB，则 OBAA1，以 O 为原点，OB 为 x 轴，OA1为 y 轴，OC 为 z 轴，建立 空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 A1ABC1的余弦值 【解答】解： （1）证明：连结 A1C， ACABAA12CAA1BAA160，O 为 AA1的中点
26、第 14 页（共 16 页） ACA1是等边三角形，COAA1， 平面 ACC1A1平面 ABB1A1，平面 ACC1A1平面 ABB1A1AA1， OC平面 ABB1A1 （2）证明：ACABAA12CAA1BAA160， ABA1是等边三角形，A1AB60， 直线 AB 与 A1C1不垂直 （3）解：连结 OB，则 OBAA1， 以 O 为原点，OB 为 x 轴，OA1为 y 轴，OC 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（0，1，0） ，B（，0，0） ，C1（0，2，） ， （，1，0） ，（0，3，） ， 设平面 ABC1的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，3）
27、 ， 平面 A1AB 的法向量 （0，0，1） ， 设二面角 A1ABC1的平面角为 ， 则 cos， 二面角 A1ABC1的余弦值为 【点评】本题考查线面垂直、线线不垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空 间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （9 分）已知函数 f（x）lnx+1，f（x）是 f（x）的导函数 （1）令函数 g（x）f（x）+f（x） ，求 g（x）的最小值； 第 15 页（共 16 页） （2）若关于 x 的方程 f（x）f（x）a 恰有两个不同的实根 x1，x2 （i）写出实数 a 的取值范围（不需要证明） ； （ii）证明
28、：|x2x1|1 【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可； （2） （i）根据函数的单调性得到方程 f（x）f（x）a 有两个不同的实根 x1，x2 时，必 有 0a1， （ii）根据 h（x）f（x）f（x）的单调性及零点，则 e 1x 11x2，从而证出结论 【解答】解： （1）因为 f（x），所以 g（x）lnx+1+， 则 g（x），令 g（x）0，则 x1， 故当 0x1 时，g（x）0，g（x）单调递减；当 x1 时，g（x）0，g（x）单 调递增； 所以当 x1 时，g（x）取最小值，则 g（x）ming（1）2； （2） （i）因为 f（x）
29、f（x），则a 恰有两个不同的实根 x1，x2， 令 h（x），则 h（x）0，解得 x1， 所以 h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，即 h（x）在 x1 处取 得极大值； 又当 h（x）0 时，x， 则在（0，）上 h（x）0，在（，+）上 h（x）0， 所以，方程 h（x）a 有两个不同的实根 x1，x2 时，不妨令 x1x2 则必有 0a1， （ii）由 e 1x 11x2， 所以 h（）a（1lna）0h（x2） ， 由 h（x）在（1，+）上单调递减可知 x2， 所以 x2x11，即满足：|x2x1|1 【点评】本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题
