1、等差数列an中，a12，a411，an20，则 n 的值是（ ） A7 B8 C9 D10 3 （5 分）设 a0，b0，若 a+2b8，则 ab 的最大值为（ ） A2 B4 C8 D16 4 （5 分）若方程 x2+1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是（ ） A （，3） B （2，3） C （2，+） D （3，+） 5 （5 分）已知1，x，3x，y 中，前三项依次成等差数列，后三项依次成等比数列，则 y （ ） A5 B5 C9 D9 6 （5 分）设实数 x，y 满足 3x4，1y2则 2xy 的取值范围是（ ） A （4，6） B.（4，7） C （5，6） D
2、（5，7） 7 （5 分） 已知数列an中， a11， a22， 对任意 n3 且 nN*有 an+an1+an28， 则 a1000 （ ） A1 B2 C5 D8 8 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若当且仅当 n10 或 11 时 Sn取得最小值，则 下列选项错误的是（ ） A数列an的首项 a10 B数列an的公差 d0 C存在 kN*，使得 SkSk+1 D存在 kN*，SkS2k，使得 a11是 ak+1和 a2k的等差中项 二、填空题：每小题二、填空题：每小题 5 分，共分，共 30 分分 9 （5 分）不等式 x22x30 的解集是 第 2 页（共 18 页）
3、10 （5 分）已知各项均不为 0 的等差数列an中，a52a2，则 11 （5 分）己如数列an通项公式为 an|n|，则 an的最小值为 ，此时 n 的值 为 12 （5 分）设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若3，数列an的公比为 13 （5 分）设椭圆+y21 的左、右焦点分别为 F1，F2，过点（1，0）作斜率 k0 的直 线交椭圆 C 于两点 P，Q，则四边形 F1PF2Q 的周长为 14（5 分） 设 a0， 函数 f （x） 的值域为集合 S， 若 2S， 则 a 的取值范围是 三、解答题：每小题三、解答题：每小题 10 分，共分，共 30 分分. 15 （10 分）已知以
4、 F1（2，0） ，F2（2，0）为焦点的椭圆过点 P（2，3） （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左项点为 A，线段 AF1的垂直平分线 L 交椭圆于 M，N 两点，求MNP 面积 16 （10 分）设函数 f（x）x2+mx+n，已知不等式 f（x）0 的解集为x|1x4 （1）求 m 和 n 的值； （2）若 f（x）ax 对任意 x0 恒成立，求 a 的取值范围 17 （10 分）数列an中，a11，对任意 n2 且 nN*有（n1）an2nan1 （1）设 bn，证明：数列bn为等比数列，并求an的通项公式； （2）求an的前 n 项和 Sn 四、填空四、填空题：每小题题：每小题
5、5 分，共分，共 25 分分. 18 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S33，S763，则 a3 19 （5 分）一个皮球从距地面高度为 H 的地方释放，经地面反弹后最高上升至处，之后 每次反弹后上升的最高高度均为上一次反弹的一半，若该皮球从开始释放至第五次接触 地面瞬间，在空中的运动轨迹长为 10 米，则 H 米 20 （5 分）若关于 x 的方程 x2（m1）x+2m10 的两根分别在区间（1，0）和（0， 1）内，则 m 的取值范围是 21 （5 分）如图，椭圆 C 的中心为坐标原点 O，其左、右焦点分别为 F1，F2，上、下顶点 第 3 页（共 18 页） 分别为
6、A1，A2，已知点 P 在椭圆 C 上，满足|PF1|F1F2|4，取线段 PF1的中点 Q，若 |OQ|1，则|A1A2| 22（5 分） 已知数列an， bn的通项公式分別为 an， bnn+， 设 cn， 若 2则数列cn中的最大项是 ；若数列cn中的最大项 cn2，则 的取 值范围是 五、解答题：共五、解答题：共 25 分分. 23 （6 分）解关于 x 的不等式 ax24x+a0 24 （7 分）已知数列an满足 a11，对任意 nN*，都有 an+1n2+1 成立 （1）直接写出 a1，a2，a3，的值； （2）推测出an通项公式并证明 25 （12 分）设等差数列an的前 n 项
7、和 Sn，已知 a11，且 S53a44 （1）求an的通项公式； （2）设 bn，数列bn的前 n 项和 Tn，求使不等式|T1T2Tm|成 立的最小的正整数 m； （3）设 cn（ant） 2，若数列cn单调递增 求 t 的取值范围； 若 t 是符合条件的最小正整数那么cn中是否存在三项 ci，cj，ck（ijk）依次成 等差数列？若存在，给出 i，j，k 的值；若不存在，说明理由 第 4 页（共 18 页） 2019-2020 学年北京师大实验中学高二（上）期中数学试卷学年北京师大实验中学高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：每小题一、选择题：每小题
8、5 分，共分，共 40 分分. 1 （5 分）椭圆+1 的离心率是（ ） A B C D 【分析】椭圆+1 中 a3，b2，求出 c，即可求出椭圆+1 的离心率 【解答】解：椭圆+1 中 a3，b2， c， e， 故选：C 【点评】此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法，灵活运用椭圆的简单性质化简求值， 是一道基础题 2 （5 分）等差数列an中，a12，a411，an20，则 n 的值是（ ） A7 B8 C9 D10 【分析】根据 a1和 a4求出公差，进而得到通项公式，将 an20 代入通项公式即可得到 n 的值 【解答】解：依题意，设等差数列an的公差为 d， 则 a4a13d9，得 d3
9、， 所以 ana1+（n1）d2+（n1）33n1， 所以 an203n1，解得 n7， 故选：A 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查分析解决问题的能力，属于基础题 3 （5 分）设 a0，b0，若 a+2b8，则 ab 的最大值为（ ） A2 B4 C8 D16 第 5 页（共 18 页） 【分析】由 a0，b0 且 a+2b8，可利用基本不等式求出 ab 的范围，从而得到 ab 的 最大值 【解答】解：a0，b0 且 a+2b8， 8a+2b，ab8， 当且仅当 a2b，即 a4，b2 时取等号， ab 的最大值为 8 故选：C 【点评】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思
10、想，属基础题 4 （5 分）若方程 x2+1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是（ ） A （，3） B （2，3） C （2，+） D （3，+） 【分析】焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程，列出不等式，解之即得实数 m 的取值范围 【解答】解：方程 x2+1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 满足 m21，解之得 3m 故选：D 【点评】本题已知椭圆是焦点在 y 轴的椭圆，求参数 m 的取值范围，着重考查了椭圆的 标准方程和简单性质，属于基础题 5 （5 分）已知1，x，3x，y 中，前三项依次成等差数列，后三项依次成等比数列，则 y （ ） A5 B5 C9 D9 【分析】先根据
11、等差数列的定义，求出 x 的值，再根据等比数列的定义和 x 的值，求出 y 的值 【解答】解：前三项依次成等差数列，2x1+3x，解得 x1， 又后三项依次成等比数列，9x2xy，x1，解得 y9 故选：D 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的定义，是中档题 6 （5 分）设实数 x，y 满足 3x4，1y2则 2xy 的取值范围是（ ） A （4，6） B.（4，7） C （5，6） D （5，7） 【分析】根据约束条件画出可行域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入 2xy 第 6 页（共 18 页） 中，求出 2xy 的取值范围 【解答】解：根据约束条件画出可行域： 由图得当 z2
12、xy 过点 A（3，2）时，Z 最小为 4 当 z2xy 过点 B（4，1）时，Z 最大为 7 故所求 z2xy 的取值范围是（4，7） 故选：B 【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法” ，其步骤为：由约束条件画出 可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最 优解 7 （5 分） 已知数列an中， a11， a22， 对任意 n3 且 nN*有 an+an1+an28， 则 a1000 （ ） A1 B2 C5 D8 【分析】根据数列的递推关系找到数列各项的规律，从而求解 【解答】解：令 n3，则 a3+a2+a18，得：a35， 令 n4，则 a4+a3+a
13、28，得：a41， 令 n5，则 a5+a4+a38，得：a52， 从而数列an的周期为 3， a1000a3333+1a11， 故选：A 【点评】本题属于基础题，难度不大，需了解数列的递推公式、明确递推公式与通项公 式的异同、会根据数列的递推公式写出数列的前几项 8 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若当且仅当 n10 或 11 时 Sn取得最小值，则 第 7 页（共 18 页） 下列选项错误的是（ ） A数列an的首项 a10 B数列an的公差 d0 C存在 kN*，使得 SkSk+1 D存在 kN*，SkS2k，使得 a11是 ak+1和 a2k的等差中项 【分析】根据题意
14、，结合等差数列的通项公式和性质，分选项逐个分析即可 【解答】解：依题意，等差数列an的前 n 项和为 Sn，当且仅当 n10 或 11 时 Sn取得 最小值， 所以数列an为递增数列，即 d0，且 a1a10为负项，a110，故 AB 正确； 对于 C 选项，SkSk+1，即 ak+10，而当 k10 时成立，故 C 正确； 对应 D 选项，SkS2k，即 S2kSk0，所以 ak+1+a2k0，所以当 kN*时，11， a11不是 ak+1和 a2k的等差中项，故 D 错误； 故选：D 【点评】本题考查了等差数列的性质，等差数列的前 n 项和，考查推理能力和分析解决 问题的能力，属于中档题
15、二、填空题：每小题二、填空题：每小题 5 分，共分，共 30 分分 9 （5 分）不等式 x22x30 的解集是 （1，3） 【分析】将不等式左边的多项式分解因式，根据异号两数相乘积为负数转化为两个一元 一次不等式组，求出不等式的解集即可得到原不等式的解集 【解答】解：不等式 x22x30， 因式分解得： （x3） （x+1）0， 可得：或， 解得：1x3， 则原不等式的解集为（1，3） 故答案为： （1，3） 【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本题型 10 （5 分）已知各项均不为 0 的等差数列an中，a52a2，则 第 8 页（共 18 页） 【分析】由
16、a52a2，得到 a1和公差 d 的关系，进而可得的值 【解答】解：依题意，a52a2， a1+4d2a1+2d， a12d0， ， 故答案为： 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查分析解决问题的能力，属于基础题 11 （5 分）己如数列an通项公式为 an|n|，则 an的最小值为 ，此时 n 的值为 3 【分析】讨论去掉绝对值，根据函数的单调性分段讨论即可得到所求 【解答】解：依题意，an， 当 n3 且 nN*时，an单调递减，所以最小值为 a3； 当 n4 且 nN*时，an单调递增，所以最小值为 a4； 综上 an的最小值为，此时 n 的值为 3， 故答案为：，3 【点评】本题
17、考查了数列的单调性，绝对值的处理，考查分析和解决问题的能力，本题 属于基础题 12 （5 分）设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若3，数列an的公比为 【分析】利用求和公式即可得出 【解答】解：设数列an的公比为 q1，3， 第 9 页（共 18 页） 1+q23，解得 q 故答案为： 【点评】本题考查了等比数列的前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题 13 （5 分）设椭圆+y21 的左、右焦点分别为 F1，F2，过点（1，0）作斜率 k0 的直 线交椭圆 C 于两点 P，Q，则四边形 F1PF2Q 的周长为 4 【分析】椭圆+y21 的左、右焦点分别为 F1（1，0）
18、 ，F2（1，0） ，根据椭圆的性 质：PF1+PF22a，QF1+QF22a，得到周长的值 【解答】解：椭圆+y21 的左、右焦点分别为 F1（1，0） ，F2（1，0） ， 根据椭圆的性质： PF1+PF22a，QF1+QF22a， 所以周长为 4a4， 故答案为：4 【点评】考查椭圆的性质，基础题 14 （5 分）设 a0，函数 f（x）的值域为集合 S，若 2S，则 a 的取值范围是 【分析】根据 f（x）的值域为 S，2S，可得方程2 有实根，然后求出 a 的范围 【解答】解：f（x）的值域为 S，2S， 方程2 有实根，即有实根， （7）24（a+10）0，a， 又 a0，0a a
19、 的取值范围为 故答案为： 第 10 页（共 18 页） 【点评】本题考查了利用函数的值域求参数的范围，考查了方程思想，属基础题 三、解答题：每小题三、解答题：每小题 10 分，共分，共 30 分分. 15 （10 分）已知以 F1（2，0） ，F2（2，0）为焦点的椭圆过点 P（2，3） （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左项点为 A，线段 AF1的垂直平分线 L 交椭圆于 M，N 两点，求MNP 面积 【分析】 （1）由题意可得 c2，即 a2b24，将 A（2，3）代入椭圆方程，解方程可得 a，b，进而得到椭圆方程； （2）求出线段 AF1的垂直平分线 L 的方程，代入椭圆方程求解|M
20、N|，再求出 P 到 L 的距 离，代入三角形面积公式求解 【解答】解： （1）由题意设椭圆方程为（ab0） 可得 c2，即 a2b24， 将 A（2，3）代入椭圆方程，可得， 解得 a4，b2， 即椭圆的方程为； （2）线段 AF1的垂直平分线 L 的方程为 x3，代入， 解得 y，|MN|， P 到直线 L 的距离 d2（3）5 MNP 面积 S 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题 16 （10 分）设函数 f（x）x2+mx+n，已知不等式 f（x）0 的解集为x|1x4 第 11 页（共 18 页） （1）求 m 和 n 的值； （2）若 f（x）a
21、x 对任意 x0 恒成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）根据一元二次不等式的解集的分界点为对应方程的根，结合韦达定理即可 得到 m，n 的值； （2）因为 x0，分离参数，转化为 ag（x） ，转化为求 g（x）的在（0，+）上的最 小值 【解答】解： （1）依题意，1，4 为方程 x2+mx+n0 的两根， 所以m1+4，n14， 即 m5，n4； （2）由（1）知，f（x）x25x+4， 所以 f（x）ax 对任意 x0 恒成立，即 x25x+4ax 对任意 x0 恒成立， x0， ax+5 在（0，+）上恒成立， 当 x0 时，0， 根据基本不等式，x+5251，当且仅当 x2 时
22、，等号成立， 所以 a1 【点评】本题考查了三个二次的关系，韦达定理，基本不等式主要考查分析解决问题 的能力和计算能力，属于基础题 17 （10 分）数列an中，a11，对任意 n2 且 nN*有（n1）an2nan1 （1）设 bn，证明：数列bn为等比数列，并求an的通项公式； （2）求an的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）运用数列的递推式（n1）an2nan1，等式两边同时除以 n（n1）得出 数列bn的递推式，结合等比数列的定义，即可得到bn通项公式，从而解得 an； （2）观察发现数列an的通项公式是等差乘以等比的形式，因此采用错位相减法求和 【解答】解： （1）证明：对任意 n
23、2 且 nN*有（n1）an2nan1 ，即 bn2bn1（n2） ， 又当 n1 时，a221a12， 第 12 页（共 18 页） ，满足 b22b1， 从而数列bn是以 1 为首项，2 为公比的等比数列 （2）Sna1+a2+a3+an120+221+322+n2n 1， 2Sn121+222+323+n2n， 得：Sn120+121+122+12n 1n2n ， Sn（n1）2n+1 【点评】本题考查数列的通项和前 N 项和，考查运算能力，属于中档题 四、填空题：每小题四、填空题：每小题 5 分，共分，共 25 分分. 18 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S33，
24、S763，则 a3 5 【分析】由已知结合等差数列的求和公式代入可求 a1，d，然后结合等差数列的通项公式 可求 【解答】解：由题意可得， 解方程可得，a13，d4， a3a1+2d3+85 故答案为：5 【点评】本题考查了等差数列的前 n 项和，是基础的计算题 19 （5 分）一个皮球从距地面高度为 H 的地方释放，经地面反弹后最高上升至处，之后 每次反弹后上升的最高高度均为上一次反弹的一半，若该皮球从开始释放至第五次接触 地面瞬间，在空中的运动轨迹长为 10 米，则 H 米 【分析】分析题意可知，从第二次开始每次接触时运动的轨迹长度成等比数列，利用等 比数列的前 n 项和公式，即可求出 H
25、 的值 【解答】解：第一次接触地面时，运动轨迹长度为 H， 第二次接触地面时，又运动了 2米， 第 13 页（共 18 页） 第三次接触地面时，又运动了 2， 第四次接触地面时，又运动了 2， 第五次接触地面时，又运动了 2米， 所以 H+2H+2 （） H+2 10， 解得：H 故答案为： 【点评】考查了等比数列前 n 项和公式的实际应用，是中档题 20 （5 分）若关于 x 的方程 x2（m1）x+2m10 的两根分别在区间（1，0）和（0， 1）内，则 m 的取值范围是 （，） 【分析】设出方程对应的二次函数，利用二次函数根的分布，列出不等式组，解出 m 的 取值范围 【解答】解：设函数
26、 f（x）x2（m1）x+2m1，由题意可知：， 即：，解得：， 故答案为： （，） 【点评】考查了一元二次方程的根与二次函数零点的关系，是基础题 21 （5 分）如图，椭圆 C 的中心为坐标原点 O，其左、右焦点分别为 F1，F2，上、下顶点 分别为 A1，A2，已知点 P 在椭圆 C 上，满足|PF1|F1F2|4，取线段 PF1的中点 Q，若 |OQ|1，则|A1A2| 第 14 页（共 18 页） 【分析】由已知利用三角形中位线定理求得|PF2|2，再由已知结合椭圆定义求得 a，c 的值，利用隐含条件求得 b，则答案可求 【解答】解：Q 是线段 PF1的中点，OQPF2， 由|OQ|1
27、，得|PF2|2， |PF1|F1F2|4，2a|PF1|+|PF2|6，则 a3， 2c4，c2 |A1A2| 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义的应用，是基础题 22（5 分） 已知数列an， bn的通项公式分別为 an， bnn+， 设 cn， 若 2则数列cn中的最大项是 2 ；若数列cn中的最大项 cn2，则 的取值 范围是 【分析】当 2 时，令 anbn，得，n4，得到 cn的通项公式，根据单调性可以得 到数列cn中的最大项；若数列cn中的最大项 cn2，根据 cn的通项公式结合数列与函 数的关系，利用数形结合，即可得到 的取值范围 第 15 页（共 18
28、页） 【解答】解：若 2，则 bnn2， 令 anbn，得，n4， cn， 所以当 n3 时，数列cn单调递增，最大值为 c31， 当 n4 时，数列cn单调递减，最大值为 c42， 综上，当 2则数列cn中的最大项为 2， 若数列cn中的最大项 cn2， 因为数列 an，bnn+，分别表示函数 y和 yx+ 上正整数所对应的函数值， 根据题意，a42，a32， 故当 n3 且 nN*时，cnbn， 所以 a3b3，即3，解得， 故答案为：2， 【点评】本题考查了数列的通项公式，数列与函数的关系，数列的单调性主要考查分 析和解决问题的能力，逻辑思维能力，属于中档题 五、解答题：共五、解答题：共
29、 25 分分. 23 （6 分）解关于 x 的不等式 ax24x+a0 【分析】结合已知不等式，分别对 a0 及 a0 时，164a2，分别进行讨论，然后 结合二次不等式的求解方法可求 【解答】解：当 a0 时，164a2， 当 a2 时，0，不等式的解集为 R； 当 a2 时，解集为x|x1； 2a0 时，0，解集为x|； 当 a0 时，4x0，解可得 x0，即不等式的解集x|x0； 0a2 时，解集为x|； a2 时，解集为 第 16 页（共 18 页） 【点评】本题考查二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，考查运算能力，属 于基础题 24 （7 分）已知数列an满足 a11，对任意
30、 nN*，都有 an+1n2+1 成立 （1）直接写出 a1，a2，a3，的值； （2）推测出an通项公式并证明 【分析】 （1）根据给出的递推关系求解即可； （2）根据（1）中 a1，a2，a3的值，归纳出an通项公式，并用数学归纳法证明即可 【解答】解： （1）a11，对任意 nN*，都有 an+1n2+1 a212+21+14， a322+19； （2）由（1）知，a1112，a2422，a3932， 故 ann2， 证明：当 n1 时，显然有 a112成立， 假设当 nk 时有 akk2成立， 则当 nk+1 时， ak+1k2+1k2+2k+1（k+1）2， 即当 nk+1 时有 a
31、k+1（k+1）2成立， 所以 ann2 【点评】本题考查了数列的通项公式，数列的递推公式，数学归纳法，考查分析解决问 题的能力，归纳推理能力本题属于中档题 25 （12 分）设等差数列an的前 n 项和 Sn，已知 a11，且 S53a44 （1）求an的通项公式； （2）设 bn，数列bn的前 n 项和 Tn，求使不等式|T1T2Tm|成 立的最小的正整数 m； （3）设 cn（ant） 2，若数列cn单调递增 求 t 的取值范围； 若 t 是符合条件的最小正整数那么cn中是否存在三项 ci，cj，ck（ijk）依次成 第 17 页（共 18 页） 等差数列？若存在，给出 i，j，k 的值
32、；若不存在，说明理由 【分析】 （1）等差数列an的公差为 d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可 得公差，即可得到所求通项公式； （2）求得 Snn2，bn，由数列的裂项相消求 和可得 Tn，由累乘法可得 T1T2Tm，解不等式可得所求 m 的最小正整数； （3）cn（ant） 2（2n1t） 22n 1，若数列c n单调递增，则 cn+1cn0， 化简可得 t 的范围； 求得 cn（n1） 4n，假设cn中存在三项 ci，cj，ck（ijk）依次成等差数列，由 等差数列的中项性质和不等式的性质，即可判断 【解答】解： （1）等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，a11，且
33、 S53a44， 可得 5+10d3（1+3d）4，解得 d2， 则 an1+2（n1）2n1； （2）由（1）可得 Snn（1+2n1）n2， bn， 则 Tn1+1， T1T2Tm， |T1T2Tm|，即为|， 即有，可得 m，可得最小的正整数 m 为 1008； （3）cn（ant） 2（2n1t） 22n 1， 若数列cn单调递增， 则 cn+1cn（2n+1t） 22n+1（2n1t） 22n 1（6n+53t） 22n10 恒成立， 即有 6n+53t0 恒成立，可得 3t11，即 t； 由 t 是符合条件的最小正整数，可得 t 的最小正整数为 1，即有 cn（n1） 4n， 假设cn中存在三项 ci，cj，ck（ijk）依次成等差数列，可得 2cjci+ck， 即 2（j1） 4j（i1） 4i+（k1） 4k， （*） 第 18 页（共 18 页） 由 ijk 可得 j2，k3，可得 k1j1，2k2j+1，可得 22k22j+1， 则（k1） 4k2（j1） 4j，可得方程（*）无解， 故cn中不存在三项 ci，cj，ck（ijk）依次成等差数列 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查数列的裂项相消求和和数列恒 成立问题解法，以及数列的单调性和存在性问题的解法，考查运算能力和推理能力，属 于中档题
