2019-2020学年北京师大实验中学高二(上)期中数学试卷(含详细解答)

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资源描述

1、等差数列an中,a12,a411,an20,则 n 的值是( ) A7 B8 C9 D10 3 (5 分)设 a0,b0,若 a+2b8,则 ab 的最大值为( ) A2 B4 C8 D16 4 (5 分)若方程 x2+1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是( ) A (,3) B (2,3) C (2,+) D (3,+) 5 (5 分)已知1,x,3x,y 中,前三项依次成等差数列,后三项依次成等比数列,则 y ( ) A5 B5 C9 D9 6 (5 分)设实数 x,y 满足 3x4,1y2则 2xy 的取值范围是( ) A (4,6) B.(4,7) C (5,6) D

2、(5,7) 7 (5 分) 已知数列an中, a11, a22, 对任意 n3 且 nN*有 an+an1+an28, 则 a1000 ( ) A1 B2 C5 D8 8 (5 分)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,若当且仅当 n10 或 11 时 Sn取得最小值,则 下列选项错误的是( ) A数列an的首项 a10 B数列an的公差 d0 C存在 kN*,使得 SkSk+1 D存在 kN*,SkS2k,使得 a11是 ak+1和 a2k的等差中项 二、填空题:每小题二、填空题:每小题 5 分,共分,共 30 分分 9 (5 分)不等式 x22x30 的解集是 第 2 页(共 18 页)

3、10 (5 分)已知各项均不为 0 的等差数列an中,a52a2,则 11 (5 分)己如数列an通项公式为 an|n|,则 an的最小值为 ,此时 n 的值 为 12 (5 分)设等比数列an的前 n 项和为 Sn,若3,数列an的公比为 13 (5 分)设椭圆+y21 的左、右焦点分别为 F1,F2,过点(1,0)作斜率 k0 的直 线交椭圆 C 于两点 P,Q,则四边形 F1PF2Q 的周长为 14(5 分) 设 a0, 函数 f (x) 的值域为集合 S, 若 2S, 则 a 的取值范围是 三、解答题:每小题三、解答题:每小题 10 分,共分,共 30 分分. 15 (10 分)已知以

4、 F1(2,0) ,F2(2,0)为焦点的椭圆过点 P(2,3) (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆的左项点为 A,线段 AF1的垂直平分线 L 交椭圆于 M,N 两点,求MNP 面积 16 (10 分)设函数 f(x)x2+mx+n,已知不等式 f(x)0 的解集为x|1x4 (1)求 m 和 n 的值; (2)若 f(x)ax 对任意 x0 恒成立,求 a 的取值范围 17 (10 分)数列an中,a11,对任意 n2 且 nN*有(n1)an2nan1 (1)设 bn,证明:数列bn为等比数列,并求an的通项公式; (2)求an的前 n 项和 Sn 四、填空四、填空题:每小题题:每小题

5、5 分,共分,共 25 分分. 18 (5 分)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 S33,S763,则 a3 19 (5 分)一个皮球从距地面高度为 H 的地方释放,经地面反弹后最高上升至处,之后 每次反弹后上升的最高高度均为上一次反弹的一半,若该皮球从开始释放至第五次接触 地面瞬间,在空中的运动轨迹长为 10 米,则 H 米 20 (5 分)若关于 x 的方程 x2(m1)x+2m10 的两根分别在区间(1,0)和(0, 1)内,则 m 的取值范围是 21 (5 分)如图,椭圆 C 的中心为坐标原点 O,其左、右焦点分别为 F1,F2,上、下顶点 第 3 页(共 18 页) 分别为

6、A1,A2,已知点 P 在椭圆 C 上,满足|PF1|F1F2|4,取线段 PF1的中点 Q,若 |OQ|1,则|A1A2| 22(5 分) 已知数列an, bn的通项公式分別为 an, bnn+, 设 cn, 若 2则数列cn中的最大项是 ;若数列cn中的最大项 cn2,则 的取 值范围是 五、解答题:共五、解答题:共 25 分分. 23 (6 分)解关于 x 的不等式 ax24x+a0 24 (7 分)已知数列an满足 a11,对任意 nN*,都有 an+1n2+1 成立 (1)直接写出 a1,a2,a3,的值; (2)推测出an通项公式并证明 25 (12 分)设等差数列an的前 n 项

7、和 Sn,已知 a11,且 S53a44 (1)求an的通项公式; (2)设 bn,数列bn的前 n 项和 Tn,求使不等式|T1T2Tm|成 立的最小的正整数 m; (3)设 cn(ant) 2,若数列cn单调递增 求 t 的取值范围; 若 t 是符合条件的最小正整数那么cn中是否存在三项 ci,cj,ck(ijk)依次成 等差数列?若存在,给出 i,j,k 的值;若不存在,说明理由 第 4 页(共 18 页) 2019-2020 学年北京师大实验中学高二(上)期中数学试卷学年北京师大实验中学高二(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:每小题一、选择题:每小题

8、5 分,共分,共 40 分分. 1 (5 分)椭圆+1 的离心率是( ) A B C D 【分析】椭圆+1 中 a3,b2,求出 c,即可求出椭圆+1 的离心率 【解答】解:椭圆+1 中 a3,b2, c, e, 故选:C 【点评】此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法,灵活运用椭圆的简单性质化简求值, 是一道基础题 2 (5 分)等差数列an中,a12,a411,an20,则 n 的值是( ) A7 B8 C9 D10 【分析】根据 a1和 a4求出公差,进而得到通项公式,将 an20 代入通项公式即可得到 n 的值 【解答】解:依题意,设等差数列an的公差为 d, 则 a4a13d9,得 d3

9、, 所以 ana1+(n1)d2+(n1)33n1, 所以 an203n1,解得 n7, 故选:A 【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查分析解决问题的能力,属于基础题 3 (5 分)设 a0,b0,若 a+2b8,则 ab 的最大值为( ) A2 B4 C8 D16 第 5 页(共 18 页) 【分析】由 a0,b0 且 a+2b8,可利用基本不等式求出 ab 的范围,从而得到 ab 的 最大值 【解答】解:a0,b0 且 a+2b8, 8a+2b,ab8, 当且仅当 a2b,即 a4,b2 时取等号, ab 的最大值为 8 故选:C 【点评】本题考查了利用基本不等式求最值,考查了转化思

10、想,属基础题 4 (5 分)若方程 x2+1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是( ) A (,3) B (2,3) C (2,+) D (3,+) 【分析】焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程,列出不等式,解之即得实数 m 的取值范围 【解答】解:方程 x2+1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 满足 m21,解之得 3m 故选:D 【点评】本题已知椭圆是焦点在 y 轴的椭圆,求参数 m 的取值范围,着重考查了椭圆的 标准方程和简单性质,属于基础题 5 (5 分)已知1,x,3x,y 中,前三项依次成等差数列,后三项依次成等比数列,则 y ( ) A5 B5 C9 D9 【分析】先根据

11、等差数列的定义,求出 x 的值,再根据等比数列的定义和 x 的值,求出 y 的值 【解答】解:前三项依次成等差数列,2x1+3x,解得 x1, 又后三项依次成等比数列,9x2xy,x1,解得 y9 故选:D 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的定义,是中档题 6 (5 分)设实数 x,y 满足 3x4,1y2则 2xy 的取值范围是( ) A (4,6) B.(4,7) C (5,6) D (5,7) 【分析】根据约束条件画出可行域,然后分析平面区域里各个角点,然后将其代入 2xy 第 6 页(共 18 页) 中,求出 2xy 的取值范围 【解答】解:根据约束条件画出可行域: 由图得当 z2

12、xy 过点 A(3,2)时,Z 最小为 4 当 z2xy 过点 B(4,1)时,Z 最大为 7 故所求 z2xy 的取值范围是(4,7) 故选:B 【点评】在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法” ,其步骤为:由约束条件画出 可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证,求出最 优解 7 (5 分) 已知数列an中, a11, a22, 对任意 n3 且 nN*有 an+an1+an28, 则 a1000 ( ) A1 B2 C5 D8 【分析】根据数列的递推关系找到数列各项的规律,从而求解 【解答】解:令 n3,则 a3+a2+a18,得:a35, 令 n4,则 a4+a3+a

13、28,得:a41, 令 n5,则 a5+a4+a38,得:a52, 从而数列an的周期为 3, a1000a3333+1a11, 故选:A 【点评】本题属于基础题,难度不大,需了解数列的递推公式、明确递推公式与通项公 式的异同、会根据数列的递推公式写出数列的前几项 8 (5 分)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,若当且仅当 n10 或 11 时 Sn取得最小值,则 第 7 页(共 18 页) 下列选项错误的是( ) A数列an的首项 a10 B数列an的公差 d0 C存在 kN*,使得 SkSk+1 D存在 kN*,SkS2k,使得 a11是 ak+1和 a2k的等差中项 【分析】根据题意

14、,结合等差数列的通项公式和性质,分选项逐个分析即可 【解答】解:依题意,等差数列an的前 n 项和为 Sn,当且仅当 n10 或 11 时 Sn取得 最小值, 所以数列an为递增数列,即 d0,且 a1a10为负项,a110,故 AB 正确; 对于 C 选项,SkSk+1,即 ak+10,而当 k10 时成立,故 C 正确; 对应 D 选项,SkS2k,即 S2kSk0,所以 ak+1+a2k0,所以当 kN*时,11, a11不是 ak+1和 a2k的等差中项,故 D 错误; 故选:D 【点评】本题考查了等差数列的性质,等差数列的前 n 项和,考查推理能力和分析解决 问题的能力,属于中档题

15、二、填空题:每小题二、填空题:每小题 5 分,共分,共 30 分分 9 (5 分)不等式 x22x30 的解集是 (1,3) 【分析】将不等式左边的多项式分解因式,根据异号两数相乘积为负数转化为两个一元 一次不等式组,求出不等式的解集即可得到原不等式的解集 【解答】解:不等式 x22x30, 因式分解得: (x3) (x+1)0, 可得:或, 解得:1x3, 则原不等式的解集为(1,3) 故答案为: (1,3) 【点评】此题考查了一元二次不等式的解法,利用了转化的思想,是一道基本题型 10 (5 分)已知各项均不为 0 的等差数列an中,a52a2,则 第 8 页(共 18 页) 【分析】由

16、a52a2,得到 a1和公差 d 的关系,进而可得的值 【解答】解:依题意,a52a2, a1+4d2a1+2d, a12d0, , 故答案为: 【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查分析解决问题的能力,属于基础题 11 (5 分)己如数列an通项公式为 an|n|,则 an的最小值为 ,此时 n 的值为 3 【分析】讨论去掉绝对值,根据函数的单调性分段讨论即可得到所求 【解答】解:依题意,an, 当 n3 且 nN*时,an单调递减,所以最小值为 a3; 当 n4 且 nN*时,an单调递增,所以最小值为 a4; 综上 an的最小值为,此时 n 的值为 3, 故答案为:,3 【点评】本题

17、考查了数列的单调性,绝对值的处理,考查分析和解决问题的能力,本题 属于基础题 12 (5 分)设等比数列an的前 n 项和为 Sn,若3,数列an的公比为 【分析】利用求和公式即可得出 【解答】解:设数列an的公比为 q1,3, 第 9 页(共 18 页) 1+q23,解得 q 故答案为: 【点评】本题考查了等比数列的前 n 项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础 题 13 (5 分)设椭圆+y21 的左、右焦点分别为 F1,F2,过点(1,0)作斜率 k0 的直 线交椭圆 C 于两点 P,Q,则四边形 F1PF2Q 的周长为 4 【分析】椭圆+y21 的左、右焦点分别为 F1(1,0)

18、 ,F2(1,0) ,根据椭圆的性 质:PF1+PF22a,QF1+QF22a,得到周长的值 【解答】解:椭圆+y21 的左、右焦点分别为 F1(1,0) ,F2(1,0) , 根据椭圆的性质: PF1+PF22a,QF1+QF22a, 所以周长为 4a4, 故答案为:4 【点评】考查椭圆的性质,基础题 14 (5 分)设 a0,函数 f(x)的值域为集合 S,若 2S,则 a 的取值范围是 【分析】根据 f(x)的值域为 S,2S,可得方程2 有实根,然后求出 a 的范围 【解答】解:f(x)的值域为 S,2S, 方程2 有实根,即有实根, (7)24(a+10)0,a, 又 a0,0a a

19、 的取值范围为 故答案为: 第 10 页(共 18 页) 【点评】本题考查了利用函数的值域求参数的范围,考查了方程思想,属基础题 三、解答题:每小题三、解答题:每小题 10 分,共分,共 30 分分. 15 (10 分)已知以 F1(2,0) ,F2(2,0)为焦点的椭圆过点 P(2,3) (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆的左项点为 A,线段 AF1的垂直平分线 L 交椭圆于 M,N 两点,求MNP 面积 【分析】 (1)由题意可得 c2,即 a2b24,将 A(2,3)代入椭圆方程,解方程可得 a,b,进而得到椭圆方程; (2)求出线段 AF1的垂直平分线 L 的方程,代入椭圆方程求解|M

20、N|,再求出 P 到 L 的距 离,代入三角形面积公式求解 【解答】解: (1)由题意设椭圆方程为(ab0) 可得 c2,即 a2b24, 将 A(2,3)代入椭圆方程,可得, 解得 a4,b2, 即椭圆的方程为; (2)线段 AF1的垂直平分线 L 的方程为 x3,代入, 解得 y,|MN|, P 到直线 L 的距离 d2(3)5 MNP 面积 S 【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,是基础题 16 (10 分)设函数 f(x)x2+mx+n,已知不等式 f(x)0 的解集为x|1x4 第 11 页(共 18 页) (1)求 m 和 n 的值; (2)若 f(x)a

21、x 对任意 x0 恒成立,求 a 的取值范围 【分析】 (1)根据一元二次不等式的解集的分界点为对应方程的根,结合韦达定理即可 得到 m,n 的值; (2)因为 x0,分离参数,转化为 ag(x) ,转化为求 g(x)的在(0,+)上的最 小值 【解答】解: (1)依题意,1,4 为方程 x2+mx+n0 的两根, 所以m1+4,n14, 即 m5,n4; (2)由(1)知,f(x)x25x+4, 所以 f(x)ax 对任意 x0 恒成立,即 x25x+4ax 对任意 x0 恒成立, x0, ax+5 在(0,+)上恒成立, 当 x0 时,0, 根据基本不等式,x+5251,当且仅当 x2 时

22、,等号成立, 所以 a1 【点评】本题考查了三个二次的关系,韦达定理,基本不等式主要考查分析解决问题 的能力和计算能力,属于基础题 17 (10 分)数列an中,a11,对任意 n2 且 nN*有(n1)an2nan1 (1)设 bn,证明:数列bn为等比数列,并求an的通项公式; (2)求an的前 n 项和 Sn 【分析】 (1)运用数列的递推式(n1)an2nan1,等式两边同时除以 n(n1)得出 数列bn的递推式,结合等比数列的定义,即可得到bn通项公式,从而解得 an; (2)观察发现数列an的通项公式是等差乘以等比的形式,因此采用错位相减法求和 【解答】解: (1)证明:对任意 n

23、2 且 nN*有(n1)an2nan1 ,即 bn2bn1(n2) , 又当 n1 时,a221a12, 第 12 页(共 18 页) ,满足 b22b1, 从而数列bn是以 1 为首项,2 为公比的等比数列 (2)Sna1+a2+a3+an120+221+322+n2n 1, 2Sn121+222+323+n2n, 得:Sn120+121+122+12n 1n2n , Sn(n1)2n+1 【点评】本题考查数列的通项和前 N 项和,考查运算能力,属于中档题 四、填空题:每小题四、填空题:每小题 5 分,共分,共 25 分分. 18 (5 分)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 S33,

24、S763,则 a3 5 【分析】由已知结合等差数列的求和公式代入可求 a1,d,然后结合等差数列的通项公式 可求 【解答】解:由题意可得, 解方程可得,a13,d4, a3a1+2d3+85 故答案为:5 【点评】本题考查了等差数列的前 n 项和,是基础的计算题 19 (5 分)一个皮球从距地面高度为 H 的地方释放,经地面反弹后最高上升至处,之后 每次反弹后上升的最高高度均为上一次反弹的一半,若该皮球从开始释放至第五次接触 地面瞬间,在空中的运动轨迹长为 10 米,则 H 米 【分析】分析题意可知,从第二次开始每次接触时运动的轨迹长度成等比数列,利用等 比数列的前 n 项和公式,即可求出 H

25、 的值 【解答】解:第一次接触地面时,运动轨迹长度为 H, 第二次接触地面时,又运动了 2米, 第 13 页(共 18 页) 第三次接触地面时,又运动了 2, 第四次接触地面时,又运动了 2, 第五次接触地面时,又运动了 2米, 所以 H+2H+2 () H+2 10, 解得:H 故答案为: 【点评】考查了等比数列前 n 项和公式的实际应用,是中档题 20 (5 分)若关于 x 的方程 x2(m1)x+2m10 的两根分别在区间(1,0)和(0, 1)内,则 m 的取值范围是 (,) 【分析】设出方程对应的二次函数,利用二次函数根的分布,列出不等式组,解出 m 的 取值范围 【解答】解:设函数

26、 f(x)x2(m1)x+2m1,由题意可知:, 即:,解得:, 故答案为: (,) 【点评】考查了一元二次方程的根与二次函数零点的关系,是基础题 21 (5 分)如图,椭圆 C 的中心为坐标原点 O,其左、右焦点分别为 F1,F2,上、下顶点 分别为 A1,A2,已知点 P 在椭圆 C 上,满足|PF1|F1F2|4,取线段 PF1的中点 Q,若 |OQ|1,则|A1A2| 第 14 页(共 18 页) 【分析】由已知利用三角形中位线定理求得|PF2|2,再由已知结合椭圆定义求得 a,c 的值,利用隐含条件求得 b,则答案可求 【解答】解:Q 是线段 PF1的中点,OQPF2, 由|OQ|1

27、,得|PF2|2, |PF1|F1F2|4,2a|PF1|+|PF2|6,则 a3, 2c4,c2 |A1A2| 故答案为: 【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查椭圆定义的应用,是基础题 22(5 分) 已知数列an, bn的通项公式分別为 an, bnn+, 设 cn, 若 2则数列cn中的最大项是 2 ;若数列cn中的最大项 cn2,则 的取值 范围是 【分析】当 2 时,令 anbn,得,n4,得到 cn的通项公式,根据单调性可以得 到数列cn中的最大项;若数列cn中的最大项 cn2,根据 cn的通项公式结合数列与函 数的关系,利用数形结合,即可得到 的取值范围 第 15 页(共 18

28、页) 【解答】解:若 2,则 bnn2, 令 anbn,得,n4, cn, 所以当 n3 时,数列cn单调递增,最大值为 c31, 当 n4 时,数列cn单调递减,最大值为 c42, 综上,当 2则数列cn中的最大项为 2, 若数列cn中的最大项 cn2, 因为数列 an,bnn+,分别表示函数 y和 yx+ 上正整数所对应的函数值, 根据题意,a42,a32, 故当 n3 且 nN*时,cnbn, 所以 a3b3,即3,解得, 故答案为:2, 【点评】本题考查了数列的通项公式,数列与函数的关系,数列的单调性主要考查分 析和解决问题的能力,逻辑思维能力,属于中档题 五、解答题:共五、解答题:共

29、 25 分分. 23 (6 分)解关于 x 的不等式 ax24x+a0 【分析】结合已知不等式,分别对 a0 及 a0 时,164a2,分别进行讨论,然后 结合二次不等式的求解方法可求 【解答】解:当 a0 时,164a2, 当 a2 时,0,不等式的解集为 R; 当 a2 时,解集为x|x1; 2a0 时,0,解集为x|; 当 a0 时,4x0,解可得 x0,即不等式的解集x|x0; 0a2 时,解集为x|; a2 时,解集为 第 16 页(共 18 页) 【点评】本题考查二次不等式的求解,体现了分类讨论思想的应用,考查运算能力,属 于基础题 24 (7 分)已知数列an满足 a11,对任意

30、 nN*,都有 an+1n2+1 成立 (1)直接写出 a1,a2,a3,的值; (2)推测出an通项公式并证明 【分析】 (1)根据给出的递推关系求解即可; (2)根据(1)中 a1,a2,a3的值,归纳出an通项公式,并用数学归纳法证明即可 【解答】解: (1)a11,对任意 nN*,都有 an+1n2+1 a212+21+14, a322+19; (2)由(1)知,a1112,a2422,a3932, 故 ann2, 证明:当 n1 时,显然有 a112成立, 假设当 nk 时有 akk2成立, 则当 nk+1 时, ak+1k2+1k2+2k+1(k+1)2, 即当 nk+1 时有 a

31、k+1(k+1)2成立, 所以 ann2 【点评】本题考查了数列的通项公式,数列的递推公式,数学归纳法,考查分析解决问 题的能力,归纳推理能力本题属于中档题 25 (12 分)设等差数列an的前 n 项和 Sn,已知 a11,且 S53a44 (1)求an的通项公式; (2)设 bn,数列bn的前 n 项和 Tn,求使不等式|T1T2Tm|成 立的最小的正整数 m; (3)设 cn(ant) 2,若数列cn单调递增 求 t 的取值范围; 若 t 是符合条件的最小正整数那么cn中是否存在三项 ci,cj,ck(ijk)依次成 第 17 页(共 18 页) 等差数列?若存在,给出 i,j,k 的值

32、;若不存在,说明理由 【分析】 (1)等差数列an的公差为 d,运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可 得公差,即可得到所求通项公式; (2)求得 Snn2,bn,由数列的裂项相消求 和可得 Tn,由累乘法可得 T1T2Tm,解不等式可得所求 m 的最小正整数; (3)cn(ant) 2(2n1t) 22n 1,若数列c n单调递增,则 cn+1cn0, 化简可得 t 的范围; 求得 cn(n1) 4n,假设cn中存在三项 ci,cj,ck(ijk)依次成等差数列,由 等差数列的中项性质和不等式的性质,即可判断 【解答】解: (1)等差数列an的公差为 d,前 n 项和为 Sn,a11,且

33、 S53a44, 可得 5+10d3(1+3d)4,解得 d2, 则 an1+2(n1)2n1; (2)由(1)可得 Snn(1+2n1)n2, bn, 则 Tn1+1, T1T2Tm, |T1T2Tm|,即为|, 即有,可得 m,可得最小的正整数 m 为 1008; (3)cn(ant) 2(2n1t) 22n 1, 若数列cn单调递增, 则 cn+1cn(2n+1t) 22n+1(2n1t) 22n 1(6n+53t) 22n10 恒成立, 即有 6n+53t0 恒成立,可得 3t11,即 t; 由 t 是符合条件的最小正整数,可得 t 的最小正整数为 1,即有 cn(n1) 4n, 假设cn中存在三项 ci,cj,ck(ijk)依次成等差数列,可得 2cjci+ck, 即 2(j1) 4j(i1) 4i+(k1) 4k, (*) 第 18 页(共 18 页) 由 ijk 可得 j2,k3,可得 k1j1,2k2j+1,可得 22k22j+1, 则(k1) 4k2(j1) 4j,可得方程(*)无解, 故cn中不存在三项 ci,cj,ck(ijk)依次成等差数列 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式,考查数列的裂项相消求和和数列恒 成立问题解法,以及数列的单调性和存在性问题的解法,考查运算能力和推理能力,属 于中档题

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