1、已知 ab0，则下列不等式成立的是（ ） Aa2b2 Ba2ab C D 3（4 分） 已知等比数列an的前 n 项和为 Sn， 公比为 q， 若 a1+a35， q2， 则 S4等于 （ ） A7 B13 C15 D31 4 （4 分）已知关于 x 的不等式 ax2x+c0 的解集为x|1x2，则 a+c 等于（ ） A1 B1 C3 D3 5 （4 分）已知函数 f（x）的定义域为（m，n） ，导函数 f（x）在（m，n）上的图象如图所 示，则 f（x）在（m，n）内的极小值点的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 6 （4 分）已知等差数列an满足 a3+a4+a5+a6+a790，则
2、a2+a8等于（ ） A18 B30 C36 D45 7 （4 分）用边长为 18cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积 相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当铁盒的容积最大时，截去的小正 方形的边长为（ ） A1cm B2cm C3cm D4cm 8 （4 分）已知数列an满足 a12，则下列说法错误的 是（ ） Aa47 Ba41 是 a21 与 a61 的等比中项 第 2 页（共 13 页） C数列an+1an是等比数列 D在an中，只有有限个大于 0 的项 9 （4 分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：有一个人走了 378 里路，第 一天健步
3、行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了 6 天后到 达目的地，则此人第二天走的路程为（ ） A96 里 B189 里 C192 里 D288 里 10 （4 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（1）0，当 x0 时，xf（x）+f（x） 0，则使得 f（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ） A （，1）（0，1） B （1，0）（1，+） C （，1）（1，0） D （0，1）（1，+） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分分，共，共 24 分分. 11 （4 分）复数 i（1i）的实部为 12 （4 分）已知 x0
4、，则的最小值为 13 （4 分）已知函数 f（x）x3+ax 在 R 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 14 （4 分）已知数列an的前 n 项和，则 a4 15 （4 分）已知函数 f（x）xexm，则 f（x）的单调递减区间是 ；若 f（x）有两 个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 16 （4 分）已知数列an的通项 an2n1，把an中的各项按照一定的顺序排列成如图所 示的三角形矩阵 数阵中第 5 行所有项的和为 ； 2019 是数阵中第 i 行的第 j 列，则 i+j 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 4 小题，共小题，共 36 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算
5、步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （8 分）已知函数 f（x）x33x+6 （）求 f（x）的极值； （）求 f（x）在0，2上的最大值与最小值，并写出相应的 x 的值 18 （9 分）已知关于 x 的不等式（xa） （x2a）0 的解集为 M 第 3 页（共 13 页） （）当 a1 时，求 M； （）当 aR 时，求 M 19 （9 分）已知等差数列an满足 a11，a3+a58 （）求an的通项公式； （）设，求数列bn的前 n 项和 Sn 20 （10 分）已知函数，g（x）ax，aR （）求曲线 yf（x）在点（1，0）处的切线方程； （）若不等式 f（x）g（x）
6、对 x（0，+）恒成立，求 a 的取值范围； （）若直线 ya 与曲线 yf（x）g（x）相切，求 a 的值 第 4 页（共 13 页） 2018-2019 学年北京市丰台区高二（下）期末数学试卷学年北京市丰台区高二（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （4 分）已知复数 z134i，z22+3i，则 z1+z2在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限
7、C第三象限 D第四象限 【分析】先求两个复数的和的运算，要复数的实部和虚部分别相加，得到和对应的复数， 写出点的坐标，看出所在的位置 【解答】解：复数 z134i，z22+3i， z1+z2（34i）+（2+3i） 1i 复数 z1+z2在复平面内对应的点的坐标是（1，1） ，位于第四象限 故选：D 【点评】本题考查复数的运算和几何意义，解题的关键是写出对应的点的坐标，有点的 坐标以后，点的位置就显而易见 2 （4 分）已知 ab0，则下列不等式成立的是（ ） Aa2b2 Ba2ab C D 【分析】方法一：该题是选择题，可利用排除法，数可以是满足 ab0 任意数，代入 后看所给等式是否成立，
8、即可得到正确选项 方法二：比较大小可采用作差比较，一般步骤是作差、变形、定号，从而得到大小关系 【解答】解：方法一：若 ab0，不妨设 a2，b1 代入各个选项，错误的是 A、 B、D， 故选 C 方法二：ab0a2b2（ab） （a+b）0 即 a2b2，故选项 A 不正确； ab0a2aba（ab）0 即 a2ab，故选项 B 不正确； ab00 即，故选项 C 不正确； ab010 即1，故选项 D 正确 第 5 页（共 13 页） 故选：D 【点评】本题主要考查了比较大小，利用特殊值法验证一些式子错误是有效的方法，属 于基础题 本题主要考查了比较大小，常常利用作差与 0 进行比较，同号
9、时有时作商与 1 比较，属 于基础题 3（4 分） 已知等比数列an的前 n 项和为 Sn， 公比为 q， 若 a1+a35， q2， 则 S4等于 （ ） A7 B13 C15 D31 【分析】直接利用等比数列的通项公式的应用求出首项，进一步求出数列的前 4 项和 【解答】解：， 即 a11， 则 S41+2+4+815， 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：等比数列的通项公式的应用，前 n 项和公式的应用，主 要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 4 （4 分）已知关于 x 的不等式 ax2x+c0 的解集为x|1x2，则 a+c 等于（ ） A1 B1 C3 D3 【分析】根据
10、题意即可得出，1，2 是方程 ax2x+c0 的两实根，将 x1 带入方程 即可求出 a+c1 【解答】解：据题意知，1，2 是方程 ax2x+c0 的两实根； 将 x1 带入方程得 a+c+10； a+c1 故选：A 【点评】考查一元二次不等式的解和对应一元二次方程实根的关系 5 （4 分）已知函数 f（x）的定义域为（m，n） ，导函数 f（x）在（m，n）上的图象如图所 示，则 f（x）在（m，n）内的极小值点的个数为（ ） 第 6 页（共 13 页） A1 B2 C3 D4 【分析】利用函数的导数的符号，结合函数的极值，推出结果即可 【解答】解：极小值点导数左负右正，由导函数的图象可知
11、，函数在 x1，x2处满足题意 故选：B 【点评】本题考查函数的极值的判断与应用，是基本知识的考查 6 （4 分）已知等差数列an满足 a3+a4+a5+a6+a790，则 a2+a8等于（ ） A18 B30 C36 D45 【分析】利用等差数列通道项公式求出 a518，a2+a82a5，由此能求出结果 【解答】解：等差数列an满足 a3+a4+a5+a6+a790， 由题 5a590，a518， a2+a82a536 故选：C 【点评】本题考查数列的两项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题 7 （4 分）用边长为 18cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁
12、皮的四角各截去一个面积 相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当铁盒的容积最大时，截去的小正 方形的边长为（ ） A1cm B2cm C3cm D4cm 【分析】设截去的小正方形的边长为 xcm，铁盒的容积为 Vcm3，从而可得 Vx（18 2x）2（0x24） ，求导 V12（3x） （9x） ，从而求最大值即可 【解答】解：设截去的小正方形的边长为 x cm，铁盒的容积为 V cm3， 由题意得，Vx（182x）2（0x9） ， V12（3x） （9x） ， 令 V0，则在（0，9）内有 x3 故当 x3 时，V 有最大值； 第 7 页（共 13 页） 故选：C 【点评】本题考查利
13、用导数求最大值问题，涉及长方体的体积计算，关键是列出关于 x 的方程 8 （4 分）已知数列an满足 a12，则下列说法错误的 是（ ） Aa47 Ba41 是 a21 与 a61 的等比中项 C数列an+1an是等比数列 D在an中，只有有限个大于 0 的项 【分析】首先利用递推关系式和叠加法求出数列的通项公式，进一步求出结果 【解答】解：an+x2（an1+x） ， 解得 x1，即 通过叠加法， 求得， 所以：a47，故 A 正确 a41 是 a21 与 a61 的等比中项，故 B 正确 数列an+1an是等比数列，故 C 正确 对于 D，偶数项为负， 有无限个大于 0 的项， 故选：D
14、【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，叠加法的应用，主要考察学 生的运算能力和转换能力，属于基础题型 9 （4 分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：有一个人走了 378 里路，第 一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了 6 天后到 达目的地，则此人第二天走的路程为（ ） A96 里 B189 里 C192 里 D288 里 【分析】直接利用等比数列的前 n 项和公式的应用求出结果 第 8 页（共 13 页） 【解答】解：， 解得：x192， 故：， 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：等比数列的前 n 项和公式的应用，主要考察学生的运算
15、能力和转换能力，属于基础题型 10 （4 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（1）0，当 x0 时，xf（x）+f（x） 0，则使得 f（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ） A （，1）（0，1） B （1，0）（1，+） C （，1）（1，0） D （0，1）（1，+） 【分析】构造函数，利用函数的奇偶性以及函数的的单调性，利用数形结合转化求解即 可 【解答】解：构造原函数 F（x）xf（x） ， 因为 f（x）为奇函数，所以 F（x）xf（x）为偶函数， 且当 x0 时，F（x）0，F（x）单调递减，画出如下草图： 注意草图是 yxf（x）的图象，可以判断 f（x）0 时，
16、 x（1，0）（1，+） 故选：B 【点评】本题考查函数的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性，数形结合的方法的应 用 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 11 （4 分）复数 i（1i）的实部为 1 【分析】利用复数的乘法化简复数，然后求解复数的实部即可 【解答】解：复数 i（1i）1+i，复数的实部为：1 故答案为：1 第 9 页（共 13 页） 【点评】本题考查复数的基本运算，基本概念的应用，是基础题 12 （4 分）已知 x0，则的最小值为 4 【分析】因为 x0，直接利用基本不等式求出其最小值 【解答】解：x0，则24
17、，当且仅当 x 时，等号成立， 故答案为 4 【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等 号成立的条件，属于基础题 13 （4 分）已知函数 f（x） x3+ax 在 R 上单调递增， 则实数 a 的取值范围是 0， +） 【分析】对函数 f（x）x3+ax 求导，f（x）在 R 上单调递增，即导数 f（x）3x2+a0 恒成立，则可得到 a 的取值范围是0，+） 【解答】解：由题可得 f（x）3x2+a，函数 f（x）x3+ax 在 R 上单调递增， 即 f（x）3x2+a0 在 R 上恒成立， 故 a0，a 的取值范围是0，+） 故答案为：0，+） 【点评
18、】本题考查利用导数研究函数的单调性的基础知识以及转化化归思想的应用，恒 成立问题的处理，属于基础题 14 （4 分）已知数列an的前 n 项和，则 a4 7 【分析】可利用 a4S4S3求得 【解答】解：Snn2，a4S4S31697 故答案为：7 【点评】本题考查数列的函数特性，属于基础题 15 （4 分）已知函数 f（x）xexm，则 f（x）的单调递减区间是 （，1） ；若 f（x）有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 （，+） 【分析】利用导数求函数的单调递减区间，利用函数图形和性质得到 f（1）0，即可 求出 m 的取值范围 【解答】解：f（x）（x+1）ex，令 f（x）0，
19、x1； 故 f（x）的单调递减区间为（，1） ； 函数 f（x）有两个不同零点，f（1）m0，m， 第 10 页（共 13 页） 故答案为： （，1） ； （，+） 【点评】本题主要考察利用导数求函数的单调区间和零点问题，意在考察学生对这些知 识的理解与应用水平，属基础题 16 （4 分）已知数列an的通项 an2n1，把an中的各项按照一定的顺序排列成如图所 示的三角形矩阵 数阵中第 5 行所有项的和为 125 ； 2019 是数阵中第 i 行的第 j 列，则 i+j 65 【分析】根据规律直接写出第 5 行所有项相加即可；算出 2019 是第几项，再求出 它是第几行几列即可 【解答】解析：
20、21+23+25+27+29125； 2n12019，n1010，1+2+3+44990， 故 i44+145，j101099020，i+j65 故答案为：125；65 【点评】本题考查三角形矩阵和数列知识，属于一般综合题型 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 4 小题，共小题，共 36 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （8 分）已知函数 f（x）x33x+6 （）求 f（x）的极值； （）求 f（x）在0，2上的最大值与最小值，并写出相应的 x 的值 【分析】 （）先求导函数 f（x） ，然后令 f（x）0，得到增区间；令 f
21、（x）0， 得到减区间；即可求解函数的极值 （）根据（1）的结论，再比较所有极值和两个端点值，最大的即为最大值，最小的为 最小值 第 11 页（共 13 页） 【解答】解： （）f（x）x33x+6， f（x）3x23， 令 f（x）0，即 3x230，解得 x1 或 x1， 令 f（x）0，即 3x230，解得1x1， 函数 f（x）的单调递增区间为（，1）和（1，+） ， 单调减区间为（1，1） ； x1，函数取得极大值：8； x1 函数取得极小值：4 （）f（x）x33x+6，x0，2， x1 函数取得极小值：4 又 f（0）4，f（2）8， 函数 f（x）在区间0，2上的最大值为 8，
22、此时 x2；最小值为 4此时 x1 【点评】在高中阶段，导数是研究函数性质的有效的工具之一，比如函数的单调性，函 数的极值及最值等在高考试题中，往往导数部分的内容也会和不等式相结合，提高做 题难度 18 （9 分）已知关于 x 的不等式（xa） （x2a）0 的解集为 M （）当 a1 时，求 M； （）当 aR 时，求 M 【分析】 （）a1 时不等式为（x1） （x2）0，求出解集即可； （）a0 时不等式为 x20，a0 时 a2a，a0 时 2aa， 分别求出不等式的解集即可 【解答】解： （）a1 时，不等式（xa） （x2a）0 为（x1） （x2）0， 解得 x1 或 x2， 所
23、以不等式的解集为 Mx|x1 或 x2； （）当 a0 时，此时关于 x 的不等式为 x20， 解集为 Mx|x0； 当 a0 时，此时 a2a，不等式的解集为 Mx|xa 或 x2a； 当 a0 时，此时 2aa，不等式的解集为 Mx|x2a 或 xa 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想应用问 题，是基础题 第 12 页（共 13 页） 19 （9 分）已知等差数列an满足 a11，a3+a58 （）求an的通项公式； （）设，求数列bn的前 n 项和 Sn 【分析】 （）等差数列an的公差设为 d，运用等差数列的通项公式，可得 d，进而得 到所求通项公式
24、； （）求得，由数列的分组求和，以及等差数列和等比数列 的求和公式，化简计算可得所求和 【解答】解： （）等差数列an的公差设为 d，a11，a3+a58 可得 2a1+6d8，即 2+6d8，解得 d1， 可得； （）， 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的求和公式，考查数 列的分组求和，化简运算能力，属于基础题 20 （10 分）已知函数，g（x）ax，aR （）求曲线 yf（x）在点（1，0）处的切线方程； （）若不等式 f（x）g（x）对 x（0，+）恒成立，求 a 的取值范围； （）若直线 ya 与曲线 yf（x）g（x）相切，求 a 的值 【分析】 （） 求
25、得，f（1）1即可得曲线 yf（x）在点（1，0） 处的切线方程； （）对 x（0，+）恒成立参变分离，即对 x（0，+）恒 成立，利用导数即可得 a 的取值范围 （）由题意设切点为（x0，） ，则，解得 a1 第 13 页（共 13 页） 【解答】解： （）.的定义域为（0，+） ，f（1）1 曲线 yf（x）在点（1，0）处的切线斜率 k1 曲线 yf（x）在点（1，0）处的切线方程 xy10； （）不等式 f（x）g（x）对 x（0，+）恒成立对 x（0，+）恒成 立 参变分离，即对 x（0，+）恒成立， 令， ，可得函数 f（x）在单调递增增，在单调递减 减， ， 故 a 的取值范围为（，+） （）曲线 yf（x）g（x）， 由题意设切点为（x0，） ， 则，解得 a1 【点评】本题考查了导数的几何意义，不等式恒成立问题，考查了转化思想、计算能力， 属于中档题
