1、将函数 ysinx 图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） ，再将所 得图象上所有的点向左平移个单位长度，则所得图象对应的函数解析式为（ ） Aysin（2x+） Bysin（） Cycos Dycos2x 7 （5 分）构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成 的一个大等边三角形，设 BD2AD，则DEF 与ABC 的面积之比为（ ） 第 2 页（共 20 页） A B C D 8 （5 分）某校有 6 名志愿者在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务，任务是组织游客 参加“祝福祖国征集留言“、 “欢乐世园共绘展板“传递祝福发放彩绳”三项活动，其中
2、1 人负责“征集留言” ，2 人负责“共绘展板” ， “3 人负责“发放彩绳” ，则不同的分配方 案共有（ ） A30 种 B60 种 C120 种 D180 种 9 （5 分）函数 f（x）的图象大致为（ ） A B C 第 3 页（共 20 页） D 10 （5 分）已知函数 f（x）ksinx+2x+1（kR） ，当 k（，2）（2，+）时，f （x）在（0，2）内的极值点的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分答案写在答题卡上分答案写在答题卡上 11 （5 分）8+log26log23 1
3、2 （5 分）函数 f（x）1x（x0）的值域为 13 （5 分）若小明在参加理、化、生三门课程的等级性考试中，取得等级 A 的概率均为， 且三门课程的成绩是否取得等级 A 互不影响，则小明在这三门课程的等级性考试中恰有 两门取得等级 A 的概率为 14 （5 分）在ABC 中，bsinAsinB+acos2Bb，则 15 （5 分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书 中用图画描绘了筒车的工作原理（如图 1） 因其经济又环保，至今还在农业生产中得到 使用（如图 2） 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动， 因筒车上盛水筒的运动具有周期性，
4、可以考虑利用三角函数模型刻画盛水筒（视为质点） 的运动规律，将筒车抽象为一个几何图形，建立直角坐标系（如图 3） ，设经过 t 秒后， 筒车上的某个盛水筒 M 从点 P0运动到点 P，由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水 面的高度 H（单位：m） ，由以下量所决定：简车转轮的中心 O 到水面的距离 h，筒车的 半径 r，筒车转动的角速度 （单位：rad/s） ，盛水筒的初始位置 P0以及所经过的时间 t （单位：s） 已知 r3m，h2m，筒车每分钟转动（按逆时针方向）1.5 圈，点 P0距离 水面的高度为 3.5m，若盛水筒 M 从点 P0开始计算时间，则至少需要经过 s 就可 第 4 页
5、（共 20 页） 到达最高点；若将点 P 距离水面的高度 H 表示为时间 t 的函数，则此函数表达式 为 16 （5 分）已知函数 f（x）其中 k0 若 k2，则 f（x）的最小值为 ； 关于 x 的函数 yf（f（x） ）有两个不同零点，则实数 k 的取值范围是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （14 分）已知函数 f（x）sinxcosx+cos2x （）求 f（x）的最小正周期； （）若 f（x）在0，m上单调递增，求 m 的最大值 18 （14 分）随着社会的
6、进步与发展，中国的网民数量急剧增加如表是中国从 20092018 年网民人数及互联网普及率、手机网民人数（单位：亿）及手机网民普及率的相关数据 年份 网民人数 互联网普及率 手机网民人数 手机网民普及率 2009 3.8 28.9% 2.3 17.5% 2010 4.5 34.3% 3.0 22.9% 2011 5.1 38.3% 3.6 27.0% 2012 5.6 42.1% 4.2 31.6% 2013 6.2 45.8% 5.0 36.9% 2014 6.5 47.9% 5.6 41.3% 2015 6.9 50.3% 6.2 45.2% 2016 7.3 53.2% 7.0 51.0
7、% 2017 7.7 55.8% 7.5 54.4% 2018 8.3 59.6% 8.2 58.9% 第 5 页（共 20 页） （互联网普及率（网民人数/人口总数）100%；手机网民普及率（手机网民人数/ 人口总数）100%） （）从 20092018 这十年中随机选取一年，求该年手机网民人数占网民总人数比值超 过 80%的概率； （）分别从网民人数超过 6 亿的年份中任选两年，记 X 为手机网民普及率超过 50%的 年数，求 X 的分布列及数学期望； （）若记 20092018 年中国网民人数的方差为 s12，手机网民人数的方差为 s22，试判 断 s12与 s22的大小关系， （只需写
8、出结论） 19 （14 分）设函数 f（x）ax3（a+1）x2+4x+1（aR） （）当 a3 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （）讨论函数 f（x）的单调性 20 （14 分）已知函数 f（x）ex+（ae）xax2（a0） （）当 a0 时，求 f（x）的最小值； （）证明：当 a0 时，函数 f（x）在区间（0，1）内存在唯一零点 21 （14 分） 设集合 Mx1， x2， ， x3nN* （nN*） ， 如果存在 M 的子集 Aa1， a2， ， an，Bb1，b2，bn，Cc1，c2，cn|同时满足如下三个条件：MAB C；A，B，C 两两交集为空集；
9、ai+bici（i1，2，3，n） ，则称集合 M 具有 性质 （I）已知集合 E1，2，5，6，7，9，F1，2，3，4，5，6，试判断集合 E，F 是 否具有性质 ，并说明理由； （）设集合 Mm1，2，3m（mN*） ，求证：具有性质 的集合 Mm有无穷多 个 第 6 页（共 20 页） 2018-2019 学年北京市朝阳区高二（下）期末数学试卷学年北京市朝阳区高二（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，选出分在每小题给出的四个选项中，选出 符合
10、题目要求的一项符合题目要求的一项 1 （5 分）已知集合 Ax|x（x+1）0，Bx|x1，则 AB（ ） Ax|x1 B （x|xl Cx|x0 D 【分析】可求出集合 A，然后进行并集的运算即可 【解答】解：Ax|1x0； ABx|x0 故选：C 【点评】考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及并集的运算 2 （5 分）已知 x，yR，且 xy0，则（ ） A B （）x（）y Cxy Dsinxsiny 【分析】由函数在（0，+）上单调递减，知当 xy0 时（）x（）y 【解答】解：函数在（0，+）上单调递减， 当 xy0 时， （）x（）y， 故选：B 【点评】本题考查了不等式的基
11、本性质和利用函数的单调性比较大小，属基础题 3 （5 分）如果函数 yf（x）在a，b上的图象是连续不断的一条曲线，那么“f（a） f（b） 0”是“函数 y（x）在（a，b）内有零点“的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】函数 yf（x）在a，b上的图象是连续不断的一条曲线， “f（a） f（b）0” “函数 y（x）在（a，b）内有零点“，反之不成立即可判断出结论 【解答】解：函数 yf（x）在a，b上的图象是连续不断的一条曲线， “f（a） f（b）0”“函数 y（x）在（a，b）内有零点“， 第 7 页（共 20 页） 反之不
12、成立 “f（a） f（b）0”是“函数 y（x）在（a，b）内有零点“的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了函数零点的判定方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计 算能力，属于基础题 4 （5 分）二项式（2x）6展开式中的常数项为（ ） A960 B160 C160 D960 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求 得展开式中的常数项 【解答】解：二项式（2x）6展开式的通项公式为 Tr+126 r （1）rx62r， 令 62r0，求得 r3，可得二项式（2x）6展开式中的常数项为23 （1） 160， 故选：B 【点评】本题主
13、要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公 式，求展开式中某项的系数，属于基础题 5 （5 分）已知 （，） ，tan（+），则 sin+cos（ ） A B C D 【分析】 把已知等式的左边利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简， 得到关于 tan 的方程，求出方程的解得到 tan 的值，然后根据 的范围，利用同角三 角函数间的基本关系求出 sin 和 cos 的值，进而求出 sin+cos 的值 【解答】解：，即 8tan6， tan， 又， cos， sin， 第 8 页（共 20 页） 则 sin+cos+（） 故选：C 【点评】此题考查了两角和与差
14、的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特 殊角的三角函数值，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键 6 （5 分）将函数 ysinx 图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） ，再将所 得图象上所有的点向左平移个单位长度，则所得图象对应的函数解析式为（ ） Aysin（2x+） Bysin（） Cycos Dycos2x 【分析】由题意利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】解：将函数 ysinx 图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） ， 可得 ysin2x 的图象； 再将所得图象上所有的点向左平移个单位长度，则所得图象对应的函数解析式为 y s
15、in（2x+）cos2x， 故选：D 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题 7 （5 分）构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成 的一个大等边三角形，设 BD2AD，则DEF 与ABC 的面积之比为（ ） A B C D 【分析】设 ADx，根据余弦定理表示出 AB，分别求 SABC，SDEF，再计算面积比即 可 【解答】解：设 ADx， 因为ABC 是由 3 个全等的三角形与中间的等边三角形构成， 第 9 页（共 20 页） 所以 BD2x，ADB120， 由余弦定理可知 AB2AD2+BD22ADBDcos120 代入可
16、得 AB27x2， 由三角形面积公式可得 SABCAB2x2， 同理 SDEFDE2x2， 所以DEF 与ABC 的面积之比为 故选：D 【点评】本题考查了三角形面积计算问题，是基础题 8 （5 分）某校有 6 名志愿者在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务，任务是组织游客 参加“祝福祖国征集留言“、 “欢乐世园共绘展板“传递祝福发放彩绳”三项活动，其中 1 人负责“征集留言” ，2 人负责“共绘展板” ， “3 人负责“发放彩绳” ，则不同的分配方 案共有（ ） A30 种 B60 种 C120 种 D180 种 【分析】先从 6 名志愿者选 1 人负责“征集留言” ，再从剩下的 5 人中选
17、 2 人负责“共绘 展板” ，最后剩下的“3 人负责“发放彩绳” ，根据分步计数原理可得 【解答】 解： 先从 6 名志愿者选 1 人负责 “征集留言” ， 再从剩下的 5 人中选 2 人负责 “共 绘展板” ，最后剩下的“3 人负责“发放彩绳” ， 故有 C61C52C3360 种， 故选：B 【点评】本题考查了分步计数原理，关键是分步，属于基础题 9 （5 分）函数 f（x）的图象大致为（ ） 第 10 页（共 20 页） A B C 第 11 页（共 20 页） D 【分析】根据题意，分析函数 f（x）的定义域、奇偶性以及当 x0 时，f（x）的符号， 据此分析选项即可得答案 【解答】解
18、：根据题意，函数，其定义域为x|x0， 有 f（x）f（x） ，即函数 f（x）为奇函数， 当 x0 时，有 f（x）0，函数的图象在第一象限， 分析选项可得：C 符合； 故选：C 【点评】本题考查函数图象的判定分析，注意分析函数 f（x）的奇偶性与值域，属于基 础题 10 （5 分）已知函数 f（x）ksinx+2x+1（kR） ，当 k（，2）（2，+）时，f （x）在（0，2）内的极值点的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】求出函数的导数，判断函数的极值点的个数即可 【解答】解：函数 f（x）ksinx+2x+1（kR） ，f（x）kcosx+2，ycosx 的周期为： 2 当
19、 k（，2）（2，+）时，kcosx+20，可得在一个函数的周期内，有 2 个实 数解，所以函数的极值点的个数为 2 个 故选：C 【点评】本题考查函数的导数的应用，三角函数的最值的判断，函数零点的公式以及函 数极值的判断，是基本知识的考查 第 12 页（共 20 页） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分答案写在答题卡上分答案写在答题卡上 11 （5 分）8+log26log23 5 【分析】进行分数指数幂和对数的运算即可 【解答】解：原式4+log224+15 故答案为：5 【点评】考查分数指数幂和对数的运算 12 （5 分）函
20、数 f（x）1x（x0）的值域为 （，1 【分析】可知在（0，1）上单调递减，在1，+）上单调递增，从而得出 g （x）2，即得出，从而可求出，即得出 f（x）的值域为（， 1 【解答】解：在（0，1）上单调递减，在1，+）上单调递增； g（x）g（1）2； 即； ； ； f（x）的值域为（，1 故答案为： （，1 【点评】考查函数值域的定义及求法，不等式的性质，函数的单调性及值域 13 （5 分）若小明在参加理、化、生三门课程的等级性考试中，取得等级 A 的概率均为， 且三门课程的成绩是否取得等级 A 互不影响，则小明在这三门课程的等级性考试中恰有 两门取得等级 A 的概率为 【分析】利用
21、n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式直接求解 【解答】解：小明在参加理、化、生三门课程的等级性考试中，取得等级 A 的概率均 为， 且三门课程的成绩是否取得等级 A 互不影响， 则小明在这三门课程的等级性考试中恰有两门取得等级 A 的概率为： 第 13 页（共 20 页） p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计 算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 14 （5 分）在ABC 中，bsinAsinB+acos2Bb，则 【分析】根据正弦定理，同角三角函数基本关系式结合题意即可求解 【解答】解：ABC
22、 中，bsinAsinB+acos2Bb， sin2BsinA+sinAcos2BsinB，可得：sinAsinB， 由正弦定理可得：a， 故答案为： 【点评】本题考查了解三角形的应用问题，考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式 在解三角形中的应用，属于基础题 15 （5 分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书 中用图画描绘了筒车的工作原理（如图 1） 因其经济又环保，至今还在农业生产中得到 使用（如图 2） 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动， 因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画盛水筒（视为质点） 的运动规律
23、，将筒车抽象为一个几何图形，建立直角坐标系（如图 3） ，设经过 t 秒后， 筒车上的某个盛水筒 M 从点 P0运动到点 P，由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水 面的高度 H（单位：m） ，由以下量所决定：简车转轮的中心 O 到水面的距离 h，筒车的 半径 r，筒车转动的角速度 （单位：rad/s） ，盛水筒的初始位置 P0以及所经过的时间 t （单位：s） 已知 r3m，h2m，筒车每分钟转动（按逆时针方向）1.5 圈，点 P0距离 水面的高度为 3.5m，若盛水筒 M 从点 P0开始计算时间，则至少需要经过 s 就可 到达最高点；若将点 P 距离水面的高度 H 表示为时间 t 的函数，
24、则此函数表达式为 H 3sin（t+） 第 14 页（共 20 页） +2 【分析】求出P0Ox，角速度 ，得出 H 关于 t 的函数解析式 【解答】解：过 P0向 x 轴作垂线，垂足为 A，则 P0A3.521.5r， P0OA， 筒车的角速度 ， H3sin（t+）+2， 令t+可得 t 故答案为：，H3sin（t+）+2 【点评】本题考查了函数解析式，函数的应用，属于中档题 16 （5 分）已知函数 f（x）其中 k0 若 k2，则 f（x）的最小值为 1 ； 关于 x 的函数 yf（f（x） ）有两个不同零点，则实数 k 的取值范围是 0，1） 【分析】k2 时，作出函数图象，则最小值
25、可求； 问题转化为 f（x）1 有两个不同的零点，结合图象即可求解 【解答】解：若 k2，则， 作函数 f（x）的图象如下图所示， 第 15 页（共 20 页） 显然，当 x0 时，函数 f（x）取得最小值，且最小值为 f（0）1 令 mf（x） ，显然 f（m）0 有唯一解 m1， 由题意，f（x）1 有两个不同的零点，由图观察可知，k1， 又 k0，则实数 k 的取值范围为 0k1 故答案为：1；0，1） 【点评】本题考查函数的最值及函数零点，考查换元法及数形结合的运用，属于基础题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步
26、骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （14 分）已知函数 f（x）sinxcosx+cos2x （）求 f（x）的最小正周期； （）若 f（x）在0，m上单调递增，求 m 的最大值 【分析】 （）由题意利用三角恒等变换化简 f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性， 求出 f（x）的最小正周期 （）由题意利用正弦函数的单调性，求得 m 的最大值 【解答】 解：（） 函数 f （x） sinxcosx+cos2xsin2x+sin （2x+） +， 函数 f（x）的最小正周期为 （）若 f（x）在0，m上单调递增，则 m0，且 2m+，求得 0m， 故 m 的最大值为 【点评】本题
27、主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于基础题 18 （14 分）随着社会的进步与发展，中国的网民数量急剧增加如表是中国从 20092018 年网民人数及互联网普及率、手机网民人数（单位：亿）及手机网民普及率的相关数据 年份 网民人数 互联网普及率 手机网民人数 手机网民普及率 第 16 页（共 20 页） 2009 3.8 28.9% 2.3 17.5% 2010 4.5 34.3% 3.0 22.9% 2011 5.1 38.3% 3.6 27.0% 2012 5.6 42.1% 4.2 31.6% 2013 6.2 45.8% 5.0 36.9% 2014 6.5 47.9%
28、 5.6 41.3% 2015 6.9 50.3% 6.2 45.2% 2016 7.3 53.2% 7.0 51.0% 2017 7.7 55.8% 7.5 54.4% 2018 8.3 59.6% 8.2 58.9% （互联网普及率（网民人数/人口总数）100%；手机网民普及率（手机网民人数/ 人口总数）100%） （）从 20092018 这十年中随机选取一年，求该年手机网民人数占网民总人数比值超 过 80%的概率； （）分别从网民人数超过 6 亿的年份中任选两年，记 X 为手机网民普及率超过 50%的 年数，求 X 的分布列及数学期望； （）若记 20092018 年中国网民人数的方差
29、为 s12，手机网民人数的方差为 s22，试判 断 s12与 s22的大小关系， （只需写出结论） 【分析】 （）列出 20092018 这十年网民人数统计表，得出从这十年中手机网民人数 占网民总人数比值超过 80%的年数，计算所求的概率值； （）由题意知网民人数超过 6 亿的年份和手机网民普及率超过 50%的年数，得出 X 的 可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求得数学期望值； （）根据 20092018 年中国网民人数和手机网民人数的数据波动性大小，判断即可 【解答】解： （）20092018 这十年网民人数统计如下表， 年份 网民人数 手机网民人数 手机网民人数 2009 3.8
30、2.3 61% 2010 4.5 3.0 67% 第 17 页（共 20 页） 2011 5.1 3.6 71% 2012 5.6 4.2 75% 2013 6.2 5.0 81% 2014 6.5 5.6 86% 2015 6.9 6.2 90% 2016 7.3 7.0 96% 2017 7.7 7.5 97% 2018 8.3 8.2 99% 由统计表知，从这十年中随机选取一年，该年手机网民人数占网民总人数比值超过 80% 的概率为 P0.6； （）网民人数超过 6 亿的年份有 6 年，其中手机网民普及率超过 50%的有 3 年， 从中任选两年，则 X 的可能取值为 0，1，2； 计算
31、P（X0），P（X1），P（X2）； 则 X 的分布列为； X 0 1 2 P 数学期望为 E（X）0+1+21； （）20092018 年中国网民人数分布在 3.88.3 内，是逐渐递增的，数据波动性小， 其方差 s12小些； 手机网民人数分布在 2.38.2 内，也是逐渐递增的，数据波动性大，其方差 s22大些； 所以 s12s22 【点评】本题考查了数据的分析与应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学 期望计算问题，是基础题 19 （14 分）设函数 f（x）ax3（a+1）x2+4x+1（aR） （）当 a3 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （）讨论函
32、数 f（x）的单调性 第 18 页（共 20 页） 【分析】 （）先求导，根据导数的几何意义即可求出曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处 的切线方程， （）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出 【解答】解： （）当 a3 时，f（x）x34x2+4x+1， f（x）3x28x+4， f（1）38+41，f（1）14+4+12， 曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y2（x1） ，即 yx+3 （）f（x）ax22（a+1）x+4（ax2） （x2） ， 当 a0 时，f（x）2（x2） ， 当 x2 时，f（x）0，当 x2 时，f（x）0， f（x）
33、在（，2）上单调递增，在（2，+）上单调递减， 令 f（x）0，解得 x2 或 x， 当 0a1 时，此时2，当 x2 或 x时，f（x）0，当 2x时，f（x） 0， f（x）在（，2） ， （，+）上单调递增，在（2，）上单调递减， 当 a1 时，此时2，此时 f（x）0 恒成立， f（x）在（，+）上单调递增， a1 时，此时2，当 x2 或 x时，f（x）0，当x2 时，f（x）0， f（x）在（，） ， （2，+）上单调递增，在（，2）上单调递减， 当 a0 时，此时2，当 x2 或 x时，f（x）0，当x2 时，f（x） 0， f（x）在（，） ， （2，+）上单调递减，在（，2）
34、上单调递增 综上所述，当 a0 时，f（x）在（，） ， （2，+）上单调递减，在（，2）上单 调递增 当 a0 时，f（x）在（，2）上单调递增，在（2，+）上单调递减， 当 0a1 时，f（x）在（，2） ， （，+）上单调递增，在（2，）上单调递减， 第 19 页（共 20 页） 当 a1 时，f（x）在（，+）上单调递增， 当 a1 时，f（x）在（，） ， （2，+）上单调递增，在（，2）上单调递减 【点评】本题主要考查函数的导数的应用，单调性和导数之间的关系是解决本题的关 键注意要进行分类讨论 20 （14 分）已知函数 f（x）ex+（ae）xax2（a0） （）当 a0 时，求
35、 f（x）的最小值； （）证明：当 a0 时，函数 f（x）在区间（0，1）内存在唯一零点 【分析】 （）当 a0 时，利用导数可得 f（x）在（，1）递减，在（1，+）递增， 即可得 f（x）的最小值 （）当 a0 时，f（x）ex+ae2ax（a0） f（x）ex2a0， 可得存在 x0（0，1） ，使得 f（x0）0，且 f（10，f（1）0，即可证明 f（x） 在（0，x0）存在唯一零点 【解答】解： （）当 a0 时，f（x）exex， f（x）exe，令 f（x）0，可得 x1， 当 x1 时，f（x）0，当 x1 时，f（x）0 f（x）在（，1）递减，在（1，+）递增， f（x
36、）minf（1）0 （）当 a0 时，f（x）ex+ae2ax（a0） f（x）ex2a0， f（x）单调递增，且 f（0）1+ae0，f（1）a0 存在 x0（0，1） ，使得 f（x0）0， f（x）在（0，x0）递减，在（x0，1）递增， 且 f（0）10，f（1）0， f（x）在（0，x0）存在唯一零点 【点评】本题考查了导数的应用，属于中档题 21 （14 分） 设集合 Mx1， x2， ， x3nN* （nN*） ， 如果存在 M 的子集 Aa1， a2， ， an，Bb1，b2，bn，Cc1，c2，cn|同时满足如下三个条件：MAB C；A，B，C 两两交集为空集；ai+bici
37、（i1，2，3，n） ，则称集合 M 具有 性质 第 20 页（共 20 页） （I）已知集合 E1，2，5，6，7，9，F1，2，3，4，5，6，试判断集合 E，F 是 否具有性质 ，并说明理由； （）设集合 Mm1，2，3m（mN*） ，求证：具有性质 的集合 Mm有无穷多 个 【分析】 （I）按题设将集合 E、F 中的数按除 3 后余数的不同分为三个集合，能分出三个 集合的具有，否则不具有； （）先证明集合 Mm1，2，3m（mN*） ，可以按除 3 后余数的不同分为三个 集合，此三个集合就满足三个条件，再根据 m 是正整数，而正整数是无限的，以说明具 有性质 的集合 Mm有无穷多个即可
38、证明结论 【解答】解： （I）集合 E1，2，5，6，7，9具有性质 ，F1，2，3，4，5，6不 具有性质 ，理由如下： 对于集合 E，令 A1、5，B2、7，C6、9，完全符合三个条件，所以具有性 质 对于集合 F，由于 61+5 或 2+4，若 61+5，而其余三数 2，3，4 不具有线性等量关系， 若 62+4，则剩余三数 1、3、5 不具有线性等量关系，所以不能找到同时满足三个条件 的组合，故不具有性质 （）证明：集合 Mm1，2，3m（mN*）中的数可以按除 3 余的数组成集合 A， 除 3 余 2 的数组成集合 B，除 3 余 0 的数组成集合 C，此时都满足性质 由于 mN*，当 m 取不同的正整数时就会得到不同的集合 Mm，具有性质 由于正整数是无限的，所以具有性质 的集合 Mm有无穷多个 【点评】本题以集合让车背景考察新定义，解答本题的关键是理解定义中的性质 以及 三个集合的结构与 M 集合的结构，透彻理解定义是正确解答本题的保证本题易因为对 定义本质不理解导致无法入手
