1、已知函数 f（x）在 R 上有导函数，f（x）图象如图所示，则下列不等式正确的是 （ ） Af（a）f（b）f（c） Bf（b）f（c）f（a） Cf（a）f（c）f（b） Df（c）f（a）f（b） 6 （4 分）某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，要求必须有女生， 那么不同的选派方案种数为（ ） A14 B24 C28 D48 7 （4 分）甲、乙、丙、丁 4 个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛， 两组的胜者进入决赛， 决赛的胜者为冠军、 败者为亚军 4 个人相互比赛的胜率如表所示， 表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率那么甲得冠军
2、且丙得亚军的概率 是（ ） 甲 乙 丙 丁 甲 0.3 0.3 0.8 第 2 页（共 20 页） 乙 0.7 0.6 0.4 丙 0.7 0.4 0.5 丁 0.2 0.6 0.5 A0.15 B0.105 C0.045 D0.21 8 （4 分）设 0p1，随机变量 的分布列为 0 1 2 p 那么，当 p 在（0，1）内增大时，D（）的变化是（ ） A减小 B增大 C先减小后增大 D先增大后减小 9 （4 分）已知函数 f（x）x21，g（x）lnx，下列说法中正确的是（ ） Af（x） ，g（x）在点（1，0）处有相同的切线 B对于任意 x0，f（x）g（x）恒成立 Cf（x） ，g（
3、x）的图象有且只有一个交点 Df（x） ，g（x）的图象有且只有两个交点 10 （4 分）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展 做出了很大贡献在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图： 数字 形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零 则置空，如图： 如果把 5 根算筹以适当的方式全部放入右面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为 （ ） 第 3 页（共 20 页） A46 B44 C42 D40 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题
4、小题，每小题 5 分分，共，共 30 分分. 11 （5 分）已知函数 y，则 f（1） 12 （5 分）二项式（2x2）6的展开式中的常数项是 （用数字作答） 13 （5 分）若复数 z 满足 iz1+2i，则|z| 14 （5 分）能说明“若 f（0）0，则 x0 是函数 yf（x）极值点”为假命题的一个函数 是 15 （5 分）北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌， 如图所示设某人到达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为 X，则 E （X） 16 （5 分）容器中有 A，B，C3 种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗 B 粒子；不
5、同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子例如，一颗 A 粒子和一颗 B 粒子发生碰撞则变成一颗 C 粒子 现有 A 粒子 10 颗， B 粒子 8 颗， C 粒子 9 颗， 如果经过各种两两碰撞后， 只剩 1 颗粒子 给 出下列结论： 最后一颗粒子可能是 A 粒子 最后一颗粒子一定是 C 粒子 最后一颗粒子一定不是 B 粒子 以上都不正确 其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分.解答应写出文解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤字说明，证明过程或演算步骤 第 4 页（共 20 页） 17 （13 分）已知
6、函数 f（x）x3x2+bx，且 f（2）3 （）求 b； （）求 f（x）的单调区间 18 （13 分）某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过 A、B、C 三道工序加工而成的，A、 B、C 三道工序加工的元件合格率分别为、已知每道工序的加工都相互独立， 三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其它的 为废品，不进入市场 （）生产一个元件，求该元件为二等品的概率； （）若从该工厂生产的这种元件中任意取出 3 个元件进行检测，求至少有 2 个元件是 一等品的概率 19 （13 分）已知函数 f（x）（x+a）ex （）求 f（x）的单调区间； （）求 f（x）在区间
7、0，4上的最小值 20 （13 分）某校在学年期末举行“我最喜欢的文化课”评选活动，投票规则是一人一票， 高一（1）班 44 名学生和高一（7）班 45 名学生的投票结果如表（无废票） ： 语文 数学 外语 物理 化学 生物 政治 历史 地理 高一（1）班 6 9 7 5 4 5 3 3 2 高一（7）班 a 6 b 4 5 6 5 2 3 该校把上表的数据作为样本，把两个班同一学科的得票之和定义为该年级该学科的“好 感指数” （）如果数学学科的“好感指数”比高一年级其他文化课都高，求 a 的所有取值； （）从高一（1）班投票给政治、历史、地理的学生中任意选取 3 位同学，设随机变量 X 为投
8、票给地理学科的人数，求 X 的分布列和期望； （）当 a 为何值时，高一年级的语文、数学、外语三科的“好感指数”的方差最小？ （结论不要求证明） 21 （14 分）已知函数 f（x）exalnxx （）当 a1 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （）若 f（x）在区间（0，1）上存在极值点，求 a 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 22 （14 分）已知函数 f（x）+a（x1） （）若 a0，求 f（x）的极值； （）若在区间（1，+）上 f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围； （）判断函数 f（x）的零点个数 （直接写出结论） 第 6 页（共 20 页）
9、2018-2019 学年北京八中高二（下）期末数学试卷学年北京八中高二（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的一项是符合要求的. 1 （4 分）复数的共轭复数是（ ） A1+i B1i C1+i D1i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：， 的共轭复数为 1i 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 2 （4 分）已知 f（x）c
10、osx，则 f（x）（ ） Acosx Bcosx Csinx Dsinx 【分析】进行基本初等函数的求导即可 【解答】解：f（x）cosx； f（x）sinx 故选：D 【点评】考查基本初等函数的求导公式 3 （4 分） 用 0， 1， 2， 3， 4， 5 这 6 个数字， 可以组成没有重复数字的四位数的个数是 （ ） A360 B300 C240 D180 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：，在 1，2，3，4，5 这 5 个数字中任选 1 个， 安排在千位，在剩下的 5 个数字中任选 3 个，安排在后三位，由分步计数原理计算 可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，
11、在 1，2，3，4，5 这 5 个数字中任选 1 个，安排在千位，有 5 种选法， ，在剩下的 5 个数字中任选 3 个，安排在后面的三位，有 A5360 种选法， 则一共有 560300 个没有重复数字的四位数； 第 7 页（共 20 页） 故选：B 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 4 （4 分）曲线 yx3+x 在点（0，0）处的切线方程为（ ） Ay2x Byx Cy2x Dyx 【分析】求出原函数的导函数，在分别求得函数在 x0 处的函数值与导数值，再由直线 方程的点斜式求解 【解答】解：由 yx3+x，得 y3x2+1， 则 y|x01， 又当
12、x0 时，y0 曲线 yx3+x 在点（0，0）处的切线方程为 yx 故选：D 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题 5 （4 分）已知函数 f（x）在 R 上有导函数，f（x）图象如图所示，则下列不等式正确的是 （ ） Af（a）f（b）f（c） Bf（b）f（c）f（a） Cf（a）f（c）f（b） Df（c）f（a）f（b） 【分析】根据题意，由导数的几何意义可得 f（a） 、f（b） 、f（c）分析函数在 xa、 xb 和 xc 处切线的斜率，结合函数的图象分析可得答案 【解答】解：根据题意，f（a） 、f（b） 、f（c）分析函数在 xa、xb 和 xc 处
13、 切线的斜率， 则有 f（a）0f（b）f（c） ， 故选：A 【点评】本题考查导数的几何意义，注意比较函数的切线的斜率，属于基础题 6 （4 分）某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，要求必须有女生， 那么不同的选派方案种数为（ ） 第 8 页（共 20 页） A14 B24 C28 D48 【分析】根据题意，由排除法分析：先计算从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人的选法，再 排除其中没有女生即全部为男生的选法，分析可得答案 【解答】解：根据题意，从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人，有 C6415 种选法， 其中没有女生即全部为男生的选法有 C441 种
14、选法， 则必须有女生的选法有 15114 种； 故选：A 【点评】本题考查排列、组合的应用，注意排除法分析，避免分类讨论 7 （4 分）甲、乙、丙、丁 4 个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛， 两组的胜者进入决赛， 决赛的胜者为冠军、 败者为亚军 4 个人相互比赛的胜率如表所示， 表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率那么甲得冠军且丙得亚军的概率 是（ ） 甲 乙 丙 丁 甲 0.3 0.3 0.8 乙 0.7 0.6 0.4 丙 0.7 0.4 0.5 丁 0.2 0.6 0.5 A0.15 B0.105 C0.045 D0.21 【分析】根据表中数据，结合相互独立
15、事件的概率乘法公式处理即可 【解答】解：依题意，设 P（xy）代表 x，y 比赛时 x 获胜， 则甲得冠军且丙得亚军的概率是： P （甲乙） P （丙丁） P （甲丙） 0.30.50.30.045 故选：C 【点评】本题考查相互独立事件概率，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是基 础题 8 （4 分）设 0p1，随机变量 的分布列为 0 1 2 p 那么，当 p 在（0，1）内增大时，D（）的变化是（ ） 第 9 页（共 20 页） A减小 B增大 C先减小后增大 D先增大后减小 【分析】根据期望和方差公式求得方差 D（），为递增函数 【解答】解：根据题意知 E（）0+1+21， D（）
16、（01）2+（11）2+（21）2， 当 p 在（0，1）内增大时，D（）的变化是增大 故选：B 【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题 9 （4 分）已知函数 f（x）x21，g（x）lnx，下列说法中正确的是（ ） Af（x） ，g（x）在点（1，0）处有相同的切线 B对于任意 x0，f（x）g（x）恒成立 Cf（x） ，g（x）的图象有且只有一个交点 Df（x） ，g（x）的图象有且只有两个交点 【分析】分别求得 f（x） ，g（x）的导数，可得切线的斜率和切线方程，即可判断 A；由 h（x）f（x）g（x） ，求得导数，单调性，以及最值，即可判断 B，C，D 【解答】解
17、：f（x）x21，g（x）lnx 的导数为 f（x）2x，g（x）， 可得在 x1 处的切线斜率分别为 2，1，则切线方程分别为 y2（x1） ，yx1，故 A 错误； 由 x0，由 h（x）f（x）g（x）x21lnx，导数 h（x）2x，可得 h（x） 在 x处取得极小值， 且为最小值 h（）1ln0，故 B 错误； 由 h（x）f（x）g（x）x21lnx，可得 h（x）的最小值小于 0，且 h（x）不单调， 则 f（x） ，g（x）的图象 有两个交点，故 C 错误，D 正确 故选：D 【点评】不等式恒成立问题解法，可以通过作差和构造函数，求得导数和单调性、最值， 函数图象交点问题，可以
18、联立方程，求解个数，注意运用数形结合思想，是常用方法 第 10 页（共 20 页） 10 （4 分）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展 做出了很大贡献在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图： 数字 形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零 则置空，如图： 如果把 5 根算筹以适当的方式全部放入右面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为 （ ） A46 B44 C42 D40 【分析】先按每一位算筹的根数分布，再看每一位算筹的根数能组成几个数字 【解答
19、】解：按每一位算筹的根数分布一共有 15 种情况， 如下（5，0，0） ， （4，1，0） ， （4，0，1） ， （3，2，0） ， （3，1，1） ， （3，0，2） ， （2，3， 0） ， （2，2，1） ， （2，1，2） ， （2，0，3） ， （1，4，0） ， （1，3，1） ， （1，2，2） ， （1，1，3） ， （1，0，4） 2 根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理， 则上列情况能表示的三位数字个数分别为： 2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2， 根据分布加法计数原理，5 根算筹能表示的三位数字个数为： 2+2+2+4+2+4+4+
20、4+4+4+2+2+4+2+244， 故选：B 【点评】本题考查分类加法计数原理和分布乘法计数原理，考查分析问题解决问题的能 力 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分. 11 （5 分）已知函数 y，则 f（1） 0 第 11 页（共 20 页） 【分析】进行商的导数的求导，从而得出，带入 x1 即可求出 f（1） 的值 【解答】解：； 故答案为：0 【点评】考查基本初等函数的求导公式，以及已知函数求值的方法 12 （5 分）二项式（2x2）6的展开式中的常数项是 60 （用数字作答） 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令
21、x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求 得展开式中的常数项的值 【解答】解： （2x2）6的展开式的通项公式为 Tr+1 （1）r26 rx123r， 令 123r0，求得 r4，展开式中的常数项是 2260， 故答案为：60 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公 式，求展开式中某项的系数，属于基础题 13 （5 分）若复数 z 满足 iz1+2i，则|z| 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的计算公式 求解 【解答】解：由 iz1+2i，得 z， |z| 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数
22、模 的求法，是基础题 14 （5 分）能说明“若 f（0）0，则 x0 是函数 yf（x）极值点”为假命题的一个函数 是 f（x）x3或 f（x）1 等，答案不唯一 【分析】通过题意利用所举两个函数 f（x）x3和 f（x）1，可判断 f（0）0，则 x 0 是函数 yf（x）极值点”是假命题，从而可得答案 第 12 页（共 20 页） 【解答】解：当 f（x）x3或 f（x）1 时， 当 f（x）x3，则：f（x）3x2， f（x）0 时，x0， f（x）0 时，f（x）0 时，即：x（，0）或（0，+）时，函数都是单调递 增的函数， 所以，由函数极值的定义可知，x0 不是函数的极值点， 当
23、 f（x）1 时， 则：f（x）0，即 xR，f（x）0， 对于此函数，f（x）0 时，x0 不是函数的极值点 所以： “若 f（0）0，则 x0 是函数 yf（x）极值点”不一定成立，所以为假命题； 例如存在函数：f（x）x3或 f（x）1； 故答案为：f（x）x3或 f（x）1 等，答案不唯一； 【点评】考查利用导数研究函数的极值问题，函数的特例判断，体现了转化的思想方法， 属于中档题 15 （5 分）北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌， 如图所示设某人到达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为 X，则 E （X） 3.5625 【分析】X 的
24、所有可能取值为 2，3，4，5，根据几何概型求得概率，根据期望公式求得 期望 【解答】解：X 的所有可能取值为 2，3，4，5， P（X2）；P（X3）；P（X4）；P（X4）； E（X）2+3+4+53.5625 故答案为：3.5625 第 13 页（共 20 页） 【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题 16 （5 分）容器中有 A，B，C3 种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗 B 粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子例如，一颗 A 粒子和一颗 B 粒子发生碰撞则变成一颗 C 粒子 现有 A 粒子 10 颗， B 粒子 8 颗， C 粒子 9
25、颗， 如果经过各种两两碰撞后， 只剩 1 颗粒子 给 出下列结论： 最后一颗粒子可能是 A 粒子 最后一颗粒子一定是 C 粒子 最后一颗粒子一定不是 B 粒子 以上都不正确 其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号） 【分析】假设剩下的是 A、B、C 粒子，分别讨论，列举结果，进行排除，最终得到结果 【解答】解： （1）最后剩下的可能是 A 粒子 10 颗 A 粒子两两碰撞，形成 5 颗 B 粒子； 9 颗 C 粒子中的 8 个两两碰撞，形成 4 颗 B 粒子； 所有的 17 颗 B 粒子两两碰撞，剩下一颗 B 粒子； 这个 B 粒子与剩下的一颗 C 粒子碰撞形成 A 粒子 （2）最后剩
26、下的可能是 C 粒子 10 颗 A 粒子中的 9 颗与 9 颗 C 粒子两两碰撞，形成 9 颗 B 粒子； 所有的 17 颗 B 粒子两两碰撞，最后剩一颗 B 粒子； 这个 B 粒子与剩下的一颗 A 粒子碰撞形成 C 粒子 （3）最后剩下的不可能是 B 粒子 A、B、C 三种粒子每一次碰撞有以下 6 种可能的情况： A 与 A 碰撞，会产生一颗 B 粒子，减少两颗 A 粒子： （B 多 1 个，A、C 共减少两个） ； B 与 B 碰撞，会产生一颗 B 粒子，减少两颗 B 粒子： （B 少 1 个，A、C 总数不变） ； C 与 C 碰撞，会产生一颗 B 粒子，减少两颗 C 粒子： （B 多
27、1 个，A、C 共减少两个） ； A 与 B 碰撞，会产生一颗 C 粒子，减少 A、B 各一颗粒子： （B 少 1 个，A、C 总数不变） ； A 与 C 碰撞，会产生一颗 B 粒子，减少 A、C 各一颗粒子： （B 多 1 个，A、C 共减少两 个） ； B 与 C 碰撞，会产生一颗 A 粒子，减少 B、C 各一颗粒子： （B 少 1 个，A、C 总数不变） ， 第 14 页（共 20 页） 可以发现如下规律： 从 B 粒子的角度看：每碰撞一次，B 粒子的数量增多一个或减少一个题目中共有 27 颗粒子，经过 26 次碰撞剩一颗粒子，整个过程变化了偶数次， 由于开始 B 粒子共有 8 颗， 所
28、以 26 次碰撞之后，剩余的 B 粒子个数必为偶数，不可能是 1 个， 所以，最后剩下的不可能是 B 粒子 从 A、C 粒子的角度看：每次碰撞之后，A、C 粒子总数或者不变、或者减少两个题 目中 A、C 粒子之和为 19 个，无论碰撞多少次，A、C 粒子都没了是不可能的 所以，剩下的最后一颗粒子一定是 A 或 C 故答案为： 【点评】本题考查简单的合情推理，需列举，发现规律，容易出错 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （13 分）已知函数 f（x）x3x2+bx，且 f
29、（2）3 （）求 b； （）求 f（x）的单调区间 【分析】 （）根据 f（2）3，直接求出 b 即可； （）对 f（x）求导，根据 f（x）0 得单调增区间，f（x）0 得单调减区间 【解答】解： （）由已知 f（x）x22x+b， f（2）44+b3，b3； （）由（）知 f（x）x22x3， 解 f（x）0，得 x1 或 x3， 解 f（x）0，得1x3， 函数 f（x）的单调递增区间为（，1） ， （3，+） ，单调递减区间为（1，3） 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，属基础题 18 （13 分）某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过 A、B、C 三道工序加工而成的，A、
30、B、C 三道工序加工的元件合格率分别为、已知每道工序的加工都相互独立， 三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其它的 为废品，不进入市场 （）生产一个元件，求该元件为二等品的概率； 第 15 页（共 20 页） （）若从该工厂生产的这种元件中任意取出 3 个元件进行检测，求至少有 2 个元件是 一等品的概率 【分析】 （）不妨设元件经 A，B，C 三道工序加工合格的事件分别为，B，C则 P（A） ，P（B），P（C）P（ ），P（ ），P（ ）设事件 D 为“生产一个元件，该元件为二等品” 由已知 A，B，C 是相互独立事件根据事件的 独立性、 互斥事件的概率运
31、算公式， P （D） P （） P （） +P （A C） +P（AB ） ，由此能求出生产一个元件，该元件为二等品的概率 （）生产一个元件，该元件为一等品的概率为 p设事件 E 为“任 意取出 3 个元件进行检测，至少有 2 个元件是一等品” ，由此能求出至少有 2 个元件是一 等品的概率 【解答】解： （）不妨设元件经 A，B，C 三道工序加工合格的事件分别为，B，C 所以 P（A），P（B），P（C）P（ ），P（ ），P（ ） 设事件 D 为“生产一个元件，该元件为二等品” 由已知 A，B，C 是相互独立事件 根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式， P（D）P（）P（）+P（A C
32、）+P（AB ） +， 所以生产一个元件，该元件为二等品的概率为 （）生产一个元件，该元件为一等品的概率为 p 设事件 E 为“任意取出 3 个元件进行检测，至少有 2 个元件是一等品” ， 则 P（E） 所以至少有 2 个元件是一等品的概率为 【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件的概率运算公式、n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （13 分）已知函数 f（x）（x+a）ex （）求 f（x）的单调区间； 第 16 页（共 20 页） （）求 f（x）在区间0，4上的最小值 【分析】 （）求 f（x）的导数，利用导函数与
33、0 的大小，可得函数的单调区间； （）讨论 a，利用 f（x）的导函数可求得函数在区间0，4上的最小值 【解答】解： （）函数 f（x）（x+a）ex 函数 f（x）ex+（x+a）ex（x+a+1）ex， 由 f（x）0，解得：xa1； 由 f（x）0，解得：xa1 所以：函数 f（x）的单调减区间为： （，a1） ，单调增区间为： （a1，+） （）当a14，即 a5 时， f（x）在0，4上单调递减， 所以：f（x）minf（4）（a+4）e4； 当a10，即：a1 时， f（x）在0，4上单调递增， 所以：f（x）minf（0）a； 当5a1 时， x （0，a1） a1 （a1，4）
34、 f（x） 0 + f（x） 减 极小值 增 所以：f（x）minf（a1）e a1 ； 综上：当 a5 时，f（x）min（a+4）e4； 当 a1 时，f（x）mina； 当5a1 时，f（x）min； 故答案为： （）函数 f（x）的单调减区间为： （，a1） ，单调增区间为： （a 1，+） （）当 a5 时，f（x）min（a+4）e4； 当 a1 时，f（x）mina； 当5a1 时，f（x）min； 【点评】本题考查了导数的综合应用及单调性和最值问题，属于中档题 第 17 页（共 20 页） 20 （13 分）某校在学年期末举行“我最喜欢的文化课”评选活动，投票规则是一人一票，
35、高一（1）班 44 名学生和高一（7）班 45 名学生的投票结果如表（无废票） ： 语文 数学 外语 物理 化学 生物 政治 历史 地理 高一（1）班 6 9 7 5 4 5 3 3 2 高一（7）班 a 6 b 4 5 6 5 2 3 该校把上表的数据作为样本，把两个班同一学科的得票之和定义为该年级该学科的“好 感指数” （）如果数学学科的“好感指数”比高一年级其他文化课都高，求 a 的所有取值； （）从高一（1）班投票给政治、历史、地理的学生中任意选取 3 位同学，设随机变量 X 为投票给地理学科的人数，求 X 的分布列和期望； （）当 a 为何值时，高一年级的语文、数学、外语三科的“好感
36、指数”的方差最小？ （结论不要求证明） 【分析】 （）由已知列不等式组，求得 a 的取值范围以及对应的数值； （）由已知得 X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值； （）由题意结合方差的定义得出 a7 或 a8 时“好感指数”的方差最小 【解答】解： （）由已知 a+b14，所以 b14a； 依题意， 即，解得 6a9， 又 aN， 所以 a7，或 a8； （）由已知，随机变量 X 是高一（1）班同学中投票给地理学科的人数， 所以 X 的可能取值分别为 0，1，2； 计算 P（X0）， P（X1）， 第 18 页（共 20 页） P（X2）； 所以 X 的分布列为： X
37、0 1 2 P 数学期望为：E（X）0+1+2； （）由题意，结合方差的定义知，a7 或 a8 时， 高一年级的语文、数学、外语三科的“好感指数”的方差最小 【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是中档题 21 （14 分）已知函数 f（x）exalnxx （）当 a1 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （）若 f（x）在区间（0，1）上存在极值点，求 a 的取值范围 【分析】 （）把 a1 代入函数解析式，求出导函数，分别求出 f（1）与 f（1） ，再 由直线方程点斜式得答案； （）求出原函数的导函数，把 f（x）在区间（0，1）上存在极值点
38、转化为导函数在区 间（0，1）上存在零点，然后利用函数零点判定定理列式求解 【解答】解： （） 当 a1 时，f（x）ex+lnxx，x0 f（x）， f（1）e1，f（1）e， 曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y（e1）e（x1） ， 整理得 exy10； （）f（x）exalnxx，x0 f（x）， 依题意，f（x）在区间（0，1）上存在零点 x0，设 g（x）xexxa，g（x）在区间（0，1）上存在零点 g（x）ex（x+1）1， 当 x（0，1）时，ex1，x+11，ex（x+1）1，即 g（x）0， g（x）在区间（0，1）上为单调递增函数， 第 19 页（共
39、 20 页） 依题意，即 解得 0ae1 若 f（x）在区间（0，1）上存在极值点，则 a 的取值范围是（0，e1） 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的 单调性，考查数学转化思想方法，是中档题 22 （14 分）已知函数 f（x）+a（x1） （）若 a0，求 f（x）的极值； （）若在区间（1，+）上 f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围； （）判断函数 f（x）的零点个数 （直接写出结论） 【分析】 （）将 a0 代入函数求 f（x） ，利用函数的导数求极值即可； （）在区间（1，+）上 f（x）0 恒成立，转换成求 g（x）lnx+ax2ax
40、的最值， 利用 g（x）的单调性和极值，讨论 a 可得 a 的取值范围； （）讨论 a 可判断函数 f（x） 的零点个数 【解答】解： （）函数 f（x）+a（x1） 当 a0 时，定义域为：x|x0 因为函数 f（x），所以：f（x） 令 f（x）0，解得：xe， x （0，e） e （e，+） f（x） + 0 f（x） 极大值 所以 f（x）在区间（0，e）上单调递增，在区间（0，e）上单调递减 所以：f（x） 有极大值，极大值为 f（e）；没有极小值 （）因为 x0，所以在（1，+）上 f（x）0 恒成立， 即：lnx+ax2ax0 在（1，+）恒成立， 设 g（x）lnx+ax2ax
41、， 当 a0 时，g（2）ln2+2a，不符合题意 当 a0 时， 第 20 页（共 20 页） g（x）+2axa， 令 g（x）0，即：2ax2ax+10， 因为方程：2ax2ax+10 的判别式a28a0，两根之积：0 所以：g（x）0 有两个异号根设两根为 x1，x2，且 x10x2， i）当 x21 时， x （1，x2） x2 （x2，+） g（x） + 0 g（x） 极大值 所以 g（x）在区间（1，x2）上单调递增，在区间（x2，+）上单调递减， 所以 g（x2）g（1）0，不符合题意； ii）当 x21 时，g（1）0， 即：a1 时，g（x）在（1，+）单调递减， 所以当 x（1，+）时，g（x）g（x）0，符合题意 综上：a1 （）当 a0，或 a1 时，f（x）有 1 个零点；当 a0 且 a1 时，函数 f（x）有 2 个零点 故答案为： （）若 a0，极大值为 f（e）；没有极小值； （）若在区间（1，+）上 f（x）0 恒成立，a 的取值范围：a1； （）当 a0，或 a1 时，f（x）有 1 个零点；当 a0 且 a1 时，函数 f（x）有 2 个零点 【点评】考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题
