1、“m0”是“方程 x2y2m 表示的曲线为双曲线”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）如图，棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为线段 A1B 上的动点，则下列 第 2 页（共 19 页） 结论错误的是（ ） A平面 D1A1P平面 A1AP BAPD1的取值范围是（0，） C三棱锥 B1D1PC 的体积为定值 DDC1D1P 8（5 分） 设 F 是椭圆1 的右焦点， 椭圆上至少有 21 个不同的点 Pi（i1， 2， 3， ） ， |P1F|，|P2F|，|P3F|，组成公差为 d（d0）的等差数列，则
2、d 的最大值为（ ） A B C D 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 9 （5 分）已知 a，bR，i 是虚数单位， （a+bi）i2+3i，则 a ，b 10 （5 分）在空间直角坐标系中，已知点 M（1，0，1） ，M（1，1，2） ，则线段 MN 的 长度为 11 （5 分） 若双曲线的渐近线方程为 yx， 则满足条件的一个双曲线的方程为 12 （5 分）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，设 ADAA11，AB2，则等 于 13 （5 分）已知椭圆1（ab0）的离心率为 e，F1，F2分别为椭圆的两个焦点， 若椭圆上存在
3、点 P 使得F1PF2是钝角，则满足条件的一个 e 的值为 第 3 页（共 19 页） 14 （5 分）已知曲线 W 的方程为|y|+x25x0 请写出曲线 W 的一条对称轴方程 ； 曲线 W 上的点的横坐标的取值范围是 三、解答题共三、解答题共 6 题，共题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15 （15 分）已知复数 z1a+2i，z234i（aR，i 为虚数单位） （）若 z1z2是纯虚数，求实数 a 的值； （）若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数 a 的取值范围 16 （15 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1
4、中，CC1平面 ABC，ACAB，ABAC2，CC1 4，D 为 BC 的中点 （）求证：AC平面 ABB1A1； （）求证：A1C平面 ADB1； （）求平面 ADB1与平面 ACC1A1所成锐二面角的余弦值 17 （13 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的准线方程为 x，F 为抛物线的焦点 （）求抛物线 C 的方程； （）若 P 是抛物线 C 上一点，点 A 的坐标为（，2） ，求|PA|+|PF|的最小值； （）若过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于 M，N 两点，求线段 MN 的中点坐标 18 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面
5、 PAD底面 ABCD， PDAD，PDAD，E 为棱 PC 的中点 （）证明：平面 PBC平面 PCD； （）求直线 DE 与平面 PC 所成角的正弦值； （）若 F 为 AD 的中点，在棱 PB 上是否存在点 M，使得 FMBD？若存在，求的 值；若不存在，说明理由 第 4 页（共 19 页） 19（13 分） 已知椭圆 M：1 （ab0） 的一个顶点坐标为 （0， 1） ， 焦距为 2 若 直线 yx+m 与椭圆 M 有两个不同的交点 A，B （）求椭圆 M 的方程； （）将|AB|表示为 m 的函数，并求OAB 面积的最大值（O 为坐标原点） 20 （10 分）在平面直角坐标系 xOy
6、 中，动点 P 与两定点 A（2，0） ，B（2，0）连线的斜 率之积为，记点 P 的轨迹为曲线 C （）求曲线 C 的方程； （）若过点（，0）的直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，曲线 C 上是否存在点 E 使得四边形 OMEN 为平行四边形？若存在，求直线 l 的方程，若不存在，说明理由 第 5 页（共 19 页） 2018-2019 学年北京市房山区高二（上）期末数学试卷学年北京市房山区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目分。在每小题
7、列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。要求的一项。 1 （5 分）抛物线 x28y 的焦点坐标是（ ） A （0，2） B （0，2） C （4，0） D （4，0） 【分析】通过抛物线的标准方程，直接求出抛物线的焦点坐标即可 【解答】解：因为抛物线 x28y， P4，所以抛物线 x28y 的焦点坐标是 （0，2） 故选：A 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质解本题的关键是判断出抛物线的焦点坐标 所在坐标轴以及方向 2 （5 分）复数的共轭复数是（ ） A1+i B1i C2+2i D22i 【分析】首先利用复数的除法运算化简，然后取徐不得相反数的其共轭复数 【解答】解：由 所以的共
8、轭复数为 1i 故选：B 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）已知双曲线1 的离心率为，则 m（ ） A4 B2 C D1 【分析】先根据双曲线方程可知 a 和 b，进而求得 c，则双曲线离心率的表达式可得，最 后根据离心率为 2 求得 m 的值 【解答】解：根据双曲线1 可知 a，b， c， 第 6 页（共 19 页） e， 求得 m2， 故选：B 【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质应熟练掌握双曲线标准方程中，a，b 和 c， 及离心率 e 的关系 4 （5 分）如图，在空间四边形 ABCD 中，设 E，F 分别是 BC，CD 的中点，
9、则+（ ）等于（ ） A B C D 【分析】根据向量三角形法则、向量共线定理即可得出 【解答】解：连接 AF，E，F 分别是 BC，CD 的中点， 则+（）+ 故选：C 【点评】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 5 （5 分）若 （4，2，3）是直线 l 的方向向量， （1，3，0）是平面 的法向量， 则直线 l 与平面 的位置关系是（ ） A垂直 B平行 C直线 l 在平面 内 D相交但不垂直 【分析】 （4，2，3）是直线 l 的方向向量， （1，3，0）是平面 的法向量， 由0，得到直线 l 与平面 的位置关系是相交但不垂直 【解答】解：
10、（4，2，3）是直线 l 的方向向量， （1，3，0）是平面 的法向量， 第 7 页（共 19 页） 4+6+020， 直线 l 与平面 的位置关系是相交但不垂直 故选：D 【点评】本题考查直线与平面的位置关系的判断，考查向量法等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题 6 （5 分） “m0”是“方程 x2y2m 表示的曲线为双曲线”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由双曲线的定义可知： “方程 x2y2m 表示的曲线为双曲线”的充要条件为： m0，得解 【解答】解：由双曲线的定义有： “方程 x2y2m 表示的曲线为双曲线”的充
11、要条件为： m0， 故“m0”是“方程 x2y2m 表示的曲线为双曲线”的充要条件， 故选：C 【点评】本题考查了双曲线的定义及充分必要条件，属简单题 7 （5 分）如图，棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为线段 A1B 上的动点，则下列 结论错误的是（ ） A平面 D1A1P平面 A1AP BAPD1的取值范围是（0，） C三棱锥 B1D1PC 的体积为定值 DDC1D1P 【分析】在 A 中，由 A1D1平面 A1AP，得平面 D1A1P平面 A1AP；在 B 中，当 P 与 A1重合时，APD1；在 C 中，B1D1C 的面积是定值，P 到平面 B1D1C 的距离是
12、定值，从而三棱锥 B1D1PC 的体积为定值，故 C 正确；在 D 中，由 DC1D1C，DC1 第 8 页（共 19 页） BC，得 DC1平面 BCD1A1，从而 DC1D1P 【解答】解：在 A 中，A1D1平面 A1AP，A1D1平面 D1A1P，平面 D1A1P平面 A1AP，故 A 正确； 在 B 中，当 P 与 A1重合时，APD1，APD1的取值范围不是（0，） ，故 B 错误； 在 C 中，B1D1C 的面积是定值，P 到平面 B1D1C 的距离是定值， 三棱锥 B1D1PC 的体积为定值，故 C 正确； 在 D 中，DC1D1C，DC1BC， D1CBCC，DC1平面 BC
13、D1A1，DC1D1P，故 D 正确 故选：B 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 8（5 分） 设 F 是椭圆1 的右焦点， 椭圆上至少有 21 个不同的点 Pi（i1， 2， 3， ） ， |P1F|，|P2F|，|P3F|，组成公差为 d（d0）的等差数列，则 d 的最大值为（ ） A B C D 【分析】 由已知知这个等差数列是增数列， 则 a1|FP1|532，a21|FP21|5+38， 又 a21a1+20d，可得 0a21a120d6，解得 d 的范围，则答案可求 【解答】解：由椭圆1
14、，得 a5，b4，则 c 由已知可得等差数列是增数列，则 a1|FP1|532，a21|FP21|5+38， a21a1+20d，0a21a120d6， 解得 0d 第 9 页（共 19 页） d 的最大值为 故选：B 【点评】本题考查了椭圆的定义及其性质、等差数列的通项公式、不等式的解法，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 9 （5 分）已知 a，bR，i 是虚数单位， （a+bi）i2+3i，则 a 3 ，b 2 【分析】利用复数代数形式的乘除运算变形，再由复数相等的条件求解 【解答】解：由（a+
15、bi）ib+ai2+3i， 得b2，a3，即 a3，b2 故答案为：3，2 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题 10 （5 分）在空间直角坐标系中，已知点 M（1，0，1） ，M（1，1，2） ，则线段 MN 的 长度为 【分析】根据两点间的距离公式，进行计算即可 【解答】解：空间直角坐标系中，点 M（1，0，1） ，N（1，1，2） ， 所以线段 AB 的长度为|MN| 故答案为： 【点评】本题考查了空间直角坐标系中两点间的距离公式的应用问题，是基础题目 11（5分） 若双曲线的渐近线方程为 yx， 则满足条件的一个双曲线的方程为 1 【分析】已知双曲线的渐
16、近线方程的双曲线系方程，可设双曲线方程为： （0） ，即（0） 【解答】解：由双曲线系方程可得：双曲线的渐近线方程为 yx， 则双曲线方程为（0） ，即（0） ， 第 10 页（共 19 页） 故答案为：1 【点评】本题考查了已知双曲线的渐近线方程的双曲线系方程，属简单题 12 （5 分）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，设 ADAA11，AB2，则等 于 1 【分析】由+，得（+） 1 【解答】解：+， （+） 1 故答案为：1 【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力 13 （5 分）已知椭圆1（ab0）的离心率为 e，F1，F2分别为椭圆的两个焦
17、点， 若椭圆上存在点 P 使得F1PF2是钝角， 则满足条件的一个 e 的值为 （可取大于 小于 1 的任意一个实数值） 【分析】当动点 P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角 F1PF2渐渐增大，当且仅当 P 点位于短轴端点 P0处时，张角F1PF2达到最大值，由 此可得结论 【解答】解：如图，当动点 P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个 焦点的张角F1PF2渐渐增大， 当且仅当 P 点位于短轴端点 P0处时，张角F1PF2达到最大值 椭圆上存在点 P 使得F1PF2是钝角， P0F1F2中，F1P0F290， RtP0OF2中，OP0F245
18、， 第 11 页（共 19 页） P0OOF2，即 bc， a2c2c2，可得 a22c2， e， 0e1， e1， 满足条件的一个 e 的值为（可取大于小于 1 的任意一个实数值） 故答案为：（可取大于小于 1 的任意一个实数值） 【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查数形结合的数学思想，属于中档题 14 （5 分）已知曲线 W 的方程为|y|+x25x0 请写出曲线 W 的一条对称轴方程 y0 ； 曲线 W 上的点的横坐标的取值范围是 0，5 【分析】利用曲线方程，通过（x，y）代入方程，推出过程中即可 利用绝对值的范围，求解横坐标的范围 【解答】解：曲线 W 的方程为|y|+x25x
19、0 （x，y）代入方程，可得|y|+x25x 0，即|y|+x25x0，对称轴为：y0 |y|+x25x0，可得|y|x2+5x0，可得：x0，5 故答案为：y0；0，5 【点评】本题考查函数与方程的应用，对称轴以及转化思想的应用，考查计算能力 三、解答题共三、解答题共 6 题，共题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15 （15 分）已知复数 z1a+2i，z234i（aR，i 为虚数单位） （）若 z1z2是纯虚数，求实数 a 的值； 第 12 页（共 19 页） （）若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数 a 的取值范围
20、 【分析】 （） 利用复数代数形式的乘除运算化简， 再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解； （）利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部小于 0 且虚部等于 0 联立不等式组求 解 【解答】解： （）由复数 z1a+2i，z234i， 得 z1z2（a+2i） （34i）3a+8+（64a）i， 由题意，3a+80，64a0，即 a； （）， 若复数在复平面上对应的点在第二象限，则， 解得a 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 16 （15 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1平面 ABC，ACAB，ABAC2，CC1 4，D 为
21、BC 的中点 （）求证：AC平面 ABB1A1； （）求证：A1C平面 ADB1； （）求平面 ADB1与平面 ACC1A1所成锐二面角的余弦值 【分析】 （）推导出 AA1平面 ABC，从而 AA1AC，再由 ACAB，能证明 AC平 面 ABB1A1 （）连结 A1B，与 AB1相交于点 O，连结 DO，由 DOA1C，能证明 A1C平面 ADB1 （）由 AC平面 ABB1A1，AA1AB，建立空间直角坐标系 Axyz，利用向量法能求 第 13 页（共 19 页） 出平面 ADB1与平面 ACC1A1所成锐二面角的余弦值 【解答】证明： （）CC1平面 ABC，AA1CC1，AA1平面
22、ABC， AA1AC，又 ACAB，ABAA1A， AC平面 ABB1A1 （）连结 A1B，与 AB1相交于点 O，连结 DO， D 是 BC 中点，O 是 A1B 中点， 则 DOA1C，A1C平面 ADB1，DO平面 ADB1， A1C平面 ADB1 解： （）由（）知 AC平面 ABB1A1，AA1AB， 如图建立空间直角坐标系 Axyz， 则 A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，B1（2，4，0） ，D（1，0，1） ， （1，0，1） ，（2，4，0） ， 设平面 ADB1的法向量 （x，y，z） ， 则，取 y1，得 （2，1，2） ， 平面 ACC1A1的法向量（2，0，0
23、） ， cos， 平面 ADB1与平面 ACC1A1所成锐二面角的余弦值为 【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间 中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想， 是中档题 第 14 页（共 19 页） 17 （13 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的准线方程为 x，F 为抛物线的焦点 （）求抛物线 C 的方程； （）若 P 是抛物线 C 上一点，点 A 的坐标为（，2） ，求|PA|+|PF|的最小值； （）若过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于 M，N 两点，求线段 MN 的中点坐标 【分析】 （）运用
24、抛物线的准线方程，可得 p1，进而得到抛物线方程； （）过 A 作 AB准线 l，垂足为 B，运用抛物线的定义和三点共线取得最值，即可得 到所求最小值； （）由题意可得直线 MN 的方程为 yx，代入抛物线的方程，运用韦达定理和中 点坐标公式，即可得到所求中点坐标 【解答】解： （）抛物线 C：y22px（p0）的准线方程为 x， F 为抛物线的焦点，可得 F（，0） ， 即，p1， 抛物线的方程为 y22x； （）若 P 是抛物线 C 上一点，点 A 的坐标为（，2） ， 如图，过 A 作 AB准线 l，垂足为 B， 由抛物线的定义可得|PB|PF|， 则|PA|+|PF|PA|+|PB|A
25、B|+4， 当且仅当 A，P，B 三点共线，取得最小值 4； （）由题意可得直线 MN 的方程为 yx， 代入抛物线方程 y22x，可得 x23x+0， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，可得 x1+x23， 即有 MN 的中点的横坐标为，纵坐标为1， 即有 MN 的中点坐标为（，1） 第 15 页（共 19 页） 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查三点共线取得最小值，以及直线方 程和抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题 18 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD底面 ABCD， PDAD，PD
26、AD，E 为棱 PC 的中点 （）证明：平面 PBC平面 PCD； （）求直线 DE 与平面 PC 所成角的正弦值； （）若 F 为 AD 的中点，在棱 PB 上是否存在点 M，使得 FMBD？若存在，求的 值；若不存在，说明理由 【分析】 （）推导出 PD底面 ABCD，从而 PDBC，由底面 ABCD 为正方形，得 BC CD，从而 BC平面 PCD，由此能证明平面 PBC平面 PCD （）以 D 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 DE 与平面 PAC 所成 角的正弦值 （）向量（2，2，2） ，（2，2，0） ，（1，2，0） ，由点 M 在棱 PB 上，设， （01）
27、，从而（12，22，2） ，由 FMDB， 能求出结果 第 16 页（共 19 页） 【解答】证明： （）平面 PAD底面 ABCD，PDAD， PD底面 ABCD，PDBC， 又底面 ABCD 为正方形，BCCD， BC平面 PCD， 平面 PBC平面 PCD 解： （）由（）知 PD底面 ABCD，ADCD， 如图，以 D 为原点，建立空间直角坐标系， 设 PDAD2，则 D（0，0，0） ，A（2，0，0） ，C（0，2，0） ， P（0，0，2） ，E（0，1，1） ， （0，1，1） ，（2，2，0） ，（2，0，2） ， 设 （x，y，z）为平面 PAC 的一个法向量， 设 DE
28、与平面 PAC 所成角为 ， 则 sin|cos， |， 直线 DE 与平面 PAC 所成角的正弦值为 （）向量（2，2，2） ，（2，2，0） ，（1，2，0） ， 由点 M 在棱 PB 上，设， （01） ， （12，22，2） ， 由 FMDB，得0， （12）2+（22）20， 解得， 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 第 17 页（共 19 页） 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 19（13 分） 已知椭圆 M：1 （ab0） 的一个顶点坐标为 （0， 1） ， 焦距为 2 若 直线 yx+m 与
29、椭圆 M 有两个不同的交点 A，B （）求椭圆 M 的方程； （）将|AB|表示为 m 的函数，并求OAB 面积的最大值（O 为坐标原点） 【分析】 （）根据已知条件求出 b、c 的值，再根据 a、b、c 的关系求出 a 的值，即可 得出椭圆的方程； （）将直线 AB 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式并结合韦达定 理求出|AB|，并计算出原点 O 到直线 AB 的距离作为OAB 的高，然后利用三角形的面 积公式得出OAB 面积的表达式，利用函数思想求出OAB 面积的最大值 【解答】解： （）由题意可知，b1，由 a2b2+c2，得， 因此，椭圆的标准方程为； （）设点 A 的
30、坐标为（x1，y1） ，点 B 的坐标为（x2，y2） ， 联立直线与椭圆的方程，消去 y 得，4x2+6mx+3m230， 由直线与椭圆相交得36m216（3m23）0，即 m24，解得2m2， 由韦达定理可得， ， 点 O 到直线 l 的距离为， 所以， 当 m22 时，即当时，OAB 的面积取到最大值 【点评】本题考查椭圆的性质，考查韦达定理在椭圆综合问题中的应用，同时考查了计 算能力与推理能力，属于难题 20 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 与两定点 A（2，0） ，B（2，0）连线的斜 第 18 页（共 19 页） 率之积为，记点 P 的轨迹为曲线 C （）求曲线
31、 C 的方程； （）若过点（，0）的直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，曲线 C 上是否存在点 E 使得四边形 OMEN 为平行四边形？若存在，求直线 l 的方程，若不存在，说明理由 【分析】 （）设 P（x，y） ，由题意可得 kPAkPB，运用直线的斜率公式，化简即 可得到点 P 的轨迹为曲线 C； （）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，由题意知 l 的斜率一定不为 0，设 l：xmy， 代入椭圆方程整理得（m2+2）y22my20，假设存在点 E，使得四边形 OMEN 为 平行四边形，其充要条件为，则点 E 的坐标为（x1+x2，y1+y2） 由此利用韦 达定理结合已知条
32、件能求出直线 l 的方程 【解答】解： （）设 P（x，y） ，kPAkPB，则， 整理得 （）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，由题意知 l 的斜率一定不为 0， 故不妨设 l：xmy，代入椭圆方程整理得： （m2+2）y22my20，0， ， 假设存在点 E，使得四边形 OMEN 为平行四边形， 其充要条件为 则点 E 的坐标为（x1+x2，y1+y2） E（） 把 E 的坐标代入得 可得：m440 解得 m22 第 19 页（共 19 页） 直线 l 的方程为：xy 【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与直线方程 的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题
