1、已知 a0，1b0，则有（ ） Aab2aba Baabab2 Cabbab2 Dabab2a 2 （5 分）在ABC 中，A45，B60，a2，则 b 等于（ ） A B C D 3 （5 分）设an是公比为 q 的等比数列，则“q1”是“an为递增数列”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）下列有关命题的说法中错误的是（ ） A若 pq 为假命题，则 p、q 均为假命题 B “x1”是“x23x+20”的充分不必要条件 C命题“若 x23+20，则 x1“的逆否命题为： “若 x1，则 x23x+20” D对于命题 p：xR
2、，使得 x2+x+10，则 p：xR，均有 x2+x+10 5 （5 分）已知在ABC 中内角 ABC 的对边分别为 ab 边 c 上的高为，ab2， 则角 C 的大小（ ） A B C D 6 （5 分）若 x，y 满足x+1yx，则 y2x 的最大值是（ ） A2 B2 C1 D1 7 （5 分）已知在ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，A60，b4， 若此三角形有且只有一个，则 a 的取值范围是（ ） A0a4 Ba6 Ca4或 a6 D0a4 8 （5 分）下列四个结论：a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于 0 的实数，关于 x 的不等 式 a1x2+b1
3、x+C10 和 a2x2+b2x+C20 的解集分别为 P，Q，则当是 PQ 的既不充分也不必要条件；lg9lg111；若 1x+y2， 第 2 页（共 20 页） 2xy4，则 4x2y 的取值范围是6，15其中正确的个数为（ ） A4 B3 C2 D1 9 （5 分）在等差数列an中，a10，a2012+a20130，a2012a20130，则使 Sn0 成立的最 大自然数 n 是（ ） A4025 B4024 C4023 D4022 10 （5 分）已知函数 f（x），若数列an满足 anf（n） （nN） ， 且an是递增数列，则实数 a 的取值范围是（ ） A，3） B （，3） C
4、 （2，3） D （1，3） 11 （5 分）在ABC 中，A 为锐角，lgb+lg（）lgsinAlg，则ABC 为（ ） A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 12 （5 分）已知数列an满足，Sn是数列an 的前 n 项和，若 S2017+m1010，且 a1m0，则的最小值为（ ） A2 B C D 二二.填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分请将答案填写在答题卡上分请将答案填写在答题卡上 13 （5 分）若an是等比数列，且前 n 项和为 Sn3n 1+t，则 t 14 （5 分）如图，一辆汽车在一条水平的公路
5、上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山 顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶 D 在西偏北 75的 方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD m 15（5 分） 设不等式组表示的平面区域为 1， 平面区域 2与 1关于直线 2x+y 第 3 页（共 20 页） 0 对称，对于任意的 C1，D2，则|CD|的最小值为 16 （5 分）已知正数 x，y 满足 x2y+4xy2+6xyx+4y，则的最大值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分）设 p：实数 x
6、 满足 x24ax+3a20，q：实数 x 满足|x3|1 （1）若 a1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若 a0 且p 是q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 18 （12 分）已知关于 x 的不等式 kx22x+6k0（k0） （1）若不等式的解集是x|x3 或 x2，求 k 的值； （2）若不等式的解集是 R，求 k 的取值范围； （3）若不等式的解集为，求 k 的取值范围 19 （12 分）在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，若 a，b，c 成等差数列， ABC 的周长为 15，且 c2a2+b2+ab （）求ABC 的面积； （）设 G
7、为ABC 的重心，求 CG 的长 20 （12 分）数列an满足：，nN* （）求an的通项公式； （）设，数列bn的前 n 项和为 Sn，求满足的最小正整数 n 21 （12 分）郑州市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规 划建筑用地区域近似的为圆面，该圆面的内接四边形 ABCD 是原棚户区建筑用地，测量 可知边界 ABAD4 万米，BC6 万米，CD2 万米 （1）请计算原棚户区建筑用地 ABCD 的面积及线段 AC 的长； （2）因地理条件的限制，边界 AD，DC 不能变更，而边界 AB，BC 可以调整，为了提高 棚户区改造建筑用地的利用率，请在弧上设计一点 P
8、，使得棚户区改造的新建筑用地 APCD 的面积最大，并求最大值 第 4 页（共 20 页） 22 （12 分）已知 f（x）logmx（m 为常数，m0 且 m1） ，设 f（a1） ，f（a2） ，f（an） （nN+）是首项为 4，公差为 2 的等差数列 （1）求证：数列an是等比数列； （2）若 bnanf（an） ，记数列bn的前 n 项和为 Sn，当时，求 Sn； （3）若 cnanlgan，问是否存在实数 m，使得cn中每一项恒小于它后面的项？若存在， 求出实数 m 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2019-2020 学年河南省郑州市八校高二（上）期中数学试卷（文学年河南省
9、郑州市八校高二（上）期中数学试卷（文 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题，本大题共一、选择题，本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有分，在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知 a0，1b0，则有（ ） Aab2aba Baabab2 Cabbab2 Dabab2a 【分析】根据不等式的性质，逐一分析四个答案的真假，可得答案 【解答】解：a0，1b0， 0b21，ab0， ab2a，ab2ab，aba， abab2a， 故选：D 【点评】本题以命题的真假判断与应
10、用为载体，考查了不等式的基本性质，难度不大， 属于基础题 2 （5 分）在ABC 中，A45，B60，a2，则 b 等于（ ） A B C D 【分析】由正弦定理可得，代入可求 【解答】解：由正弦定理可得， 故选：A 【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题 3 （5 分）设an是公比为 q 的等比数列，则“q1”是“an为递增数列”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论 第 6 页（共 20 页） 【解答】解：等比数列1，2，4，满足公比 q2
11、1，但an不是递增数列， 充分性不成立 若 an1为递增数列，但 q1 不成立，即必要性不成立， 故“q1”是“an为递增数列”的既不充分也不必要条件， 故选：D 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值 法是解决本题的关键 4 （5 分）下列有关命题的说法中错误的是（ ） A若 pq 为假命题，则 p、q 均为假命题 B “x1”是“x23x+20”的充分不必要条件 C命题“若 x23+20，则 x1“的逆否命题为： “若 x1，则 x23x+20” D对于命题 p：xR，使得 x2+x+10，则 p：xR，均有 x2+x+10 【分析】本选择题可以逐一判
12、断，显然对于 A 选项 pq 为假命题可知 p、q 一假一真或 者均为假命题，因此 A 的结论错误，选择 A 项即可 对于 B 项，x1x23x+20，反之无法推出，所以“x1”是“x23x+20”的充分 不必要条件 对于 C 项条件，结论否定且互换，正确 特称命题的否定是全称命题，由xR，使得 x2+x+10 对应的全称命题是：xR，均有 x2+x+10，可知 D 判断正确 【解答】解：对于选项 A，由命题 pq 为假命题可知命题 p 和命题 p 至少有一个为假， 命题 p、q 均为假命题错误，所以选则 A 项 对于 B 项，x1x23x+20，但是 x23x+20x1 故“x1”是“x23
13、x+20” 的充分不必要条件，判断对 对于 C 项，由逆否命题的概念可知 C 项中的命题是真命题，判断对， 对于 D 项，有特称命题的否定是全称命题可知选项 D 中的命题的否命题是 p：xR， 均有 x2+x+10，推理对 故选：A 【点评】本题考查复合命题的真假判断问题，充要条件，命题的否定，全称命题以及特 称命题的概念 第 7 页（共 20 页） 5 （5 分）已知在ABC 中内角 ABC 的对边分别为 ab 边 c 上的高为，ab2， 则角 C 的大小（ ） A B C D 【分析】根据三角形的面积公式，解得 sinCcosC，即 tanC1，即可求解 C 的大小； 【解答】解：由题意，
14、根据三角形的面积公式，可得：absinCc， 解得 sinCcosC， 即 tanC1， 又 0C， 可得 C 故选：A 【点评】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的 题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息，合理选 择正、余弦定理求解，着重考查了运算与求解能力，属于基础题 6 （5 分）若 x，y 满足x+1yx，则 y2x 的最大值是（ ） A2 B2 C1 D1 【分析】作出 x，y 满足的可行域，利用 z 的几何意义即可解答 【解答】解：作出实数 x，y 满足不等式组对应的平面区域如图（阴影部分） ： 令 z2x+y，则 y2
15、x+z，由图可知当直线 y2x 过点 A（2，2）时，z 最大， 即2x+y 取最大值为4+22， 故选：A 第 8 页（共 20 页） 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，利用结合数形结合是解决 本题的关键属于基础题 7 （5 分）已知在ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，A60，b4， 若此三角形有且只有一个，则 a 的取值范围是（ ） A0a4 Ba6 Ca4或 a6 D0a4 【分析】根据题意求出 csinA6，然后数形结合可得 a 的范围 【解答】解：在ABC 中，A60，b4， 由正弦定理可得 bsinA46； 这样的三角形有且只有一个，
16、a6 或 a4； 故选：C 【点评】本题考查正弦定理的应用，考查三角形解得情况，考查特殊角的三角函数值， 属于基础题 8 （5 分）下列四个结论：a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于 0 的实数，关于 x 的不等 第 9 页（共 20 页） 式 a1x2+b1x+C10 和 a2x2+b2x+C20 的解集分别为 P，Q，则当是 PQ 的既不充分也不必要条件；lg9lg111；若 1x+y2， 2xy4，则 4x2y 的取值范围是6，15其中正确的个数为（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】借助二次函数的性质与二次不等式的关系，可举例说明； 将不等式两端移项，再借助分母有理化，借助不
17、等式的性质求解； 利用均值不等式以及对数的运算性质即可； 利用不等式的性质将 4x2y 配凑成题干两个不等式的线性组合，利用同向可加性求 解 【解答】解：当时不一定有 PQ，例如 x2+x+10 解集为 R，而x2 x10 的解集为， 当 PQ 时不一定有，例如 x2+x+10 解集为 R，x2+x+30 解集为 R，故 正确； ， 由 于， 则 ， 即，从而，正确； 由基本不等式，正确； 设 4x2ym（x+y）+n（xy） ，则 4x2y（m+n）x+（mn）y，从而 m+n4， mn2，所以 m1，n3， 由 2xy4 可得，63（xy）12，又 1x+y2，两式相加得：74x2y14，
18、 错误； 故选：B 【点评】本题主要考察不等式的基本性质，尤其是最后一个，不能破坏 x，y 的相互约束 性，否则范围会扩大，这是易错点，需注意 9 （5 分）在等差数列an中，a10，a2012+a20130，a2012a20130，则使 Sn0 成立的最 大自然数 n 是（ ） 第 10 页（共 20 页） A4025 B4024 C4023 D4022 【分析】由题意可得 a20120，a20130，再根据 S40242012 （a2012+a2013 ）0，而 S40254025a20130，由此可得 Sn0 成立的最大自然数 n 的值 【解答】解：等差数列an，首项 a10，a2012
19、+a20130，a2012a20130， a20120，a20130 假设 a20120a2013，则 d0，而 a10，可得 a2012a1+2011d0，矛盾，故不可能 再根据 S40242012（a2012+a2013 ）0， 而 S40254025a20130， 因此使前 n 项和 Sn0 成立的最大自然数 n 为 4024 故选：B 【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前 n 项和，当等差数列中有奇 数项时，前 n 项和等于中间项乘以项数，属于基础题 10 （5 分）已知函数 f（x），若数列an满足 anf（n） （nN） ， 且an是递增数列，则实数 a 的取值范围
20、是（ ） A，3） B （，3） C （2，3） D （1，3） 【分析】根据题意，首先可得 an通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段 函数的单调性的判断方法，可得；解可得答案 【解答】解：根据题意，anf（n）； 要使an是递增数列，必有； 解可得，2a3； 故选：C 【点评】本题考查数列与函数的关系，an是递增数列，必须结合 f（x）的单调性进行 解题，但要注意an是递增数列与 f（x）是增函数的区别与联系 第 11 页（共 20 页） 11 （5 分）在ABC 中，A 为锐角，lgb+lg（）lgsinAlg，则ABC 为（ ） A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等
21、腰直角三角形 【分析】根据对数的运算法则，得到sinA，结合 A 为锐角得到 A，再利 用余弦定理表示 a2的式子， 化简整理得 ab， 由此得到ABC 为以 c 为斜边的等腰直角 三角形 【解答】解：lgb+lg（）lgsinAlg，A 为锐角， sinA，即 c且 A 根据余弦定理，得 a2b2+c22bccosb2+2b22bbb2 abc，可得ABC 是以 c 为斜边的等腰直角三角形 故选：D 【点评】本题给出含有对数的三角形的边角关系式，判断三角形的形状，着重考查了对 数的运算法则和利用正、余弦定理解三角形等知识，属于基础题 12 （5 分）已知数列an满足，Sn是数列an 的前 n
22、 项和，若 S2017+m1010，且 a1m0，则的最小值为（ ） A2 B C D 【分析】由 S2017a1（a2+a3）+（a4+a5）+（a2016+a2017） ，结合余弦函数值求和， 再由 S2017+m1010，可得 a1+m2，由 a1m0，可得 a10，m0，运用乘 1 法和基 本不等式即可得到所求最小值 【解答】解：数列an满足， 可得 a2+a33cos3，a4+a55cos25，a6+a77cos37， ，a2016+a20172017cos10082017， 则 S2017a1（a2+a3）+（a4+a5）+（a2016+a2017）3+57+9+20171008，
23、 又 S2017+m1010， 所以 a1+m2， 由 a1m0，可得 a10，m0， 第 12 页（共 20 页） 则（a1+m） （）（2+）（2+2）2 当且仅当 a1m1 时，取得最小值 2 故选：A 【点评】本题考查数列与三角函数的结合，注意运用整体思想和转化思想，考查最值的 求法，注意运用乘 1 法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题 二二.填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分请将答案填写在答题卡上分请将答案填写在答题卡上 13 （5 分）若an是等比数列，且前 n 项和为 Sn3n 1+t，则 t 【分析】根据等比数列的前
24、n 项和，写出数列的通项，因为这是一个等比数列，第一项 也符合通项，得到结果 【解答】解：等比数列an的前 n 项和为 Sn3n 1+t， a1s11+t， a2s2a12， ansnsn123n 2， a11+t， t， 故答案为： 【点评】本题考查等比数列的前 n 项和，本题解题的关键是写出数列的通项，利用通项 进行整理得到首项中的字母系数 14 （5 分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山 顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶 D 在西偏北 75的 方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD 100 m 【分析】利
25、用正弦定理求出 BC，再计算出 CD 即可 第 13 页（共 20 页） 【解答】解：由题意可得 AB600，BAC30，ABC18075105， ACB45， 在ABC 中，由正弦定理可得：， 即，BC300， 在 RtBCD 中，CBD30， tan30， DC100 故答案为：100 【点评】本题考查了正弦定理解三角形，属于中档题 15（5 分） 设不等式组表示的平面区域为 1， 平面区域 2与 1关于直线 2x+y 0 对称，对于任意的 C1，D2，则|CD|的最小值为 【分析】由题意作出可行域，数形结合得到的平面区域是 1内到直线 2x+y0 距离最小 的点，由点到直线的距离公式求得
26、答案 【解答】解：由不等式组作出可行域如图， 由图可知，可行域 1内的点 A（1，1）到直线 2x+y0 的距离最小， 则 2中的点 B 与 1内的点 A 的距离的最小值为 A 到直线 2x+y0 的距离的 2 倍 第 14 页（共 20 页） |AB|的最小值等于 2 故答案为： 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 16 （5 分）已知正数 x，y 满足 x2y+4xy2+6xyx+4y，则的最大值为 【分析】令 x+4yt，则由条件可得，然后根据条件出 t 的范围，进一步求 出的最大值 【解答】解：正数 x，y 满足 x2y+4xy2+6xyx+4y，
27、 xy（x+4y+6）x+4y， 令 x+4yt，则 xy且 t0， x+4y2，当且仅当 x4y 时取等号， t4，即 t2+6t160， t2 或 t8（舍） ， ， 的最大值为 故答案为： 【点评】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分）设 p：实数 x 满足 x24ax+3a20，q：实数 x 满足|x3|1 （1）若 a1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若 a0 且p 是q 的充分不必要条件，求实数 a
28、的取值范围 【分析】 （1）若 a1，根据 pq 为真，则 p，q 同时为真，即可求实数 x 的取值范围； （2）根据p 是q 的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）由 x24ax+3a20 得（x3a） （xa）0 当 a1 时，1x3，即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1x3 由|x3|1，得1x31，得 2x4 第 15 页（共 20 页） 即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2x4， 若 pq 为真，则 p 真且 q 真， 实数 x 的取值范围是 2x3 （2）由 x24ax+3a20 得（x3a） （xa）0， 若p 是q 的充分不必要条
29、件， 则pq，且qp， 设 Ax|p，Bx|q，则 AB， 又 Ax|px|xa 或 x3a， Bx|qx|x4 或 x2， 则 0a2，且 3a4 实数 a 的取值范围是 【点评】本题主要考查复合命题的真假关系以及充分条件和必要条件的应用，考查学生 的推理能力 18 （12 分）已知关于 x 的不等式 kx22x+6k0（k0） （1）若不等式的解集是x|x3 或 x2，求 k 的值； （2）若不等式的解集是 R，求 k 的取值范围； （3）若不等式的解集为，求 k 的取值范围 【分析】 （1）根据一元二次方程与对应的不等式的关系，结合根与系数的关系，求出 k 的值； （2）跟你就题意424
30、k20，且 k0，解得即可， （3）根据题意，得0 且 k0，由此求出 k 的取值范围 【解答】解： （1）不等式 kx22x+6k0 的解集是x|x3 或 x2， k0，且3 和2 是方程 kx22x+6k0 的实数根， 由根与系数的关系，得（3）+（2）， k； （2）不等式的解集是 R， 424k20，且 k0， 解得 k， 第 16 页（共 20 页） （3）不等式的解集为，得424k20，且 k0， 解得 k 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了利用基本不等式求函 数最值的问题，是综合性题目 19 （12 分）在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对
31、边，若 a，b，c 成等差数列， ABC 的周长为 15，且 c2a2+b2+ab （）求ABC 的面积； （）设 G 为ABC 的重心，求 CG 的长 【分析】 （）设 ax，bx+d，cx+2d，由ABC 的周长为 15，可得：x+d5，进而 由 c2a2+b2+ab，可得 x3，d2，解得 a3，b5，c7，由余弦定理可得 cosC ，结合范围 C（0，）可得 C 的值，根据三角形面积公式即可计算得解 （）延长 CG，交 AB 于 F 点，则 F 为 AB 的中点，由（+） ，可求 CF 的 值，利用重心的性质可求 CGCF 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： （）设 ax，bx+
32、d，cx+2d，由，ABC 的周长为 15，可得：x+d5，1 分 c2a2+b2+ab， （x+2d）2x2+（x+d）2+x（x+d） ， 将 d5x 代入到上式中，解得：x3，d2，3 分 a3，b5，c7，4 分 由余弦定理可得：cosC， 由 C（0，） ，可得 C，6 分 SABCabsinC7 分 （）延长 CG，交 AB 于 F 点，则 F 为 AB 的中点，8 分 （+） ， 2 （ +） 2 （2+2+2 ） 32+52+2， 10 分 第 17 页（共 20 页） CF， CGCF12 分 【点评】本题主要考查了数列，余弦定理以及平面向量在解三角形中的应用，考查了运 算求
33、解能力和转化思想，属于中档题 20 （12 分）数列an满足：，nN* （）求an的通项公式； （）设，数列bn的前 n 项和为 Sn，求满足的最小正整数 n 【分析】 （）由已知数列递推式可得（n2） ，与原 递推式作差可得an的通项公式； （） 把an的通项公式代入， 然后利用裂项相消法求数列bn的前 n 项和为 Sn， 再求解不等式得答案 【解答】解： （）由题意， 当 n2 时， 两式相减得，即 an2n（n+1） （n2） 当 n1 时，a14 也符合，an2n（n+1） ； （）， 由，解得 n9 满足的最小正整数 n10 【点评】本题考查数列递推式，训练了利用裂项相消法求数列的前
34、 n 项和，是中档题 21 （12 分）郑州市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规 划建筑用地区域近似的为圆面，该圆面的内接四边形 ABCD 是原棚户区建筑用地，测量 可知边界 ABAD4 万米，BC6 万米，CD2 万米 （1）请计算原棚户区建筑用地 ABCD 的面积及线段 AC 的长； （2）因地理条件的限制，边界 AD，DC 不能变更，而边界 AB，BC 可以调整，为了提高 第 18 页（共 20 页） 棚户区改造建筑用地的利用率，请在弧上设计一点 P，使得棚户区改造的新建筑用地 APCD 的面积最大，并求最大值 【分析】 （1）四边形 ABCD 内接于圆，可得
35、ABC+ADC180，连接 AC，分成两三 角形，利用余弦定理即可求解 ABCD 的面积及线段 AC 的长； （2）由 S四边形APCDSADC+SAPC，分成两三角形，利用余弦定理结合基本不等式即可 即可求解 【解答】解： （1）四边形 ABCD 内接于圆， ABC+ADC180 连接 AC 由余弦定理得 AC242+62246cosABC， AC242+22224cosADC 又cosABCcosADC， 又ABC（0，） ， 故， （万平方米） 在 ABC中 ， 由 余 弦 定 理 ， AC2 AB2+BC2 2AB BC cos ABC ， （2）S四边形APCDSADC+SAPC，
36、又 设 APx，CPy，则 又由余弦定理 AC2x2+y22xycos60x2+y2xy28， x2+y2xy2xyxyxy， 第 19 页（共 20 页） xy28，当且仅当 xy 时取等号 ， 面积最大为万平方米 【点评】本题考查了圆内接四边形面积问题，化简为三角形问题利用余弦定理和三角形 面积公式累加求解考查了计算能力和基本不等式的运用属于中档题 22 （12 分）已知 f（x）logmx（m 为常数，m0 且 m1） ，设 f（a1） ，f（a2） ，f（an） （nN+）是首项为 4，公差为 2 的等差数列 （1）求证：数列an是等比数列； （2）若 bnanf（an） ，记数列bn
37、的前 n 项和为 Sn，当时，求 Sn； （3）若 cnanlgan，问是否存在实数 m，使得cn中每一项恒小于它后面的项？若存在， 求出实数 m 的取值范围 【分析】 （1）根据等差数列的通项公式可求得 f（x）的解析式，进而求得 an，进而根据 推断出数列an是以 m4为首项，m2为公比的等比数列 （2）把（1）中的 an代入 bnanf（an）求得 bn，把 m 代入，进而利用错位相减法求得 Sn （3）把 an代入 cn，要使 cn1cn对一切 n2 成立，需 nlgm（n+1） m2lgm 对一切 n 2 成立，进而根据 m 的不同范围求得答案 【解答】解： （1）由题意 f（an）
38、4+2（n1）2n+2，即 logman2n+2， anm2n+2 m0 且 m1， m2为非零常数， 数列an是以 m4为首项，m2为公比的等比数列 （2）由题意 bnanf（an）m2n+2logmm2n+2（2n+2） m2n+2， 当 Sn223+324+425+（n+1） 2n+2 式乘以 2，得 2Sn224+325+426+n2n+2+（n+1） 2n+3 第 20 页（共 20 页） 并整理， 得 Sn2232425262n+2+ （n+1） 2n+32323+24+25+ +2n+2+（n+1） 2n+3 23+23（12n）+（n+1） 2n+32n+3n （3）由题意 cnanlgan（2n+2） m2n+2lgm，要使 cn1cn对一切 n2 成立， 即 nlgm（n+1） m2lgm 对一切 n2 成立， 当 m1 时，n（n+1）m2对 n2 成立； 当 0m1 时，n（n+1）m2 对一切 n2 成立，只需， 解得，考虑到 0m1， 0m 综上，当 0m或 m1 时，数列cn中每一项恒小于它后面的项 【点评】本题主要考查了等比关系的确定涉及了数列的求和，不等式知识等问题，考 查了学生分析问题的能力
