1、若 ab0，那么下列不等式中不正确的是（ ） Aabb2 Baba2 C D 2 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若，则ABC 一 定是（ ） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D等腰直角三角形 3 （5 分）已知数列an的通项公式是，那么这个数列是（ ） A递增数列 B递减数列 C摆动数列 D常数列 4 （5 分）下列函数中，y 的最小值为 2 的是（ ） A B Cyex+e x D 5 （5 分）已知等比数列an满足：a1+a79，a2a68，且 anan+1，则 a10等于（ ） A B16 C D8 6 （5 分）已知锐角三角形的三边
2、分别为 5，12，x，则 x 的取值范围是（ ） A （7，17） B （7，13） C D 7 （5 分）若 lg（3a）+lgblg（a+b+1） ，则 ab 的最小值为（ ） A1 B C D2 8 （5 分）已知数列an的前 n 项积为 Tn，且满足，若，则 T2019为（ ） A3 B2 C D 9 （5 分）如图，在ABC 中，B45，AC8，D 是 BC 边上一点，DC5，DA7，则 AB 的长为（ ） 第 2 页（共 18 页） A4 B4 C8 D4 10 （5 分）实数 x，y 满足条件当目标函数 zax+by（a，b0）在该约束 条件下取到最小值 4 时，的最小值为（ ）
3、 A6 B4 C3 D2 11 （5 分）设等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若，则使 的 n 的个数为（ ） A3 B4 C5 D6 12 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 c2，点 P 是 AB 的 中点若 PCab，则ABC 面积的最大值为（ ） A B3 C2 D12 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）设 0ab1，则四个数中最小的是 14 （5 分）若实数 x，y 满足，则的取值范围是 15 （5 分）已知数列an的前 n 项和，若此数列
4、为等比数列，则 a 16（5分） 在锐角ABC中， 内角A， B， C的对边分别为a， b， c若b3csinA， 则tanA+tanB+tanC 的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）设 Sn为等差数列an的前 n 项和已知 a35，S749 （1）求数列an的通项公式； （2）设，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C“的对边分别为 a，b，c已知 （1）求 sinA 的值； （2）若，求ABC 的面积
5、 第 3 页（共 18 页） 19 （12 分）为促进全民健身运动，公司为员工购买某健身俱乐部的健身卡，每张 360 元， 使用规定：不记名，每卡每次仅限 1 人，每天仅限 1 次公司共 90 名员工，公司领导打 算组织员工分批去健身，除需购买若干张健身卡外，每次去俱乐部还要包租一辆汽车， 费用是每次 40 元，如果要使每位员工健身 10 次，那么公司购买多少张健身卡最合算， 共需花费多少元钱？ 20 （12 分） （1）设不等式 ax22x2a+10 对于满足|x1|1 的实数 x 都成立，求正实 数 a 的取值范围； （2） 设不等式 ax22x2a+10 对于满足|a|2 的实数 a 都
6、成立， 求实数 x 的取值范围 21 （12 分）在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且 （1）求角 A； （2）若ABC 的内切圆面积为 4，求ABC 面积 S 的最小值 22 （12 分）设 Sn，为正项数列an的前 n 项和，且 2Snan2+an（nN*） 数列bn满足： b12，bn+13bn+2（nN*） （1）求数列an，bn的通项公式； （2）设 cnan（bn+1） ，求数列cn的前 n 项和 Tn ； （3） 设t+1， 问是否存在整数 t （t0） ， 使数列dn为递增数列？ 若存在求 t 的值，若不存在说明理由 第 4 页（共 18 页） 2019-
7、2020 学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）若 ab0，那么下列不等式中不正确的是（ ） Aabb2 Baba2 C D 【分析】根据 ab0，取 a2，b1 则可得到选项 【解答】解：由 ab0，取 a2，b1，则，故 C 错误 故选：C 【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题 2 （
8、5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若，则ABC 一 定是（ ） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D等腰直角三角形 【分析】利用正弦定理化边为角，再由两角差的正弦求解 【解答】解：由，得， sinBcosCcosBsinC0， 则 sin（BC）0， BC，BC0，即 BC ABC 一定是等腰三角形 故选：B 【点评】本题考查三角形形状的判定，考查正弦定理及两角差的正弦，是基础题 3 （5 分）已知数列an的通项公式是，那么这个数列是（ ） A递增数列 B递减数列 C摆动数列 D常数列 【分析】要判断数列的单调性，根据数列单调性的定义，只要判断 a
9、n与 an+1的大小，即 只要判断 an+1an的正负即可 第 5 页（共 18 页） 【解答】解： an+1an对任意的 n 都成立 an是递增数列 故选：A 【点评】本题主要考查了数列的单调性的定义在解题中的应用，解题的关键是要灵活应 用数列的单调性的定义，属于基础试题 4 （5 分）下列函数中，y 的最小值为 2 的是（ ） A B Cyex+e x D 【分析】当 x0 时，y；由，可知 在）上单调递增，可判断；由 ex0，结合基本不等式可求 y ex+e x 的最小值；由，可知 0sinx1，结合 yt+在（0，1）上单调 递减可求 【解答】解：当 x0 时，y，故 A 错误； ，
10、在）上单调递增，故当 x0 时， 函数取得最小值，故 B 错误； ex0， yex+e x 2，当且仅当 x0 时取等号，故 C 正确； ， 0sinx1， 由 yt+在（0，1）上单调递减可知，y2，不存在最小值，故 D 错误 故选：C 第 6 页（共 18 页） 【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解题的关键是判断应用条件是否成 立 5 （5 分）已知等比数列an满足：a1+a79，a2a68，且 anan+1，则 a10等于（ ） A B16 C D8 【分析】根据等比中项的性质，a2a6a1a7，再结合 a1+a79，即可得到 a1，a7的值， 从而求得 q，即可得到 a10
11、 【解答】解：依题意，数列an为等比数列，a2a6a1a78， 又a1+a79，且 anan+1， ， 所以 q68，所以 q32， 所以 a10a7q3816， 故选：A 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，等比中项的性质，考查分析解决问题的能力 和计算能力，属于基础题 6 （5 分）已知锐角三角形的三边分别为 5，12，x，则 x 的取值范围是（ ） A （7，17） B （7，13） C D 【分析】直接利用余弦定理和三角形的三边关系式的应用求出结果 【解答】解：由于三角形为锐角三角形， 所以当 12 为最大边时，解得， 当 x 为最大边时，解得 x13 根据三角形的三边关系式，7x1
12、7， 所以 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，三角形的三边关系式的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 7 （5 分）若 lg（3a）+lgblg（a+b+1） ，则 ab 的最小值为（ ） A1 B C D2 第 7 页（共 18 页） 【分析】由 lg（3a）+lgblg（a+b+1） ，结合对数的运算性质可得，3aba+b+1，然后 结合基本不等式，解不等式可求 【解答】解：由题意可得， 由 lg（3a）+lgblg（a+b+1） ，可得 3aba+b+1， 由基本不等式可得， ， ， 1，即 ab1，即 ab 的最小值为 1 故选：A 【
13、点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题 8 （5 分）已知数列an的前 n 项积为 Tn，且满足，若，则 T2019为（ ） A3 B2 C D 【分析】首先利用递推关系式的应用求出数列的周期，进一步求出结果 【解答】 解： 由于， 当时， 解得 a22， a33， ， 所以 T4a1a2a3a41，20194504+3 所以 T2019（a1a2a3a4）（a2017a2018a2019）12 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的周期的应用，主 要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 9 （5 分）如图，在ABC 中，B4
14、5，AC8，D 是 BC 边上一点，DC5，DA7，则 AB 的长为（ ） A4 B4 C8 D4 第 8 页（共 18 页） 【分析】先根据余弦定理求出C 度数，最后根据正弦定理可得答案 【解答】解：在ADC 中，AD7，AC8，DC5， 由余弦定理得 cosC， 因为是三角形内角， C60， 在ABC 中，AC8，B45，C60， 由正弦定理得：AB4 故选：D 【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正 弦定理和余弦定理属基础题 10 （5 分）实数 x，y 满足条件当目标函数 zax+by（a，b0）在该约束 条件下取到最小值 4 时，的最小值为（ ）
15、 A6 B4 C3 D2 【分析】作出可行域，找到最优解，得到 a，b 的关系，利用基本不等式得出答案 【解答】解：作出约束条件的可行域如图： 由 zax+by（a0，b0）得 yx+， 当直线 yx+经过点 A 时，直线的截距最小，即 z 最小 解方程组得 A（2，1） 第 9 页（共 18 页） 2a+b4则+（+） （2a+b）（4+）（4+4）2， 当且仅当 b2a，即 a1，b2 时取等号 故选：D 【点评】本题考查了简单的线性规划，基本不等式的应用，属于中档题 11 （5 分）设等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若，则使 的 n 的个数为（ ） A3 B4 C5
16、D6 【分析】由等差数列的性质可知， 3，即可求解 【解答】解：等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，且， 则3， ， 则 n+11，2，3，4，6，12， n11，5，3，2，1，0 nN*，n0 舍 则 n 的的 n 的个数为 5 个 故选：C 【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前 n 项和，是基础的计算题 12 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 c2，点 P 是 AB 的 中点若 PCab，则ABC 面积的最大值为（ ） A B3 C2 D12 【分析】由一边的中线与边长的关系，分别在两个三角形中用余弦定理求出 a，b 两
17、边与 C 角的关系，主要面积公式得三角函数的代数式，用三角函数值的范围来求求面积的最 大值 第 10 页（共 18 页） 【解答】解： 如上图所示的三角形ABC，P 是边 AB 的中点，PCab，AB2BP2AP2，设 BPC，则APC， 所以 cosAPCcos， 由题意知，BPC 中，余弦定理 BC2BP2+PC22PBPCcosBPC， 即 a2（）2+（ab）22（ab）cos， 同理APC 中，AC2PA2+PC22PAPCcosAPC， 即 b2（）2+（ab）2+2（ab）cos， 联立得： a2+b24ab4； 在ABC 中，AB2CA2+CB22CACBcosACB， 即（2
18、）2b2+a22abcosC8b2+a22abcosC， 由得 ab， 所以面积 Sabsinc， 令 y， y， y 0， 则 cosc1，cosc， ABC 中，cosc， 当 cosc，这时 sinC，y 最大， 即面积 S 最大， S 故选：A 第 11 页（共 18 页） 【点评】本题考查三角形余弦定理的应用，和用三角函数求面积最大值问题，运算量较 大些，属于中档题 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）设 0ab1，则四个数中最小的是 2ab 【分析】 结合不等式的性质及基本不等式可知， a2
19、+b22ab， 即可判断 【解答】解：0ab1， 则 0ab1， ， 由基本不等式可得， （ab）20， a2+b22ab， 2aba2+b2， 因此四个数中最小的是 2ab 故答案为：2ab 【点评】此题考查学生灵活运用不等式的性质比较大小，灵活运用完全平方公式化简求 值，是一道基础题 14 （5 分）若实数 x，y 满足，则的取值范围是 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义即可得到结论 【解答】解：2+， z 的几何意义是区域内的点到 D（1，1）的斜率再加 2， 作出不等式组对应的平面区域如图：A（3，0） ，B（0，4） ， 第 12 页（共 18 页） 由图象可知
20、，当 AD 的斜率最小为，BD 的斜率最大为5， 故 z 的取值范围，7， 故答案为：，7， 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义是解决本题的关键， 注意要数形结合 15 （5 分）已知数列an的前 n 项和，若此数列为等比数列，则 a 2 【分析】n2 时，anSnSn1根据此数列为等比数列，可得上式对于 n1 时也成立， 即可得出 a 【解答】解：n2 时，anSnSn122n+1+a（22n 1+a）322n1 此数列为等比数列，上式对于 n1 时也成立， 23+a32，解得 a2 故答案为：2 【点评】本题考查了等比数列的前 n 项和与通项公式之间的关系、等比数列
21、的定义，考 查了推理能力与计算能力，属于基础题 16（5分） 在锐角ABC中， 内角A， B， C的对边分别为a， b， c若b3csinA， 则tanA+tanB+tanC 的最小值为 12 【分析】由题意求得 tanA+tanC3tanCtanA，tanA+tanB+tanCtanAtanBtanC，化 简 tanA+tanB+tanC，利用基本不等式求得它的最小值 【解答】解：在锐角三角形 ABC 中，sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC b3csinA，sinB3sinCsinA， 第 13 页（共 18 页） sinAcosC+cosAsinC3sinCsinA
22、， 化简可得 tanA+tanC3tanCtanA tanBtan（A+C）0， tanA+tanCtanB（tanAtanC1） ， tanA+tanB+tanCtanAtanBtanC，且 tanAtanC10 则 tanA+tanB+tanCtanAtanBtanCtanAtanC，令 tanAtanC1m，则 m0， 故 tanA+tanB+tanC （m+1） （m+1） （m+1） 6+3m+6+612， 当且仅当 3m，即 m1 时，取等号，此时，tanAtanC2， 故 tanA+tanB+tanC 的最小值是 12 故答案为：12 【点评】本题主要考查诱导公式，两角和差的正切
23、公式，基本不等式的应用，属于中档 题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）设 Sn为等差数列an的前 n 项和已知 a35，S749 （1）求数列an的通项公式； （2）设，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）利用已知条件建立等量关系式求出数列的通项公式 （2）利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和 【解答】解： （1）设等差数列an的公差为 d，首项为 a1 由题意可得， 解得， 所以an的通项公式为 an2n1 第 14 页（共 18
24、 页） （2）由（1）得， 从而 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和 中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C“的对边分别为 a，b，c已知 （1）求 sinA 的值； （2）若，求ABC 的面积 【分析】 （1）直接利用正弦定理的应用求出结果 （2）利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果 【解答】解： （1）在ABC 中，因为 所以由正弦定理得 （2）因为，所以 由余弦定理 c2a2+b22bccosC， 得 整理得 b24b+30，解得 b3 或 b1 所以ABC 的面
25、积 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查 学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 19 （12 分）为促进全民健身运动，公司为员工购买某健身俱乐部的健身卡，每张 360 元， 使用规定：不记名，每卡每次仅限 1 人，每天仅限 1 次公司共 90 名员工，公司领导打 算组织员工分批去健身，除需购买若干张健身卡外，每次去俱乐部还要包租一辆汽车， 费用是每次 40 元，如果要使每位员工健身 10 次，那么公司购买多少张健身卡最合算， 共需花费多少元钱？ 【分析】 设购买 x 张健身卡， 这项健身活动的总支出为 y， 得到利 用基本不等式求解最值即可
26、【解答】解：设购买 x 张健身卡，这项健身活动的总支出为 y， 第 15 页（共 18 页） 则 即， 当且仅当即 x10 时取等号 所以公司购买 10 张健身卡最合算，共需花费 7200 元 【点评】本题考查函数与方程的实际应用，基本不等式求解最值，考查计算能力，是中 档题 20 （12 分） （1）设不等式 ax22x2a+10 对于满足|x1|1 的实数 x 都成立，求正实 数 a 的取值范围； （2） 设不等式 ax22x2a+10 对于满足|a|2 的实数 a 都成立， 求实数 x 的取值范围 【分析】 （1）由|x1|1 得 0x2，令 f（x）ax22x2a+1，进而利用函数思想
27、求 解； （2）原不等式可化为（x22）a（2x1）0，令 g（a）（x22）a（2x1） ， 其中 a2，2，则原命题等价于关于 a 的函数在 a2，2上的函数值恒小于 0，进 而求解； 【解答】 （1）由|x1|1 得 0x2， 令 f（x）ax22x2a+1（0x2） ， 因为 a0，只需， 解得，即正实数 a 的取值范围是； （2）原不等式可化为（x22）a（2x1）0， 令 g（a）（x22）a（2x1） ，其中 a2，2，则原命题等价于关于的函 a 数， 在 a2，2上的函数值恒小于 0， 只需， 即，解得， 所以，即实数 x 的取值范围是 第 16 页（共 18 页） 【点评】考
28、查转化思想，将不等式转化为函数求值，以及将不等式中的参数 x 转化为 a 21 （12 分）在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且 （1）求角 A； （2）若ABC 的内切圆面积为 4，求ABC 面积 S 的最小值 【分析】 （1）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得 tanA，结合 A 为 锐角，可求 A 的值 （2）由题意知，可求，利用余弦定理，基本不等式可 求，进而根据三角形的面积公式即可求解 【解答】解： （1）因为， 所以， 即， 所以，即， 所以 （2）由题意知ABC 内切圆的半径为 2， 如图，内切圆的圆心为 I，M，N 为切点，则， 从而， 由
29、余弦定理得， 整理得， 解得， 从而 即ABC 面积 S 的最小值为 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余 弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 22 （12 分）设 Sn，为正项数列an的前 n 项和，且 2Snan2+an（nN*） 数列bn满足： 第 17 页（共 18 页） b12，bn+13bn+2（nN*） （1）求数列an，bn的通项公式； （2）设 cnan（bn+1） ，求数列cn的前 n 项和 Tn ； （3） 设t+1， 问是否存在整数 t （t0） ， 使数列dn为递增数列？ 若存在求 t 的值，若不
30、存在说明理由 【分析】 （1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式 （2）利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果 （3）利用分类讨论思想的应用和函数的恒成立问题的应用求出结果 【解答】解： （1）当 n1 时，解得 a11， 当 n2 时，由，及， 相减得，解得 anan11 或 ann故 ann 由 bn+13bn+2 得 bn+13（bn+1） ，又 b1+13， 故，所以 （2）由（1）得 所以 相减得 从而 （3），若存在 t0，满足dn为递增数列， 即 dn+1dn对任意 nN*恒成立， 由 3n+1+（1）n+2t2n+13n+（1）n+1t2n 得 当 n 为奇数时，由得 t1， 当 n 为偶数时，由得， ， 第 18 页（共 18 页） 故 t1 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法的应 用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题
