1、若等比数列an的前 n 项和为 Sn，（ ） A3 B7 C10 D15 8 （5 分）不等式 x（x9）x21 的解集为（ ） A （3，7） B （，3）（7，+） C （7，3） D （，7）（3，+） 9 （5 分）已知 x，y 满足约束条件，目标函数 z3x+5y 的最大值为（ ） A11 B9 C17 D20 10 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，cos2，则ABC 的 形状一定是（ ） A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 11 （5 分）给出如下四个命题 若“pq”为假命题，则 p，q 均为假命题； 命题“若 ab，则 2a
2、2b 1”的否命题为“若 ab，则 2a2b1” ； “x0R，x021”的否定是“xR，x21” ； 在ABC 中， “AB”是“sinAsinB”的充要条件 其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 12 （5 分）已知 x2+y24，在这两个实数 x，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数 列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（ ） A B C D 二、填空题：本大二、填空题：本大题共题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若命题“tR，t22ta0”是假命题，则实数 a 的取值范围是 14 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C
3、 的对边分别是 a，b，c，若 a2b2bc，sinC 2sinB，则 A 15 （5 分）已知正实数 a，b 满足 a+b1，则+的最大值是 第 3 页（共 18 页） 16 （5 分）若数列an满足 a112，a1+2a2+3a3+nann2an，则 a2019 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17 （10 分） 已知 c0， c1 设 p： 函数 ycx在 R 上单调递减； q： 关于 x 的不等式 x2+x+c 0 的解集为 R如果“pq“为真， “pq”为假，求
4、c 的取值范围 18 （12 分）已知数列an是首项为 1，公比为 q（q0）的等比数列，并且 2a1，a3，a2 成等差数列 （）求 q 的值； （）若数列bn满足 bnan+n，求数列bn的前 n 项和 Tn 19 （12 分）如图，港口 A 在港口 O 的正东 120 海里处，小岛 B 在港口 O 的北偏东 60的 方向， 且在港口 A 北偏西 30的方向上 一艘科学考察船从港口 O 出发，沿北偏东 30 的 OD 方向以 20 海里/小时的速度驶离港口 O 一艘给养快艇从港口 A 以 60 海里/小时的 速度驶向小岛 B，在 B 岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船已知两船同时出发，
5、 补给装船时间为 1 小时 （1）求给养快艇从港口 A 到小岛 B 的航行时间； （2）给养快艇驶离港口 A 后，最少经过多少时间能和科考船相遇？ 20 （12 分）已知 x0，y0，且 x+8yxy0 （1）当 x，y 分别为何值时，xy 取得最小值？ （2）当 x，y 分别为何值时，x+y 取得最小值？ 21 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a12，Sn（n+2）an（nN*） （1）求 a2，a3，a4的值及数列an的通项公式； （2）求证：1 22 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 （）求角 B 的大小； 第 4 页（共 18 页
6、） （）点 D 满足2，且线段 AD3，求 2a+c 的最大值 第 5 页（共 18 页） 2019-2020 学年河南省郑州一中高二（上）期中数学试卷（文科）学年河南省郑州一中高二（上）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要有一项是符合题目要求的求的 1 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b3，c2，cosA，则 a（ ） A B3 C D 【分析】由已知
7、利用余弦定理即可求解 【解答】解：b3，c2，cosA， 由余弦定理可得：a2b2+c22bccosA32+222325 解得 a 故选：A 【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题 2 （5 分）已知等差数列an中，a53，a108，则 a100（ ） A100 B99 C98 D97 【分析】利用等差数列的通项公式即可得出 【解答】解：设等差数列an的公差为 d，a53，a108， a1+4d3，a1+9d8， 解得 a11，d1， 则 a1001+9998 故选：C 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3 （5 分）命题“x（0
8、，1） ，x2x0”的否定是（ ） Ax0（0，1） ， Bx0（0，1） ， Cx0（0，1） ， 第 6 页（共 18 页） Dx0（0，1） ， 【分析】 “全称命题”的否定一定是“特称命题” ，写出结果即可 【解答】解：“全称命题”的否定一定是“特称命题” ， 命题“x（0，1） ，x2x0”的否定是x0（0，1） ， 故选：B 【点评】 本题考查命题的否定“全称量词” 与 “存在量词” 正好构成了意义相反的表述 如 “对所有的都成立”与“至少有一个不成立” ； “都是”与“不都是”等，所以“全 称命题”的否定一定是“存在性命题” ， “存在性命题”的否定一定是“全称命题” 4 （5
9、分）若椭圆的焦距为 8，长轴长为 10，则该椭圆的标准方程是（ ） A B或 C D或 【分析】根据题意，分析可得 a、c 的值，计算可得 b 的值，分析椭圆的焦点位置，即可 得答案 【解答】解：根据题意，椭圆的焦距为 8，长轴长为 10，则 2c8，2a10， 即 c4，a5， 则 b3， 若椭圆的焦点在 x 轴上，则其标准方程为+1， 若椭圆的焦点在 y 轴上，则其标准方程为+1， 故要求椭圆的标准方程为+1 或+1， 故选：B 第 7 页（共 18 页） 【点评】本题考查椭圆的标准方程，涉及椭圆的几何性质，属于基础题 5 （5 分）已知 a，bR，若 ab，则（ ） Aa2b Babb2
10、 C Da3b3 【分析】利用不等式的基本性质、函数 yx3在 R 上单调性即可得出 【解答】解：若 ab，则 a 与 2b 的大小关系不确定，aby 与 b2的大小关系不确定，与 的大小关系不确定 由 yx3在 R 上单调递增，可得 a3b3 故选：D 【点评】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与近年来，属 于基础题 6 （5 分）在ABC 中，A60，b1，SABC，则（ ） A B C D 【分析】利用ABC 面积 SABC求出 c，再利用余弦定理，正弦定理，根据合分比性质 求出 【解答】解：SABC，c4， 利用余弦定理，a2b2+c22bcos6013，a， 利
11、用正弦定理， 根据合分比性质， 故选：A 【点评】考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理，合分比性质，中档题 7 （5 分）若等比数列an的前 n 项和为 Sn，（ ） A3 B7 C10 D15 【分析】 根据等比数列的性质可知： 可设其中公比为 q， 根据3 求出 q4， 再代入 进行求解 第 8 页（共 18 页） 【解答】解：据3， （q1） ，若 q1 可得据23，故 q1， 3，化简得 1q83（1q4） ，可得 q83q4+20，解得 q41 或 2，q1，解得 q42， 15 故选：D 【点评】此题主要考查等比数列前 n 项和，利用等比数列的性质，是一道中档题 8 （5 分）
12、不等式 x（x9）x21 的解集为（ ） A （3，7） B （，3）（7，+） C （7，3） D （，7）（3，+） 【分析】由题意利用二次函数的性质求得不等式的解集 【解答】解：不等式 x（x9）x21，即 （x3） （x7）0， 求得 3x7，故不等式的解集为（3，7） ， 故选：A 【点评】本题主要考查二次函数的性质，一元二次不等式的解法，属于基础题 9 （5 分）已知 x，y 满足约束条件，目标函数 z3x+5y 的最大值为（ ） A11 B9 C17 D20 【分析】先画出 x，y 满足约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的 坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标
13、函数 z3x+5y 的最大值 【解答】解：由 x，y 满足约束条件得如图所示的三角形区域， 三个顶点坐标为 A（1.5，2.5） 第 9 页（共 18 页） 将其代入得 z 的值为 17， 直线 z3x+5y 过点 A 时，z 取得最大值为 17； 故选：C 【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法” ，其步骤为：由约束条件画出 可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最 优解 10 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，cos2，则ABC 的 形状一定是（ ） A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 【分析】 在AB
14、C 中， 利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知 cos2， 转化为 cosA ，整理即可判断ABC 的形状 【解答】解：在ABC 中，cos2， + 1+cosA+1，即 cosA， cosAsinCsinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC， sinAcosC0，sinA0， cosC0， C 为直角 故选：B 第 10 页（共 18 页） 【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的 综合运用，属于中档题 11 （5 分）给出如下四个命题 若“pq”为假命题，则 p，q 均为假命题； 命题“若 ab，则 2a2b 1”的否命题为“若 ab，则
15、2a2b1” ； “x0R，x021”的否定是“xR，x21” ； 在ABC 中， “AB”是“sinAsinB”的充要条件 其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】直接利用真值表，四个条件和四个命题及命题的否定的应用求出结果 【解答】解：对于选项若“pq”为假命题，则 p，q 均为假命题；也有可能一真一假 命题，故错误 命题“若 ab，则 2a2b 1”的否命题为“若 ab，则 2a2b1” ；故正确 “x0R，x021”的否定是“xR，x21” ；故正确 在ABC 中， “AB”是“sinAsinB”的充要条件 若 AB，当 A 不超过 90时，显然得到 sinAsinB
16、当 A 为钝角时，由于，可得 sin（A）sinAsinB，即 AB 是 sinA sinB 的充分条件 当 sinAsinB 时，亦可得 AB，由此可得“AB”是“sinAsinB”的充要条件故正 确 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：简易逻辑的应用，四个条件和四个命题的应用，真值表 的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 12 （5 分）已知 x2+y24，在这两个实数 x，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数 列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（ ） A B C D 【分析】根据题意，设插入的三个数为 a、b、c，即构成等差数列的五个数分别为 x，
17、a， b，c，y，由等差数列的性质可得 b、c 的值，分析可得这个等差数列后三项和为 b+c+y 第 11 页（共 18 页） 3b，进而设 x2cos，y2sin，则 b+c+y（x+3y）（cos+3sin） ， 利用三角函数性质能求出这个等差数列后三项和的最大值 【解答】解：根据题意，设插入的三个数为 a、b、c，即构成等差数列的五个数分别为 x， a，b，c，y， 则有 x+ya+c2b， 则 b，c， 则这个等差数列后三项和为 b+c+y3b， 又由 x2+y24， 设 x2cos， y2sin， 则 b+c+y （x+3y） （cos+3sin） sin （+）， 即这个等差数列后
18、三项和的最大值为； 故选：D 【点评】本题考查等差数列的后三项的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题， 注意等价转化思想的合理运用 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若命题“tR，t22ta0”是假命题，则实数 a 的取值范围是 （， 1 【分析】命题“tR，t22ta0”是假命题，则tR，t22ta0 是真命题，可得 0 【解答】解：命题“tR，t22ta0”是假命题， 则tR，t22ta0 是真命题， 4+4a0，解得 a1 实数 a 的取值范围是（，1 故答案为： （，1 【点评】本题考查了方程与不
19、等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计 算能力，属于基础题 14 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a2b2bc，sinC 2sinB，则 A 30 第 12 页（共 18 页） 【分析】已知 sinC2sinB 利用正弦定理化简，代入第一个等式用 b 表示出 a，再利 用余弦定理列出关系式，将表示出的 c 与 a 代入求出 cosA 的值，即可确定出 A 的度数 【解答】解：将 sinC2sinB 利用正弦定理化简得：c2b， 代入得 a2b2bc6b2，即 a27b2， 由余弦定理得：cosA， A 为三角形的内角， A30 故答案为：30
20、 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本 题的关键 15 （5 分）已知正实数 a，b 满足 a+b1，则+的最大值是 【分析】由正实数 a，b 满足 a+b1，根据不等式+，可得 +的最大值 【解答】解：正实数 a，b 满足 a+b1， +， 当且仅当 ab时取等号， +的最大值是 故答案为： 【点评】本题考查了不等式的应用，考查了转化思想和计算能力，属中 档题 16 （5 分）若数列an满足 a112，a1+2a2+3a3+nann2an，则 a2019 【分析】直接利用数列的递推关系式的应用和叠乘法的应用求出数列的通项公式，进一 步利用数列的通项公式
21、求出结果 【解答】解：数列an满足 a112，a1+2a2+3a3+nann2an， 第 13 页（共 18 页） 当 n2 时，a1+2a2+3a3+（n1）an1（n1）2an1， 得， 所以， ， ， 所有的式子相乘得， 所以（首项符合通项） ， 故， 所以 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，叠乘法的应用，主要考查学 生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分） 已知 c0， c1 设
22、 p： 函数 ycx在 R 上单调递减； q： 关于 x 的不等式 x2+x+c 0 的解集为 R如果“pq“为真， “pq”为假，求 c 的取值范围 【分析】分别假设 p，q 为真，得出 c 的取值范围，由“pq“为真， “pq”为假，可 知 p，q 中一真一假；分为”p 真 q 假”和”p 假 q 真”两种情况讨论即可得 c 的取值范 围 讨论要注意条件0，c1 【解答】解：若 p 为真，即函数 ycx在 R 上单调递减，则 0c1； 若 q 为真，即关于 x 的不等式 x2+x+c0 的解集为 R， 则14c0，解得 c 由“pq“为真， “pq”为假，可知 p，q 中一真一假 由于 c
23、0，c1， 第 14 页（共 18 页） （1）如果 p 真 q 假，则，解得 0c； （2）如果 p 假 q 真，则，解得 c1 综上所述：c 的取值范围为（0，（1，+） 【点评】本题考查了含逻辑连接词的命题真假关系，这种题目往往与其他知识点结合在 一起考查，属于基础题 18 （12 分）已知数列an是首项为 1，公比为 q（q0）的等比数列，并且 2a1，a3，a2 成等差数列 （）求 q 的值； （）若数列bn满足 bnan+n，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （I）直接利用已知条件整理得到关于公比的等式，解之即可求出公比； （II）利用求出的公比，先求出两个数列的通项公式，
24、再对数列bn采用分组求和即可 【解答】解： （I）由条件得 a32a1+a2： 得 q22+q， q2 或 q1（舍） ， q2 （II）an2n 1， bn2n 1+n Tn（1+2+3+n）+（1+21+22+2n 1） +2n1 【点评】本题考查等差数列与等比数列的基础知识，考查方程思想在解决数列问题中的 应用以及等差数列和等比数列的前 n 项和公式的应用主要考查学生的运算能力 19 （12 分）如图，港口 A 在港口 O 的正东 120 海里处，小岛 B 在港口 O 的北偏东 60的 方向， 且在港口 A 北偏西 30的方向上 一艘科学考察船从港口 O 出发，沿北偏东 30 的 OD
25、方向以 20 海里/小时的速度驶离港口 O 一艘给养快艇从港口 A 以 60 海里/小时的 速度驶向小岛 B，在 B 岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船已知两船同时出发， 补给装船时间为 1 小时 （1）求给养快艇从港口 A 到小岛 B 的航行时间； 第 15 页（共 18 页） （2）给养快艇驶离港口 A 后，最少经过多少时间能和科考船相遇？ 【分析】 （1）给养快艇从港口 A 到小岛 B 的航行时间，已知其速度，则只要求得 AB 的 路程，再利用路程公式即可求得所需的时间 （2）由（1）知，给养快艇从港口 A 驶离 2 小时后，从小岛 B 出发与科考船汇合，根据 题意确定各边长和各角的
26、值，然后由余弦定理解决问题 【解答】解： （1）由题意知，在OAB 中，OA120，AOB30，OAB60 于是 AB60，而快艇的速度为 60 海里/小时， 所以快艇从港口 A 到小岛 B 的航行时间为 1 小时 （5 分） （2）由（1）知，给养快艇从港口 A 驶离 2 小时后，从小岛 B 出发与科考船汇合 为使航行的时间最少，快艇从小岛 B 驶离后必须按直线方向航行， 设 t 小时后恰与科考船在 C 处相遇（7 分） 在OAB 中，OA120，AOB30，OAB60，所以， 而在OCB 中，BC60t，OC20（2+t） ，BOC30，（9 分） 由余弦定理，得 BC2OB2+OC22O
27、BOCcosBOC， 即， 亦即 8t2+5t130，解得 t1 或（舍去） （12 分） 故 t+23即给养快艇驶离港口 A 后，最少经过 3 小时能和科考船相遇（14 分） 【点评】本题主要考查余弦定理的应用，考查学生分析解决问题的能力余弦定理在解 实际问题时有着广泛的应用，一定要熟练的掌握 20 （12 分）已知 x0，y0，且 x+8yxy0 （1）当 x，y 分别为何值时，xy 取得最小值？ （2）当 x，y 分别为何值时，x+y 取得最小值？ 【分析】 （1）直接利用基本不等式，求出 x，y 分别为何值时，xy 取得最小值； （2）变形，利用“1”的代换，即可求出当 x，y 分别为
28、何值时，x+y 取得最小值 第 16 页（共 18 页） 【解答】解： （1）x0，y0，且 x+8yxy0， xyx+8y4，当且仅当 x8y，即 x16，y2 时取等号， xy32 xy 的最小值为 8 （2）x+8yxy0，+1， x+y （x+y）（+） 9+9+4， 当且仅当， 即 y1+2， x8+2 时取等 因此 x+y 的最小值为 9+4 【点评】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生变形能力，属于中档题 21 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a12，Sn（n+2）an（nN*） （1）求 a2，a3，a4的值及数列an的通项公式； （2）求证：1 【分析】 （
29、1）a12，Sn（n+2）an（nN*） ，n1 时，S2a1+a2a2，解得 a2同 理可得：a3，a4当 n2 时，anSnSn1，利用累乘求积即可得出 an （2）由（1）可得：利用裂项求和方法即可证明结论 【解答】解： （1）a12，Sn（n+2）an（nN*） ，n1 时，S2a1+a2a2，解得 a26 同理可得：a312，a420 当 n2 时，anSnSn1（n+2）an（n+1）an1，化为：（n2） ana12n （n+1） （n2） 上式对于 n1 时也成立 ann（n+1） （nN*） （2）证明：由（1）可得： 第 17 页（共 18 页） 1+11 【点评】本题考查
30、了数列的递推关系、累乘求积方法、裂项求和方法，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题 22 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 （）求角 B 的大小； （）点 D 满足2，且线段 AD3，求 2a+c 的最大值 【分析】 （）由正弦定理和余弦定理，即可求出 cosB 以及 B 的值； （）结合题意画出图形，根据图形利用余弦定理和基本不等式，即可求出 2a+c 的值 【解答】解： （）ABC 中， ， acc2a2b2， aca2+c2b2， cosB； 又 B（0，） ， B； （）如图所示， 点 D 满足2，BCCD； 又线段 AD3， AD2c2+4a22c2acosc2+4a22ac9， c2+4a29+2ac； 又 c2+4a22c2a， 4ac9+2ac， 2ac9； （2a+c）24a2+4ac+c29+6ac9+3936， 2a+c6， 即 2a+c 的最大值为 6 第 18 页（共 18 页） 【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题， 是综合题
