1、已知函数为其导函数，则 f（x）（ ） A B C2x+1 D 4 （5 分）有一段演绎推理是这样的： “若函数 f（x）的图象在区间 D 上是一条连续不断的 曲线，且 f（x0）0，则 f（x）在点 x0处取得极值；已知函数 f（x）x3在 R 上是一条 连续不断的曲线，且 f（0）0，则 f（x）在点 x0 处取得极值” 对于以上推理，说法 正确的是（ ） A大前提错误，结论错误 B小前提错误，结论错误 C推理形式错误，结论错误 D该段演绎推理正确，结论正确 5 （5 分）函数 yf（x）的图象如图所示，则导函数 yf（x）的图象可能是（ ） 第 2 页（共 21 页） A B C D 6
2、 （5 分）地铁换乘站设有编号为 A，B，C，D，E 的五个安全出口若同时开放其中的两 个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 A，B B，C C，D D，E A，E 疏散乘客时间（s） 125 186 160 145 175 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ） AA BB CC DD 7 （5 分）若函数 f（x）x4+ax3+x2b（a，bR）仅在 x0 处有极值，则 a 的取值范 围为（ ） A2，2 B1，1 C2，6 D1，4 8 （5 分）设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，点 M 在 C 上，若以 MF 为直径的圆过点 P（0， 2） ，则|P
3、M|的值为（ ） A B5 C2 D10 9 （5 分）定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，则不等式 ex 1f（x）f（2x1） 的解为（ ） A B C （1，+） D （2，+） 10 （5 分）若原点 O 和点 F 分别为椭圆的中心和焦点，点 P 为椭圆上的任意一 点，则的最小值为（ ） A B C D 11 （5 分）函数 f（x）在定义域 R 内可导，若 f（x）f（4x） ，且（x2）f（x）0， 第 3 页（共 21 页） 若，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Acba Bcab Cabc Dbac 12 （5 分）已知从 1 开始的连续奇数蛇形排列形成宝
4、塔形数表，第一行为 1，第二行为 3， 5，第三行为 7，9，11，第四行为 13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第 i 行，第 j 列的数记为 ai，j，例如 a3，29，a4，215，a5，423，若 ai，j2019，则 i+j （ ） A64 B65 C71 D72 二填空题（每小题二填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知 x、y 取值如表： x 0 1 4 5 6 y 1.3 m 3m 5.6 7.4 画散点图分析可知： y 与 x 线性相关， 且求得回归方程为 x+1， 则 m 的值为 （精 确到 0.1） 14 （5 分）平面几何中
5、，有“边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值” ， 类比上述命题，棱长为 a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 15 （5 分）已知 P 是抛物线 y24x 上一动点，F 为焦点，点 A 在圆（x4）2+（y+1）21 上运动，则|PA|+|PF|的最小值为 16 （5 分）已知 f（x），则 f（3） 三解答题（共三解答题（共 70 分）分） 17 （10 分）为了研究家庭结构对学生学习成绩的影响，某机构在本区高一年级从单亲家庭 和双亲家庭中随机抽取部分学生，结合期末考试成绩，得出如表 22 列联表 优秀 非优秀 总计 双亲家庭 50 单亲家庭 30 120 第 4 页（共
6、 21 页） 合计 210 附：K2，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.01 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828 （1）请完成如表的 22 列联表，并分析能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认 为“成绩与家庭结构有关” ； （2）若采用分层抽样的方法从单亲家庭的学生中随机抽取 4 人，从这 4 人中再随机抽取 2 人，求取到优秀的学生的概率 18 （12 分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数 （1）sin213+cos217sin13cos17 （2）sin215+cos
7、215sin15cos15 （3）sin218+cos212sin18cos12 （4）sin2（18）+cos248sin（18）cos48 （5）sin2（25）+cos255sin（25）cos55 （）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； （）根据（）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论 19 （12 分） （1）已知 ab0，m0，用分析法证明：； （2）已知实数 a，b，c，d 满足 ac2（b+d） ，用反证法证明：方程 x2+ax+b0 与方程 x2+cx+d0 至少有一个方程有实根 20 （12 分）如图，几何体 ABC 一 EFD 是由直三棱柱截
8、得的，EFAB，ABC90，AC 2AB2，CD2AE （1）求三棱锥 DBEC 的体积； （2）求证：CEDB 第 5 页（共 21 页） 21 （12 分）已知双曲线的一条渐近线方程为，点 在双曲线上，抛物线 y22px（p0）的焦点 F 与双曲线的右焦点重合 （）求双曲线和抛物线的标准方程； （）过点 F 做互相垂直的直线 l1，l2，设 l1与抛物线的交点为 A，B，l2与抛物线的交 点为 D，E，求|AB|+|DE|的最小值 22 （12 分）已知函数 f（x）axlnx 图象上在点（1，f（1） ）处的切线与直线 yx 垂 直 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）若对所有 x1
9、 都有 f（x）mx+20，求实数 m 的取值范围 第 6 页（共 21 页） 2018-2019 学年河南省洛阳一高高二 （下）学年河南省洛阳一高高二 （下） 3 月月考数学试卷 （文月月考数学试卷 （文 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（每小题一选择题（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）设 zi3+，则 z 的虚部是（ ） A1 B C2i D2 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：， 则 z 的虚部是2 故选：D 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 2 （5 分）已知双曲线1（a
10、0，b0）的一条渐近线平行于直线 x+2y30， 则该双曲线的离心率为（ ） A5 B5 或 C D或 【分析】根据题意，由双曲线的方程分析双曲线的渐近线方程，又由双曲线的一条渐近 线平行于直线 x+2y30，可得，即 a2b，结合双曲线的几何性质可得 c b，由双曲线的离心率公式计算可得答案 【解答】 解： 根据题意， 双曲线1 的焦点在 x 轴上， 其渐近线方程为 yx， 若双曲线的一条渐近线平行于直线 x+2y30，则，即 a2b， 则 cb， 则双曲线的离心率 e； 故选：C 【点评】本题考查双曲线的标准方程以及几何性质，注意分析双曲线的渐近线方程 第 7 页（共 21 页） 3 （5
11、 分）已知函数为其导函数，则 f（x）（ ） A B C2x+1 D 【分析】根据函数的导数公式进行求导即可 【解答】解：函数的导数 f（x）， 故选：A 【点评】本题主要考查函数的导数的计算，根据函数的导数公式是解决本题的关键 4 （5 分）有一段演绎推理是这样的： “若函数 f（x）的图象在区间 D 上是一条连续不断的 曲线，且 f（x0）0，则 f（x）在点 x0处取得极值；已知函数 f（x）x3在 R 上是一条 连续不断的曲线，且 f（0）0，则 f（x）在点 x0 处取得极值” 对于以上推理，说法 正确的是（ ） A大前提错误，结论错误 B小前提错误，结论错误 C推理形式错误，结论错
12、误 D该段演绎推理正确，结论正确 【分析】当函数 f（x）为常值函数时，则 f（x）在点 x0处取得极值不正确，故大前提错 误 【解答】解：当函数 f（x）为常值函数时，则若函数 f（x）的图象在区间 D 上是一条连 续不断的曲线，且 f（x0）0，则 f（x）在点 x0处取得极值不正确，故大前提错误，则 其结论也是错误， 故选：A 【点评】本题考查演绎推理的基本方法，解题的关键是理解函数的性质，分析出大前提 是错误的，是一个基础题 5 （5 分）函数 yf（x）的图象如图所示，则导函数 yf（x）的图象可能是（ ） 第 8 页（共 21 页） A B C D 【分析】根据 f（x）0，函数
13、f（x）单调递增；f（x）0 时，f（x）单调递减，根 据图形可得 f（x）0，即可判断答案 【解答】解：由函数图象可知函数在（，0） ， （0，+）上均为减函数， 所以函数的导数值 f（x）0，因此 D 正确， 故选：D 【点评】本题考查函数的单调性与导函数符号的关系：f（x）0 时，函数 f（x）单调 递增；f（x）0 时，f（x）单调递减 6 （5 分）地铁换乘站设有编号为 A，B，C，D，E 的五个安全出口若同时开放其中的两 个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 A，B B，C C，D D，E A，E 疏散乘客时间（s） 125 186 160 145 17
14、5 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ） AA BB CC DD 【分析】先求出 A 比 C 疏散乘客快；再求出 D 比 A 疏散乘客快；然后求出 D 比 B 疏散 乘客快；再求出 B 比 E 疏散乘客快，由此能求出疏散乘客最快的一个安全出口的编号 【解答】解：由同时开放 A，B 疏散 1000 名乘客所需的时间为 125s， 同时开放 B，C 疏散 1000 名乘客所需的时间为 186s， 得到 A 比 C 疏散乘客快； 由同时开放 D，E 疏散 1000 名乘客所需的时间为 145s， 同时开放 A，E 疏散 1000 名乘客所需的时间为 175s， 得到 D 比 A 疏散乘客快；
15、由同时开放 B，C 疏散 1000 名乘客所需的时间为 186s， 第 9 页（共 21 页） 同时开放 C，D 疏散 1000 名乘客所需的时间为 160s， 得到 D 比 B 疏散乘客快； 由同时开放 A，B 疏散 1000 名乘客所需的时间为 125s， 同时开放 A，E 疏散 1000 名乘客所需的时间为 175s， 得到 B 比 E 疏散乘客快 疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 D 故选：D 【点评】本题考查疏散乘客最快的一个安全出口的编号的判断，考查简单的合情推理等 基本性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 7 （5 分）若函数 f（x）x4+ax3+x2b（a，
16、bR）仅在 x0 处有极值，则 a 的取值范 围为（ ） A2，2 B1，1 C2，6 D1，4 【分析】求导函数，要保证函数 f（x）仅在 x0 处有极值，必须满足 f（x）在 x0 两侧异号 【解答】解：由题意，f（x）x3+3ax2+9xx（x2+3ax+9） 要保证函数 f（x）仅在 x0 处有极值，必须满足 f（x）在 x0 两侧异号， 所以要 x2+3ax+90 恒成立， 由判别式有： （3a）2360，9a236 2a2， a 的取值范围是2，2 故选：A 【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力， 属于基础题 8 （5 分）设抛物线 C：y24
17、x 的焦点为 F，点 M 在 C 上，若以 MF 为直径的圆过点 P（0， 2） ，则|PM|的值为（ ） A B5 C2 D10 【分析】根据抛物线的方程求出焦点 F，利用直径对直角得出 PMPF，求出点 M 的坐 标，再计算|PM|的值 【解答】解：抛物线 C：y24x 的焦点为 F（1，0） ， 第 10 页（共 21 页） 设 M（，y） ，以 MF 为直径的圆过点 P（0，2） ， PMPF， （，y+2） （1，2）0， +2（y+2）0， 解得 y4， xM4，M（4，4） ； |PM|2 故选：C 【点评】本题考查了圆的性质和抛物线的定义应用问题，也考查了推理能力与计算能力，
18、是中档题 9 （5 分）定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，则不等式 ex 1f（x）f（2x1） 的解为（ ） A B C （1，+） D （2，+） 【分析】令 g（x），求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于 x 的不等式， 解出即可 【解答】解：令 g（x），则 g（x）0， 故 g（x）在 R 递增， 第 11 页（共 21 页） 不等式 ex 1f（x）f（2x1） ， 即， 故 g（x）g（2x1） ， 故 x2x1，解得：x1， 故选：C 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题 10 （5 分）若原点 O 和点 F 分
19、别为椭圆的中心和焦点，点 P 为椭圆上的任意一 点，则的最小值为（ ） A B C D 【分析】设 P（x，y） ，根据点的坐标求出的表达式，然后求关于 x 的二次函数的 最小值即可 【解答】解：原点 O 和点 F 分别为椭圆的中心和焦点， 设 P（x，y） ，不妨 F（0，4） ，（3cos，5sin） ，（3cos，5sin4） ； 9cos2+25sin220sin16（sin） 2+ ；当且仅当 sin时， 的最小值为 故选：A 【点评】考查向量的坐标，椭圆的焦点，椭圆的标准方程，向量数量积的坐标运算，二 次函数的最值求法 11 （5 分）函数 f（x）在定义域 R 内可导，若 f（x
20、）f（4x） ，且（x2）f（x）0， 若，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Acba Bcab Cabc Dbac 【分析】先根据题题中条件： “f（x）f（4x） ， ”求其对称轴，再利用导数的符号判断 函数的单调性，进而可解 【解答】解：由 f（x）f（4x）可知，f（x）的图象关于 x2 对称， 根据题意又知 x（，2）时，f（x）0，此时 f（x）为减函数， 第 12 页（共 21 页） x（2，+）时，f（x）0，f（x）为增函数， 所以 f（3）f（1）f（ ）f（0） ，即 cba， 故选：C 【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系解答关键是利用导 数工具
21、判断函数的单调性，属基础题 12 （5 分）已知从 1 开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为 1，第二行为 3， 5，第三行为 7，9，11，第四行为 13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第 i 行，第 j 列的数记为 ai，j，例如 a3，29，a4，215，a5，423，若 ai，j2019，则 i+j （ ） A64 B65 C71 D72 【分析】由等差数列的前 n 项和公式可得：2019 在第 n 组中，又 2019 是从 1 开始的连续 奇数的第 1010 个奇数，则有，解得 n45，即 2019 在第 45 组中， 由归纳推理可得： 前 44 组共 99
22、0 个数， 又第 45 组中的奇数从右到左， 从小到大， 则 2019 为第 45 组从右到左的第 101099020 个数， 即 2019 为第 45 组从左到右的第 4520+1 26 个数，得解 【解答】解：由图表可知：数表为从 1 开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第 1 组 1 个奇数，第 2 组 2 个奇数第 n 组 n 个奇数， 则前 n 组共个奇数， 设 2019 在第 n 组中，又 2019 是从 1 开始的连续奇数的第 1010 个奇数， 则有， 解得 n45， 即 2019 在第 45 组中， 第 13 页（共 21 页） 则前 44 组共 990 个数， 又第 45
23、 组中的奇数从右到左，从小到大， 则 2019 为第 45 组从右到左的第 101099020 个数， 即 2019 为第 45 组从左到右的第 4520+126 个数， 即 i45，j26， 故 i+j45+2671， 故选：C 【点评】本题考查的等差数列的前 n 项和公式及归纳推理，属难度较大的题型 二填空题（每小题二填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知 x、y 取值如表： x 0 1 4 5 6 y 1.3 m 3m 5.6 7.4 画散点图分析可知： y 与 x 线性相关， 且求得回归方程为 x+1， 则 m 的值为 1.7 （精 确到 0.1） 【分
24、析】将 3.2 代入回归方程可得 4.2，则 4m6.7，即可得出结论 【解答】解：将 3.2 代入回归方程 x+1 可得 4.2， 则 4m6.7，解得 m1.675， 即精确到 0.1 后 m 的值为 1.7 故答案为：1.7 【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题 14 （5 分）平面几何中，有“边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值” ， 类比上述命题，棱长为 a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形 中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间
25、中面 的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质故我们可以根据已知中平 面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值” ，推断出一 个空间几何中一个关于面的性质 第 14 页（共 21 页） 【解答】解：类比在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值， 在一个正四面体中，计算一下棱长为 a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和， 如图： 由棱长为 a 可以得到 BF，BOAOaOE， 在直角三角形中，根据勾股定理可以得到 BO2BE2+OE2， 把数据代入得到 OEa， 棱长为 a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和 4a 故答案为： 【点评】本题是基
26、础题，考查类比推理及正四面体的体积的计算，转化思想的应用，考 查空间想象能力，计算能力 15 （5 分）已知 P 是抛物线 y24x 上一动点，F 为焦点，点 A 在圆（x4）2+（y+1）21 上运动，则|PA|+|PF|的最小值为 4 【分析】根据题意画出图形，结合图形利用抛物线的定义与性质，转化求解|PA|+|PF|最小 值问题 【解答】解：圆（x4）2+（y+1）21 的圆心为 C（4，1） ， 过点 C 作抛物线 y24x 准线 x1 的垂线，垂足为 N，如图所示： 由抛物线的定义可知：|PF|PN|， 当 P、A、N 经过圆 C 的圆心时，|PA|+|PF|取得最小值， 圆心（4，
27、1） ，半径为 1，所以|PA|+|PF|最小值为： 4（1）14 第 15 页（共 21 页） 故答案为：4 【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系应用问题，也考查了圆的方程应用问题， 是中档题 16 （5 分）已知 f（x），则 f（3） 【分析】求导函数，从而可求出 f（1）2，即得出 ，从而可求出 f（3）的值 【解答】解：； f（1）f（1）+4； f（1）2； ； 故答案为： 【点评】考查基本初等函数的求导，以及已知函数求值的方法 三解答题（共三解答题（共 70 分）分） 17 （10 分）为了研究家庭结构对学生学习成绩的影响，某机构在本区高一年级从单亲家庭 和双亲家庭中随机抽取
28、部分学生，结合期末考试成绩，得出如表 22 列联表 优秀 非优秀 总计 双亲家庭 50 单亲家庭 30 120 第 16 页（共 21 页） 合计 210 附：K2，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.01 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828 （1）请完成如表的 22 列联表，并分析能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认 为“成绩与家庭结构有关” ； （2）若采用分层抽样的方法从单亲家庭的学生中随机抽取 4 人，从这 4 人中再随机抽取 2 人，求取到优秀的学生的概率 【分析】 （1）根据题意补充 22
29、 列联表，计算 K2，对照临界值得出结论； （2）采用分层抽样法求得抽取 4 人中优秀与非优秀人数， 用列举法写出基本事件数，计算所求的概率值 【解答】解： （1）根据题意，补充 22 列联表如下； 优秀 非优秀 总计 双亲家庭 40 50 90 单亲家庭 30 90 120 合计 70 140 210 计算 K28.756.635， 能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为“成绩与家庭结构有关” ； （2）采用分层抽样的方法从单亲家庭的学生中随机抽取 4 人， 优秀有 1 人，记为 A，非优秀有 3 人，记为 b、c、d， 从这 4 人中再随机抽取 2 人，基本事件数为 Ab、Ac、
30、Ad、bc、bd、cd 共 6 种不同取法， 取到优秀的学生的事件为 Ab、Ac、Ad 共 3 种不同取法， 故所求的概率为 P 【点评】本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题 18 （12 分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数 （1）sin213+cos217sin13cos17 （2）sin215+cos215sin15cos15 第 17 页（共 21 页） （3）sin218+cos212sin18cos12 （4）sin2（18）+cos248sin（18）cos48 （5）sin2（25）+cos255sin（25）cos55 （）
31、试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； （）根据（）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论 【分析】 （）选择（2） ，由 sin215+cos215sin15cos151sin30，可 得这个常数的值 （）推广，得到三角恒等式 sin2+cos2（30）sincos（30）证明 方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果 证 明 方 法 二 ： 利 用 半 角 公 式 及 两 角 差 的 余 弦 公 式 把 要 求 的 式 子 化 为 + sin （ cos30 cos+sin30 sin ） ， 即 1 +cos2+sin2 sin2，化简可得结果
32、 【解答】解：选择（2） ，计算如下： sin215+cos215sin15cos151sin30，故 这个常数为 （）根据（）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式 sin2+cos2（30 ）sincos（30） 证 明 ：（ 方 法 一 ） sin2+cos2（ 30 ） sincos （ 30 ） sin2+sin（cos30cos+sin30sin） sin2+cos2+sin2+sincossincossin2sin2+cos2 （方法二） sin2+cos2（30） sincos （30） + sin（cos30cos+sin30sin） 1+（cos60cos2+sin
33、60sin2）sin2sin2 1+cos2+sin2sin21+ 第 18 页（共 21 页） 【点评】本题主要考查两角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的应用，考查归纳推 理以及计算能力，属于中档题 19 （12 分） （1）已知 ab0，m0，用分析法证明：； （2）已知实数 a，b，c，d 满足 ac2（b+d） ，用反证法证明：方程 x2+ax+b0 与方程 x2+cx+d0 至少有一个方程有实根 【分析】 （1）根据分析法的步骤进行证明即可 （2） 利用反证法假设结论不成立， 利用一元二次方程根与判别式的关系进行推理即可 【解答】解： （1）要证明：成立， 由于 ab0，m0， 则
34、证明 b（a+m）a（b+m） ， 即证 ab+bmab+am 成立， 即 bmam 成立， 即 ba 成立即可， 由条件知 ba 成立，则成立 （2）反证法：假设结论不成立，即方程 x2+ax+b0 与方程 x2+cx+d0 都没有实根， 则判别式满足1a24b0，2c24d0， 则 a2+c24d4b0， 即 4d+4ba2+c2， 即 4d+4ba2+c22ac， 即 2（b+d）ac，与条件 ac2（b+d）矛盾， 即假设不成立，则原命题成立 【点评】本题主要考查不等式的证明，结合分析法和反证法的步骤是解决本题的关键 20 （12 分）如图，几何体 ABC 一 EFD 是由直三棱柱截得
35、的，EFAB，ABC90，AC 2AB2，CD2AE （1）求三棱锥 DBEC 的体积； （2）求证：CEDB 第 19 页（共 21 页） 【分析】 （）解：由题意可证，EF平面 BCD，再由， 运算求得结果 （）先利用线面垂直的性质证明 EFBD，再证 RtBCFRtCDB，从而得到 CF BD，再由直线和平面垂直的判定定理证明 BD平面 CEF，可得 BDCE 【解答】 （）解：由题意可证，EF平面 BCD， （）证明：连接 CF，依题意可得：ABBF，ABBC，而 BF 和 BC 是平面 BFD 内的 两条相交直线， 故有 AB平面 BFD 而 BD 在平面 BFD 内，故 ABBD
36、再由 EFAB 可得 EFBD 又在 RtBCF 和 RtCDB 中， ，RtBCFRtCDB， BDCBCF，BDC+DCFBCF+DCF90，CFBD 综上可得，BD 垂直于平面 CEF 内的两条相交直线，故有 BD平面 CEF 又 CE平面 CEF，所以 BDCE 【点评】本题主要考查求棱锥的体积的方法，直线和平面垂直的判定定理与性质定理的 应用，体现了转化的数学思想，属于中档题 21 （12 分）已知双曲线的一条渐近线方程为，点 在双曲线上，抛物线 y22px（p0）的焦点 F 与双曲线的右焦点重合 （）求双曲线和抛物线的标准方程； 第 20 页（共 21 页） （）过点 F 做互相垂
37、直的直线 l1，l2，设 l1与抛物线的交点为 A，B，l2与抛物线的交 点为 D，E，求|AB|+|DE|的最小值 【分析】 （）由双曲线的渐近线方程可得 a，b 的关系，点代入双曲线方程， 解得 a，b，可得双曲线方程；求得双曲线的焦点，可得 p，进而得到抛物线方程； （）由题意知，设直线 l1的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和抛 物线的定义，以及弦长公式，化简整理，结合基本不等式可得所求最小值 【解答】解： （）由题意可得，即， 所以双曲线方程为 x23y23b2， 将点（2，1）代入双曲线方程，可得 b23， 所以双曲线的标准方程为， c2a2+b212，所以， 所以抛物线的方程为
38、 （）由题意知，l1，l2与坐标轴不平行， 设直线 l1的方程为， ，整理可得， 0 恒成立， 因为直线 l1，l2互相垂直，可设直线 l2的方程为， 同理可得， 当且仅当 k1 时取等号，所以|AB|+|DE|的最小值为 【点评】本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联 立，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题 第 21 页（共 21 页） 22 （12 分）已知函数 f（x）axlnx 图象上在点（1，f（1） ）处的切线与直线 yx 垂 直 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）若对所有 x1 都有 f（x）mx+20，求实数 m 的取
39、值范围 【分析】 （1）求得函数的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为1， 即可得到 a，进而得到所求解析式； （2）由题意可得 2xlnxmx+20，即有 m2lnx+在 x1 恒成立，设 g（x）2lnx+， 求得导数和单调性、最小值，即可得到所求范围 【解答】解： （1）函数 f（x）axlnx 的导数为 f（x）a（1+lnx） ， 图象上在点（1，f（1） ）处的切线斜率为 a， 由切线与直线 yx 垂直，可得 a2， 即 f（x）2xlnx； （2）所有 x1 都有 f（x）mx+20， 即为 2xlnxmx+20， 即有 m2lnx+在 x1 恒成立， 设 g（x）2lnx+，g（x）， 由 x1 可得 g（x）0，g（x）递增， 可得 g（x）的最小值为 g（1）2， 则 m2，即 m 的取值范围是（，2 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、最值，考查不等式恒成立问题 解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查运算能力，属于中档题
