1、用反证法证明命题： “已知 a、bN+，如果 ab 可被 5 整除，那么 a、b 中至少有 一个能被 5 整除”时，假设的内容应为（ ） Aa、b 都能被 5 整除 Ba、b 都不能被 5 整除 Ca、b 不都能被 5 整除 Da 不能被 5 整除 2 （5 分）若复数 z 满足 iz2+4i，i 为虚数单位，则在复平面内 z 对应的点的坐标是（ ） A （4，2） B （4，2） C （2，4） D （2，4） 3 （5 分）曲线 yxex 1 在点（1，1）处切线的斜率等于（ ） A2e Be C2 D1 4（5 分） 设ABC 的三边长分别为 a、 b、 c， ABC 的面积为 S， 内
2、切圆半径为 r， 则， 类比这个结论可知：四面体 SABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4，内切球半径 为 R，四面体 SABC 的体积为 V，则 R（ ） A B C D 5 （5 分）在的展开式中，含项的系数为（ ） A60 B160 C60 D64 6 （5 分）高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选 择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（ ） A16 种 B18 种 C37 种 D48 种 7 （5 分）已知 i 为虚数单位，aR，若为纯虚数，则复数的模等于（ ） A B C D2 8 （5 分）停车场划出一排 9 个停车位置，今有
3、 5 辆不同的车需要停放，若要求剩余的 4 个 空车位连在一起，则不同的停车方法有（ ） A种 B种 C种 D种 第 2 页（共 19 页） 9 （5 分）已知曲线 y1x2，x 轴与 y 轴在第一象限所围成的图形面积为 S，曲线 y1 x2，曲线 y3x2与 y 轴所围成的图形面积为 S1，则的值为（ ） A B C D 10 （5 分）函数 f（x）+ax22x+1 在 x（1，2）内存在极值点，则（ ） A Ba或 a C Da或 a 11 （5 分）在二项式（+）n的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，把展开 式中所有的项重新排成一列，则有理项不相邻的概率为（ ） A B C D 1
4、2 （5 分）定义：如果函数 yf（x）在区间a，b上存在 x1，x2（ax1x2b） ，满足 f （x1），f（x2），则称函数 yf（x）在区间a，b上的 一个双中值函数，已知函数 f（x）x3x2是区间0，t上的双中值函数，则实数 t 的 取值范围是（ ） A （） B （） C （） D （1，） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）袋中有 3 个白球 2 个黑球共 5 个小球，现从袋中每次取一个小球，每个小球被 抽到的可能性均相同，不放回地抽取两次，则在第一次取到黑球的条件下，第二次仍取 到黑球的概率是
5、 14 （5 分）已知随机变量 X 服从正态分布 N（2，2） ，若 P（X0）0.16，则 P（2X 4） 第 3 页（共 19 页） 15 （ 5 分 ） 已 知 函 数， 当 x2 x1时 ， 不 等 式 恒成立，则实数 a 的取值范围为 16 （5 分）已知，则 f（x）的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知复数 za+bi（a，bR） ，且 a2（i1）a+4b+3i0 （）求复数 z； （）若是实数，求实数 m 的值 18 （12 分
6、）已知数列an的前 n 项和 Sn满足：且 an0，nN* （）计算 a1，a2，a3的值，并猜想an的通项公式； （）用数学归纳法证明an的通项公式 19 （12 分）设 f（x）a（x5）2+6lnx，其中 aR，曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处 的切线与 y 轴相交于点（0，6） （1）确定 a 的值； （2）求函数 f（x）的单调区间与极值 20 （12 分）某射手每次射击击中目标的概率均为，且各次射击的结果互不影响 （）假设这名射手射击 3 次，求至少 1 次击中目标的概率； （）假设这名射手射击 3 次，每次击中目标得 10 分，未击中目标得 0 分在 3 次射击 中，若有
7、 2 次连续击中目标，而另外 1 次未击中目标，则额外加 5 分；若 3 次全部击中， 则额外加 10 分 用随机变量 表示射手射击 3 次后的总得分， 求 的分布列和数学期望 21 （12 分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 30 元，并且每件产品须向总 公司缴纳 a 元（a 为常数，2a5）的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品 的售价为 x 元时，产品一年的销售量为（e 为自然对数的底数）万件，已知每件产品 的售价为 40 元时，该产品一年的销售量为 500 万件经物价部门核定每件产品的售价 x 最低不低于 35 元，最高不超过 41 元 （1）求分公司经营该产品一年的
8、利润 L（x）万元与每件产品的售价 x 元的函数关系式； （2）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润 L（x）最大，并求出 L（x）的 最大值 第 4 页（共 19 页） 参考公式： （cax+b）aeax+b（a、b 为常数） 22 （12 分）已知函数 f（x）ln（x1）k（x1）+1（kR） ， （）求函数 f（x）的单调区间； （）若 f（x）0 恒成立，试确定实数 k 的取值范围； （）证明：+（nN，n1） 第 5 页（共 19 页） 2018-2019 学年河南省郑州一中高二（下）期中数学试卷（理科）学年河南省郑州一中高二（下）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参
9、考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）用反证法证明命题： “已知 a、bN+，如果 ab 可被 5 整除，那么 a、b 中至少有 一个能被 5 整除”时，假设的内容应为（ ） Aa、b 都能被 5 整除 Ba、b 都不能被 5 整除 Ca、b 不都能被 5 整除 Da 不能被 5 整除 【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立， 由此得出此命题是成立的 【解答】解
10、：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其 否定成立进行推证 命题“a，bN，如果 ab 可被 5 整除，那么 a，b 至少有 1 个能被 5 整除 ”的否定是“a， b 都不能被 5 整除” 故选：B 【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明 问题的技巧 2 （5 分）若复数 z 满足 iz2+4i，i 为虚数单位，则在复平面内 z 对应的点的坐标是（ ） A （4，2） B （4，2） C （2，4） D （2，4） 【分析】由题意可得 z，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为 42i，从 而求得 z 对应的点的坐标 【解答】解
11、：复数 z 满足 iz2+4i，则有 z42i， 故在复平面内，z 对应的点的坐标是（4，2） ， 故选：B 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，复数与 复平面内对应点之间的关系，属于基础题 3 （5 分）曲线 yxex 1 在点（1，1）处切线的斜率等于（ ） A2e Be C2 D1 第 6 页（共 19 页） 【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率 【解答】解：函数的导数为 f（x）ex 1+xex1（1+x）ex1， 当 x1 时，f（1）2， 即曲线 yxex 1 在点（1，1）处切线的斜率 kf（1）2， 故选：C 【点
12、评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基 础 4（5 分） 设ABC 的三边长分别为 a、 b、 c， ABC 的面积为 S， 内切圆半径为 r， 则， 类比这个结论可知：四面体 SABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4，内切球半径 为 R，四面体 SABC 的体积为 V，则 R（ ） A B C D 【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平 面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积 的方法类比求四面体的体积即可 【解答】解：设四面体的内切球的球心为 O， 则球心 O 到四个
13、面的距离都是 R， 所以四面体的体积等于以 O 为顶点， 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和 则四面体的体积为 R 故选：C 【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比 第 7 页（共 19 页） 迁移到另一类数学对象上去一般步骤：找出两类事物之间的相似性或者一致性 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想） 5 （5 分）在的展开式中，含项的系数为（ ） A60 B160 C60 D64 【分析】 写出二项展开式的通项， 然后取 x 的指数为1 求得 r 值， 则含项的系数可求 【解答】解：， 由 3r1，可得 r4 含项的
14、系数为60 故选：C 【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题 6 （5 分）高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选 择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（ ） A16 种 B18 种 C37 种 D48 种 【分析】根据题意，用间接法：先计算 3 个班自由选择去何工厂的总数，再排除甲工厂 无人去的情况，由分步计数原理可得其方案数目，由事件之间的关系，计算可得答案 【解答】解：根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有 4 种选择，共有 44464 种情况， 其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有
15、 3 种选择， 共有 33327 种方案； 则符合条件的有 642737 种， 故选：C 【点评】本题考查计数原理的运用，本题易错的方法是：甲工厂先派一个班去，有 3 种 选派方法，剩下的 2 个班均有 4 种选择，这样共有 34448 种方案；显然这种方法 中有重复的计算；解题时特别要注意 7 （5 分）已知 i 为虚数单位，aR，若为纯虚数，则复数的模等于（ ） A B C D2 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a，然后利 用复数模的计算公式求解 第 8 页（共 19 页） 【解答】解：为纯虚数， ，即 a ， 则|z| 故选：D 【点评】本题
16、考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的请求法， 是基础题 8 （5 分）停车场划出一排 9 个停车位置，今有 5 辆不同的车需要停放，若要求剩余的 4 个 空车位连在一起，则不同的停车方法有（ ） A种 B种 C种 D种 【分析】有 6 辆汽车需要停放，若要使 4 个空位连在一起则可以把 4 个空车位看成是一 个元素，这个元素与另外 5 辆车共有 6 个元素进行全排列，写出排列数，得到结果 【解答】解：由题意知有 5 辆汽车需要停放，若要使 4 个空位连在一起 则可以把 4 个空车位看成是一个元素， 这个元素与另外 5 辆车共有 6 个元素进行全排列，共有 A66种结果， 故
17、选：D 【点评】本题考查排列组合的实际应用，解题的关键是四个相连的车位看做一个元素， 再同其他的车进行全排列，车是有区别的 9 （5 分）已知曲线 y1x2，x 轴与 y 轴在第一象限所围成的图形面积为 S，曲线 y1 x2，曲线 y3x2与 y 轴所围成的图形面积为 S1，则的值为（ ） 第 9 页（共 19 页） A B C D 【分析】计算出两曲线的交点坐标，对 x 积分即可 【解答】 解：由 y1x2 ，及 y3x2 ，联立得交点坐标为（，） 故阴影面积为（x）| 故选：A 【点评】本题考查了定积分的计算，属于基础题 10 （5 分）函数 f（x）+ax22x+1 在 x（1，2）内存
18、在极值点，则（ ） A Ba或 a C Da或 a 【分析】求出函数的导数，问题转化为 a+，求出函数 y+在（1，2）的 值域，从而求出 a 的范围即可 【解答】解：由题意得：f（x）x2+2ax2 在（1，2）内存在变号零点， 分离参数 a+， y+在（1，2）内连续且单调递减， 值域是（，） ， 故 ya 和 y+有变号交点的范围是（，） ， 故选：C 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题 第 10 页（共 19 页） 11 （5 分）在二项式（+）n的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，把展开 式中所有的项重新排成一列，则有理项不相邻的概率为（
19、 ） A B C D 【分析】由二项式系数的性质得到 n 的值，由通项公式可得展开式中的有理项的个数， 求出 9 项的全排列数，由插空排列求出有理项都互不相邻的排列数，最后由古典概型概 率计算公式得答案 【解答】解：二项式（+）n的展开式中，只有第五项的二项式系数最大， 二项式的二项展开式共有 9 项，则 n8 其通项为 Tk+1 （）8 k （ ）k， 当 r0，4，8 时，项为有理项 展开式的 9 项全排列共有 种， 有理项互不相邻可把 6 个无理项全排， 把 3 个有理项在形成的 7 个空中插孔即可， 有 种 有理项都互不相邻的概率为 故选：D 【点评】本题考查排列组合及简单计数问题以及
20、二项式系数的性质，训练了利用古典概 型概率计算公式求概率，本题解题的关键是对于要求相邻的元素要采用捆绑法，对于不 相邻的元素要采用插空法，属于中档题 12 （5 分）定义：如果函数 yf（x）在区间a，b上存在 x1，x2（ax1x2b） ，满足 f （x1），f（x2），则称函数 yf（x）在区间a，b上的 一个双中值函数，已知函数 f（x）x3x2是区间0，t上的双中值函数，则实数 t 的 取值范围是（ ） A （） B （） C （） D （1，） 第 11 页（共 19 页） 【分析】 根据题目给出的定义得到 f （x1） f （x2） ， 即方程 3x2x t2t 在区间0，t有两个
21、解，利用二次函数的性质能求出 a 的取值范围 【解答】解：函数 f（x）x3x2， 函数 f（x）x3x2是区间0，t上的双中值函数， 区间0，t上存在 x1，x2（0x1x2t） ， 满足 f（x1）f（x2），即方程 3x2xt2t 在区间0，t有两 个解， 令 g（x）， 对称轴 x0， 则， 解得 实数 t 的取值范围是（） 故选：A 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质及应用等基础知识，考查推 理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 1
22、3 （5 分）袋中有 3 个白球 2 个黑球共 5 个小球，现从袋中每次取一个小球，每个小球被 抽到的可能性均相同，不放回地抽取两次，则在第一次取到黑球的条件下，第二次仍取 到黑球的概率是 【分析】本题考查了条件概率，利用条件概率的求概率公式计算即可 【解答】解：法设事件 A 表示第一次出现黑球，事件 B 表示第二次出现黑球， 则在第一次取到黑球的条件下， 第二次仍取到黑球的概率是P （B|A） 第 12 页（共 19 页） 法事件 A 发生，则取出了一个黑球，还剩 1 个黑球 3 个白球，此时事件 B 发生的概率 为 故填： 【点评】本题考查了条件概率，可以用条件概率公式求，也可以缩小基本事
23、件空间来求， 属于基础题 14 （5 分）已知随机变量 X 服从正态分布 N（2，2） ，若 P（X0）0.16，则 P（2X 4） 0.34 【分析】根据随机变量 X 服从正态分布 N（2，2） ，以及正态分布的对称性，可得 【解答】解：随机变量 X 服从正态分布 N（2，2） ，故 P（X0）P（X4）0.16， 所以 P（2X4）0.34 故填：0.34 【点评】本题考查了正态分布的对称性，属于基础题 15 （ 5 分 ） 已 知 函 数， 当 x2 x1时 ， 不 等 式 恒成立，则实数 a 的取值范围为 （，e 【分析】函数，可得 g（x）xf（x）exax2x （0，+）时，当 x
24、2x1时，不等式恒成立x（0，+）时， 当 x2x1时，不等式 x1f（x1）x2f（x2）g（x）在 x（0，+）上单调递增利用导 数研究其单调性即可得出 【解答】解：函数，可得 g（x）xf（x）exax2 x（0，+）时，当 x2x1时，不等式恒成立x（0，+）时， 当 x2x1时，不等式 x1f（x1）x2f（x2）g（x）在 x（0，+）上单调递增 g（x）exax0，可得 a，x（0，+） 第 13 页（共 19 页） 令 h（x），x（0，+） h（x），可得 x1 时，函数 h（x）取得极小值即最小值 ah（1）e 实数 a 的取值范围为（，e 故答案为： （，e 【点评】本题
25、考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分 类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 16 （5 分）已知，则 f（x）的最小值为 【分析】由三角恒等变换得：f（x）sinx+sin2xsinx（1+cosx）4sincos3，由四 项均值不等式得：|4sincos3|4 ，即4sincos3，所以sinx+sin2x得解 【解答】解：f（x）sinx+sin2xsinx（1+cosx）4sincos3， 又|4sincos3|4， 即4sincos3， 所以sinx+sin2x， 故答案为： 【点评】本题考查了三角恒等变换及四项均值不等式，属中档题 三、解答题：
26、本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知复数 za+bi（a，bR） ，且 a2（i1）a+4b+3i0 （）求复数 z； （）若是实数，求实数 m 的值 【分析】 （）化 a2（i1）a+4b+3i0 为复数的代数形式，再由实部与虚部均为 0 求 得 m 值； 第 14 页（共 19 页） （）把（）中求得的 z 代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为 0 求得 m 值 【解答】解： （）由 a2（i1）a+4b+3i0，得（a2+a+4b）+（a+3）i0，
27、 则解之得 a3，b3 z33i； （）由（）得，33i+33i+， 是实数，即 m18 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数相等的条 件，是基础题 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn满足：且 an0，nN* （）计算 a1，a2，a3的值，并猜想an的通项公式； （）用数学归纳法证明an的通项公式 【分析】 （）通过当 n1 时，当 n2 时，当 n3 时，求出数列的前 3 项，然后猜想 （）直接利用数学归纳法的证明步骤，证明求解即可 【解答】解： （）当 n1 时，解得，又 an0， 当 n2 时，解得，又 an0，a2 当 n3 时，解得，
28、又 an0， 猜想（4 分） （）证明：1当 n1 时，由（）可知 a1成立 2假设 nk（kN*）时，成立， ， ， 第 15 页（共 19 页） ak+10， 所以当 nk+1 时猜想也成立 综上可知，猜想对一切 nN*都成立（12 分） 【点评】本题考查数学归纳法的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力 19 （12 分）设 f（x）a（x5）2+6lnx，其中 aR，曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处 的切线与 y 轴相交于点（0，6） （1）确定 a 的值； （2）求函数 f（x）的单调区间与极值 【分析】 （1）先由所给函数的表达式，求导数 f（x） ，再根据导数的几何意义
29、求出切线 的斜率，最后由曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线与 y 轴相交于点（0，6）列出 方程求 a 的值即可； （2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判 断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出 极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值 【解答】解： （1）因 f（x）a（x5）2+6lnx，故 f（x）2a（x5）+， （x0） ， 令 x1，得 f（1）16a，f（1）68a， 曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y16a（68a） （x1） ， 由切线与 y 轴相交于点
30、（0，6） 616a8a6， a （2）由（1）得 f（x）（x5）2+6lnx， （x0） ， f（x）（x5）+，令 f（x）0，得 x2 或 x3， 当 0x2 或 x3 时，f（x）0，故 f（x）在（0，2） ， （3，+）上为增函数， 当 2x3 时，f（x）0，故 f（x）在（2，3）上为减函数， 故 f（x）在 x2 时取得极大值 f（2）+6ln2， 在 x3 时取得极小值 f（3）2+6ln3 第 16 页（共 19 页） 【点评】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调 性、函数的极值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、
31、化 归与转化思想属于中档题 20 （12 分）某射手每次射击击中目标的概率均为，且各次射击的结果互不影响 （）假设这名射手射击 3 次，求至少 1 次击中目标的概率； （）假设这名射手射击 3 次，每次击中目标得 10 分，未击中目标得 0 分在 3 次射击 中，若有 2 次连续击中目标，而另外 1 次未击中目标，则额外加 5 分；若 3 次全部击中， 则额外加 10 分 用随机变量 表示射手射击 3 次后的总得分， 求 的分布列和数学期望 【分析】 （）设 X 为射手 3 次射击击中目标的总次数，则 XB（3，） 计算 P（X 1）即可 （）随机变量 的所有取值为 0，10，20，25，40
32、，然后计算出各变量对应的概率，即 可列出分布列，求期望 【解答】解： （）设 X 为射手 3 次射击击中目标的总次数，则 XB（3，） 故 P（X1）1P（X0）1，所以所求概率为 （4 分） （）由题意可知， 的所有可能取值为 0，10，20，25，40， 用 Ai（i1，2，3）表示事件“第 i 次击中目标” ， 则 P（0）P（X0），P（10）P（X1） ， ，P （40）P（X3） 故 的分布列是： 0 10 20 25 40 P （12 分） 【点评】本题考查了二项分布，离散型随机变量的概率分布列，属于中档题 第 17 页（共 19 页） 21 （12 分）某分公司经销某种品牌产品
33、，每件产品的成本为 30 元，并且每件产品须向总 公司缴纳 a 元（a 为常数，2a5）的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品 的售价为 x 元时，产品一年的销售量为（e 为自然对数的底数）万件，已知每件产品 的售价为 40 元时，该产品一年的销售量为 500 万件经物价部门核定每件产品的售价 x 最低不低于 35 元，最高不超过 41 元 （1）求分公司经营该产品一年的利润 L（x）万元与每件产品的售价 x 元的函数关系式； （2）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润 L（x）最大，并求出 L（x）的 最大值 参考公式： （cax+b）aeax+b（a、b 为常数） 【分析】
34、（1）由每件产品的售价为 40 元时，该产品一年的销售量为 500 万件，代入可得 k 值，进而根据利润单件利润销售量得到该产品一年的利润 L（x）万元与每件产品 的售价 x 元的函数关系式； （2）由（1）中所得函数的解析式，求导后分析函数的单调性，进而分析出该产品一年 的利润 L（x）的最大值 【解答】解： （1）由题意，该产品一年的销售量为 y 将 x40，y500 代入得 k500e40 故该产品一年的销售量为 y500e40 x2 分 故 L（x）（x30a）y500（x30a）e40 x（35x41）4 分 （2）由（1）得，L（x）500e40 x（x30a）e40x500e40
35、x（31+ax） ， （35 x41）5 分 当 2a4 时，L（x）500e40 x（31+435）0，当且仅当 a4，x35 时取等 号 故 L（x）在35，41上单调递减 故 L（x）的最大值为 L（35）500（5a）e58 分 当 4a5 时，L（x）035x31+a， L（x）031+ax41 故 L（x）在35，31+a上单调递增，在31+a，41上单调递减 故 L（x）的最大值为 L（31+a）500e9 a8 分 综上所述，当 2a4 时，每件产品的售价为 35 元时，该产品一年的利润最大，最大利 第 18 页（共 19 页） 润为 500（5a）e5万元；当 4a5 时，每
36、件产品的售价为（31+a）元时，该产品一 年的利润最大，最大利润为 500e9 a 万元； 【点评】 本题考查的知识点是函数模型的选择与应用， 其中求出函数的解析式是解答 （1） 的关键，利用导数法分析函数的单调性是解答（2）的关键 22 （12 分）已知函数 f（x）ln（x1）k（x1）+1（kR） ， （）求函数 f（x）的单调区间； （）若 f（x）0 恒成立，试确定实数 k 的取值范围； （）证明：+（nN，n1） 【分析】 （） 先求导，再分类讨论，根据导数即可得出函数的单调区间 （）利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，使最大值小于等于 0，可求出 k 的取值范围； （）由
37、（1）可知，若 k1，当 x（1，+）时有 f（x）0，由此得到 lnxx2（x 1） ，依次取 x 的值为 2，3，n，累加后利用放缩法可证不等式成立 【解答】解： （）f（x）ln（x1）k（x1）+1， （x1） f（x）k， 当 k0 时，f（x）0 恒成立，故函数在（1，+）为增函数， 当 k0 时，令 f（x）0，得 x 当 f（x）0，即 1x时，函数为增函数， 当 f（x）0，即 x时，函数为减函数， 综上所述，当 k0 时，函数 f（x）在（1，+）为增函数， 当 k0 时，函数 f（x）在（1，）为增函数，在（，+）为减函数 （）由（）知，当 k0 时，f（x）0 函数 f（x）在定义域内单调递增，f（x） 0 不恒成立， 当 k0 时，函数 f（x）在（1，）为增函数，在（，+）为减函数 当 x时，f（x）取最大值，f（）ln0 k1， 即实数 k 的取值范围为1，+） 第 19 页（共 19 页） （）由（）知 k1 时，f（x）0 恒成立，即 ln（x1）x2 1， 取 x3，4，5n，n+1 累加得， +， （nN，n1） 【点评】本题考查利用导数求函数的极值，函数的恒成立问题，不等式的证明，体现了 分类讨论的数学思想，不等式的放缩，是解题的难点
