1、下列说法错误的是（ ） A在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法 B在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好 C线性回归方程对应的直线 x+ 至少经过其样本数据点中的一个点 D在回归分析中，相关指数 R2越大，模拟的效果越好 2 （5 分）已知正方形的对角线相等，矩形的对角线相等，正方形是矩形由、 、组合成“三段论” ，根据“三段论”推出一个结论，则此结论是（ ） A正方形的对角线相等 B平行四边形的对角线相等 C正方形是平行四边形 D以上均不正确 3 （5 分）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60”时，反设正确的是 （ ） A假
2、设三内角都不大于 60 B假设三内角都大于 60 C假设三内角至多有一个大于 60 D假设三内角至多有两个小于 60 4 （5 分）下列推理是归纳推理的是（ ） AA，B 为定点，动点 P 满足|PA|+|PB|2a|AB|，则 P 点的轨迹为椭圆 B由 a11，an3n1，求出 S1，S2，S3，猜想出数列的前 n 项和 Sn的表达式 C由圆 x2+y2r2的面积 r2，猜想出椭圆+1 的面积 Sab D以上均不正确 5 （5 分）为考察 A、B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条 形图： 第 2 页（共 22 页） 根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ）
3、 A药物 A、B 对该疾病均没有预防效果 B药物 A、B 对该疾病均有显著的预防效果 C药物 A 的预防效果优于药物 B 的预防效果 D药物 B 的预防效果优于药物 A 的预防效果 6 （5 分）实数 m 满足集合 M1，2， （m23m1）+（m25m6）i，N1，3， 且 MN3，则实数 m 的值是（ ） A4 B1 C1 或 4 D1 或 6 7 （5 分）非零复数 z1、z2分别对应复平面内的向量、，若|z1+z2|z1z2|，则（ ） A B C D和共线 8 （5 分）已知命题 p：xR，使 sinx；命题 q：xR，都有 x2+x+10，给出下列 结论： 命题“pq”是真命题；
4、命题“p（q） ”是假命题； 命题“ （p）q”是真命题； 命题“ （p）（q） ”是假命题 其中正确的是（ ） A B C D 9（5 分） 已知2，3，4，5， 10，则推测 a+b（ ） A1033 B109 C199 D29 第 3 页（共 22 页） 10 （5 分）下列选项中不正确的是（ ） AABC 中，AB，则 sinAsinB 的逆否命题为真命题 B若 am2bm2，则 ab 的逆命题为真命题 C若 p：x2 或 y6，q：x+y8，则 q 是 p 充分不必要条件 D若 p：xR，cosx1，则p：xR，cosx1 11 （5 分）在平面几何里，有勾股定理： “设ABC 的两
5、边 AB，AC 互相垂直，则|AB|2+|AC|2 |BC|2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理， “设三棱锥 ABCD 的三个侧面 ABC、 ACD、ADB 两两相互垂直，则可得” （ ） A|AB|2+|AC|2+|AD|2|BC|2+|CD|2+|BD|2 BS2ABCS2ACDS2ADBS2BCD CSABC2+SACD2+SADB2SBCD2 D|AB|2|AC|2|AD|2|BC|2|CD|2|BD|2 12 （5 分）已知函数 f（x）x2，若x11，3，x20，2，使得 f （x1）g（x2） ，则实数 m 的取值范围是（ ） A B （，8 C D （，8 二、填空题：本大
6、题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）如图所示，执行图中的程序框图，输出的 S 值是 14 （5 分）下列四个命题中，正确命题的个数是 0 比 i 小 两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数 第 4 页（共 22 页） x+yi1+i 的充要条件为 xy1 如果实数 a 与 ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应 15（5 分） 已知， 经计算 f （4） 2， f （16） 3， 则根据以上式子得到第 n 个式子为 16 （5 分）若 x1，x2R，且，则|x1+x2|的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 2
7、 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （12 分）集合 Ax|（xa） （x3a）0，a0，Bx|x2t 2，2t3 （1）若 a1，求 A（RB） ； （2）已知命题 p：xA，命题 q：xB，若命题 q 是命题 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 18 （12 分）设实部为正数的复数 z，满足|z|，且复数（1+2i）z 在复平面上对应的点 在第一、三象限的角平分线上 （1）求复数 z； （2）若 +（mR）为纯虚数，求实数 m 的值 19 （12 分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班 50
8、 人进行了问卷调查得 到了如下的列联表： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 5 女生 10 合计 50 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 （1）请将上面的列联表补充完整； （2）是否有 99%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关”？说明你的理由 参考公式：独立性检测中，随机变量， 其中 na+b+c+d 为样本容量 P（ K2k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 第 5 页（共 22 页） k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20 （12 分）某公司近年来特别注重创新产品的研发，为了
9、研究年研发经费 x（单位：万元） 对年创新产品销售额 y（单位：十万元）的影响，对近 10 年的研发经费 xi与年创新产品 销售额 yi（i1，2，10）的数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的 值 其 中， 现拟定 y 关于 x 的回归方程为 （1）求 ， 的值（结果精确到 0.1） ； （2）根据拟定的回归方程，预测当研发经费为 13 万元时，年创新产品销售额是多少？ 附：对于一组数据（u1，v1） ， （u2，v2） ， （un，vn） ，其回归直线 v+u 的斜率和 截距的最小二乘估计分别为， 21 （12 分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图、为她们刺绣最简单 的四个图
10、案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规 律刺绣（小正方形的摆放规律相同） ，设第 n 个图形包含 f（n）个小正方形 （1）求出 f（5） ； （2）归纳出 f（n+1）与 f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求 f（n）的表达式； 第 6 页（共 22 页） （3）求证： 请考生在第请考生在第 22 题，题，23 题中任选一题作答，在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所题中任选一题作答，在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所 选的第一题计分选的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）以平面直角坐标系原点 O
11、为极点，以 x 轴非负半轴为极轴，以平面直角坐标系 的长度单位为长度单位建立极坐标系已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 曲线 C 的极坐标方程为 sin24cos （） 求曲线 C 的直角坐标方程； （） 设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|AB| 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|x+1|+|x2|，g（x）|x3|+|x2| （1）求函数 f（x）的最小值； （2）若对任意的 xR，不等式 g（a）f（x）恒成立，求实数 a 的取值范围 第 7 页（共 22 页） 2018-2019 学年河南省郑州一中高二（下学年河南省郑州一中高二（下
12、）期中数学试卷（文科）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）下列说法错误的是（ ） A在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法 B在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好 C线性回归方程对应的直线 x+ 至少经过其样本数据点中的一个点 D在回归分析中，相关指数 R2越大，模拟的效果越好 【分析】根据统计分析的
13、观点，对选项中的命题进行分析、判断即可 【解答】解：对于 A，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统 计方法，正确； 对于 B，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，正确； 对于 C，线性回归方程对应的直线 x+ 过样本中心点，不一定过样本数据中的点， 故 C 错误； 对于 D，回归分析中，相关指数 R2越大，其模拟的效果就越好，正确 故选：C 【点评】本题考查了回归分析语独立性检验和相关系数的应用问题，是基础题目 2 （5 分）已知正方形的对角线相等，矩形的对角线相等，正方形是矩形由、 、组合成“三段论” ，根据“三段论”推出一个结论，则此结论是（ ）
14、 A正方形的对角线相等 B平行四边形的对角线相等 C正方形是平行四边形 D以上均不正确 【分析】三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结 论的演绎推理在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“平行四边形的对 角线相等” ；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“正方形是矩形”叫不前提另外一 个是结论 第 8 页（共 22 页） 【解答】解：由演绎推理三段论可得 “三段论”推理出一个结论，则这个结论是： “正方形的对角线相等” ， 故选：A 【点评】三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理它包含两个性质判断构成的前 提，和一个性质判断构成的结论一个正确的三段论有仅有
15、三个词项，其中联系大小前 提的词项叫中项；出现在大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项；出现在小前提中， 又在结论中做主项的词项叫小项 3 （5 分）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60”时，反设正确的是 （ ） A假设三内角都不大于 60 B假设三内角都大于 60 C假设三内角至多有一个大于 60 D假设三内角至多有两个小于 60 【分析】根据命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于 60”的否定是：三角形的 三个内角都大于 60，由此得到答案 【解答】证明：用反证法证明命题： “三角形的内角中至少有一个内角不大于 60”时， 应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至
16、少有一个内角不大于 60”的否定 是：三角形的三个内角都大于 60， 故选：B 【点评】本题主要考查求一个命题的否定，用反证法证明数学命题，把要证的结论进行 否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题 4 （5 分）下列推理是归纳推理的是（ ） AA，B 为定点，动点 P 满足|PA|+|PB|2a|AB|，则 P 点的轨迹为椭圆 B由 a11，an3n1，求出 S1，S2，S3，猜想出数列的前 n 项和 Sn的表达式 C由圆 x2+y2r2的面积 r2，猜想出椭圆+1 的面积 Sab D以上均不正确 【分析】本题考查的是选归纳推理的定义，判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看 他
17、是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程 【解答】解：A 选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求 第 9 页（共 22 页） B 选项根据前 3 个 S1，S2，S3的值，猜想出 Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求 C 选项由圆 x2+y2r2的面积 Sr2，猜想出椭圆+1 的面积 Sab，用的是类 比推理，不符合要求 故选：B 【点评】判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是 否是由特殊到一般的推理过程 判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特 殊到与它类似的另一个特殊的推理过程 判断一个推理过程是否是演绎推理
18、关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过 程中找出“三段论”的三个组成部分 5 （5 分）为考察 A、B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条 形图： 根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ） A药物 A、B 对该疾病均没有预防效果 B药物 A、B 对该疾病均有显著的预防效果 C药物 A 的预防效果优于药物 B 的预防效果 D药物 B 的预防效果优于药物 A 的预防效果 【分析】根据两个表中的等高条形图看药物 A 的预防效果优于药物 B 的预防效果 【解答】解：根据两个表中的等高条形图知， 药物 A 实验显示不服药与服药时患病的差异较药物 B 实验显示明显
19、大， 药物 A 的预防效果优于药物 B 的预防效果 第 10 页（共 22 页） 故选：C 【点评】本题考查了等高条形图的应用问题，是基础题 6 （5 分）实数 m 满足集合 M1，2， （m23m1）+（m25m6）i，N1，3， 且 MN3，则实数 m 的值是（ ） A4 B1 C1 或 4 D1 或 6 【分析】利用交集定义和复数概念求解 【解答】解：集合 M1，2， （m23m1）+（m25m6）i， N1，3，且 MN3， ， 解得 m1 故选：B 【点评】本题考查实数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意得复数的概念和交 集定义的灵活运用 7 （5 分）非零复数 z1、z2分别对
20、应复平面内的向量、，若|z1+z2|z1z2|，则（ ） A B C D和共线 【分析】 由题意可得， 再由|z1+z2|z1z2|， 得到， 由，可知三边长 OACB 为平行四边形，从而得到四边形 OACB 为矩形，有 【解答】解：在四边形 OACB 内， 非零复数 z1、z2分别对应复平面内的向量、， 则由复数加法的几何意义可知， |z1+z2|对应，|z1z2|对应， 则， 由，可知三边长 OACB 为平行四边形， 则四边形 OACB 为矩形 第 11 页（共 22 页） 故选：A 【点评】本题考查复数的模的求法，考查复数对应向量加减法的几何意义，是中档题 8 （5 分）已知命题 p：x
21、R，使 sinx；命题 q：xR，都有 x2+x+10，给出下列 结论： 命题“pq”是真命题； 命题“p（q） ”是假命题； 命题“ （p）q”是真命题； 命题“ （p）（q） ”是假命题 其中正确的是（ ） A B C D 【分析】先判断命题 p，q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可 【解答】解：|sinx|1，：xR，使 sinx错误，即命题 p 是假命题， 判别式1430，xR，都有 x2+x+10 恒成立，即命题 q 是真命题， 则命题“pq”是假命题；故错误， 命题“p（q） ”是假命题；故正确， 命题“ （p）q”是真命题；故正确， 命题“ （p）（q） ”是真命题故错误
22、， 故选：B 【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件先判断命题 p，q 的真假是解 决本题的关键 9（5 分） 已知2，3，4，5， 10，则推测 a+b（ ） A1033 B109 C199 D29 【分析】根据题意，分析所给的等式，可归纳出等式， （n2 且 n 是正整数） ，将 n10 代入可得答案 第 12 页（共 22 页） 【解答】 解： 由给出的几个等式可以推测：， （n2 且 n 是正整数） ， 在，b102199，于是 a+b109 故选：B 【点评】本题考查归纳推理，关键是根据题意所给的等式，发现其中的共同点 10 （5 分）下列选项中不正确的是（ ） AAB
23、C 中，AB，则 sinAsinB 的逆否命题为真命题 B若 am2bm2，则 ab 的逆命题为真命题 C若 p：x2 或 y6，q：x+y8，则 q 是 p 充分不必要条件 D若 p：xR，cosx1，则p：xR，cosx1 【分析】运用四种命题之间的关系判断真假即可 【解答】解：根据题意知， A 为真命题故逆否命题为真命题； B 中命题为若 ab，则 am2bm2，m0 时不合题意； Cp 不能得 q，由 q 可得 p，正确； D 由命题的否定知 D 正确 故选：B 【点评】本题考查四种命题之间的关系及命题真假的判断 11 （5 分）在平面几何里，有勾股定理： “设ABC 的两边 AB，A
24、C 互相垂直，则|AB|2+|AC|2 |BC|2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理， “设三棱锥 ABCD 的三个侧面 ABC、 ACD、ADB 两两相互垂直，则可得” （ ） A|AB|2+|AC|2+|AD|2|BC|2+|CD|2+|BD|2 BS2ABCS2ACDS2ADBS2BCD CSABC2+SACD2+SADB2SBCD2 D|AB|2|AC|2|AD|2|BC|2|CD|2|BD|2 【分析】斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于 三个直角面的面积的平方和，边对应着面 【解答】解：由边对应着面， 边长对应着面积， 第 13 页（共 22 页）
25、 由类比可得： SBCD2SABC2+SACD2+SADB2 故选：C 【点评】本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理 12 （5 分）已知函数 f（x）x2，若x11，3，x20，2，使得 f （x1）g（x2） ，则实数 m 的取值范围是（ ） A B （，8 C D （，8 【分析】由题只要 f（x）在1，2上的最小值大于 g（x）在0，2上的最小值即可求解 【解答】解：由题意可知，f（x）x20，9， x11，3，x20，2，使得 f（x1）g（x2） ， f（x）maxg（x）max， g（x）在0，2上单调递减，故 g（x）maxg（0）1m 91m 则实数 m 的取值范围
26、m8 故选：B 【点评】不等式的恒成立问题常转化为求解函数的最值，注意解题中的量词的区别 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）如图所示，执行图中的程序框图，输出的 S 值是 19 第 14 页（共 22 页） 【分析】根据程序框图进行模拟计算即可 【解答】解：A1，A2 是，S1+910，AA+12， A2，A2 是，S10+919，AA+13， A3，A2 否，输出 S19， 故答案为：19 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是 解决本题的关键 14 （5 分）下列四个命题中，正确命题的个
27、数是 0 0 比 i 小 两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数 x+yi1+i 的充要条件为 xy1 如果实数 a 与 ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应 【分析】运用复数的有关概念可解决此问题 【解答】解：根据题意知：复数不能比较大小，故错； 由共轭复数的概念知实部相等，虚部互为相反数，两个复数和为实数不一定互为共轭复 数故错误； 不知 x，y 的范围故错误； 由纯虚数的定义知 a0，故错误； 正确命题个数为 0 故答案为 0 【点评】本题考查复数的有关概念 15（5 分） 已知， 经计算 f （4） 2， f （16） 3， 第 15 页（共 22 页） 则根据以上式子得到第 n
28、 个式子为 【分析】我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到 答案 【解答】解：观察已知中等式： f（4）f（22）2， f（8）f（23）， f（16）f（24）3， f（32）f（25）， 则 f（2n+1）（nN*） 故答案为：f（2n+1）（nN*） 【点评】归纳推理的一般步骤是： （1）通过观察个别情况发现某些相同性质； （2）从已 知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想） 16 （5 分）若 x1，x2R，且，则|x1+x2|的最小值为 【分析】根据方程结合三角函数的有界性得到 sinx11，sin2x21，求出对应根的表 达式，进行求解即可
29、【解答】解： （2+sinx1） （2+sin2x2）1， 1sinx1，12+sinx2， 2+sinx11 且 2+sin2x21， 即 sinx11，sin2x21， 则 x1+2k，2x2+2m，即 x2+m，k，mZ， 则 x1+x2+2k+m， 则|x1+x2|+（2k+m）|， 则当 2k+m2 时，|x1+x2|取得最小值，最小为|2|， 故答案为： 第 16 页（共 22 页） 【点评】本题主要考查三角函数最值的应用，结合三角函数的有界性求出方程的根是解 决本题的关键 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 2 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步
30、骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （12 分）集合 Ax|（xa） （x3a）0，a0，Bx|x2t 2，2t3 （1）若 a1，求 A（RB） ； （2）已知命题 p：xA，命题 q：xB，若命题 q 是命题 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）a1 时，A（1，3） ，B（1，2） ，可得RB（，12，+） 即 可得出 A（RB） （2）由 a0，可得 A（a，3a） ，B（1，2） 根据 q 是 p 的充分不必要条件，即可得 出 BA 【解答】解： （1）a1 时，A（1，3） ，B（1，2） ，RB（，12，+） A（RB）2，3） （2）a0
31、，A（a，3a） ，B（1，2） q 是 p 的充分不必要条件，BA 由 BA 得，解得， 又 a1 及符合题意 【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题 18 （12 分）设实部为正数的复数 z，满足|z|，且复数（1+2i）z 在复平面上对应的点 在第一、三象限的角平分线上 （1）求复数 z； （2）若 +（mR）为纯虚数，求实数 m 的值 【分析】 （1）设 Za+bi（a，bR 且 a0） ，由条件可得 a2+b210，a3b由 联立的方程组得 a、b 的值，即可得到 z 的值 第 17 页（共 22 页） （2）根据若
32、+（mR）为纯虚数，可得，由此求得 m 的值 【解答】解： （1）设 Za+bi（a，bR 且 a0） ，由得：a2+b210 又复数（1+2i）z（a2b）+（2a+b）i 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分 线上， 则 a2b2a+b，即 a3b 由联立的方程组得 a3，b1；或 a3，b1 a0，a3，b1，则 Z3i （2） 为纯虚数， 解得 m5 【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数 单位 i 的幂运算性质，属于基础题 19 （12 分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班 50 人进行了问卷调查得 到了如下的列联表： 喜爱打篮
33、球 不喜爱打篮球 合计 男生 5 女生 10 合计 50 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 （1）请将上面的列联表补充完整； （2）是否有 99%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关”？说明你的理由 参考公式：独立性检测中，随机变量， 其中 na+b+c+d 为样本容量 P（ K2k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 第 18 页（共 22 页） 【分析】 （1）根据题意计算表中数据，补充完整列联表； （2）根据列联表计算观测值，对照临界值得出结论 【
34、解答】解： （1）因为在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为， 所以喜爱打篮球的总人数为人， 所以补充完整的 22 列联表如下： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 15 5 20 女生 10 20 30 合计 25 25 50 6 分； （2）根据列联表可得 K2的观测值， 所以有 99%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关” 12 分 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题 20 （12 分）某公司近年来特别注重创新产品的研发，为了研究年研发经费 x（单位：万元） 对年创新产品销售额 y（单位：十万元）的影响，对近 10 年的研发经费 xi与年创新产
35、品 销售额 yi（i1，2，10）的数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的 值 其 中， 现拟定 y 关于 x 的回归方程为 （1）求 ， 的值（结果精确到 0.1） ； （2）根据拟定的回归方程，预测当研发经费为 13 万元时，年创新产品销售额是多少？ 附：对于一组数据（u1，v1） ， （u2，v2） ， （un，vn） ，其回归直线 v+u 的斜率和 第 19 页（共 22 页） 截距的最小二乘估计分别为， 【分析】 （1）令 t（x3）2，求出 ， ，求出相关系数的值即可； （2）求出回归方程，代入求值即可 【解答】解： （1）令 t（x3）2，则，20.5， ， ， ， （
36、2）由（1）知，y 关于 x 的回归方程为， 当 x13 时，15.5（十万元）155 万元， 故可预测当研发经费为 13 万元时，年创新产品销售额是 155 万元 【点评】本题考查了求回归方程，代入求值问题，考查对应思想，是一道中档题 21 （12 分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图、为她们刺绣最简单 的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规 第 20 页（共 22 页） 律刺绣（小正方形的摆放规律相同） ，设第 n 个图形包含 f（n）个小正方形 （1）求出 f（5） ； （2）归纳出 f（n+1）与 f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求 f（
37、n）的表达式； （3）求证： 【分析】 （1）f（1）1，f（2）5，f（3）13，f（4）25，可得 f（5）25+44 41 （2）由 f（2）f（1）441，f（3）f（2）842，f（4）f（3）124 3，f（5）f（4）44， 由上式规律得出：f（n+1）f（n）4n累加求和即可得出 （3）当 n2 时，利用裂项求和即可得出 【解答】解： （1）f（1）1，f（2）5，f（3）13，f（4）25， f（5）25+4441 （2）f（2）f（1）441，f（3）f（2）842，f（4）f（3）124 3，f（5）f（4）44， 由上式规律得出：f（n+1）f（n）4n f（n）f（n
38、1）4（n1） ，f（n1）f（n2）4（n2） f（n2）f（n3）4（n3） ，f（2）f（1）41， f（n）f（1）4（n1）+（n2）+2+12（n1）n， f（n）2n22n+1（n2） ， 又 n1 时，f（1）也适合 f（n） ，f（n）2n22n+1（n1） （3）当 n2 时， +1+ 1+ 第 21 页（共 22 页） + 【点评】本题考查了数列递推关系、累加求和方法与裂项求和方法、不等式的性质，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题 请考生在第请考生在第 22 题，题，23 题中任选一题作答，在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所题中任选一题作答，在答题卷上将所选题
39、号涂黑，如果多做，则按所 选的第一题计分选的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）以平面直角坐标系原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴，以平面直角坐标系 的长度单位为长度单位建立极坐标系已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 曲线 C 的极坐标方程为 sin24cos （） 求曲线 C 的直角坐标方程； （） 设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|AB| 【分析】 （）直接把极坐标方程转化为直角坐标方程 （）把参数方程代入抛物线得到关于 t 的一元二次方程，进一步利用根和系数的关系 求出结果 【解答】解： （）曲线 C 的极
40、坐标方程为 sin24cos， 转化为： （sin）24cos， 进一步转化为直角坐标方程为：y24x （）把直线 l 的参数方程为（t 为参数）化为：2x+3y1， 代入 y24x 得 y2+6y20； 设 A、B 的纵坐标分别为 y1、y2； 则 y1y22，y1+y26； 则|y1y2|2； |AB|y1y2|2， 所以|AB| 【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，一元二次方程根和 系数的关系的应用，主要考查学生的应用能力 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|x+1|+|x2|，g（x）|x3|+|x2| （1）求函数 f（x）的最小值
41、； 第 22 页（共 22 页） （2）若对任意的 xR，不等式 g（a）f（x）恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）利用绝对值三角不等式求得函数 f（x）的最小值 （2）g（a）f（x）min3，解此绝对值不等式，求得 a 的范围 【解答】解： （1）f（x）|x+1|+|x2|（x+1）（x2）|3，当且仅当（x+1） （x 2）0， 即 x1，2时，取等号，此时 f（x）min3 （2）对任意的 xR，不等式 g（a）f（x）恒成立，g（a）f（x）min3， g（a）f（x）min3，或，或， 1a2，或 2a3，或 3a4，1a4 所以，实数 a 的取值范围为1，4 【点评】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，函数的恒成立问题，绝对值不等式的 解法，属于中档题
