1、陕西西安陕西西安西北工业大学附中西北工业大学附中 2020 届高三届高三 4 月适应性测试全国月适应性测试全国 2 卷卷 理科数学试题理科数学试题 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.设集合 2 |lg(34), |24 x AxZ yxxBx则 AB=() A.2,4) B.2,4 C.3 D.2,3 2.已知 5 tan(), 12 且 3 (,), 22 则sin 2 =() 5 .13A 5 . 13 B 12 .13C 12 . 13 D 3.下列四个命题中,正确
2、的有() 随机变量 服从正态分布 N(1,9),则 P(-10)=P(23) 000 3 ,sincos 2 xRxx 命题“ 2 ,20xR xx ”的否定是“ 2 ,20xR xx ” 复数 123 ,z z zC,若 22 1223 ()()0zzzz，则 13 zz A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.已知在等比数列 n a中， 22 2415532020 0,9002,9, n aaaa a aaa则() 1010 .3A 1009 .3B C.32019 2020 .3D 5.如下图所示,是一个几何体的三视图,则此三视图所描述几何体的表面积为() .(124 3)A
3、 B.20 .(204 3)C .28D 6.2020 年,一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学,不得不在家“停课不停学”.为了 解高三学生居家学习时长,从某校的调查问卷中,随机抽取 n 个学生的调查问卷进行分析,得到学生可接受的学习时 长频率分布直方图(如下图所示),已知学习时长在9,11)的学生人数为 25,则 n 的值为() A.40 B.50 C.60 D.70 7.明朝数学家程大位著的算法统宗里有一道著名的题目:“一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一 个,大小和尚各几丁?”如右图所示的程序框图反映了此题的一个算法执行如图的程序框图,则输出的 n=()
4、A.25 B.45 C.60 D.75 8.已知实数 x,y 满足 , 20, 5, yx xy xy 则 22 zxy的最大值为() 25 . 2 A 25 . 4 B 25 . 8 C 125 . 9 D 9.已知两个夹角为 3 的单位向量, a b，若向量m满足| 1mab,则|m的最大值是() . 3 1A . 3 1B C.2 . 621D 10.已知抛物线 2 2yx的焦点为 F,其准线与 x 轴的交点为 Q,过点 F 作直线与此抛物线交于 A,B 两点,若 0FA QB,则|AF|-|BF|=() A.3 B.2 C.4 D.6 11.将函数 y=sin2x 的图像向右平移(0)
5、 2 个单位长度得到 f(x)的图像,若函数 f(x)在区间上0, 3 单 调递增,且 f(x)的最大负零点在区间 5 (,) 1212 上,则 的取值范围是() .(, 64 A .(,) 6 4 B .(, 12 4 C ., 12 4 D 12.已知函数( )(3)(2ln x f xxeaxx1)在(1,+)上有两个极值点,且 f(x)在(1,2)上单调递增,则实数 a 的取值范围是() A.(e,+) 2 .( ,2)B ee 2 .(2)Ce 22 .( ,2)(2)D eee 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分(共 90 分)第 1321 题为必考题,每个试题考生都必须作
6、答第 2223 为选考 题,考生根据要求作答 二填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上) 13.二项式 8 3 3 x x 的展开式中的常数项为_. 14.已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左顶点为 A,右焦点为 F,点 B(0,b),双曲线的渐近线上存在一点 P, 使得 A,B,F,P 顺次连接构成平行四边形,则双曲线 C 的离心率 e=_. 15.定义在 R 上的函数 f(x)对任意 xR,都有 1( )1 (2),(2) 1( )4 f x f xf f x ,则 f(2020)=_. 16.如图,矩形 A
7、BCD 中,2 3,ABAD=2,Q 为 BC 的中点,点 M,N 分别在线段 AB,CD 上运动(其中 M 不与 A,B 重合,N 不与 C,D 重合),且 MN/AD,沿 MN 将DMN 折起,得到三棱锥 D-MNQ,则三棱锥 D-MNQ 体积的最大 值为_;当三棱锥 D-MNQ 体积最大时,其外接球的半径 R=_. 三解答题(本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 如图,CM,CN 为某公园景观湖畔的两条木栈道,120 ,MCN 现拟在两条木栈道的 A,B 处设置观景台,记 BC=a,AC=b,AB=c. (I)若 a,b,
8、c 成等差数列,且公差为 4,求 b 的值; (I)已知 AB=12,记ABC=,试用 表示观景路线 AC+CB 的长,并求 观景路线长 AC+CB 的最大值 18.(本小题满分 12 分) 为迎接“五一国际劳动节”,某商场规定购买超过 6000 元商品的顾客可以参与抽奖活动现有甲品牌和乙品牌的 扫地机器人作为奖品,从这两种品牌的扫地机器人中各随机抽取 6 台检测它们充满电后的工作时长相关数据见下 表(工作时长单位:分) 机器序号 1 2 3 4 5 6 甲品牌工作时长/分 220 180 210 220 200 230 乙品牌工作时长/分 200 190 240 230 220 210 (I
9、)根据所提供的数据,计算抽取的甲品牌的扫地机器人充满电后工作时长的平均数与方差; (II)从乙品牌被抽取的 6 台扫地机器人中随机抽出 3 台扫地机器人,记抽出的扫地机器人充满电后工作时长不 低于 220 分钟的台数为 X,求 X 的分布列与数学期望. 19.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 111 ABCABC中,AB侧面 11 ,BBCC已知 1 , 3 BCC BC=1, 1 2,ABCC点E是棱 1 C C 的中点. (I)求证: 1 C B 平面 ABC; (II)在棱 CA 上是否存在一点 M,使得 EM 与平面 11 AB E所成角的 正弦值为 2 11 , 11 若存在,
10、求出 CM CA 的值;若不存在,请说明理由. 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆E 22 22 :1(0) xy ab ab 的离心率为e.点(1,e)在椭圆E上,点A(a,0),B(0,b),AOB 的面积为 3 , 2 O 为坐标原点. (I)求椭圆 E 的标准方程; (II)若直线 l 交椭圆 E 于 M,N 两点,直线 OM 的斜率为 1 k,直线 ON 的斜率为 2 k,且 12 1 , 9 kk 证明:OMN 的面积是定值,并求此定值. 21.(本小题满分 12 分) 设函数 2 ( )ln .f xxaxx (I)若当 x=1 时,f(x)取得极值,求 a 的值,并求 f
11、(x)的单调区间. (II)若 f(x)存在两个极值点 12 ,x x求 a 的取值范围,并证明: 21 21 ()()4 . 2 f xf xa xxa 请考生在 2223 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy中,曲线 C 的参数方程是 cos 2sin x y ( 为参数)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建 立极坐标系,A,B 为曲线 C 上两点,且 OAOB,设射线:(0). 2 OA (I)求曲线 C 的极坐标方程; (II)求|OA| |OB|的最小值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-1|-2|x+1|,若 f(x)的最大值为 k; (I)求 k 的值; (II)设函数 g(x)=|x-k|,若|b|2,且() |( ), b g abag a 求证:| 1a .
