1、数学试题数学试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1设集合 M0，1，Nx|lgx0，则集合 MN（ ） A0，1 B （0，1 C0，1） D （，1 2已知复数 z 满足：zi42i（i 为虚数单位） ，则 =（ ） A24i B2+4i C2+4i D24i 3已知命题 P：x1，2xlog2x1，则p 为（ ） Ax1，2xlog2x1 Bx1，2xlog2x1 Cx1，2xlog2x1 Dx1，2xlog2x
2、1 4为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度，某地区在 2015 年以前的年均脱贫率（脱贫的户数占当年贫困户总数的比）为 70%，2015 年开始全 面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中 2019 年度实施的扶贫项目，各项 目参加户数占比（参加户数占 2019 年贫困总户数的比）及该项目的脱贫率见表： 实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 参加占户比 45% 45% 10% 脱贫率 96% 96% 90% 那么 2019 年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）倍 A7 5 B477 350 C487 350 D37 28 5已知首项为正数
3、的等比数列an中，a2a4= 9 24，a7a9= 9 214，则 a14（ ） A 3 210 B 3 213 C 3 210 D 3 213 6 已知向量 = (1，0)， = (0，2)， = ， 则当| |取最小值时， 实数 t （ ） A1 5 B1 3 C1 2 D1 7已知双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0，0)的右焦点为 F，O 为坐标原点，以 OF 为直径 的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于点 O 及点 A( 4 5 ， 2 5)，则双曲线 C 的方程为（ ） A2 2 4 = 1 B 2 4 2= 1 C 2 6 2 2 = 1 D 2 2 2 6 = 1 8 易经包
4、含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用， 易经的博大精深对 今天的几何学和其他学科仍有深刻的影响右图就是易经中记载的几何图形八 卦图图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯 形代表八卦田已知正八边形的边长为 8m，代表阴阳太极图的圆的半径为 2m，则每块 八卦田的面积约为（ ） A42m2 B37m2 C32m2 D84m2 9 锐角ABC 中， 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c， 若( + 3) + 3( + ) = 0， b= 2，c= 2+6 2 ，则角 B（ ） A 6 B 4 C 3 D5 12 10函数 ysin|x|+x 在
5、 x2，2上的大致图象是（ ） A B C D 11若定义在 R 上的增函数 yf（x2）图象关于点（2，0）对称，且 f（2）2，令 g（x） f（x）+1，则下列结论不一定成立的是（ ） Ag（0）1 Bg（1）0 Cg（1）+g（1）0 Dg（1）+g（2）2 12如图，棱长为 1 的正方形体 ABCDA1B1C1D1中，P 为线段 AB1的中点，M、N 分别为 体对角线 AC1和棱 C1D1上任意一点，则 PM+ 2 2 MN 的最小值为（ ） A 2 4 B 2 2 C1 D2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填
6、在答题卡上分把答案填在答题卡上 13已知函数() = 1 2 ， 0 ，0 ，则 f（f（2） ） 14已知 x，y 满足 0 + 2 0 + 2 0 ，则 zx+3y 的最小值为 15数列an满足 an（2n1）cos（n+2019） ，则其前 2021 项的和 S2021 16在 RtABC 中， = 2，BC9，以 BC 的中点为圆心，作直径为 3 的圆，分别交 BC 于点 P、Q，则|AB|2+|AP|2+|AQ|2+|AC|2 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已
7、知 f（x）acos（ 2 2x）+cos（2x） （a0） ，xR，函数 f（x）的最大值为 2 （1）求实数 a 的值； （2）若( 2 + 12) = 6 5， 是第二象限角，求( 6)的值 18在三棱柱 ABCA1B1C1中，M，M1分别为 AB，A1B1中点 （1）求证：C1M1面 A1MC； （2）若面 ABC面 ABB1A1，AB1B 为正三角形，AB2，BC1， = 3，求四棱 锥 B1AA1C1C 的体积 192020 年春，新型冠状病毒在我国湖北武汉爆发并讯速蔓延，病毒传染性强并严重危害 人民生命安全，国家卫健委果断要求全体人民自我居家隔离，为支援湖北武汉新型冠状 病毒疫情
8、防控工作，各地医护人员纷纷逆行，才使得病毒蔓延得到了有效控制某社区 为保障居民的生活不受影响，由社区志愿者为其配送蔬菜、大米等生活用品，记者随机 抽查了男、女居民各 100 名对志愿者所买生活用品满意度的评价，得到下面的 22 列联 表 特别满意 基本满意 男 80 20 女 95 5 （1）被调查的男性居民中有 5 个年轻人，其中有 2 名对志愿者所买生活用品特别满意， 现在这 5 名年轻人中随机抽取 3 人，求至多有 1 人特别满意的概率 （2）能否有 99%的把握认为男、女居民对志愿者所买生活用品的评价有差异？ 附：2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（K2k） 0.050 0.0
9、10 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0） ，焦距为 2，P 为椭圆 C 上一点，F 为焦点，且 PFx 轴，|PF|= 3 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2） 设 Q 为 y 轴正半轴上的定点， 过点 Q 的直线 l 交椭圆于 A， B 两点， O 为坐标原点， 且 SAOB= 3 2tanAOB，求点 Q 的坐标 21已知函数 f（x）axlnxx2ax+1（aR）在定义域内有两个不同的极值点 （1）求实数 a 的取值范围； （2）设两个极值点分别为 x1，x2，x1x2，证明：f（x1）+f（x2）2x12+x22
10、请考生在第请考生在第 22，23 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 （本小题满分铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 （本小题满分 10 分）分）选修选修 4-4：坐标系与：坐标系与 参数方程参数方程 22在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C 的参数方程为 = 1 + = 1 + （ 为参数） ，以坐标 原点O为极点， 以x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 直线l的极坐标方程为2( + 3) = 1 （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；
11、（2）已知点 A 的极坐标为(22， 4)，点 B 为曲线 C 上的一动点，求线段 AB 的中点 P 到直线 l 的距离的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分分) 23已知 a，b，c 为正数，f（x）|x+a|+|x+b|+|xc| （1）若 abc1，求函数 f（x）的最小值； （2）若 f（0）1 且 a，b，c 不全相等，求证：b3c+c3a+a3babc 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有
12、一项是符合题目要求的 1设集合 M0，1，Nx|lgx0，则集合 MN（ ） A0，1 B （0，1 C0，1） D （，1 求出集合 N，再求出并集 集合 M0，1，Nx|lgx0x|0x1， 则集合 MN0，1， 故选：A 考查集合的并集及其运算，基础题 2已知复数 z 满足：zi42i（i 为虚数单位） ，则 =（ ） A24i B2+4i C2+4i D24i 利用复数的运算性质即可得出 zi42i（i 为虚数单位） ， izii（42i） ，z24i 则 = 2+4i 故选：C 本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3已知命题 P：x1，2xlog2x1，则
13、p 为（ ） Ax1，2xlog2x1 Bx1，2xlog2x1 Cx1，2xlog2x1 Dx1，2xlog2x1 根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可 全称命题的否定为特称命题，改变量词，否定结论即可 即x1，2xlog2x1， 故选：D 本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关 键比较基础 4为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度，某地区在 2015 年以前的年均脱贫率（脱贫的户数占当年贫困户总数的比）为 70%，2015 年开始全 面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中 2019 年度实施的扶贫项目，各项 目
14、参加户数占比（参加户数占 2019 年贫困总户数的比）及该项目的脱贫率见表： 实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 参加占户比 45% 45% 10% 脱贫率 96% 96% 90% 那么 2019 年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）倍 A7 5 B477 350 C487 350 D37 28 利用百分率的意义即可得出结论 2019年 的 年 脱 贫 率 是 实 施 “ 精 准 扶 贫 ” 政 策 前 的 年 均 脱 贫 率 的 45%96%:45%90%:10%90% 70% = 477 350倍 故选：B 本题考查了函数的应用、百分率的应用，考查了推理能力与计算能力，
15、属于基础题 5已知首项为正数的等比数列an中，a2a4= 9 24，a7a9= 9 214，则 a14（ ） A 3 210 B 3 213 C 3 210 D 3 213 根据等比数列的性质：2= ;1 :1求解等比数列的公比 q，再根据等比数列的通 项公式求解即可 首项为正数的等比数列an中，设公比为 q， 2 4= 32= 9 24 7 9= 82= 9 214 ， 解得 3= 3 22 8= 3 27 或 3= 3 22 8= 3 27 ， 对应的 q= 1 2或 q= 1 2 14= 311= 3 213 或 3 213 故选：D 本题主要考查等比数列的通项公式和基本性质，注意首项为
16、正的条件，是基础题 6 已知向量 = (1，0)， = (0，2)， = ， 则当| |取最小值时， 实数 t （ ） A1 5 B1 3 C1 2 D1 根据 = 以及向量 ， 的坐标即可得出 = (1 ，2)，从而可得出 | | = 52 2 + 1，然后配方即可求出 t 取何值时，| |取到最小值 = ，且 = (1，0)， = (0，2)， = ( )， = (1 ) + =（1t，2t） ， | | = (1 )2+ 42=5( 1 5) 2+4 5， = 1 5时，| |取得最小值 故选：A 本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，向量坐标的加法和数乘运算，根据 向量的坐标求
17、向量的长度的方法，配方法的运用，考查了计算能力，属于基础题 7已知双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0，0)的右焦点为 F，O 为坐标原点，以 OF 为直径 的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于点 O 及点 A( 4 5 ， 2 5)，则双曲线 C 的方程为（ ） A2 2 4 = 1 B 2 4 2= 1 C 2 6 2 2 = 1 D 2 2 2 6 = 1 由题意可得|OA|的值，及渐近线的倾斜角的正切值，进而求出余弦值，再由题意可得 OF 与 OA 的关系，及 a，b，c 的关系求出 a，b 的值，进而求出双曲线的方程 由题意可得 OA= ( 4 5) 2+ (2 5) 2 =2，且
18、 OAAF， = 2 5 4 5 = 1 2， tanAOF= = 1 2，所以 cosAOF= 2 5，所以 OFcosAOFOA，即 c 2 5 =2，所以 c= 5， c2a2+b2，解得：b21，a24， 所以双曲线的方程为： 2 4 y21， 故选：B 本题考查由线段为直径的圆的性质及双曲线的性质，属于中档题 8 易经包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用， 易经的博大精深对 今天的几何学和其他学科仍有深刻的影响右图就是易经中记载的几何图形八 卦图图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯 形代表八卦田已知正八边形的边长为 8m，代表阴阳太极图的
19、圆的半径为 2m，则每块 八卦田的面积约为（ ） A42m2 B37m2 C32m2 D84m2 根据块八卦田的面积为补全三角形的面积减去八分之一圆的面积，分别求面积，作差即 可 每一块八卦田对应的圆心角为 45， 则每块八卦田的面积为补全三角形的面积减去八分之一圆的面积， 设其中心到每个顶点的距离为 x； 则OAB 中，82x2+x22xxcos45x2= 64 22； SAOB= 1 2x 2sin45=1 2 64 22 2 2 =16（2 +1） ； 而八分之一圆的面积为：1 82 2= 2； 每块八卦田的面积为：16（2 +1） 2 37 故选：B 本题主要考查面积的求解，其中涉及到
20、三角形的面积和扇形的面积，阅读量较大，属于 基础题 9 锐角ABC 中， 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c， 若( + 3) + 3( + ) = 0， b= 2，c= 2+6 2 ，则角 B（ ） A 6 B 4 C 3 D5 12 由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 tanA= 3， 结合范围 A （0， ） ， 可求 A， 由余弦定理可得 a 的值，进而根据正弦定理可得 sinB 的值，根据 ba，B 为锐角，可求 B 的值 ( + 3) + 3( + ) = 0， 1 2sinA+ 3 2 cosA3cosA0，可得 tanA= 3， A（0，） ， A= 3
21、b= 2，c= 2+6 2 ， 由余弦定理可得 a= 2+ 2 2 =2 + ( 2+6 2 )2 2 2 2+6 2 1 2 = 3， 由正弦定理可得 sinB= = 23 2 3 = 2 2 ， ba，B 为锐角， B= 4 故选：B 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用， 考查了计算能力和转化思想，属于基础题 10函数 ysin|x|+x 在 x2，2上的大致图象是（ ） A B C D 分 x2，0以及 x0，2讨论，求导，利用导数得解 当 x2，0时，ysin（x）+x，ycos（x）+10， 当 x 从负方向慢慢趋近于 0 时，导函数也慢慢趋近
22、于 0，由导数的几何意义可知，选项 BC 不合题意； 当 x0，2时，ysinx+x，ycosx+10，y|x02，可排除 A 故选：D 本题考查利用导数确定函数图象，考查数形结合思想及推理能力，属于基础题 11若定义在 R 上的增函数 yf（x2）图象关于点（2，0）对称，且 f（2）2，令 g（x） f（x）+1，则下列结论不一定成立的是（ ） Ag（0）1 Bg（1）0 Cg（1）+g（1）0 Dg（1）+g（2）2 根据条件即可得出 f（x）是 R 上的奇函数且是增函数，从而得出 f（0）0，f（1）+f （1）0，从而判断选项 A，C 一定成立；根据 f（2）2 可得出 f（1）2，
23、从而 可得出 g（1）+g（2）2，从而判断选项 D 一定成立，从而得出不一定成立的只能选 B yf（x2）的图象关于点（2，0）对称， f（x）的图象关于点（0，0）对称，且 yf（x2）是定义在 R 上的增函数， f（x）是 R 上的奇函数，且是 R 上的增函数， f（0）0，f（1）+f（1）0， g（0）1，g（1）+g（1）20， f（2）2，f（1）f（2）2， g（1）+g（2）f（1）+42， f（1）不一定等于1，g（1）0 不一定成立 故选：B 本题考查了图象的平移变换，奇函数图象的对称性，增函数的定义，奇函数的定义，考 查了计算能力，属于基础题 12如图，棱长为 1 的正
24、方形体 ABCDA1B1C1D1中，P 为线段 AB1的中点，M、N 分别为 体对角线 AC1和棱 C1D1上任意一点，则 PM+ 2 2 MN 的最小值为（ ） A 2 4 B 2 2 C1 D2 PM+ 2 2 MN，转化为 P 到平面 CDD1C1的距离，求解即可 如图：MN 的最小值就是 M 到 C1D1的距离， 2 2 恰好是 MN 与平面 CDD1C1所成角的正 弦函数值，就是 M 到平面 CDD1C1的距离， PM+ 2 2 MN 的最小值为，P 到 CDD1C1平面的距离 所以 PM+ 2 2 MN 的最小值为：1 故选：C 本题考查空间的点到平面的距离的求法，考查转化思想以及
25、计算能力，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡上分把答案填在答题卡上 13已知函数() = 1 2 ， 0 ，0 ，则 f（f（2） ） 3 2 根据题意，由函数的解析式求出 f（2）的值，进而计算可得答案 根据题意，函数() = 1 2 ， 0 ，0 ，则 f（2）12 211 4 = 3 4， 则 f（f（2） ）=3 4 = 3 2 ； 故答案为： 3 2 本题考查分段函数函数值的计算，注意分段函数解析式的形式，属于基础题 14已知 x，y 满足 0 + 2 0 + 2 0 ，则 zx+3y 的最小值
26、为 8 画出满足条件的平面区域，将直线变形为 y= 1 3x+ 1 3z，通过图象求解即可 画出满足条件的平面区域，如图示： ， 由 zx+3y 得：y= 1 3x+ 1 3z， 显然直线过 C 时，z 最小， = 2 = 0C（2，2） z 的最小值是：2+3（2）8， 故答案为：8 本题考察了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题 15数列an满足 an（2n1）cos（n+2019） ，则其前 2021 项的和 S2021 2021 本题先利用诱导公式对余弦式进行化简，然后根据 n 分别为奇数和偶数两种情况对余弦 式进行进一步化简，可得到数列an的通项公式，然后运用分组求和法
27、计算前 2021 项和 S2021的值 由题意，可知 cos（n+2019）cos（n+2018）cos（n+1）， an（2n1）cos（n+1），来源:学+科+网 Z+X+X+K 当 n 为奇数时，n+1 为偶数，此时 cos（n+1）1，an2n1， 当 n 为偶数时，n+1 为奇数，此时 cos（n+1）1，an（2n1） ， an= 2 1，为奇数 (2 1)，为偶数， S2021a1+a2+a3+a4+a2019+a2020+a2021 13+57+40374039+4041 （13）+（57）+（40374039）+4041 （2）1010+4041 2021 故答案为：2021
28、 本题主要考查数列与三角函数的综合，以及运用分组求和法计算前 n 项和 考查了分类 讨论思想，转化与化归思想，逻辑思维能力和数学运算能力本题属中档题 16在 RtABC 中， = 2，BC9，以 BC 的中点为圆心，作直径为 3 的圆，分别交 BC 于点 P、Q，则|AB|2+|AP|2+|AQ|2+|AC|2 126 来源:学科网 以点 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AC 所在直线为 y 轴，建立如图所示的平面直 角坐标系，设出 B，C 的坐标，根据题意及定比分点坐标公式得到 P，Q 的坐标，再利 用两点间的距离公式化简得解 以点 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AC
29、所在直线为 y 轴，建立如图所示的平面直 角坐标系， 设 B（m，0） ，C（0，n） ，则 m2+n281，来源:学科网 ZXXK 易知 = 1 2 ，则( 1 2 1+1 2 ， 1+1 2 ) = ( 3 ， 2 3 )， 同理由 = 2 ，可得( 2 1+2， 1+2) = ( 2 3 ， 3)， |AB|2+|AP|2+|AQ|2+|AC|2= 2+ 2 9 + 42 9 + 42 9 + 2 9 + 2= 2+ 2+ 5 9 (2+ 2) = 81 + 5 9 81 = 126来源:学。科。网 Z。X。X。K 故答案为：126 本题考查三角形中的几何计算，在解答过程中综合运用了平面
30、向量的运用，定比分点的 坐标公式，两点间的距离公式，考查了数形结合思想以及计算能力，难度一般 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知 f（x）acos（ 2 2x）+cos（2x） （a0） ，xR，函数 f（x）的最大值为 2 （1）求实数 a 的值； （2）若( 2 + 12) = 6 5， 是第二象限角，求( 6)的值 （1）结合诱导公式先进行化简，然后结合正弦函数的最值取得条件可求； （2）由已知结合同角平方关系及和差角公式进行化简可求 （1）f（x）acos（ 2
31、 2x）+cos（2x） （a0） ， = 1 + 2(2 )，tan = 1 ， 故函数的最大值为1 + 2=2，a0， 解可得 a= 3， （2）由（1）知 f（x）2sin（2x 6） ， 所以 f（1 2 + 12）2sin= 6 5， sin = 3 5， 是第二象限角，故 cos = 4 5， ( 6) = 3 2 + 1 2 = 4 5 3 2 + 1 2 3 5 = 343 10 本题主要考查了正弦函数的性质，和差角公式及诱导公式，同角平方关系在三角化简求 值中的应用 18在三棱柱 ABCA1B1C1中，M，M1分别为 AB，A1B1中点 （1）求证：C1M1面 A1MC； （
32、2）若面 ABC面 ABB1A1，AB1B 为正三角形，AB2，BC1， = 3，求四棱 锥 B1AA1C1C 的体积 （1）连结 M1M，推导出四边形 MCC1M1是平行四边形，从而 C1M1CM，由此能证明 C1M1面 A1MC （2）推导出 B1MAB，B1M面 ABC，B1M 是三棱柱 ABCA1B1C1的高，四棱锥 B1 AA1C1C 的体积为1;11= ;111 1; 【解答】解： （1）证明：连结 M1M，本题考查线面平行的证明， 在三棱柱 ABCA1B1C1中，M，M1分别为 AB，A1B1中点 M1MB1B，且 M1MB1B，C1CB1B，且 C1CB1B， M1MC1C，且
33、 M1MC1C， 四边形 MCC1M1是平行四边形， C1M1CM， C1M1平面 A1MC，CM平面 A1MC， C1M1面 A1MC （2）解：ABB1是正三角形，面 ABC面 ABB1A1，M 为 AB 中点， B1MAB，B1M面 ABC， B1M 是三棱柱 ABCA1B1C1的高， AB2，BC1， = 3，BC2+AC2AB2，ACB90， 四棱锥 B1AA1C1C 的体积为： 1;11= ;111 1;=sh 1 3 = 2 3sh= 2 3 1 2 1 3 3 =1 本题考查线面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间 的位置关系等基础知识，考查运算求解
34、能力，是中档题 192020 年春，新型冠状病毒在我国湖北武汉爆发并讯速蔓延，病毒传染性强并严重危害 人民生命安全，国家卫健委果断要求全体人民自我居家隔离，为支援湖北武汉新型冠状 病毒疫情防控工作，各地医护人员纷纷逆行，才使得病毒蔓延得到了有效控制某社区 为保障居民的生活不受影响，由社区志愿者为其配送蔬菜、大米等生活用品，记者随机 抽查了男、女居民各 100 名对志愿者所买生活用品满意度的评价，得到下面的 22 列联 表 特别满意 基本满意 男 80 20 女 95 5 （1）被调查的男性居民中有 5 个年轻人，其中有 2 名对志愿者所买生活用品特别满意， 现在这 5 名年轻人中随机抽取 3
35、人，求至多有 1 人特别满意的概率 （2）能否有 99%的把握认为男、女居民对志愿者所买生活用品的评价有差异？ 附：2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 （1）根据题意设五个人，求出所有事件，找出符合题意的事件，求出概率， （2）根据题中数据带入求值，比较，判断 （1）设 5 个人记为 ABCDE，满意的两人为 AB， 任取 3 人事件为 ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共 10 种， 其中 3 人至多有 1 人特别满意有 7 种， 则至多有 1 人特别
36、满意的概率为 7 10 （2）2= 200(80509520)2 17525100100 10.2866.635， 有 99%的把握认为男、女居民对志愿者所买生活用品的评价有差异 本题考查概率的求法，以及独立性检验，属于基础题 20椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0） ，焦距为 2，P 为椭圆 C 上一点，F 为焦点，且 PFx 轴，|PF|= 3 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2） 设 Q 为 y 轴正半轴上的定点， 过点 Q 的直线 l 交椭圆于 A， B 两点， O 为坐标原点， 且 SAOB= 3 2tanAOB，求点 Q 的坐标 （1）由题意求得 c1，由条件可得 2
37、= 3 2，结合 a，b ，c 的关系可得 a，b，进而得到 椭圆方程； （2）设 Q（0，m） ，直线 l 的方程设为 ykx+m，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立椭圆 方程，运用判别式大于 0 和韦达定理，结合向量数量积的定义和坐标表示，化简整理解 得 m，可得 Q 的坐标 （1）由题意可得 2c2，即 c1，则 a2b2c21，又因为 PFx 轴， 且|PF|= 3 2，可得 2 = 3 2，解得 a2，b= 3，则椭圆的方程为 2 4 + 2 3 =1； （2）设 Q（0，m） ，直线 l 的方程设为 ykx+m， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由 SO
38、AB= 1 2|OA|OB|sinAOB= 3 2tanAOB= 3 2， 则|OA|OB|cosAOB3，即 = 3， 由 = + 32+ 42= 12可得（3+4k 2）x2+8kmx+4m2120， （8km）24（3+4k2） （4m212）48（4k2m2+3）0， x1+x2= 8 3+42，x1x2= 4212 3+42 ， 则 =x1x2+y1y2x1x2+（kx1+m） （kx2+m）（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m23， 即有（1+k2） 4 2;12 3:42 +km（ 8 3+42）+m 23， 可得 4（k2m23k2+m23）8k2m2+（4k2m2+1
39、2k2+3m2+9）0， 解得 m= 21 7 ， 则 M 的坐标为（0， 21 7 ） 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐 标表示，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题 21已知函数 f（x）axlnxx2ax+1（aR）在定义域内有两个不同的极值点 （1）求实数 a 的取值范围； （2）设两个极值点分别为 x1，x2，x1x2，证明：f（x1）+f（x2）2x12+x22 （1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对 a 进行分类讨论，确定导数正负即 可求解函数单调性，结合单调性即可求解； （2）分析要证明不等式特点，进行合理的变形，然后构造
40、函数，结合导数及函数性质可 证 （1）由题意可知，f（x）的定义域为（0，+） ，f（x）alnx2x， 令 g（x）alnx2x（x0） ， 则函数 f（x）在定义域内有两个不同的极值点等价于 g（x）在区间（0，+）内至少有 两个不同的零点， 由() = 2 可知， 当 a0 时，g（x）0 恒成立，即函数 g（x）在（0，+）上单调，不符合题意，舍去 当 a0 时，由 g（x）0 得，0 2，即函数 g（x）在区间(0， 2)上单调递增； 由 g（x）0 得， 2，即函数 g（x）在区间( 2， + )上单调递减； 故要满足题意，必有( 2) = 2 0， 解得：a2e； （2）证明：由
41、（1）可知，1 = 21#/DEL/# 2= 22#/DEL/#， 故要证：(1) + (2)2 1 2 + 2 2， 只需证明：1 2 2 (1+ 2)， 即证：1 22 212 2 1 不妨设 0x1x2，即证 2 1 (2 1) 2 1， 构造函数：h（t）lntt2+1（t1）其中 = 2 1， 由() = 122 0，所以函数 h（t）在区间（1，+）内单调递减，所以 h（t）h （1）0 得证， 或证：即证：(1) + (2)2 1 2 + 2 2， 只需证明：1 2 2 (1+ 2)， 而由（1）可知01 2 ， 故上式 2 (1+ 2)1(1+ 2) = 1 2 + 121 2成立， 即可得：(1) + (2)2 1 2 + 2 2 本题主要考查了导数与函数性质的综合应用，考查了考试逻辑推理的能力 请考生在第请考生在第 22，23 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 （本小题满分铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 （本小题满分 10 分）分）选修选修 4-4：坐标系与：坐标系与 参数方程参数方程 22在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C
