1、2020 年呼和浩特市高三年级第一次质量普查调研考试年呼和浩特市高三年级第一次质量普查调研考试 理科数学理科数学 注意事项： 1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题部分答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号座位号涂写 在答题卡上本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回. 第第卷卷 一、单项选择题（本题共一、单项选择题（本题共 12 小题，每小题小题，每
2、小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中只有在每小题给出的四个选项中只有一一项是符合题目项是符合题目 要求的）要求的） 1.已知集合|03AxZx剟， |(1)(2)0Bxxx，则AB（ ） A0,1,2 B1,2 C |02xx剟 D | 13xx 2.若复数cossinzi，则当 2 时，复数z在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.如图是某学校研究性课题什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类问题的调查问卷统计图（每个受 访者都只能在问卷的 5 个活动中选择一个） ，由此可知，以下结论错误 的是（ ） A回答该问卷的总人数不可能是
3、 100 个 B回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多 C回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少 D回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少 8 个 4.已知| 1a ，|2b ，向量, a b的夹角为 3 ，则()aab（ ） A31 B1 C2 D31 5.记 n S为数列 n a的前n项和，且21 nn Sa ，则 6 S的值为（ ） A 665 729 B 486 665 C 665 243 D 65 9 6.如图是某空间几何体的三视图，该几何体的表面积为（ ） A B2 C3 D4 7.已知函数 2 ( )sin22si
4、n1f xxx，给出下列四个结论： 函数( )f x的最小正周期是； 函数( )f x在区间 5 , 88 内是减函数； 函数( )f x的图象关于直线 3 8 x 对称； 函数( )f x的图象可由函数2sin2yx的图象向左平移 4 个单位得到其中所有正确结论的编号是 （ ） A B C D 8.“中国剩余定理”又称“孙子定理” ，讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：已知 150,300x且x是整数，则满足能被 3 除余 1 且被 5 除余 3 的所有x的取值的和为（ ） A2020 B2305 C4610 D4675 9.已知01ab，则下列不等式一定成立的是（ ） A ln
5、ln ab ab B ln 1 ln a b Clnlnaabb D ab ab 10.设F是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A， 交另一条渐近线于点B，若2AFFB，则双曲线C的离心率是（ ） A 14 3 B 2 3 3 C2 D 3 2 11.表面积为60的球面上有四点, , ,S A B C， 且ABC是等边三角形， 球心O到平面ABC的距离为3， 若平面SAB 平面ABC，则三棱锥SABC体积的最大值为（ ） A33 5 B18 C27 D99 5 12.已知 2, 0 ( ) ,0 x xx f x ex 若 2
6、( ) (1) ( )0fxa f xa恰有两个实数根 21, x x，则 12 xx的取值范围是 （ ） A( 1,) B( 1,2ln22 C(,22ln2 D(,2ln22 第卷第卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题21 题为必考题，每个试题考生都必须做答；第 22 题第 23 题为 选考题，考生根据要求做答. 二二、填空题（本大题共填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把正确答案填在答题卡的相应位置把正确答案填在答题卡的相应位置.） 13. 6 2 1 2x x 的展开式中的常数项为_. 14.已知定义在R上的奇函数( )f x，当0x
7、 时，( )2cossinf xxx ，则( )f x在点, 1 2 处的切 线方程为_. 15.若 10 件产品中包含 2 件废品，今在其中任取两件，则已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废 品的概率为_. 16.已知抛物线方程 2 4yx，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义： | ( ) | PF d P FQ .已知点( 1,4 2)P ， 则( )d P _； 设点( 1, )(0)Pt t， 则2 ( ) |d PPF的值为_. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应
8、写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.如图，已知在ABC中，D为BC上一点，2ABAC， 2 5 cos 5 B . （）若BDAD，求 AD AC 的值； （）若AD为BAC的角平分线，且3BC ，求ADC的面积. 18.如图， 在矩形ABCD中，4AB ，2AD ，E在DC边上， 且1DE ， 将A D E沿AE折到AD E 的位置，使得平面AD E平面ABCE. （）求证：AEBD； （）求二面角DABE 的平面角的余弦值. 19.检验中心为筛查某种疾病， 需要检验血液是否为阳性， 对(*)n nN份血液样本， 有以下两种检验方式： 逐份检验，需要检验n次；混合检验，即将其中k（
9、* kN且2k）份血液样本分别取样混合在一 起检验，若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检 验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，再对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验 次数总共为1k 次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每 份样本是阳性结果的概率为(01)pp. （）假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过 2 次检验就能 把阳性样本全部检验出来的概率； （）现取其中k（*kN且2k）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 1 ，
10、采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为点 2 .当 4 1 1p e 时，根据 1 和 2 的期望值大小，讨论当k 取何值时，采用逐份检验方式好？ （参考数据：ln20.69，ln31.10，ln51.61，2.72e ， 2 7.39e ， 3 20.09e .） 20.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ， 1 F、 2 F分别是椭圆的左右焦点，点P为椭圆上一 点， 12 FPF的面积的最大值为3. （）求椭圆C的方程； （）过点(4,0)A作关于x轴对称的两条不同直线 12 1 ,l，分别交椭圆于点 11 ,M x y， 22 ,N xy，且 12
11、 xx，证明直线MN过定点，并求AMN的面积S的取值范围. 21.已知函数( )()ln()f xxaax（0a 且1a ）的零点是 12 ,x x. （）设曲线( )yf x在零点处的切线斜率分别为 12 ,k k，判断 12 kk的单调性； （）设 0 x是( )f x的极值点，求证： 120 2xxx. 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用 2B 铅笔在答题卡上铅笔在答题卡上 把所选题目对应的题号涂黑把所选题目对应的题号涂黑. 22.已知椭圆 1 C的普通方程为： 22 1
12、49 xy ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲 线 2 C的极坐标方程为：4，正方形ABCD的顶点都在 2 C上，且ABCD、 、 、逆时针依次排列，点 A的极坐标为4, 6 （）写出曲线 1 C的参数方程，及点BCD、 、的直角坐标； （）设P为椭圆 1 C上的任意一点，求： 2222 |PAPBPCPD的最大值. 23.已知函数( ) |2| 2|1|f xxax， （）当1a 时，解关于x的不等式( )6f x ； （）已知( ) |1| 2g xx，若对任意 1 x R，都存在 2 x R，使得 12 f xg x成立，求实数a的 取值范围. 2020 年呼和浩特市
13、高三年级第一次质量普查调研考试年呼和浩特市高三年级第一次质量普查调研考试 理科数学参考答案理科数学参考答案 一一、选择题：选择题：A B D C A C C B A B C D 二、填空题：二、填空题：13.240 14.210xy 15. 4 11 4，2 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解： （） 2 5 cos 5 B ，可得： 2 5 sin1 cos 5 BB， sinsin ACAB BC ，2ABAC， sin 2 sin CAB BAC BDAD，
14、可得2ADCB ， sinsin22sincosADCBBB， 在ADC中 sin2sin15 sin2sincoscos2 ADCB ACADCBBB （）设ACt，则2ABt，在ABC中由余弦定理可得： 222 ( 3)(2 ) cos 4 3 tt B t ， 解得 15 3 t 或 15 5 t 因为2BDDC，所以 3 3 DC 又由（1）知 sin2 sin1 CAB BAC 所以 2 5 sin2sin 5 CB 由（1）知当 15 3 AC 时 11 | | sin 23 ACD SACCDC 当 15 5 AC 时 11 | | sin 25 ACD SACCDC 综上ACD
15、的面积为 1 3 或 1 5 18.（）证明：连接BD交AE于点O， 依题意得2 ABAD DADE ，RtABDRtDAE ， DAEABD ， 得90AOD，则AEBD，即OBAE，ODAE ， 又ODOBO ，OB，OD平面OBD. AE平面OBD， 又BD平面OBD， AEBD； （）平面ADE 平面ABCE，平面ADE 平面ABCEAE， OD平面ADE ，AEOD， 所以OD平面ABCE， 以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz如图所示. 在RtADE中，求得 2 5 OD， 4 5 OA ， 1 5 OE ， 4 ,0,0 5 A ， 8 0,0 5 B ， 2 0,0, 5 D
16、 ， 则 48 ,0 55 AB ， 82 0, 55 BD ， 设平面ABD的法向 1 ( , , )nx y z， 则 1 1 0 0 nAB nBD 即 48 0 55 82 0 55 xy yz 解得 2 4 xy zy ， 令1y ，得 1 (2,1,4)n ， 显然平面ABE的一个法向量为 2 (0,0,1)n . 12 12 12 44 21 |cos,| 21|121 n n n n nn ， 显然二面角DABE 的平面角为锐角， 二面角DABE 的平面角的余弦值为 4 21 21 . 19.解： （1）记恰好经过 2 次检验就能把阳性样本全部检验出来为A事件， 则 2 2 2
17、 5 1 ( ) 10 A P A A . （2） 1 Ek， 2 的取值为 1，1k ， 计算 2 1(1)kPp， 2 11 (1)kPkp ， 所以 2 (1)(1) 1(1)1(1) kkk Epkpkkp ， 又 1 4 1pe ， 4 2 1 k Ekke ，所以 4 1 k kkek ， 即ln0 4 k k . 设( )ln 4 x f xx， 114 ( ) 44 x fx xx ， 0x ， 当(0,4)x时，( )0fx，( )f x在(0,4)上单调递增； 当(4,)x时，( )0fx，( )f x在(4,)上单调递减. 且(8)ln823ln220f， 99 (9)l
18、n92ln30 44 f， 所以k的取值大于等于 9 时采用逐份检验方式好. 20.解： （1）由题意 3 2 c a 设( , )P x y，则 12 | F PF Sc y |yb， 12 3 F PF Sbc 又 222 abc，解得2a ，1b . 椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y. （2）设MN的方程为(0)xnym n，联立 22 440 xnym xy 得 222 4240nynmym， 22 164nm ， 12 2 2 4 mn yy n ， 2 12 2 4 4 m y y n ， 直线 12 ,l l关于x轴对称， 12 12 0 44 yy xx 即 12 12
19、0 44 yy nymnym ， 即 121212 240ny ym yyyy 得 2 2 222 24 28 0 444 n m nmnm nnn .解得1m . 所以直线MN得方程为1xny 所以直线MN过定点(1,0)B 2 2 1222 222 22 24( 3)311 44 444 44 nn yy nnn nn 令 2 1 4 t n ， 1 0, 4 t ， 2 12 4(0, 3)yytt ， 1212 133 3 |0, 222 SAByyyy . 21.解：由1()ln()0xaax，得 1 1 x a ， 2 xa. 则 2 11 1 1kfxfa a ， 22 ( )2
20、lnkfxf aa，所以 2 12 2ln1kkaa. 令 2 ( )2ln1g xxx.则 2(1)(1) ( )2 xx g xx xx 所以当01x时，( )0g x；当1x 时( )0g x， 故( )g x在(0,1)单调递增，在(1,)递减 （2）法一、令( )( )ln()1(0) a g xfxaxx x ， ， 则 2 1 ( )0 a g x xx ， 故( )fx在(0,)上单调递增. 12 0 11 22 xx ffxfa a 2 2 11212 ln1ln1 1 221 aa a a aa a a . 令 1 ( )ln1(0)h xxx x ， 则 22 111 (
21、 ) x h x xxx . 所以当01x时，( )0h x，( )h x单调递减； 当1x 时( )h x，( )h x单调递增.所以( )(1)0h xh，当且仅当1x 时等号成立. 又因为 2 11 22 a 且 2 1 1 2 a ， 所以 22 2 112 ln10 221 aa h a 因此 12 0 0 2 xx ffx . 即 12 0 2 xx ffx . 因为( )fx在(0,)上单调递增， 所以 12 0 2 xx x . 即 120 2xxx. 法二、( )ln()1lnln1 aa fxaxxa xx ， 2 1 ( ) a fx xx 在 0x ，( )0fx恒成立
22、， 由题知 0 x为( )f x的极值点， 所以 0 0 ln10 a ax x 且( )f x在 0 0,x单调递减，在 0, x 单调递增 故 0 xx为( )f x的极小值点. 令 00 ( )F xf xxf xx 则 00 ( )F xfxxfxx 00 00 lnln2ln2 aa xxxxa xxxx 故 0 22222 22 000 00 0 1124 ( ) aaxax x Fx xxxxxx xxxx xx 因为 0 0xx，所以( )0Fx，所以( )F x在 0 0,x单调递减， 所以 00 00 ( )(0)lnln2ln20 aa F xFxxa xx 所以( )F
23、 x在 0 0,x单调递减，所以( )(0)0F xF 所以 00 xxf xx， 不妨设 102 0xxx， 2110000100101 2f xf xf xxxf xxxf xxxfxx 所以 201 2f xfxx，又( )f x在 0 0,x单调递减，在 0, x 单调递增 所以 201 2xxx，即 120 2xxx 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 （1） 1 2cos 3sin x C y （为参数） 点, ,
24、 ,A B C D的极坐标分别为4, 6 ， 2 4, 3 ， 7 4, 6 5 4, 3 点, , ,A B C D的直角坐标分别为(2 3,2)，( 2,2 3)，( 2 3, 2)，(2, 2 3) （2）设 00 ,P x y：则 0 0 2cos 3sin x y （为参数） 2222222 00 |44648020sin80,100tPAPBPCPDxy 故当且仅当点P坐标为(0,3)或(0, 3)时 2222 |PAPBPCPD的最大值为 100. 23.选修 4-5：不等式选讲 （1）当1a 时，( ) |21| 2|1|f xxx 即 41,1 1 ( )3, 1 2 1 41, 2 xx f xx xx 则( )6f x 的解集为： 75 | 44 xx （2）因为对任意 1 xR，都有 2 xR使得 12 f xg x成立 所以 |( ) |( )y yf xy yg x 又( ) |2| 2|1| |2(22)| |2|f xxaxxaxa （当且仅当(2)(1)0xax时取等号） 又( ) |1| 22g xx 所以|2| 2a 解得4a 或0a 所以实数a的取值范围是(, 40,)
