1、某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试 验，收集数据如表经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个 数 x 与加工时间 y 这两个变量，下列判断正确的是（ ） 加工零件数 x（个） 10 20 30 40 50 加工时间 y（分钟） 64 69 75 82 90 A成正相关，其回归直线经过点（30，75） B成正相关，其回归直线经过点（30，76） C成负相关，其回归直线经过点（30，76） D成负相关，其回归直线经过点（30，75） 4 （5 分）采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1， 2，96
2、0，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9抽到的 32 人中， 编号落入区间1，450的人做问卷 A，编号落入区间451，750的人做问卷 B，其余的人 做问卷 C则抽到的人中，做问卷 B 的人数为（ ） A7 B9 C10 D15 5 （5 分）下列命题错误的是（ ） A对于命题 p：xR，使得 x2+x+10，则p 为xR，均有 x2+x+10 B “x2”是“x23x+20”的充分不必要条件 C若 pq 是假命题，则 p，q 均为假命题 第 2 页（共 24 页） D命题“若 x23x+20 则 x1”是正确的 6 （5 分）已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F（3，
3、0） ，离心率等于，则 C 的方程 是（ ） A B C D 7 （5 分）已知平面 的一个法向量 （2，2，1） ，点 A（1，3，0）在 内，则 P （2，1，4）到 的距离为（ ） A10 B3 C D 8 （5 分）如图： 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 A1C1与 B1D1的交点 若 ， ， ，则下列向量中与相等的向量是（ ） A+ B+ C+ D+ 9 （5 分）已知点 A（2，0） ，抛物线 C：x24y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，则|FM|：|MN|（ ） A2： B1：2 C1： D1：3 10 （5 分）已
4、知椭圆 E：的右焦点为 F（3，0） ，过点 F 的直线交椭 圆 E 于 A、B 两点若 AB 的中点坐标为（1，1） ，则 E 的方程为（ ） A B C D 第 3 页（共 24 页） 11 （5 分）一张储蓄卡的密码共有 6 位数字，每位数字都可从 09 中任选一个，某人在银 行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，如果他记得密码的最后一位是偶 数，则他不超过 2 次就按对的概率是（ ） A B C D 12 （5 分）过抛物线 y22px（p0）上一定点 P（x0，y0） （y00） ，作两条直线分别交抛 物线于 A（x1，y1）B（x2，y2） 当 PA 与 PB 的斜率存在
5、且倾斜角互补时，的值 为（ ） A B2 C2 D无法确定 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.将答案填入将答案填入答卷指定位置答卷指定位置.） 13 （5 分）如图是从参加数学知识竞赛的学生中抽出 60 名，将其成绩整理后画出的频率分 布直方图，则这些同学成绩的众数是 14 （5 分）在长为 5cm 的绳子上剪一刀，两段长度都不小于 1 的概率为 15 （5 分）二面角 l 为 60，A、B 是棱 l 上的两点，AC、BD 分别在半平面 、 内，ACl，BDl，且 ABACa，BD2a，则 CD 的长为 16 （5 分）已知线段
6、AB 为双曲线 C：1 的实轴，点 D 在双曲线上，且DBA ，若 AB4，BD4，则双曲线 C 的离心率是 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 第 4 页（共 24 页） 17 （10 分）已知命题 P：xR，使得 x22x+m0，命题 q：方程+1 表示双曲 线 （1）写出命题 p 的否定形式； （2）若命题 p 为假，命题 q 为真，求实数 m 的取值范围 18 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 A1A底面 ABC，且各棱长均相等，D， E，F 分别为
7、棱 AB，BC，A1C1的中点 （1）证明 EF平面 A1CD； （2）求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值 19 （12 分）某产品的三个质量指标分别为 x，y，z，用综合指标 Sx+y+z 评价该产品的等 级若 S4，则该产品为一等品现从一批该产品中，随机抽取 10 件产品作为样本，其 质量指标列表如表： 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 质量指标（x， y，z） （1，1，2） （2，1，1） （2，2，2） （1，1，1） （1，2，1） 产品编号 A6 A7 A8 A9 A10 质量指标（x， y，z） （1，2，2） （2，1，1） （2，2，1） （1，1，1）
8、（2，1，2） （）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； （）在该样品的一等品中，随机抽取 2 件产品， （i）用产品编号列出所有可能的结果； （ii）设事件 B 为“在取出的 2 件产品中，每件产品的综合指标 S 都等于 4” ，求事件 B 发生的概率 第 5 页（共 24 页） 20 （12 分）已知椭圆+1（ab0）经过点（0，） ，离心率为，左右焦点分 别为 F1（c，0） ，F2（c，0） （）求椭圆的方程； （）若直线 l：yx+m 与椭圆交于 A、B 两点，与以 F1F2为直径的圆交于 C、D 两点，且满足，求直线 l 的方程 21 （12 分）如图所示，四棱锥 SAB
9、CD 的底面 ABCD 为等腰梯形，ABCD，对角线 AC 与 BD 交于点 O，OA3，OD1，CD，SO底面 ABCD （1）求证：SABD； （2）若四棱锥 SABCD 的体积 V8，求二面角 ASBC 的平面角的正弦值 22 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，A 为 C 上异于原点的任意一点， 过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B，交 x 轴的正半轴于点 D，且有|FA|FD|当点 A 的横 坐标为 3 时，ADF 为正三角形 （1）求 C 的方程； （2）若直线 l1l，且 l1和 C 有且只有一个公共点 E， 证明直线 AE 过定点，并求出定点坐标
10、ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 第 6 页（共 24 页） 2019-2020 学年湖南省岳阳市岳阳县一中高二（上）期中数学试学年湖南省岳阳市岳阳县一中高二（上）期中数学试 卷卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求）一项是符合题目要求） 1 （5 分）为了了解某地区参加数学竞赛的 1003 名学生的成绩，计划采用系统抽样的方法 从中抽取一个容量为 50 的样本，则每个学生
11、被抽到的概率为（ ） A B C D 【分析】根据抽样的定义和性质进行求解即可 【解答】解：无论哪种抽样方法，每个学生被抽到的概率相同， 即 P， 故选：A 【点评】本题主要考查抽样的应用，结合抽样方法中，每个学生被抽到的概率相同是解 决本题的关键比较基础 2 （5 分）在ABC 中， “ABC 是直角三角形”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】在ABC 中，ABC 是直角三角形，则角 A，B，C 中有且只有一个直角，未 必有成立；反之，则，角 A 为直角，ABC 是直角三角 形；再根据充分必要条件的定义判断即可 【解答】解：在ABC
12、 中，ABC 是直角三角形，则角 A，B，C 中有且只有一个直角， 未必有成立； 反之，则，角 A 为直角，ABC 是直角三角形； 所以“ABC 是直角三角形”推不出“” ； “”“ABC 是直角三 角形” ； 第 7 页（共 24 页） 所以在ABC 中， “ABC 是直角三角形”是“”的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了简单逻辑用语中的充分必要条件的判断，平面向量的数量积的几何 意义，还考查了逻辑推理能力，属于基础题 3 （5 分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试 验，收集数据如表经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个
13、 数 x 与加工时间 y 这两个变量，下列判断正确的是（ ） 加工零件数 x（个） 10 20 30 40 50 加工时间 y（分钟） 64 69 75 82 90 A成正相关，其回归直线经过点（30，75） B成正相关，其回归直线经过点（30，76） C成负相关，其回归直线经过点（30，76） D成负相关，其回归直线经过点（30，75） 【分析】根据表中所给的数据，得到两变量为正相关，求出横标和纵标的平均数，得到 样本中心点，进而得到结论 【解答】解：由表格数据知，加工时间随加工零件的个数的增加而增加，故两变量为正 相关； 又（10+20+30+40+50）30，（64+69+75+82+9
14、0）76， 回归直线过样本中心点（30，76） 故选：B 【点评】本题考查线性相关及回归方程的应用，明确线性回归方程恒过样本点的中心是 关键，是基础题 4 （5 分）采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1， 2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9抽到的 32 人中， 编号落入区间1，450的人做问卷 A，编号落入区间451，750的人做问卷 B，其余的人 做问卷 C则抽到的人中，做问卷 B 的人数为（ ） A7 B9 C10 D15 【分析】由题意可得抽到的号码构成以 9 为首项、以 30 为公差的等差数列，求得此等差 数列
15、的通项公式为 an9+（n1）3030n21，由 45130n21750 求得正整数 n 第 8 页（共 24 页） 的个数 【解答】解：9603230，故由题意可得抽到的号码构成以 9 为首项、以 30 为公差的 等差数列，且此等差数列的通项公式为 an9+（n1）3030n21 由 45130n21750 解得 15.7n25.7 再由 n 为正整数可得 16n25，且 nz，故做问卷 B 的人数为 10， 故选：C 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题 5 （5 分）下列命题错误的是（ ） A对于命题 p：xR，使得 x2+x+10，则p 为xR，均有
16、 x2+x+10 B “x2”是“x23x+20”的充分不必要条件 C若 pq 是假命题，则 p，q 均为假命题 D命题“若 x23x+20 则 x1”是正确的 【分析】A、按全称命题和特称命题的否定格式看； B、看从条件能否推出推结论，再看结论能否推出条件，从而做出最后的判断； C、看复合命题的真假判断； D、解方程 x23x+20，即可判断 【解答】解：A、对，符合全称命题和特称命题的否定格式； B、对，x23x+20（x2） （x1）0x1 或 x2 x2x23x+20 成立，但 x23x+20x2 不成立 C、对，pq 的真假判断是“见真为真，全假为假” D、不对，解方程 x23x+2
17、0 得到 x1 或 x2 故选：D 【点评】本题主要考查了命题、条件的有关知识，与其它部分的知识联系密切，所以综 合性较强 6 （5 分）已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F（3，0） ，离心率等于，则 C 的方程 是（ ） A B 第 9 页（共 24 页） C D 【分析】设出双曲线方程，利用双曲线的右焦点为 F（3，0） ，离心率为 ，建立方程 组，可求双曲线的几何量，从而可得双曲线的方程 【解答】解：设双曲线方程为 （a0，b0） ，则 双曲线 C 的右焦点为 F（3，0） ，离心率等于 ， ，c3，a2，b2c2a25 双曲线方程为 故选：B 【点评】本题考查双曲线的方程与几何
18、性质，考查学生的计算能力，属于基础题 7 （5 分）已知平面 的一个法向量 （2，2，1） ，点 A（1，3，0）在 内，则 P （2，1，4）到 的距离为（ ） A10 B3 C D 【分析】由题意算出（1，2，4） ，根据向量 （2，2，1）是平面 的一 个法向量，算出向量在 上的投影的绝对值，即可得到 P 到 的距离，由此可得本题 答案 【解答】解：根据题意，可得 A（1，3，0） ，P（2，1，4） ，（1，2，4） ， 又平面 的一个法向量 （2，2，1） ，点 A 在 内， P（2，1，4）到 的距离等于向量在 上的投影的绝对值， 即 d 故选：D 【点评】本题给出平面的法向量和平
19、面上的一点，求平面外一点到平面的距离着重考 第 10 页（共 24 页） 查了向量的数量积公式和点到平面的距离计算等知识，属于中档题 8 （5 分）如图： 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 A1C1与 B1D1的交点 若 ， ， ，则下列向量中与相等的向量是（ ） A+ B+ C+ D+ 【分析】利用空间向量的加法的三角形法则，结合平行六面体的性质分析解答 【解答】解：由题意， ； 故选：A 【点评】本题考查了空间向量的加法，满足三角形法则；比较基础 9 （5 分）已知点 A（2，0） ，抛物线 C：x24y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于
20、点 N，则|FM|：|MN|（ ） A2： B1：2 C1： D1：3 【分析】求出抛物线 C 的焦点 F 的坐标，从而得到 AF 的斜率 k过 M 作 MPl 于 P，根据抛物线物定义得|FM|PM|RtMPN 中， 根据 tanMNP， 从而得到|PN| 2|PM|，进而算出|MN|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值 【解答】解：抛物线 C：x24y 的焦点为 F（0，1） ，点 A 坐标为（2，0） 抛物线的准线方程为 l：y1，直线 AF 的斜率为 k， 过 M 作 MPl 于 P，根据抛物线物定义得|FM|PM| RtMPN 中，tanMNPk， ，可得|PN|2|PM|，得
21、|MN|PM| 因此，可得|FM|：|MN|PM|：|MN|1： 第 11 页（共 24 页） 故选：C 【点评】本题给出抛物线方程和射线 FA，求线段的比值着重考查了直线的斜率、抛物 线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题 10 （5 分）已知椭圆 E：的右焦点为 F（3，0） ，过点 F 的直线交椭 圆 E 于 A、B 两点若 AB 的中点坐标为（1，1） ，则 E 的方程为（ ） A B C D 【分析】设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，代入椭圆方程得，利用“点差法”可 得利用中点坐标公式可得 x1+x22，y1+y22，利用 斜率计算公式可得 于是得到， 化为 a
22、22b2， 再利用 c3，即可解得 a2，b2进而得到椭圆的方程 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 代入椭圆方程得， 第 12 页（共 24 页） 相减得， x1+x22，y1+y22， ， 化为 a22b2，又 c3，解得 a218，b29 椭圆 E 的方程为 故选：D 【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键 11 （5 分）一张储蓄卡的密码共有 6 位数字，每位数字都可从 09 中任选一个，某人在银 行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，如果他记得密码的最后一位是偶 数，则他不超过 2 次就按对的概率是（ ） A B C D
23、【分析】由于该密码的最后一位数字是偶数，应该在“2，4，6，8，0”中选数，所以此 人前两次所按数字的所有基本事件有20 个， 含有正确数字的基本事件为 m 8 个，结合古典概型计算公式即可算出此人不超过 2 次就按对的概率 【解答】解：根据题意，密码的最后一位数字是偶数， 所以此人在按最后一位数字时，有“2，4，6，8，0”5 种可能， 由此可得此人在按前两次，所有的基本事件有 n5420 个 若此人不超过 2 次就按对，说明前 2 次所按的数字含有正确数字 相应的基本事件为 m428 个 因此，此人不超过 2 次就按对的概率是 P 故选：C 【点评】本题以按密码的事件为例，求某人按密码不超
24、过两次就正确的概率着重考查 第 13 页（共 24 页） 了基本事件的概念和古典概型及其计算公式等知识，属于基础题 12 （5 分）过抛物线 y22px（p0）上一定点 P（x0，y0） （y00） ，作两条直线分别交抛 物线于 A（x1，y1）B（x2，y2） 当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，的值 为（ ） A B2 C2 D无法确定 【分析】由题意写出 PA，PB 的斜率，PA 与 PB 的倾斜角互补，可得 kPAkPB化简出， 2 即可 【解答】解：，（x1x0，x2x0 ） ， 由 PA，PB 倾斜角互补知 kPAkPB即， 可得 y1+y22y0 故2 故选：B 【点评
25、】本题考查抛物线的应用，直线的斜率，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础 题 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.将答案填入答卷将答案填入答卷指定位置指定位置.） 13 （5 分）如图是从参加数学知识竞赛的学生中抽出 60 名，将其成绩整理后画出的频率分 布直方图，则这些同学成绩的众数是 75 【分析】在频率分布直方图中，众数是条形图中最高的小矩形底边中点 第 14 页（共 24 页） 【解答】解：根据频率分布直方图知，这些同学成绩的众数是（70+80）75 故答案为：75 【点评】本题考查了利用频率分布直方图求众数的问题，是基础题
26、14 （5 分）在长为 5cm 的绳子上剪一刀，两段长度都不小于 1 的概率为 【分析】由题意可知，在中间的 3cm 的绳子上剪断，才使得剪得两段的长都不小于 1m， 由测度比是长度比得答案 【解答】解：记“两段的长都不小于 1cm”为事件 A， 则只能在距离两段超过 1cm 的绳子上剪断，即在中间的 3cm 的绳子上剪断，才使得剪得 两段的长都不小于 1cm， 由几何概型的公式得到事件 A 发生的概率 P（A） 故答案为： 【点评】本题几何概型概率的求法，正确理解题意是关键，是基础题 15 （5 分）二面角 l 为 60，A、B 是棱 l 上的两点，AC、BD 分别在半平面 、 内，ACl，
27、BDl，且 ABACa，BD2a，则 CD 的长为 2a 【分析】由已知条件推导出（）2+2，由此 能求出 CD 的长 【解答】解：二面角 l 为 60，A、B 是棱 l 上的两点， AC、BD 分别在半平面 、 内，ACl，BDl， ，60，且，0， （）2 +2 a2+a2+（2a）2+2a2acos120 4a2， 第 15 页（共 24 页） CD 的长2a 故答案为：2a 【点评】本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运 用 16 （5 分）已知线段 AB 为双曲线 C：1 的实轴，点 D 在双曲线上，且DBA ，若 AB4，BD4，则双曲线 C 的离心率
28、是 【分析】由题意可得 a2，D 在双曲线的右支上， 设 D 为第一象限的点， 求出 D（6，4） ， 代入双曲线方程，解得 b，求出 c，再由离心率公式，计算即可得到 【解答】解：由 AB4，则 2a4，即 a2， 由DBA，BD4， 可知 D 在双曲线的右支上， 设 D 为第一象限的点，则 D 为（2+4cos，4sin） ， 即 D（6，4） ， 代入双曲线方程可得1， 由 a2，解得 b， 则 c， 即有 e 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，运用三角函数的定义求得 D 的 坐标是解题的关键 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70
29、分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）已知命题 P：xR，使得 x22x+m0，命题 q：方程+1 表示双曲 线 （1）写出命题 p 的否定形式； （2）若命题 p 为假，命题 q 为真，求实数 m 的取值范围 第 16 页（共 24 页） 【分析】 （1） 首先， 根据所给的命题 p 为特称命题， 存在量词改为全称量词， 将 x22x+m 0 改为 x22x+m0 即可； （2）先化简命题 q，然后，得到实数 m 的取值情况，再结 合命题 p 为假，命题 q 为真，得到实数 m 的取值范围 【解答】解： （1）命题 p 的否
30、定形式： p：xR，使得 x22x+m0， （2）命题 P：xR，使得 x22x+m0 为假命题， 44m0， m1， 命题 q：方程+1 表示双曲线为真命题， （m+1） （2m）0， 联立，得 m2 实数 m 的取值范围（2，+） 【点评】本题重点考查了命题的真假判断，命题的否定等知识，属于中档题 18 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 A1A底面 ABC，且各棱长均相等，D， E，F 分别为棱 AB，BC，A1C1的中点 （1）证明 EF平面 A1CD； （2）求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值 【分析】 （1）连接 ED，推导出 A1FED 是平行四边形
31、，从而 FEA1D，由此能证明 EF 平面 A1CD （2）以 C 为原点，过 C 作 BC 的垂线为 x 轴，CB 为 y 轴，CC1为 z 轴，建立空间直角 坐标系，利用向量法能求出直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值 【解答】解： （1）证明：连接 ED， 第 17 页（共 24 页） 三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 A1A底面 ABC，且各棱长均相等， D，E，F 分别为棱 AB，BC，A1C1的中点 A1FED 且 A1FED，A1FED 是平行四边形， FEA1D，又 FE平面 A1CD，A1D平面 A1CD， EF平面 A1CD （2）解：以 C 为原点，过 C 作
32、BC 的垂线为 x 轴，CB 为 y 轴，CC1为 z 轴，建立空间 直角坐标系， 设 AB2，则 B（0，2，0） ，C（0，0，0） ，A1（，1，2） ，A（，1，0） ，D（， ，0） ， （0，2，0） ，（，0） ，（） ， 设平面 A1CD 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x，得 （，1，1） ， 设直线 BC 与平面 A1CD 所成角为 ， 则 sin 直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值为 第 18 页（共 24 页） 【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19
33、（12 分）某产品的三个质量指标分别为 x，y，z，用综合指标 Sx+y+z 评价该产品的等 级若 S4，则该产品为一等品现从一批该产品中，随机抽取 10 件产品作为样本，其 质量指标列表如表： 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 质量指标（x， y，z） （1，1，2） （2，1，1） （2，2，2） （1，1，1） （1，2，1） 产品编号 A6 A7 A8 A9 A10 质量指标（x， y，z） （1，2，2） （2，1，1） （2，2，1） （1，1，1） （2，1，2） （）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； （）在该样品的一等品中，随机抽取 2 件产品， （i）用产
34、品编号列出所有可能的结果； （ii）设事件 B 为“在取出的 2 件产品中，每件产品的综合指标 S 都等于 4” ，求事件 B 发生的概率 【分析】 （）用综合指标 Sx+y+z 计算出 10 件产品的综合指标并列表表示，则样本的 一等品率可求； （） （i）直接用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取 2 件产品的所有等可能结 果； （ii）列出在取出的 2 件产品中，每件产品的综合指标 S 都等于 4 的所有情况，然后利用 古典概型概率计算公式求解 【解答】解： （）计算 10 件产品的综合指标 S，如下表： 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 S 4
35、4 6 3 4 5 4 5 3 5 其中 S4 的有 A1，A2，A4，A5，A7，A9共 6 件，故样本的一等品率为 从而可估计该批产品的一等品率为 0.6； （） （i）在该样本的一等品种，随机抽取 2 件产品的所有可能结果为A1，A2，A1， 第 19 页（共 24 页） A4，A1，A5， A1，A7，A1，A9，A2，A4，A2，A5，A2，A7，A2，A9，A4，A5，A4，A7， A4，A9，A5，A7，A5，A9，A7，A9共 15 种 （ii）在该样本的一等品种，综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 A1，A2，A5，A7 则事件 B 发生的所有可能结果为A1，A2，A1
36、，A5，A1，A7，A2，A5，A2，A7， A5，A7，共 6 种 所以 p（B） 【点评】本题考查了随机事件，考查了用样本的数字特征估计总体的数字特征，考查了 古典概型及其概率计算公式，是基础题 20 （12 分）已知椭圆+1（ab0）经过点（0，） ，离心率为，左右焦点分 别为 F1（c，0） ，F2（c，0） （）求椭圆的方程； （）若直线 l：yx+m 与椭圆交于 A、B 两点，与以 F1F2为直径的圆交于 C、D 两点，且满足，求直线 l 的方程 【分析】 （）由题意可得，解出即可 （） 由题意可得以 F1F2为直径的圆的方程为 x2+y21 利用点到直线的距离公式可得： 圆心到直
37、线 l 的距离 d 及 d1， 可得 m 的取值范围 利用弦长公式可得|CD|2 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 把直线 l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而 得到弦长|AB|由，即可解得 m 第 20 页（共 24 页） 【解答】解： （）由题意可得， 解得，c1，a2 椭圆的方程为 （）由题意可得以 F1F2为直径的圆的方程为 x2+y21 圆心到直线 l 的距离 d， 由 d1，可得 （*） |CD|2 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 联立， 化为 x2mx+m230， 可得 x1+x2m， |AB| 由，得， 解得满足（*） 因此直线 l 的方程为 【
38、点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问题、 点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难 题 21 （12 分）如图所示，四棱锥 SABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形，ABCD，对角线 AC 与 BD 交于点 O，OA3，OD1，CD，SO底面 ABCD （1）求证：SABD； 第 21 页（共 24 页） （2）若四棱锥 SABCD 的体积 V8，求二面角 ASBC 的平面角的正弦值 【分析】 （1） 由已知条件推导出 OCOD， ACBD， 从而 BDSO， 进而 BD平面 SOA， 由此能证明 SABD （2）建立空间
39、直角坐标系，利用向量法能求出二面角 ASBC 的平面角的正弦值 【解答】 （1）证明：OD1，底面 ABCD 这等腰梯形， OC1，又 CD，OCOD， ACBD，又 SO底面 ABCD，BDSO， ACSO0， BD平面 SOA， SABD （2）底面 ABCD 为等腰梯形，且 ACBD， 梯形 ABCD 的面积 S， 四棱锥 SABCD 的体积 V8，解得 SO3 建立空间直角坐标系，如图所示， 则 O（0，0，0） ，A（3，0，0） ， B（0，3，0） ，C（1，0，0） ，S（0，0，3） ， （3，0，3） ，（0，3，3） ，（1，0，3） ， 令平面 SAB 的法向量（x，y
40、，z） ， 则， 取 x1，得（1，1，1） ， 设平面 SBC 的法向量（x1，y1，z1） ， 第 22 页（共 24 页） 则， 解得（3，1，1） ， 设二面角 ASBC 的平面角为 ， 则|cos|cos|， sin 【点评】本题考查异面直线的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题， 注意空间思维能力的培养 22 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，A 为 C 上异于原点的任意一点， 过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B，交 x 轴的正半轴于点 D，且有|FA|FD|当点 A 的横 坐标为 3 时，ADF 为正三角形 （1）求 C 的方程； （
41、2）若直线 l1l，且 l1和 C 有且只有一个公共点 E， 证明直线 AE 过定点，并求出定点坐标 ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的 p 值； （2）设出点 A 的坐标，求出直线 AB 的方程，利用直线 l1l，且 l1和 C 有且只有一 个公共点 E，求出点 E 的坐标，写出直线 AE 的方程，将方程化为点斜式，可求出定点； 利用弦长公式求出弦 AB 的长度，再求点 E 到直线 AB 的距离，得到关于面积的函数 关系式，再利用基本不等式求最小值 【解答】解： （1）如图所示，由题意
42、可得：xA3 时，ADF 是等边三角形，|AF|3+， 3，解得 p2抛物线 C 的方程为：y24x 第 23 页（共 24 页） （2）证明：设 A（x1，y1） ， |FA|FD|x1+1， D（x1+2，0） ， kAB 由直线 l1l 可设直线 l1方程为 yx+m， 联立方程，消去 x 得+8y8m0 由 l1和 C 有且只有一个公共点得64+32y1m0，y1m2， 这时方程的解为 y，代入 yx+m， 得 xm2，E（m2，2m） 点 A 的坐标可化为，直线 AE 方程为 y2m（xm2） ， 即 y2m（xm2） ， 令 y0，可得 x1， 直线 AE 过定点（1，0） 设 B（x2，y2） 直线 AB 的方程为，即 x+2 联立方程，消去 x 得 y2+y0， y1+y2，y1y2， |AB|y1y2| 第 24 页（共 24 页） E， 点 E 到直线 AB 的距离为：d， ABE的面积Sd|AB| 16， 当且仅当 y12 时等号成立， ABE 的面积最小值为 16 【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、直 线与抛物线相切切线问题、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、基本不等式的 性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题
