1、给出下列说法： 命题“若 30，则”的否命题是假命题；命题 p：x0R，使 sinx0 0.5，则p：xR，sinx0.5； “”是“函数 ysin（2x+）为偶函数”的充要条件； 命题 p：“， 使” ， 命题 q：“在ABC 中， 若 sinAsinB， 则 AB” ，那么命题（p）q 为真命题 其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 2 （3 分）用数学归纳法证明“5n2n能被 3 整除”的第二步中，nk+1 时，为了使用假设， 应将 5k+12k+1变形为（ ） A5（5k2k）+32k B （5k2k）+45k2k C （52） （5k2k） D2（5k2k）35k 3 （3
2、 分） 若直线 l 的参数方程为， 则直线 l 倾斜角的余弦值为 （ ） A B C D 4 （3 分）在极坐标系中，曲线 26cos2sin+60 与极轴交于 A，B 两点，则 A，B 两点间的距离等于（ ） A B C D4 5 （3 分）方程 sin+cos+k 的曲线不经过极点，则 k 的取值范围是（ ） Ak0 BkR C D 6 （3 分）已知抛物线上的点 P 到焦点 F 的距离为 4，则OPF 的面积为（ ） A2 B4 C8 D16 7 （3 分）设 F1，F2分别是椭圆的左右焦点，点 P 在椭圆 C 上， 线段 PF1的中点在 y 轴上，若PF1F245，则椭圆的离心率为（
3、） 第 2 页（共 21 页） A1 B+1 C D 8（3 分） 直线 yx 绕原点逆时针方向旋转后与双曲线 C：的 渐近线重合，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C2 D4 9 （3 分）函数，则 f（x）的最大值是（ ） A B C1 D2 10 （3 分）已知 a，b，cR+，则 a2（a2bc）+b2（b2ac）+c2（c2ab）的正负情况是 （ ） A大于零 B大于等于零 C小于零 D小于等于零 11 （3 分）过双曲线的右焦点 F（c，0）作其渐近线的 垂线，垂足为 M，若（O 为坐标原点） ，则双曲线（a0，b0） 的标准方程为（ ） A B C D 12 （3 分） 曲
4、线上的一点 P （x， y） 到直线 x+y40 的距离的取值范围为 （ ） A B C D 13 （3 分）在平面直角坐标系中，O 为原点，A（1，0） ，B（0，） ，C（3，0） ，动点 D 满足|1，则|+|的取值范围是（ ） A4，6 B1，+1 C2，2 D1，+1 14 （3 分）已知双曲线 C 的焦点在 y 轴上，离心率为，点 P 是抛物线 y24x 上的一动 点， P 到双曲线 C 的上焦点 F1（0， c） 的距离与到直线 x1 的距离之和的最小值为， 则该双曲线的方程为（ ） 第 3 页（共 21 页） A B C D 15 （3 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满
5、足 f（x）f（x）6x+2sinx0，且 x0 时， f（x）3cosx 恒成立，则不等式 f（x）f（x）+6x+cos（x+） 的解集为（ ） A B C D 16 （3 分）若函数 f（x）ex（m+1）lnx+2（m+1）x1 恰有两个极值点，则实数 m 的 取值范围为（ ） A （e2，e） B （） C （） D （，e1） 二、填空题二、填空题 17 （3 分）平面直角坐标系中，若点 P（3，）经过伸缩变换后的点为 Q， 则极坐标系中，极坐标为 Q 的点到极轴所在直线的距离等于 18 （3 分）已知函数 f（x）|xk|+|x2k|，若对任意的 xR，f（x）f（3）f（4）都
6、 成立，则 k 的取值范围为 19 （3 分）平面直角坐标系 xoy 中，点 A（2，0）在曲线 C：（ 为参数，a 0）上以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点 M，N 的极坐标分别 为（1，） ， （2，+） ，且点 M，N 都在曲线 C 上，则 20 （3 分）已知正实数 a、b、c 满足+1，+1，则实数 c 的取值范围 是 三、解答题三、解答题 21在平面直角坐标系中，已知曲线 C：（ 为参数）和定点， F1，F2是曲线 C 的左、右焦点，以原点 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴且取相同单 位长度建立极坐标系 （1）求直线 AF1的极坐标方程； 第 4 页（共
7、 21 页） （2） 经过点 F2且与直线 AF1垂直的直线 l 交曲线 C 于 M， N 两点， 求|MF1|NF1|的值 22已知函数 f（x）|x+a|+|xb| （1）当 a2，b1 时，求不等式 f（x）5 的解集； （2）若 a，bR+，f（x）的最小值为 1，求证： （ax+by）2ax2+by2 23已知函数 f（x）|x+2|+|x3| （1）解不等式 f（x）3x2； （2）若函数 f（x）最小值为 M，且 2a+3bM（a0，b0） ，求的最小值 24已知函数 f（x）elnxx+1 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）证明：（nN*，且 n2） 第 5 页（共 21
8、页） 2019-2020 学年河南省安阳市林州一中实验班高二（下）第二次学年河南省安阳市林州一中实验班高二（下）第二次 检测数学试卷（理科）检测数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题一、单选题 1 （3 分）给出下列说法： 命题“若 30，则”的否命题是假命题；命题 p：x0R，使 sinx0 0.5，则p：xR，sinx0.5； “”是“函数 ysin（2x+）为偶函数”的充要条件； 命题 p：“， 使” ， 命题 q：“在ABC 中， 若 sinAsinB， 则 AB” ，那么命题（p）q 为真命题 其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】先求出
9、否命题，然后去判断利用特称命题和全称命题否定之间的关系判 断利用充分必要条件的关系判断利用复合命题的与简单命题之间的关系进行判 断 【解答】解：原命题的否命题为“若 30，则 sin ” ，当 150时，满足 30，但 sin ，所以原命题的否命题是假命题，所以的判断正确 特称命题的否定是全称命题，所以p： “xR，sin x0.5，所以正确 若函数 ysin（2x+）为偶函数，则 +k（kZ） ，所以 +2k（kZ） 不是“函数 ysin（2x+）为偶函数”的充要条件，所以错误 因为，当 x0，时，sinx+cosxsin（x+） ，x+，sin （x+）1，此时不存在 x0，使，所以命题
10、p 为假命题 在ABC 中，若 sin Asin B，由正弦定理得 ab，根据大边对大角关系可得，AB， 所以命题 q 为真，所以p 为真，所以命题pq 为真命题，所以正确 故选：C 第 6 页（共 21 页） 【点评】 本题考查了三角函数的求值， 三角函数的性质， 正弦定理， 以及简单逻辑用语 当 求三角函数值域时，若对 x 的范围有限制，要结合自变量的取值范围，进行判断 2 （3 分）用数学归纳法证明“5n2n能被 3 整除”的第二步中，nk+1 时，为了使用假设， 应将 5k+12k+1变形为（ ） A5（5k2k）+32k B （5k2k）+45k2k C （52） （5k2k） D2
11、（5k2k）35k 【分析】本题考查的数学归纳法的步骤，在使用数学归纳法证明“5n2n能被 3 整除” 的过程中，由 nk 时成立，即“5k2k能被 3 整除”时，为了使用已知结论对 5k+12k+1 进行论证，在分解的过程中一定要分析出含 5k2k的情况 【解答】解：假设 nk 时命题成立，即：5k2k被 3 整除 当 nk+1 时， 5k+12k+155k22k 5（5k2k）+52k22k 5（5k2k）+32k 故选：A 【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集 N 相关的性质，其步骤为：设 P（n） 是关于自然数 n 的命题，若 1） （奠基） P（n）在 n1 时成立；2） （
12、归纳） 在 P（k） （k 为任意自然数）成立的假设下可以推出 P（k+1）成立，则 P（n）对一切自然数 n 都 成立 3 （3 分） 若直线 l 的参数方程为， 则直线 l 倾斜角的余弦值为 （ ） A B C D 【分析】先求直线 L 的普通方程，由方程可得直线的斜率 k，即 tan 的值，结合 的范 围，根据同角基本关系可求 cos 【解答】解：直线 l 的参数方程为， ，即， 直线 L 的普通方程为 4x+3y100 第 7 页（共 21 页） 直线的斜率 k即 故选：B 【点评】本题目主要考查了直线方程的参数方程转化为普通方程，直线的倾斜角与斜率 的关系及同角基本关系的应用，解题中
13、在由 tan 求 cos 时要注意倾斜角 的范围 4 （3 分）在极坐标系中，曲线 26cos2sin+60 与极轴交于 A，B 两点，则 A，B 两点间的距离等于（ ） A B C D4 【分析】首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用在 x 轴上的两根和与两根 积的关系式，利用两点间的距离公式求出结果 【解答】解：曲线 26cos2sin+60 转化成直角坐标方程为： x2+y26x2y+60 由于曲线与极轴交于 A，B 两点， 设交点坐标为：A（x1，0） ，B（x2，0） ， 令 y0，则：x26x+60， 所以：x1+x26，x1x26 则：|AB|x1x2|2 故选：B 【点
14、评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，两点间的距离公式 的应用，及相关的运算问题 5 （3 分）方程 sin+cos+k 的曲线不经过极点，则 k 的取值范围是（ ） Ak0 BkR C D 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和函数的性质的应用求出结果 【解答】解：当 0 时，sin+cosk， 若此方程无解，由， 所以当 时，方程无解 故选：C 第 8 页（共 21 页） 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角 函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能 力及思维能力，属于基础题型 6 （3 分）
15、已知抛物线上的点 P 到焦点 F 的距离为 4，则OPF 的面积为（ ） A2 B4 C8 D16 【分析】化抛物线的方程为标准方程，求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定 义可得 n 的方程，求得 n，m，再由三角形的面积公式计算可得所求值 【解答】解：抛物线即 x28y 的焦点 F（0，2） ，准线方程为 y2， 设 P（m，n） ，由抛物线的定义可得|PF|n+24， 解得 n2，m4， 则OPF 的面积为|OF|m|244， 故选：B 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题 7 （3 分）设 F1，F2分别是椭圆的左右焦点，点 P 在椭圆 C
16、上， 线段 PF1的中点在 y 轴上，若PF1F245，则椭圆的离心率为（ ） A1 B+1 C D 【分析】由已知条件推导出 PF2x 轴，结合已知条件以及椭圆的定义，列出 a，c 关系， 由此能求出椭圆的离心率 【解答】解：线段 PF1的中点在 y 轴上 设 P 的横坐标为 x，F1（c，0） ， c+x0，xc； P 与 F2的横坐标相等，PF2x 轴， PF1F245， PF2PF1， PF1+PF22a，2+2c2a， e1 故选：A 第 9 页（共 21 页） 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的简 单性质的灵活运用 8（3 分） 直线 yx
17、绕原点逆时针方向旋转后与双曲线 C：的 渐近线重合，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C2 D4 【分析】由题意可得渐近线的倾斜角为，所以斜率为，可得 a，b 的关系，再由离 心率与 a，b，c 之间的关系求出离心率 【解答】解：因为直线 yx 的斜率为 1，倾斜角为，由题意可得渐近线的倾斜角为 ，所以斜率为，即， 所以离心率 e2， 故选：C 【点评】考查双曲线的性质，属于基础题 9 （3 分）函数，则 f（x）的最大值是（ ） A B C1 D2 【分析】f（x）+cosx|sinx|+cosxsin（x+），即可得出最 大值 【解答】解：f（x）+cosx|sinx|+cosxsi
18、n（x+）， 可得 f（x）的最大值是，当 cosx时取等号 故选：A 【点评】本题考查了三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 10 （3 分）已知 a，b，cR+，则 a2（a2bc）+b2（b2ac）+c2（c2ab）的正负情况是 （ ） A大于零 B大于等于零 C小于零 D小于等于零 【分析】可 abc0，得出 a3b3c3，利用排序不等式得出 a2（a2bc）+b2（b2 第 10 页（共 21 页） ac）+c2（c2ab）0 【解答】解：设 abc0，所以 a3b3c3， 根据排序不等式，a3a+b3b+c3ca3b+b3c+c3a， 且 abacbc
19、，a2b2c2， 所以 a3b+b3c+c3aa2bc+b2ca+c2ab； 所以 a4+b4+c4a2bc+b2ca+c2ab， 即 a2（a2bc）+b2（b2ac）+c2（c2ab）0 故选：B 【点评】本题考查了不等式的性质与应用问题，也考查了转化与应用能力，是基础题 11 （3 分）过双曲线的右焦点 F（c，0）作其渐近线的 垂线，垂足为 M，若（O 为坐标原点） ，则双曲线（a0，b0） 的标准方程为（ ） A B C D 【分析】求得 F 到渐近线的距离，运用勾股定理可得|OM|，再由三角形的面积公式，解 方程可得 c，再由 a，b，c 的关系和渐近线方程，解方程可得 a，b 的
20、值，即可得到所求 双曲线的方程 【解答】解：F（c，0）到渐近线x2y0 的距离为|FM|， 在直角三角形 OMF 中， |OM|， 由， 可得|MF|OM|4， 解得 c2， 即为 a2+b228， 第 11 页（共 21 页） 由渐近线方程 yx， 可得， 解得 a4，b2， 则双曲线的方程为1 故选：C 【点评】不易考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，以及点到直线的距 离公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题 12 （3 分） 曲线上的一点 P （x， y） 到直线 x+y40 的距离的取值范围为 （ ） A B C D 【分析】曲线化简可得为椭圆的上半部分，要求曲线上的点
21、到直线的距离，做直线 x+y 40 的平行线，与椭圆相切时取得最小值，两条平行线的距离即是点到直线的距离的 范围 【解答】解：由，得， 可知曲线 为椭圆在 x 轴上方的部分（包括左、右顶点） ， 作出曲线 的大致图象如图所示， 当点 P 取左顶点时，所求距离最大， 且最大距离为， 第 12 页（共 21 页） 当直线 x+y40 平移至与半椭圆相切时， 切点 P 到直线 x+y40 的距离最小， 设切线方程为 x+y+m0， 联立方程得， 消去 y，得 9x2+16mx+8m280， 由0，得m2+90，所以 m3， 由图可知 m3，所以最小值为， 故所求的取值范围为 故选：D 【点评】考查直
22、线与椭圆的综合，属于中档题 13 （3 分）在平面直角坐标系中，O 为原点，A（1，0） ，B（0，） ，C（3，0） ，动点 D 满足|1，则|+|的取值范围是（ ） A4，6 B1，+1 C2，2 D1，+1 【分析】由于动点 D 满足|1，C（3，0） ，可设 D（3+cos，sin） （0，2） ） 再 利用向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出 【解答】解：动点 D 满足|1，C（3，0） ， 可设 D（3+cos，sin） （0，2） ） 又 A（1，0） ，B（0，） ， + |+| ， （其中 sin，cos） 第 13 页（共 21 页） 1sin
23、（+）1， sin（+）， |+|的取值范围是 或|+|+|，（2，） ， 将其起点平移到 D 点，由其与 CD 同向反向时分别取最大值、最小值，即|+| 的取值范围是 故选：D 【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性 等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题 14 （3 分）已知双曲线 C 的焦点在 y 轴上，离心率为，点 P 是抛物线 y24x 上的一动 点， P 到双曲线 C 的上焦点 F1（0， c） 的距离与到直线 x1 的距离之和的最小值为， 则该双曲线的方程为（ ） A B C D 【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，
24、根据三角形两边之和不小于第三边，转化 求解双曲线的 a，b，得到双曲线方程 【解答】解：设 F 为抛物线 y24x 的焦点，则 F（1，0） ，拋物线 y24x 准线方程为 x 1， 因此 P 到双曲线 C 的上焦点 F1（0， c） 的距离与到直线 x1 的距离之和等于 PF1+PF， 因为 PF1+PFF1F，所以，即， ，又，a24，b23， 即双曲线的方程为 故选：B 【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 第 14 页（共 21 页） 15 （3 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）f（x）6x+2sinx0，且 x0 时， f（x
25、）3cosx 恒成立，则不等式 f（x）f（x）+6x+cos（x+） 的解集为（ ） A B C D 【分析】结合已知不等式可构造函数 g（x）f（x）3x+sinx，结合单调性及奇偶性即 可求解不等式 【解答】解：x0 时，f（x）3cosx 恒成立，即 f（x）3+cosx0 恒成立， 由 f（x）f（x）6x+2sinx0 构造 f（x）3x+sinxf（x）+3xsinx， 令 g（x）f（x）3x+sinx，g（x）g（x） ， 则 g（x）为偶函数，且 x0，g（x）单调递增，结合偶函数的对称性可知 g（x）在 x0 时单调递减， 由， 化简得， 即， 解得：， 故选：B 【点评
26、】本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性求解不等式，解题的关键是函数的 构造 16 （3 分）若函数 f（x）ex（m+1）lnx+2（m+1）x1 恰有两个极值点，则实数 m 的 取值范围为（ ） A （e2，e） B （） C （） D （，e1） 【分析】求函数的导数，结合函数有两个极值，等价为 f（x）0 有两个不同的根，利 用参数分离法转化为两个函数图象交点问题进行求解即可 【解答】解：函数的导数 f（x）ex+2（m+1） ，x0 因为函数 f（x）恰有两个极值点， 所以函数 f（x）有两个不同的零点 第 15 页（共 21 页） 令 f（x）ex+2（m+1）0，得m+1 有两个
27、不同的实数根， 记：h（x）， 所以 h（x）， 当 x（0，）时，h（x）0，此时函数 h（x）在此区间上递增， 当 x（，1）时，h（x）0，此时函数 h（x）在此区间上递增， 当 x（1，+）时，h（x）0，此时函数 h（x）在此区间上递减， 即当 x1 时，h（x）取得极大值 h（1）e 作出 h（x）的简图如下： 要使得 h（x）m+1 有两个不同的实数根，则 m+1e， 即 me1 故选：D 【点评】本题主要考查了极值点与导数的关系，还考查了转化思想及计算能力，考查了 函数图象与导数的关系，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点问题是解 决本题的关键 二、填空题二、填空题
28、17 （3 分）平面直角坐标系中，若点 P（3，）经过伸缩变换后的点为 Q， 则极坐标系中，极坐标为 Q 的点到极轴所在直线的距离等于 3 第 16 页（共 21 页） 【分析】先根据伸缩变换求出 Q，然后在极坐标系中求|sin|3 【解答】解：点 P（3，）经过伸缩变换后的点为 Q（6，） ， 在极坐标系中 Q（6，）到极轴所在直线的距离为|sin|6sin|3 故答案为：3 【点评】本题考查了参数方程化普通方程，属中档题 18 （3 分）已知函数 f（x）|xk|+|x2k|，若对任意的 xR，f（x）f（3）f（4）都 成立，则 k 的取值范围为 2，3 【分析】利用绝对值的几何意义得出
29、 f（x）f（3）f（4）都成立，意义为 k，2k 的距 离之和， 即：即 2k3 成立，求解即可 【解答】解：函数 f（x）|xk|+|x2k|， 函数 f（x）|xk|+|x2k|的最小值为|k|， f（x）f（3）f（4）都成立， 根据绝对值的几何意义得出：即 2k3 故答案为：2，3 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，几何意义，关键是理解给出的条件，属于中 档题 19 （3 分）平面直角坐标系 xoy 中，点 A（2，0）在曲线 C：（ 为参数，a 0）上以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点 M，N 的极坐标分别 为（1，） ， （2，+） ，且点 M，N 都在
30、曲线 C 上，则 【分析】点 A（2，0）在曲线 C 上，推导出曲线 C：的普通方程为 1点 M，N 的直角坐标分别为（1cos，1sin） ， （2cos（+） ，2sin（+） ） 从 而得到（+sin2）+（+cos2） ，由此能求出结果 第 17 页（共 21 页） 【解答】解：点 A（2，0）在曲线 C：（ 为参数，a0）上， a0，a2， 曲线 C：的普通方程为1 由题意得点 M， N 的直角坐标分别为 （1cos， 1sin） ， （2cos （+） ， 2sin （+） ） 点 M，N 在曲线 C1 上， +sin21，+cos21 （+sin2）+（+cos2） 故答案为：
31、【点评】本题考查曲线的参数方程与普通方程的互化及极径平方的倒数和的求法，考查 极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求 解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题 20 （3 分）已知正实数 a、b、c 满足+1，+1，则实数 c 的取值范围是 （1， 【分析】由于+1，+1，可得，化为由于正实数 a、b 满足+1，利用基本不等式的性质可得 ab4，据此可得 c 的取值范围 【解答】解：+1，化为 正实数 a、b 满足+1，化为 ab4 则 c1+，ab13， 则 1c 故答案为： （1， 【点评】本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调
32、性，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题 三、解答题三、解答题 第 18 页（共 21 页） 21在平面直角坐标系中，已知曲线 C：（ 为参数）和定点， F1，F2是曲线 C 的左、右焦点，以原点 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴且取相同单 位长度建立极坐标系 （1）求直线 AF1的极坐标方程； （2） 经过点 F2且与直线 AF1垂直的直线 l 交曲线 C 于 M， N 两点， 求|MF1|NF1|的值 【分析】 （1）消去曲线 C 中的参数 ，可得曲线 C 的普通方程，求出两焦点坐标，写出 直线 AF1的普通方程，结合 xcos，ysin，可得直线 AF1的极坐标方程； （2）由已
33、知求出直线 l 的斜率，得到倾斜角，写出直线 l 的参数方程，代入曲线 C 的普 通方程，化为关于 t 的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时 t 的几何意义求解 【解答】 解： （1） 由曲线 C：（ 为参数） ， 消去参数 ， 可得， 则焦点为 F1（2，0）和 F2（2，0） 经过和 F1（2，0）的直线方程为，即 又 xcos，ysin， 直线 AF1的极坐标方程为，即； （2）由（1）知，直线 AF1的斜率为， lAF1，直线 l 的斜率为，即倾斜角为 150， 直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 代入曲线 C 的方程，得， 即， 点 M，N 在点 F1的两侧， 【点评】本题
34、考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数 方程中参数 t 的几何意义的应用，是中档题 22已知函数 f（x）|x+a|+|xb| 第 19 页（共 21 页） （1）当 a2，b1 时，求不等式 f（x）5 的解集； （2）若 a，bR+，f（x）的最小值为 1，求证： （ax+by）2ax2+by2 【分析】 （1）原不等式等价于|x+2|+|x1|5，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式， 求并集，可得所求解集； （2）由绝对值不等式的性质可得 f（x）的最小值，即 a+b1，再由作差法，结合完全 平方公式，化简可得证明 【解答】解： （1）不等式 f（x）5 等价于
35、|x+2|+|x1|5， 当 x2 时，（x+2）（x1）5，解得 x3； 当2x1 时， （x+2）（x1）5，即 35，不等式无解； 当 x1 时， （x+2）+（x1）5，解得 x2， 综上所述，不等式 f（x）5 的解集为x|x3 或 x2； （2）证明：因为 a，bR+，所以 f（x）|x+a|+|xb|（x+a）（xb）|a+b， 当（x+a） （xb）0 时，上式取得等号，则 a+b1， 所以 a1b，b1a， 则（ax+by）2（ax2+by2）a（a1）x2+b（b1）y2+2abxy ab（x2+y22xy）ab（xy）2， 因为ab（xy）20，所以（ax+by）2ax2
36、+by2， 当且仅当 xy 时等号成立 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，以及不等式的证 明，考查分类讨论思想和作差法的运用，考查化简整理的运算能力和推理能力，属于中 档题 23已知函数 f（x）|x+2|+|x3| （1）解不等式 f（x）3x2； （2）若函数 f（x）最小值为 M，且 2a+3bM（a0，b0） ，求的最小值 【分析】 （1）根据 f（x）3x2，分 x3，2x3 和 x2 三种情况分别解不等式 即可； （2） 先利用绝对值三角不等式求出 f （x） 的最小值 M， 然后利用基本不等求出 的最小值 【解答】解： （1）f（x）|x+2|+|x3
37、|，f（x）3x2， 第 20 页（共 21 页） 当 x2 时，x2x+33x2，即，无解； 当2x3 时，x+2x+33x2，即，得； 当 x3 时，x+2+x33x2，即 x1，得 x3 故所求不等式的解集为 （2）f（x）|x+2|+|x3|（x+2）（x3）|5， 2a+3b5（a0，b0） ，则 2a+1+3（b+1）9， 当且仅当，即时取等号 故的最小值为 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用基本不等式求最值， 考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题 24已知函数 f（x）elnxx+1 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）证明：（nN*，且 n2） 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解； （2）结合（1）的结论可知，然后对 x 进行赋值即可证明 【解答】解： （1）函数 f（x）的定义域为（0，+） ， 在（0，e）上，f（x）0，在（e，+）上，f（x）0 f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减 （2）由（1）知 f（x）f（e）1， elnxx+11， 即，当且仅当 xe 时取等号 从而， 第 21 页（共 21 页） ， ， 【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及利用单调性证明不等式，善于利 用已经证明的结论是证明（2）的关键
