1、已知 x，y 是两个变量，下列四个关系中，x，y 呈负相关的是（ ） Ayx21 Byx2+1 Cyx1 Dyx+1 2 （5 分）函数 f（x）x2+2c（cR）在区间1，3上的平均变化率为（ ） A2 B4 C2c D4c 3 （5 分）双曲线 C：的离心率是（ ） A3 B C2 D 4 （5 分）函数的单调增区间为（ ） A （0，1） B C （1，+） D 5 （5 分）设曲线 yaxex在点（0，1）处的切线方程为 xy10，则实数 a（ ） A0 B1 C2 D3 6 （5 分）某公司在 20142018 年的收入与支出情况如表所示： 收入 x（亿元） 2.2 2.4 3.8
2、5.2 6.0 支出 y（亿元） 0.2 1.5 2.0 2.5 3.8 根据表中数据可得回归直线方程为， 依此估计如果 2019 年该公司收入为 8 亿 元时的支出为（ ） A4.502 亿元 B4.404 亿元 C4.358 亿元 D4.856 亿元 7 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S86S3，a2n+12an+1，则 S10（ ） A90 B110 C45 D55 8 （5 分）已知双曲线，点 F1，F2是双曲线的左、右焦点，点 P 是双曲线右支上一点，且|PF1|F1F2|，则双曲线的渐近线方程为 （ ） 第 2 页（共 18 页） Ayx B C Dy2x 9
3、 （5 分）设函数，若 x0 时，f（x）0，则实数 a 的取值 范围是（ ） A （0，+） B （，12） C （，0） D （12，+） 10 （5 分）已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若4，则|QF|（ ） A B3 C D2 11 （5 分）已知函数 f（x）x2+2x+a（x0） ，点 A（x1，f（x1） ） 、B（x2，f（x2） ）为函数 f （x） 图象上两点， 且过 A、 B 两点的切线互相垂直， 若 x1x2， 则 x2x1的最小值为 （ ） A1 B C D2 12 （5 分）若两个正实数
4、x，y 满足，并且恒成立，则 实数 m 的取值范围是（ ） A （，8）（2，+） B （，2）（8，+） C （，2） D （2，8） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）不等式 x23x+42 的解集为 14 （5 分）若实数 x，y 满足，则 z3x4y 的最小值为 15 （5 分）椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点 A 的坐标为 ，若AF1F2的内切圆的面积为，则椭圆方程为 16 （5 分）已知抛物线 y22px（0p2）的焦点为 F，以 M（+4，0）为圆心，|MF|长 为半径画圆，在第一象限
5、交抛物线于 A、B 两点，则|AF|+|BF|的值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17 （10 分）为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班 60 人进行了问卷调查 得到了如下的列联表： 第 3 页（共 18 页） 喜好体育运动 不喜好体育运动 合计 男生 5 女生 10 合计 60 已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为 12 的样本，则抽到喜好体育运动 的人数为 7 （1）请将上面的列联表补充完整； （2）能否在犯错误的概率不超过 0
6、.001 的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你 的理由； 下面的临界值表供参考： P（K2 k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：，其中 na+b+c+d） 18（12 分） 已知数列an中， a11， a3a23， 且满足 （1）求实数 k 的值； （2）若 k0，求数列an的通项公式 19 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点在抛物线 C 上， 且|PF|3 （1）求抛物线 C 的方程； （2）过焦点 F 的
7、直线 l 与抛物线分别交于 A，B 两点，点 A，B 的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） ，O 为坐标原点，若，求直线 l 的方程 20 （12 分）已知函数 f（x）x23xalnx 的一个极值点为 2 （1）求函数 f（x）的极值； （2）求证：函数 f（x）有两个零点 21 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，四个点， 第 4 页（共 18 页） 中有 3 个点在椭圆 C：上 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点（A，B 不是椭圆 C 的顶点） ，点 D 在椭圆 C 上，且 ADAB，直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M
8、、N 两点，设直线 AM，AN 的斜率分 别为 k1，k2，证明：存在常数 使得 k1k2，并求出 的值 22 （12 分）已知函数 f（x）lnx2x，g（x）ax2+ax2 （1）若曲线 yf（x）与 yg（x）在点（1，2）处有相同的切线，求函数 f（x）g （x）的极值； （2）若 h（x）f（x）g（x） ，讨论函数 h（x）的单调性 第 5 页（共 18 页） 2019-2020 学年河南省开封市五县联考高二（上）期末数学试卷学年河南省开封市五县联考高二（上）期末数学试卷 （文科）（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，
9、每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知 x，y 是两个变量，下列四个关系中，x，y 呈负相关的是（ ） Ayx21 Byx2+1 Cyx1 Dyx+1 【分析】根据题意，由变量的负相关的定义依次分析选项，综合即可得答案 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，yx21，当 x 增大时，y 的值不一定减小，两个变量不是负相关，不符合题意； 对于 B，yx21，当 x 增大时，y 的值不一定减小，两个变量不是负相关，不符合题 意； 对于 C，yx1，当 x
10、 增大时，y 的值一定增大，两个变量正相关，不符合题意； 对于 D，yx+1，当 x 增大时，y 的值一定减小，两个变量负相关，符合题意； 故选：D 【点评】本题考查变量的相关关系，注意负相关的定义，属于基础题 2 （5 分）函数 f（x）x2+2c（cR）在区间1，3上的平均变化率为（ ） A2 B4 C2c D4c 【分析】根据题意，由函数的解析式结合变化率的计算公式，计算可得答案 【解答】解：根据题意，f（x）x2+2c， 则有 ； 故选：B 【点评】本题考查变化率的计算，注意变化率的计算公式，属于基础题 3 （5 分）双曲线 C：的离心率是（ ） A3 B C2 D 【分析】利用双曲线
11、方程，化为标准形式，然后求解 a，c 得到离心率即可 第 6 页（共 18 页） 【解答】解：双曲线 C：化为标准方程是， 其离心率是 故选：D 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 4 （5 分）函数的单调增区间为（ ） A （0，1） B C （1，+） D 【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解 【解答】解：函数的定义域（0，+） ， ， 故函数的单调递增区间（） 故选：D 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础试题 5 （5 分）设曲线 yaxex在点（0，1）处的切线方程为 xy10，则实数 a（ ） A0 B1 C2
12、D3 【分析】由已知切线方程结合导数的几何意义即可求解 a 的值 【解答】解：将点 x0 代入曲线 yaxex中，得 ya0e01， 所以点（0，1）在曲线 yaxex上， 求导得 yaex， 则曲线 yaxex在点（0，1）处的切线的斜率为 y|x0a1 因为已知切线方程为 xy10，所以切线的斜率为 1 依题意，a11，解得 a2 故选：C 【点评】本题主要考查了导数的几何意义的简单应用，属于基础试题 6 （5 分）某公司在 20142018 年的收入与支出情况如表所示： 收入 x（亿元） 2.2 2.4 3.8 5.2 6.0 支出 y（亿元） 0.2 1.5 2.0 2.5 3.8 第
13、 7 页（共 18 页） 根据表中数据可得回归直线方程为， 依此估计如果 2019 年该公司收入为 8 亿 元时的支出为（ ） A4.502 亿元 B4.404 亿元 C4.358 亿元 D4.856 亿元 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，进一步求得 ，得到线性回归方程，取 x8 求得 y 值即可 【解答】解：3.92， 2.18， 0.564 取 x8，得 故选：D 【点评】本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键， 是基础题 7 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S86S3，a2n+12an+1，则 S10（ ） A90 B110 C45
14、D55 【分析】由 S86S3，化简得：a1d，ana1+（n1）dna1，又a2n+12an+1，解 得：a11，ann，从而求出 S10的值 【解答】解：S86S3，化简得：a1d， ana1+（n1）dna1， 又a2n+12an+1，（2n+1）a12na1+1， 解得：a11， ann， 则 S1055， 故选：D 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式与前 n 项和公式，是中档题 第 8 页（共 18 页） 8 （5 分）已知双曲线，点 F1，F2是双曲线的左、右焦点，点 P 是双曲线右支上一点，且|PF1|F1F2|，则双曲线的渐近线方程为 （ ） Ayx B C Dy2x 【
15、分析】取 PF2的中点 H，因此，F1HPF2，根据直角三角形性质，即可判断 c2a， 利用双曲线的性质，即可求得双曲线的渐近线方程 【解答】解：如图取 PF2的中点 H，则 F1HPF2，由 PF1F1F22c，则 PF2PF1 2a2c2a，故有 PHca， ，得 c2a， 所以， 则双曲线的渐近线方程为 故选：C 【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，双曲线的渐近线方程的应用，考查转化思想， 属于基础题 9 （5 分）设函数，若 x0 时，f（x）0，则实数 a 的取值 范围是（ ） A （0，+） B （，12） C （，0） D （12，+） 【分析】对不等式化简，分离参数，构造函数
16、 g（x）并求最小解，代入即可 【解答】解：x0 时，f（x）0， 得，x0 成立， 第 9 页（共 18 页） ， 令， 则（x0） ， 令 2（x+1）316，得 x1， 故当 x（0，1）时，g（x）递减；x1，+）时，g（x）递增， g（x）有最小值 g（1） ， g（x）g（1）12， a12， 故选：B 【点评】考查导数法判断函数的单调性和利用单调性求不等式的解集，中档题 10 （5 分）已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若4，则|QF|（ ） A B3 C D2 【分析】求得直线 PF 的方程，与 y28
17、x 联立可得 x1，利用|QF|d 可求 【解答】解：设 Q 到 l 的距离为 d，则|QF|d， 4， |PQ|3d， 不妨设直线 PF 的斜率为2， F（2，0） ， 直线 PF 的方程为 y2（x2） ， 与 y28x 联立可得 x1， |QF|d1+23， 故选：B 【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题 11 （5 分）已知函数 f（x）x2+2x+a（x0） ，点 A（x1，f（x1） ） 、B（x2，f（x2） ）为函数 f （x） 图象上两点， 且过 A、 B 两点的切线互相垂直， 若 x1x2， 则 x2x1的最小值为 （ ） 第 10 页（
18、共 18 页） A1 B C D2 【分析】求导后，根据斜率之积为1，从而得到，再利用基本不等 式求得最值 【解答】 解： f （x） 2x+2 （x0） ， 依题意，（2x1+2）（2x2+2） 1， 即， ，当且仅当“”时取等号 故选：A 【点评】本题考查了导数的几何意义，两直线垂直的条件即基本不等式的运用等知识点， 属于基础题 12 （5 分）若两个正实数 x，y 满足，并且恒成立，则 实数 m 的取值范围是（ ） A （，8）（2，+） B （，2）（8，+） C （，2） D （2，8） 【分析】由乘 1 法和基本不等式，求得原不等式左边的最小值，由恒成立思想，结合二 次不等式的解法
19、可得所求范围 【解答】解：因为，所以 所以 ， 当且仅当，即 x64，y4 时等号成立， 所以由恒成立，得 16m26m， 即 m26m160，解得2m8 所以实数 m 的取值范围是（2，8） 故选：D 【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和基本不等式，考查运算 能力，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 第 11 页（共 18 页） 13 （5 分）不等式 x23x+42 的解集为 （，1）（2，+） 【分析】不等式化为 x23x+20，求出解集即可 【解答】解：不等式 x23x+42 可化为 x
20、23x+20， 即（x1） （x2）0， 解得 x1 或 x2， 所以不等式的解集为（，1）（2，+） 故答案为： （，1）（2，+） 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题 14 （5 分）若实数 x，y 满足，则 z3x4y 的最小值为 4 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可的得到结论 【解答】解：画出不扥方式租对应的平面区域： 如图 ABC，B（0，1） ，C（1，0） ， 平移 z3x4y； 过点 B 时截距最大 Z 最小； 即 x0，y1 时，zmin4 故答案为：4 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本
21、题 的关键 15 （5 分）椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点 A 的坐标为 第 12 页（共 18 页） ，若AF1F2的内切圆的面积为，则椭圆方程为 【分析】由题意可得内切圆的半径，和 b 值，用等面积法求出 a，b，c 之间的关系及椭 圆中 a，b，c 的关系求出椭圆的方程 【解答】解：设AF1F2的内切圆的半径为 r，由题意可得：， 由，得（a+c）rbc， ，又，a2c，a2b2+c2，4c23+c2，c1，a2，椭圆方程为 故答案为： 【点评】考查椭圆的性质，属于中档题 16 （5 分）已知抛物线 y22px（0p2）的焦点为 F，以 M（+4，0）为圆心，|MF|长 为半
22、径画圆，在第一象限交抛物线于 A、B 两点，则|AF|+|BF|的值为 8 【分析】利用圆的方程，结合抛物线的性质，转化求解即可 【解答】解：由题知，抛物线的焦点坐标为，则|MF|4， 圆 M 的方程为， 将y22px代入得， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x28p， 故答案为：2 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17 （10 分）为了解某班学生喜好体育运动是否
23、与性别有关，对本班 60 人进行了问卷调查 得到了如下的列联表： 喜好体育运动 不喜好体育运动 合计 男生 5 第 13 页（共 18 页） 女生 10 合计 60 已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为 12 的样本，则抽到喜好体育运动 的人数为 7 （1）请将上面的列联表补充完整； （2）能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你 的理由； 下面的临界值表供参考： P（K2 k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.
24、828 （参考公式：，其中 na+b+c+d） 【分析】 （1）根据题意，设喜好体育运动的人数为 x 人，由分层抽样方法可得， 解可得 x 的值，进而分析可得答案； （2）根据题意，计算可得 k 的值，与临界值比较即可得答案 【解答】解： （1）根据题意，设喜好体育运动的人数为 x 人，由已知得，则 x 35 列联表补充如下： 喜好体育运动 不喜好体育运动 合计 男生 25 5 30 女生 10 20 30 合计 35 25 60 （2）根据题意， 在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为喜好体育运动与性别有关 【点评】本题考查独立性检验的应用，涉及分层抽样方法的应用，属于基础题 18
25、（12 分） 已知数列an中， a11， a3a23， 且满足 （1）求实数 k 的值； 第 14 页（共 18 页） （2）若 k0，求数列an的通项公式 【分析】（1）由，得 ，所以从而得到 ，解出 k 的值即可 （2）在（1）的情况下，若 k0，则 k1，进而推得 an+1an+n+1，有 an+1ann+1， 利用累加法即可求出数列an的通项公式 【解答】解： （1）由，得 ， 所以 所以 a2ka1+1+1ka1+2k+2， 所以， 化简得 k2+k20， 解得 k1 或 k2； （2）在（1）的情况下，若 k0，则 k1，进而推得 an+1an+n+1，有 an+1ann+1， 当
26、 n 2 时 ， an （ an an1） + （ an1 an2） + + （ a2 a1） +a1 ， 由 a11 符合， 故数列an的通项公式为 【点评】本题主要考查了由数列递推式求数列的通项，是中档题 19 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点在抛物线 C 上， 且|PF|3 （1）求抛物线 C 的方程； （2）过焦点 F 的直线 l 与抛物线分别交于 A，B 两点，点 A，B 的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） ，O 为坐标原点，若，求直线 l 的方程 【分析】 （1）通过点在抛物线求出 p，推出抛物线方程 第 15 页（共 18 页） （2）设
27、直线 l 的方程为：myx1，联立方程，消利用韦达定理以及 ，转化求解即可 【解答】解： （1）由点在抛物线 C 上，有，解得 x0p， 由抛物线定义有：，解：p2， 故抛物线 C 的方程为 y24x （2）设直线 l 的方程为：myx1，联立方程，消去 x 得：y24my40， 故有：y1+y24m，y1y24， x1+x2（my1+1）+（my2+1）m（y1+y2）+2， 则，故 4m2+23，解得：， 所求直线 l 的方程为：y2x2 或 y22x 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计 算能力 20 （12 分）已知函数 f（x）x23xalnx
28、 的一个极值点为 2 （1）求函数 f（x）的极值； （2）求证：函数 f（x）有两个零点 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数与单调性及极值的关系即可求解， （2）结合导数与单调性关系及函数的零点判定定理可求 【解答】解： （1）解：f（x）定义域为（0，+） ， 2 是 f（x）的极值点， ，a2， 0x2 时，f（x）0；x2 时，f（x）0，f（x）的单调减区间为（0，2） ，单 调增区间为（2，+） ， f（x）有极小值为 f（2）462ln222ln2，没有极大值 第 16 页（共 18 页） （2）证明：f（x）x23x2lnx， ，f（e2）e43e24（e2+1） （e
29、24）（e2+1） （e+2） （e2）0 由（1）知 f（x）的单调减区间为（0，2，单调增区间为2，+） ，且 f（2）2ln2 0 f（x）有 1 个零点在区间内，有 1 个零点在区间（2，e2）内， f（x）只有两个零点 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数单调及极值，还考查了函数零点判定定理， 属于中档试题 21 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，四个点， 中有 3 个点在椭圆 C：上 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点（A，B 不是椭圆 C 的顶点） ，点 D 在椭圆 C 上，且 ADAB，直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交
30、于 M、N 两点，设直线 AM，AN 的斜率分 别为 k1，k2，证明：存在常数 使得 k1k2，并求出 的值 【分析】 （1）根据对称性，可知，一定在椭圆上，分别将其两点 代入椭圆方程，即可求得椭圆方程； （2）设直线 AD 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，求得直线 BD 方程，即可求得 M 点坐标，同理求得 N 点坐标，由 k1k2，即可求得 的值 【解答】解： （1），关于 x 轴对称，这 2 个点在椭圆上， 当在椭圆上时， 由解得 a23，b21， 当在椭圆上时， 第 17 页（共 18 页） 由解得， 又 ab0，a23，b21， 椭圆 C 的方程为 （2）证明：
31、设 A（x1，y1） （x1y10） ，D（x2，y2） ，则 B（x1，y1） 因为直线 AB 的斜率，又 ABAD，所以直线 AD 的斜率 设直线 AD 的方程为 ykx+m，由题意知 k0，m0 由可得（1+3k2）x2+6mkx+3m230， 所以， 由题意知 x1x2，所以， 所以直线 BD 的方程为，令 y0，得 x2x1，即 M（2x1，0） ，可 得， 令 x0，得，即，可得， 所以，即，因此，存在常数使得结论成立 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜 率公式，考查计算能力，属于中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）lnx2x，g（
32、x）ax2+ax2 （1）若曲线 yf（x）与 yg（x）在点（1，2）处有相同的切线，求函数 f（x）g （x）的极值； （2）若 h（x）f（x）g（x） ，讨论函数 h（x）的单调性 【分析】 （1）根据切线相同，求出 a，代入求出 f（x）g（x） ，再利用求导判断即可； （2）令 h（x）f（x）g（x）ax2（a+2）x+2+lnx，定义域为（0，+） ，求导并 对 a 进行分类讨论，判断单调性即可 【解答】解： （1），f（1）121，g（x）2ax+a，g（1） 第 18 页（共 18 页） 2a+aa， 由题意知a1，a1， g（x）x2+x2，f（x）g（x）lnx+x23
33、x+2， ，x0， 当或 x1 时，f（x）g（x）0，当时，f（x）g（x）0， f（x）g（x）在上是增函数，在上是减函数，在1，+）上是增 函数， f（x）g（x）的极大值，极小值为 f（1）g（1）0； （2）h（x）f（x）g（x）ax2（a+2）x+2+lnx 的定义域为（0，+） ， ， 当 a0 时，x0，ax10，时，h（x）0，时，h（x）0， h（x）的单调增区间为，单调减区间为， 当 0a2 时， h （x） 0 的解集为， h （x） 0 解集为， h（x）的单调增区间为，单调减区间为， 当 a2 时，h（x）0，当时取等号，h（x）的单调增区间为（0，+） ， 当 a2 时，h（x）0 解集为，h（x）0 解集为，h （x）的单调增区间为，单调减区间为， 综上，a0 时，h（x）的单调增区间为，单调减区间为， 0a2 时，h（x）的单调增区间为，单调减区间为， a2 时，h（x）的单调增区间为（0，+） ，没有减区间， a2 时，h（x）的单调增区间为，单调减区间为 【点评】本题考查了导数法求切线方程，导数法判断函数的单调性和极值，含参问题分 类讨论思想的应用，中档题
