1、直线 l 的方程为 y+22（x1） ，则（ ） A直线 l 过点（2，2） ，斜率为 B直线 l 过点（2，2） ，斜率为 C直线 l 过点（1，2） ，斜率为 2 D直线 l 过点（1，2） ，斜率为 2 2 （5 分）双曲线1 的离心率为（ ） A B C D 3 （5 分）已知定点 B（3，0） ，点 A 在圆（x+1）2+y24 上运动，则线段 AB 的中点 M 的 轨迹方程是（ ） A （x+1）2+y21 B （x2）2+y24 C （x1）2+y21 D （x+2）2+y24 4 （5 分）双曲线 9x24y2+360 的一条渐近线的方程为（ ） A9x4y0 B4x9y0 C
2、3x+2y0 D2x3y0 5 （5 分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ） A B C D 6 （5 分） “m”是“直线（m21）xy+10 与直线 2x+（m1）y10 互相垂直” 第 2 页（共 22 页） 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）已知圆 C1：x2+y2+2x+3y+10，圆 C2：x2+y2+4x3y360，则圆 C1和圆 C2 的位置关系为（ ） A相切 B内含 C外离 D相交 8 （5 分）已知圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，球 O 与圆锥的底面和侧面均相切，设球 O 的体积为 V1
3、，圆锥的体积为 V2，则（ ） A B C D 9 （5 分）下列命题是真命题的是（ ） A “若 ab，则 a2b2”的逆命题 B “若 ，则 sinsin”的否定 C “若 a，b 都是偶数，则 a+b 是偶数”的否命题 D “若函数 f（x） ，g（x）都是 R 上的奇函数，则 f（x）+g（x）是 R 上的奇函数”的逆 否命题 10 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）焦点为 F，直线 l 过点 F 与抛物线交于两点 A，B， 与 y 轴交于，若|AB|8，则抛物线的准线方程为（ ） Ay2 By1 Cx2 Dx1 11 （5 分）如图，三棱锥 ABCD 中，AB平面 BCD，BC
4、CD，E，F 分别在棱 AC，AD 上，且 BEAC 于 E，BFAD 于 F，则下列说法正确的有（ ） ACD 是直角 BEF 是异面直线 BE 与 CD 所成角 CDB 是直线 CD 与平面 ABD 所成角 BFE 是二面角 BADC 的平面角 第 3 页（共 22 页） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 12（5 分） 已知正方形 ABCD 的边长为 4， E， F 分别为边 AB， BC 上的点， 且 AEBF3 将 AED，CFD 分别沿 ED 和 FD 折起，使点 A 和 C 重合于点 P，则三棱锥 PEFD 的 外接球表面积为（ ） A26 B13 C D 二、填空题（本大
5、题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）命题“x0R，x02x0+10”的否定是 14 （5 分）离心率，且过的椭圆的标准方程为 或 15 （5 分）已知点 A（0，2） ，B（0，2） ，C（3，2） ，若动点 M（x，y）满足|MA|+|AC| |MB|+|BC|，则点 M 的轨迹方程为 16 （5 分） 已知 A （3， 0） ， B （3， 0） ， 点 P 在圆 （x3） 2+ （y4）24 上运动， 则|PA|2+|PB|2 的最小值是 三、解答三、解答题（本大题共题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写
6、出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （12 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中， （1）求证：DB1AC； （2）求证：平面 A1B1CD平面 ACD1 第 4 页（共 22 页） 18 （10 分）设抛物线的顶点为 O，经过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点 B，C， 经过抛物线上一点 P 垂直于对称轴的直线和对称轴交于点 M，设|BC|a，|MP|b，|OM| c，求证：a，b，c 成等比数列 19 （12 分）已知ABC 的顶点 C（2，8） ，直线 AB 的方程为 y2x+11，AC 边上的高 BH 所在直线的方程为 x+3y
7、+20 （1）求顶点 A 和 B 的坐标； （2）求ABC 外接圆的一般方程 20（12 分） 已知四点 中只有三点在椭圆 C：上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线 l 的斜率为 1，直线 l 与圆 x2+y21 相切，且与椭圆 C 交于点 A，B，求线段 AB 的长 21 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAB 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB BCAD，BADABC90，E 是 PD 的中点 （1）证明：直线 CE平面 PAB； （2）求二面角 BPCD 的余弦值 第 5 页（共 22 页） 22 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0） ，直线与 x
8、 轴交于点 F，与抛物 线C的准线交于点M， 过点M作x轴的平行线交抛物线C于点N， 且FMN的面积为 （1）求 p 的值； （2） 过 F 的直线交抛物线 C 于 A， B 两点， 设， 当 时，求的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学年安徽省合肥市六校联盟高二（上）期末数学试卷学年安徽省合肥市六校联盟高二（上）期末数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分每小题只有一个正确答案，请把分每小题只有一个正确答案，请把 正确答案涂在答题卡上）正确答案
9、涂在答题卡上） 1 （5 分）直线 l 的方程为 y+22（x1） ，则（ ） A直线 l 过点（2，2） ，斜率为 B直线 l 过点（2，2） ，斜率为 C直线 l 过点（1，2） ，斜率为 2 D直线 l 过点（1，2） ，斜率为 2 【分析】由题意利用直线的点斜式方程，得出结论 【解答】解：直线 l 的方程为 y+22（x1） ， 则直线的斜率为 2，且经过定点（1，2） ， 故选：C 【点评】本题主要考查直线的点斜式方程，属于基础题 2 （5 分）双曲线1 的离心率为（ ） A B C D 【分析】根据双曲线的方程，求出 a，b，c，即可求出双曲线的离心率 【解答】解：由双曲线的方程可
10、知 a24，b25， 则 c2a2+b24+59， 则 a2，c3， 即双曲线的离心率 e， 故选：B 【点评】本题主要考查双曲线的离心率的计算，求出 a，c 是解决本题的关键，比较基础 3 （5 分）已知定点 B（3，0） ，点 A 在圆（x+1）2+y24 上运动，则线段 AB 的中点 M 的 轨迹方程是（ ） 第 7 页（共 22 页） A （x+1）2+y21 B （x2）2+y24 C （x1）2+y21 D （x+2）2+y24 【分析】设出动点坐标，利用已知条件确定坐标之间的关系，利用 P 在圆上，可得结论 【解答】解：设点 M 的坐标为（x，y） ，点 A（m，n） ，则（m+
11、1）2+n24 M 是线段 AB 上的中点， （xm，yn）（3x，y） m2x3，n2y， （m+1）2+n24， （2x2）2+（2y）24， （x1）2+y21 故选：C 【点评】本题考查点的轨迹方程、中点坐标公式、代入法等基础知识，考查运算求解能 力与转化思想，属于基础题 4 （5 分）双曲线 9x24y2+360 的一条渐近线的方程为（ ） A9x4y0 B4x9y0 C3x+2y0 D2x3y0 【分析】直接利用双曲线方程，求解渐近线方程即可 【解答】解：双曲线 9x24y2+360 的渐近线的方程为 9x24y20，即 3x2y0 故选：C 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用
12、，是基本知识的考查，基础题 5 （5 分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ） A B C D 【分析】根据三视图知该几何体是三棱柱，结合图中数据计算它的表面积 【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱，如图所示； 第 8 页（共 22 页） 则该三棱柱的表面积为 S2SABC+2S矩形ABBA+S矩形BCCB 221+23+23 8+6 故选：A 【点评】本题考查了利用三视图求几何体的表面积问题，是基础题 6 （5 分） “m”是“直线（m21）xy+10 与直线 2x+（m1）y10 互相垂直” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充
13、分也不必要条件 【分析】根据直线（m21）xy+10 与直线 2x+（m1）y10 互相垂直，可得：2 （m21）（m1）0，解得 m，即可判断出结论 【解答】解：直线（m21）xy+10 与直线 2x+（m1）y10 互相垂直， 则 2（m21）（m1）0，解得 m1 或 m “m”是“直线（m21）xy+10 与直线 2x+（m1）y10 互相垂直”的 充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了直线相互垂直与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推 理能力与计算能力，属于基础题 7 （5 分）已知圆 C1：x2+y2+2x+3y+10，圆 C2：x2+y2+4x3y360，则圆 C1
14、和圆 C2 的位置关系为（ ） A相切 B内含 C外离 D相交 【分析】根据题意，分析两个圆的圆心与半径，求出圆心距，进而由圆与圆的位置关系 分析可得答案 第 9 页（共 22 页） 【解答】解：根据题意，圆 C1：x2+y2+2x+3y+10，即（x+1）2+（y+）2，其圆 心 C1为（1，） ，半径 r1； 圆 C2：x2+y2+4x3y360，即（x+2）2+（y）2，其圆心 C2为（2，） ， 半径 r2； 则有圆心距|C1C2|r2r15，故两圆内含； 故选：B 【点评】本题考查圆与圆位置关系的判断，注意分析圆的圆心与半径，属于基础题 8 （5 分）已知圆锥的底面半径为 3，母线长
15、为 5，球 O 与圆锥的底面和侧面均相切，设球 O 的体积为 V1，圆锥的体积为 V2，则（ ） A B C D 【分析】推导出圆锥底面圆半径 R3，高为 4，设球 O 半径为 r，则 r2+22（4r）2， 解得 r，由此能求出 【解答】解：圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，球 O 与圆锥的底面和侧面均相切， 圆锥底面圆半径 ROA3，圆锥高 PD4， 设球 O 半径为 r，如图， 则 OP4r，ACAD3，PC532， r2+22（4r）2，解得 r， 设球 O 的体积为 V1，圆锥的体积为 V2， 第 10 页（共 22 页） 则 故选：B 【点评】本题考查圆锥内切球体积与贺锥体积的比
16、值的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 9 （5 分）下列命题是真命题的是（ ） A “若 ab，则 a2b2”的逆命题 B “若 ，则 sinsin”的否定 C “若 a，b 都是偶数，则 a+b 是偶数”的否命题 D “若函数 f（x） ，g（x）都是 R 上的奇函数，则 f（x）+g（x）是 R 上的奇函数”的逆 否命题 【分析】写出命题的逆命题，判断 A 的正误；命题的否定判断 B 的正误；写出否命题判 断 C 的正误；判断原命题的真假判断 D 的正误； 【解答】解： “若 ab，则 a2b2”的逆命题：如果“若 a2b2，则 ab”
17、，反例 a29， b24，可能有 a3，b2，所以 A 不正确 “若 ，则 sinsin”的否定： “若 ，则 sinsin”显然不正确，例如： 30，390，但是 sinsin，所以 B 不正确； 若“a，b 都是偶数，则 a+b 是偶数”的否命题：若“a，b 不都是偶数，则 a+b 不是偶数” ， 如果 a，b 都是奇数，但是 a+b 为偶数所以 C 不正确； “若函数 f（x） ，g（x）都是 R 上的奇函数，则 f（x）+g（x）是 R 上的奇函数”的逆否 命题，因为原命题是真命题，所以逆否命题是真命题，所以 D 正确； 故选：D 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及四种命题的
18、逆否关系以及命题的真假 的判断，是基本知识的考查，基础题 10 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）焦点为 F，直线 l 过点 F 与抛物线交于两点 A，B， 与 y 轴交于，若|AB|8，则抛物线的准线方程为（ ） Ay2 By1 Cx2 Dx1 【分析】由题意可得直线 l 的斜率，设过焦点的直线与抛物线联立求出两根之和，由抛 物线的性质过焦点的弦长转化为到准线的距离之和，求出 p 的值，进而求出准线方程 第 11 页（共 22 页） 【解答】 解： 由题意过焦点的直线的斜率为1，设直线方程为：yx+，设 A （x，y） ， B（xy） ， 联立直线与抛物线的方程整理得：x23px+0，
19、x+x3p， |AB|AF|+|BF|x+x+p4p8， 所以 p2， 所以准线方程为：x1， 故选：D 【点评】考查抛物线的性质，属于基础题 11 （5 分）如图，三棱锥 ABCD 中，AB平面 BCD，BCCD，E，F 分别在棱 AC，AD 上，且 BEAC 于 E，BFAD 于 F，则下列说法正确的有（ ） ACD 是直角 BEF 是异面直线 BE 与 CD 所成角 CDB 是直线 CD 与平面 ABD 所成角 BFE 是二面角 BADC 的平面角 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】，由 AB平面 BCD 得 ABCD，又 BCCD 得 CD平面 ABC； 证得 CDAC，
20、ACD 是直角； ，不能得出 EFCD，BEF 不是异面直线 BE 与 CD 所成角； ，由 AB平面 BCD 得平面 ABD平面 BCD； 由直线与平面所成角的定义得出命题正确； ，证明 AD平面 BEF，即得BFE 是二面角 BADC 的平面角 【解答】解：对于，AB平面 BCD，CD平面 BCD，ABCD； 第 12 页（共 22 页） 又 BCCD，ABBCB，CD平面 ABC； 又 AC平面 ABC，CDAC，ACD 是直角，正确； 对于，不能得出 EFCD，BEF 不是异面直线 BE 与 CD 所成角，错误； 对于，由 AB平面 BCD，AB平面 ABD，平面 ABD平面 BCD；
21、 又平面 ABD平面 BCDBD，CD 在平面 ABD 内的射影为 BD， CDB 是直线 CD 与平面 ABD 所成角，正确； 对于，由 BE平面 ABC，CD平面 ABC，得 CDBE， 又 BEAC，ACBCC，BE平面 ACD； 又 AD平面 ACD，BEAD； 又 BFAD，BEBFB，AD平面 BEF， BFE 是二面角 BADC 的平面角，正确； 综上知，正确的命题序号是，共 3 个 故选：C 【点评】本题考查了空间角的定义与判断问题，也考查了空间中线线、线面、面面间的 位置关系问题，是中档题 12（5 分） 已知正方形 ABCD 的边长为 4， E， F 分别为边 AB， BC
22、 上的点， 且 AEBF3 将 AED，CFD 分别沿 ED 和 FD 折起，使点 A 和 C 重合于点 P，则三棱锥 PEFD 的 外接球表面积为（ ） A26 B13 C D 【分析】由题意求出折起的三棱锥的各棱长的值，可得该三棱锥为一条侧棱垂直于底面， 且底面为直角三角形，将该三棱锥放在长方体中可知长方体的长宽高，根据外接球的直 径等于长方体的对角线求出半径，进而求出表面积 【解答】解：由题意知，P 与 A，C 重合，将AED，CFD 分别沿 ED 和 FD 折起后， PDE 就是 ADE，PFD 就是 CFD， 所以由原来正方形可知，EPPD，且 PEAE3，PDCD4， PFCD1，
23、 第 13 页（共 22 页） 在正方形 ABCD 中，EF， DF， 所以 EF2PE2+PF2，PEPF DF2PD2+FP2，PFPD， 又 PEPDP，所以 FP面 PED， 所以三棱锥 PEFD 为一条棱长垂直于底面的三棱锥， 将该三棱锥放在长方体中，由以上知长宽高分别为 3，4，1，设三棱锥 的外接球的半径 为 R，则（2R）232+42+1226， 所以三棱锥 PEFD 的外接球表面积 S4R226， 故选：A 【点评】考查三棱锥的外接球与三棱锥的棱的关系，及球的表面积公式，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20
24、 分）分） 13 （5 分）命题“x0R，x02x0+10”的否定是 xR，x2x+10 【分析】根据命题“x0R，x02x0+10”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在” 改为“任意” ， “改为“”即可得答案 【解答】解：命题“x0R，x02x0+10”是特称命题 命题的否定为：xR，x2x+10 故答案为：xR，x2x+10 【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“”的否定 用“”了这里就有注意量词的否定形式如“都是”的否定是“不都是” ，而不是“都 不是” 特称命题的否定是全称命题， “存在”对应“任意” 属基础题 14 （5 分）离心率，且过的椭圆的标准方
25、程为 或 第 14 页（共 22 页） 【分析】根据题意，由椭圆的性质分析可得 a2c，进而可得 bc，按椭圆的焦点位 置不同分 2 种情况讨论，设出椭圆的方程，将点坐标代入计算可得椭圆的方程，综合即 可得答案 【解答】解：根据题意，要求椭圆的离心率，即，则有 a2c， 则 bc， 若椭圆的焦点在 x 轴上，设其方程为+1， 又由椭圆经过点，则有+1，解可得 c23， 则此时椭圆的方程为； 若椭圆的焦点在 y 轴上，设其方程为+1， 又由椭圆经过点，则有+1，解可得 c2， 则此时椭圆的方程为； 综合可得：要求椭圆的方程为或； 故答案为：或 【点评】本题考查椭圆的标准方程，涉及椭圆的简单几何性
26、质，属于基础题 15 （5 分）已知点 A（0，2） ，B（0，2） ，C（3，2） ，若动点 M（x，y）满足|MA|+|AC| |MB|+|BC|，则点 M 的轨迹方程为 【分析】由题设知动点 M 是以点 A（0，2） ，B（0，2）为焦点的双曲线的下支上的点， 由此结合题设条件能求出点 M 的轨迹方程 【解答】解：点 A（0，2） ，B（0，2） ，C（3，2） ，动点 M（x，y）满足|MA|+|AC| 第 15 页（共 22 页） |MB|+|BC|， 动点 M 满足|MA|MB|BC|AC|32， 动点 M 是以点 A（0，2）和点 B（0，2）为焦点的双曲线的下支上的点， 且 a
27、1，c2，b， 点 M 的轨迹方程是： 故答案为： 【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，要熟练掌握双 曲线的性质 16 （5 分） 已知 A （3， 0） ， B （3， 0） ， 点 P 在圆 （x3） 2+ （y4）24 上运动， 则|PA|2+|PB|2 的最小值是 36 【分析】根据题意，设 P（x，y） ，进而可得|PA|2+|PB|22（x2+y2）+18，设 t， 其几何意义为圆（x3）2+（y4）24 上一点到原点的距离，由点与圆的位置关系分 析 t 的最小值，据此计算可得答案 【解答】解：根据题意，设 P（x，y） ， 则|PA|2+|PB|2（x
28、+3）2+y2+（x3）2+y22x2+2y2+182（x2+y2）+18， 设 t，其几何意义为圆（x3）2+（y4）24 上一点到原点的距离， 圆 （x3） 2+ （y4）24 的圆心为 （3， 4） ， 半径 r2， 则 t 的最小值为 23， 则有|PA|2+|PB|22（x2+y2）+1829+1836，即|PA|2+|PB|2的最小值是 36； 故答案为：36 【点评】本题考查圆的方程的应用，涉及两点间距离的计算及应用，属于基础题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
29、） 17 （12 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中， （1）求证：DB1AC； （2）求证：平面 A1B1CD平面 ACD1 第 16 页（共 22 页） 【分析】 （1）连结 BD、B1D1，推导出 DD1AC，由 ACBD，得 AC平面 DBB1D1， 从而 ACDB1，由此能证明 DB1AC （2）推导出 DB1AD1，从而 DB1平面 ACD1，由此能证明平面 A1B1CD平面 ACD1 【解答】证明： （1）连结 BD、B1D1，DD1平面 ABCD，AC平面 ABCD， DD1AC， 又 ACBD，BDDD1D，BD、DD1平面 DBB1D1， AC平面 DBB1D1，
30、 又 DB1平面 DBB1D1，ACDB1，DB1AC （2）由（1）同理可得 DB1AD1， 又 AD1ACA，AD1，AC平面 ACD1， DB1平面 ACD1，又 DB1平面 A1B1CD， 平面 A1B1CD平面 ACD1 【点评】本题考查线线垂直、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 18 （10 分）设抛物线的顶点为 O，经过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点 B，C， 经过抛物线上一点 P 垂直于对称轴的直线和对称轴交于点 M，设|BC|a，|MP|b，|OM| 第 17 页（共 22 页） c，求证：a，b，c 成等
31、比数列 【分析】以抛物线的顶点为 O 坐标原点，对称轴为 x 轴，建立平面直角坐标系，设抛物 线方程为 y22px（p0） ，则焦点，转化求解 b2ac 即可 【解答】证明：以抛物线的顶点为 O 坐标原点，对称轴为 x 轴，建立如图所示的平面直 角坐标系， 设抛物线方程为 y22px（p0） ，则焦点， BCx 轴， |BC|2pa 又PMx 轴于点 M，|MP|b，|OM|c， P（c，b）或（c，b） ， P 在抛物线上， b22pc， b2ac 即 a，b，c 成等比数列 【点评】本题考查抛物线的简单性质以及等比数列的性质的应用，是基本知识的考查， 基础题 19 （12 分）已知ABC
32、的顶点 C（2，8） ，直线 AB 的方程为 y2x+11，AC 边上的高 BH 所在直线的方程为 x+3y+20 （1）求顶点 A 和 B 的坐标； （2）求ABC 外接圆的一般方程 【分析】 （1）由题意直线 BH，AB 联立求出 B 的坐标，及求出直线 AC 的方程，与直线 AB 联立求出 A 的坐标； 第 18 页（共 22 页） （2）设圆的一般方程将 A，B，C 三点坐标代入求出圆的一般方程 【解答】解： （1）由可得顶点 B（7，3） ， 又因为 ACBH 得， 所以设 AC 的方程为 y3x+b， 将 C（2，8）代入得 b14， 由可得顶点为 A（5，1） ， 所以 A 和
33、B 的坐标分别为（5，1）和（7，3） ， （2）设ABC 的外接圆方程为 x2+y2+Dx+Ey+F0， 将 A（5，1） 、B（7，3）和 C（2，8）三点的坐标分 别代入得则有， 所以ABC 的外接圆的一般方程为 x2+y24x+6y120 【点评】考查求直线与直线的交点和圆的方程，属于基础题 20（12 分） 已知四点 中只有三点在椭圆 C：上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线 l 的斜率为 1，直线 l 与圆 x2+y21 相切，且与椭圆 C 交于点 A，B，求线段 AB 的长 【分析】 （1）设椭圆 C 的方程为：mx2+ny21，判断点在椭圆上，代入求解椭圆方程 （2）直
34、线 l 的斜率为 1，设直线 l 的方程为：yx+m 即 xy+m0，A（x1，y1） ，B（x2， y2） ，通过直线 l 与圆 x2+y21 相切，求出 m，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及 弦长公式求解即可 【解答】解： （1）根据椭圆的对称性可知 在椭圆 C 上， 设椭圆 C 的方程为：mx2+ny21， 第 19 页（共 22 页） 由已知得， 解得：， 故椭圆 C 的方程为： （2）直线 l 的斜率为 1，故设直线 l 的方程为：yx+m 即 xy+m0，A（x1，y1） ，B （x2，y2） ， 直线 l 与圆 x2+y21 相切， 由，即 5x2+8mx+40， ， 【点评
35、】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想 以及计算能力，是中档题 21 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAB 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB BCAD，BADABC90，E 是 PD 的中点 （1）证明：直线 CE平面 PAB； （2）求二面角 BPCD 的余弦值 【分析】 （1）取 PA 的中点 F，连 FE、FB，说明四边形 EFBC 是平行四边形，得到 CE BF，然后证明 CE平面 PAB （2）分别以 AB、PO 所在的直线为 x 轴和 z 轴，以底面内 AB 的中垂线为 y 轴建立空间 第 20 页（共 22 页） 直角坐标
36、系，求出平面 PBC 的法向量，平面 PDC 的法向量，然后求解二面角 BPCD 的余弦值的大小 【解答】 （1）证明：取 PA 的中点 F，连 FE、FB，E 是 PD 的中点，FE， 又 BCFEBC， 四边形 EFBC 是平行四边形， CEBF， 又 CE平面 PAB，BF平面 PAB， CE平面 PAB （2）解：在平面 PAB 内作 POAB 于 O，不妨令，则 AD4， 由PAB 是等边三角形，则 PAPB2，O 为 AB 的中点， 分别以 AB、PO 所在的直线为 x 轴和 z 轴，以底面内 AB 的中垂线为 y 轴建立空间直角坐 标系， 则，B（1，0，0） ，C（1，2，0）
37、 ，D（1，4，0） ， ， 设 平 面PBC的 法 向 量 为， 平 面PDC的 法 向 量 为 ， 第 21 页（共 22 页） 则，则， ，则， ， 经检验，二面角 BPCD 的余弦值的大小为 【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空 间想象能力以及计算能力，逻辑推理能力，是中档题 22 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0） ，直线与 x 轴交于点 F，与抛物 线C的准线交于点M， 过点M作x轴的平行线交抛物线C于点N， 且FMN的面积为 （1）求 p 的值； （2） 过 F 的直线交抛物线 C 于 A， B 两点， 设， 当 时，求的取值范
38、围 【分析】 （1）由题意可得抛物线的焦点坐标和准线方程，及 M，N 的坐标再由面积求出 p 的值，进而求出抛物线的方程； （2）由（1）知焦点 F 的坐标，设直线 AB 的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根 之积，再由向量的关系求出 A，B 的坐标，进而求出数量积，再由 的范围及均值不等 式求出数量积的取值范围 【解答】解： （1）抛物线 C：y22px（p0）的焦点为，直线 与 x 轴交于点， 为抛物线 C 的焦点，抛物线 C 的准线为直线， ， 由过点 M 作 x 轴的平行线交抛物线 C 于点 N 得， ， 第 22 页（共 22 页） FMN 的面积为； 另解：由抛物线定义得|MN|NF|， 直线的倾斜角为 150， MNF120FMN的面积为 （2）由（1）知，抛物线 C 的方程为 y26x，设， 由得， 不妨设 y20，故， ， ， 当 1 时，最小为 0；当 3 时，最大为 3， 即的取值范围是0，3 【点评】考查直线与抛物线的综合应用，属于中难题
