1、若复数（其中 i 为虚数单位） ，则 （ ） A1+i B C D 2 （5 分）设命题 p：nN，n22n，则p 为（ ） AnN，n22n BnN，n22n CnN，n22n DnN，n22n 3 （5 分）已知双曲线方程为 x24y24，则其渐近线方程为（ ） Ay2x B Cy2x D 4 （5 分）已知 a，bR，i 为虚数单位，则“a0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的（ ） 条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 5 （5 分）生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过体重指标，若从这 5 只兔子中随机 取出 3 只，则恰有 2 只测量过体重指标的概率
2、为（ ） A B C D 6 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 为上底面 A1C1的中心，若 +x+y，则 x，y 的值分别为（ ） A1，1 B1， C D，1 7 （5 分）已知点 F 是双曲线的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过 F 作垂 直于 x 轴的直线与双曲线交于 G、H 两点，若GHE 是锐角三角形，则该双曲线的离心 第 2 页（共 21 页） 率 e 的取值范围是（ ） A （1，+） B （1，2） C （2，1+） D （1，1+） 8 （5 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC60，ABBCCC12，则异面直 线 AB1与 BC1所
3、成角的余弦值为（ ） A B C D 9 （5 分）定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y22x 上移动，M 为线段 AB 的中点， 则 M 点到 y 轴的最短距离为（ ） A B1 C D2 10 （5 分）若函数 f（x）ex（sinx+acosx）在（，）上单调递增，则实数 a 的取值 范围是（ ） A （，1 B （，1） C1，+） D （1，+） 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题满分小题，每小题满分 10 分，共分，共 10 分在每小题给出的四个选项分在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求全部选对得中，有多项符合题目要求全部选对得 5
4、 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 11 （5 分）不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各 2 张，一次任意取出 2 张卡片， 则与事件“2 张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ） A2 张卡片都不是红色 B2 张卡片恰有一张红色 C2 张卡片至少有一张红色 D2 张卡片都为绿色 12 （5 分）若方程所表示的曲线为 C，则下面四个选项中错误的是（ ） A若 C 为椭圆，则 1t3 B若 C 是双曲线，则其离心率有 第 3 页（共 21 页） C若 C 为双曲线，则 t3 或 t1 D若 C 为椭圆，且长轴在 y 轴上，则 1t2 三、填空题：本题
5、共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，其中分，其中 16 题第一个空题第一个空 3 分，第二个空分，第二个空 2 分分 13 （5 分）空间向量 （2，3，2） ， （2，m，1） ，若 ，则 m 14 （5 分）已知两个事件 A 和 B 互斥，记事件是事件 B 的对立事件，且 ，则 P（AB） 15 （5 分）定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（1）1，且 f（x）的导函数，则 不等式 2f（x）x+1 的解集为 16（5分） 椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为m， 则m的最大值为 ， 此时点 P 的坐标为 四、解答题：共四、解答题：共 70
6、分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） 已知函数 f （x） lg （x2+7x10） 的定义域为 A， 关于 x 的不等式 x25ax+4a2 0（其中 a0）的解集为 B （1）求 A； （2）若 xA 是 xB 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 18 （12 分）已知函数 f（x）alnxbx2，曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 （1）求实数 a，b 的值； （2）求函数 f（x）在，e上的最大值 19 （12 分）惠州市某学校需要从甲、乙两名学生中选 1 人参加数学竞赛，抽取了近期两人 5 次数学
7、考试的分数，统计结果如表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 80 85 71 92 87 乙 90 76 75 92 82 （1）若从甲、乙两人中选出 1 人参加数学竞赛，你认为选谁合适？请说明理由 （2）若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中答题方案如下： 第 4 页（共 21 页） 每人从 5 道备选题中随机抽取 3 道作答，若至少答对其中 2 道，则可参加复赛，否则被 淘汰假设被选中参赛的学生只会 5 道备选题中的 3 道，求该学生能进人复赛的概率 20 （12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，点 E 为 AD 的中点，将ABE 沿 BE 折起至PBE，如图所示，点
8、 P 在平面 BCDE 上的射影 O 落在 BE 上 （1）求证：BPCE； （2）求二面角 BPCD 的余弦值 21 （12 分）已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点 P（0，1）的直线与该椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若，求 AOB 的面积 22 （12 分）已知函数 f（x）lnx+x+1，g（x）x2+2x （1）求函数 yf（x）g（x）的极值； （2）若 m 为整数，对任意的 x0 都有 f（x）mg（x）0 成立，求实数 m 的最小值 第 5 页（共 21 页） 2019-2020 学年广东省惠州市高二（上）期末数学
9、试卷学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题满分小题，每小题满分 50 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个选项分在每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求，选对得中，只有一项符合题目要求，选对得 5 分，选错得分，选错得 0 分分 1 （5 分）若复数（其中 i 为虚数单位） ，则 （ ） A1+i B C D 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案 【解答】解：， 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 2 （5
10、分）设命题 p：nN，n22n，则p 为（ ） AnN，n22n BnN，n22n CnN，n22n DnN，n22n 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论 【解答】解：命题的否定是：nN，n22n， 故选：C 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础 3 （5 分）已知双曲线方程为 x24y24，则其渐近线方程为（ ） Ay2x B Cy2x D 【分析】化简双曲线方程为标准方程，然后求解渐近线方程 【解答】解：双曲线方程为 x24y24，标准形式为， 故选：D 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查 4 （5 分）已知 a，bR，i 为虚数单位，则“
11、a0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的（ ） 条件 A充分不必要 B必要不充分 第 6 页（共 21 页） C充要 D既不充分也不必要 【分析】判断 a0 是 Za+bi 为纯虚数的什么条件，看由 a0 能不能推出 Za+bi 为 纯虚数，由 Za+bi 为纯虚数能否推出 a0 【解答】解：当 a0 时，如果 b0，则 Za+bi 不是纯虚数，反之，若 Za+bi 为纯虚 数，则一定有 a0， 所以 a0 是 Za+bi 为纯虚数的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了必要条件、充分条件与冲要条件的判断，判断充要条件的方法是： 若 pq 为真命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q
12、 的充分不必要条件； 若 pq 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件； 若 pq 为真命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件； 若 pq 为假命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件 判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判 断命题 p 与命题 q 的关系 5 （5 分）生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过体重指标，若从这 5 只兔子中随机 取出 3 只，则恰有 2 只测量过体重指标的概率为（ ） A B C D 【分析】设其中做过测试的 3 只兔子为 a，b
13、，c，剩余的 2 只为 A，B，则从这 5 只兔子 中任取 3 只，利用列举法能求出恰有 2 只做过测试的概率 【解答】解：设其中做过测试的 3 只兔子为 a，b，c，剩余的 2 只为 A，B， 则从这 5 只兔子中任取 3 只的所有取法有： a，b，c，a，b，A，a，b，B，a，c，A，a，c，B， a，A，B，b，C，A，b，c，B，b，A，B，c，A，B，共 10 种， 其中恰有 2 只做过测试的取法有： a，b，A，a，b，B，a，c，A，a，c，B，b，c，A，b，c，B，共 6 种， 所以恰有 2 只做过测试的概率为 p， 故选：B 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举
14、法等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 第 7 页（共 21 页） 6 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 为上底面 A1C1的中心，若 +x+y，则 x，y 的值分别为（ ） A1，1 B1， C D，1 【分析】画出正方体，表示出向量，为+的形式，可得 x、y 的值 【解答】解：如图， +（） 故选：C 【点评】本题考查棱柱的结构特征，向量加减运算，是基础题 7 （5 分）已知点 F 是双曲线的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过 F 作垂 直于 x 轴的直线与双曲线交于 G、H 两点，若GHE 是锐角三角形，则该双曲线的离心 率 e 的取值范围是（ ） A （
15、1，+） B （1，2） C （2，1+） D （1，1+） 【分析】根据双曲线的对称性，得到等腰ABE 中，AEB 为锐角，可得|AF|EF|，将 此式转化为关于 a、c 的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率 e 的取值范围 【解答】解：根据双曲线的对称性，得 ABE 中，|AE|BE|， 第 8 页（共 21 页） ABE 是锐角三角形，即AEB 为锐角 由此可得 RtAFE 中，AEF45，得|AF|EF| |AF|，|EF|a+c a+c，即 2a2+acc20 两边都除以 a2，得 e2e20，解之得1e2 双曲线的离心率 e1 该双曲线的离心率 e 的取值范围是（1，2） 故
16、选：B 【点评】本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形，求双曲线离 心率的范围，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题 8 （5 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC60，ABBCCC12，则异面直 线 AB1与 BC1所成角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】以 B 为原点，在平面 ABC 中过点 B 作 BC 的垂线为 x 轴，BC 为 y 轴，BB1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值 【解答】解：以 B 为原点，在平面 ABC 中过点 B 作 BC 的垂线为 x 轴，BC 为 y
17、 轴，BB1 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 第 9 页（共 21 页） A（） ，B1（0，0，2） ，B（0，0，0） ，C1（0，2，2） ， （） ，（0，2，2） ， 设异面直线 AB1与 BC1所成角为 ， 则 cos 异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 故选：D 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形 结合思想，是中档题 9 （5 分）定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y22x 上移动，M 为线段 AB 的中点， 则 M 点到 y 轴的最短距离
18、为（ ） A B1 C D2 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，过 A、B、M 分别作 AA、BB、MM垂直 于 l，垂足分别为 A、B、M运用抛物线的定义和梯形的中位线定理，即可得到 所求最小值 【解答】解：如图所示，抛物线 y22x 的焦点 F（，0） ，准线为 l：x， 过 A、B、M 分别作 AA、BB、MM垂直于 l，垂足分别为 A、B、M 由抛物线定义知|AA|FA|，|BB|FB|又 M 为 AB 中点， 由梯形中位线定理得|MM| （|AA|+|BB|） （|FA|+|FB|）|AB|3， 第 10 页（共 21 页） 则 M 到 y 轴的距离 d1（当且仅当 AB 过抛物线
19、的焦点时取“” ） ， 所以 dmin1，即 M 点到 y 轴的最短距离为 1 故选：B 【点评】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查梯形中位线定理的运用，注意定义 法的运用是解题的关键，属于中档题 10 （5 分）若函数 f（x）ex（sinx+acosx）在（，）上单调递增，则实数 a 的取值 范围是（ ） A （，1 B （，1） C1，+） D （1，+） 【分析】求导，分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可 【解答】解：f（x）ex（sinx+acosx）在（，）上单调递增， f（x）ex（1a）sinx+（1+a）cosx0 在（，）上恒成立， ex0 在（，）上恒成立，
20、 （1a）sinx+（1+a）cosx0 在（，）上恒成立， a（sinxcosx）sinx+cosx 在（，）上恒成立 a， 设 g（x）， g（x）0 在（，）上恒成立， g（x）在（，）上单调递减， 第 11 页（共 21 页） g（x）g（）1， a1， 故选：A 【点评】本题考查了导数和函数的单调性和最值得关系，关键是分离参数，构造函数， 属于中档题 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题满分小题，每小题满分 10 分，共分，共 10 分在每小题给出的四个选项分在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求全部选对得中，有多项符合题目要求全部选对得 5 分，部
21、分选对得分，部分选对得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 11 （5 分）不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各 2 张，一次任意取出 2 张卡片， 则与事件“2 张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ） A2 张卡片都不是红色 B2 张卡片恰有一张红色 C2 张卡片至少有一张红色 D2 张卡片都为绿色 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解 【解答】解：6 张卡片中一次取出 2 张卡片的所有情况有： “2 张都为红色” 、 “2 张都为绿色” 、 “2 张都为蓝色” 、 “1 张为红色 1 张为绿色” 、 “1 张为 红色 1 张为蓝色” 、 “1 张为绿色 1 张为蓝色
22、” ， 选项中给出的四个事件中与“2 张都为红色”互斥而非对立“2 张都不是红色” “2 张恰有 一张红色” “2 张都为绿色” ， 其中“2 张至少一张为红色”包含事件是“2 张都为红色”二者并非互斥 故选：ABD 【点评】本题考查互斥而不对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知 识，考查运算求解能力，是基础题 12 （5 分）若方程所表示的曲线为 C，则下面四个选项中错误的是（ ） A若 C 为椭圆，则 1t3 B若 C 是双曲线，则其离心率有 C若 C 为双曲线，则 t3 或 t1 D若 C 为椭圆，且长轴在 y 轴上，则 1t2 第 12 页（共 21 页） 【分析】举例说
23、明 A 错误；由 C 为双曲线求得 t 的范围，分类求得离心率说明 B 正确； 由 C 为双曲线求得 t 的范围得 C 正确；由 C 为椭圆，且长轴在 y 轴上求得 t 的范围说明 D 错误 【解答】解：若 t2，方程即为 x2+y21，它表示圆，故 A 错 对于 B，若 C 为双曲线，则（3t） （t1）0，即 t1 或 t3 当 t1 时，则方程可变形为，它表示焦点在 x 轴上的双曲线， 离心率； 当 t3 时，则方程可变形为，它表示焦点在 y 轴上的双曲线， 离心率 故 B 正确 对于 C，由 B 可知正确； 对于 D，若方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 t13t0，得 2t3 故 D
24、 错 故选：AD 【点评】本题是圆锥曲线综合题，考查圆锥曲线的性质，考查逻辑思维能力与推理运算 能力，是中档题 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，其中分，其中 16 题第一个空题第一个空 3 分，第二个空分，第二个空 2 分分 13 （5 分）空间向量 （2，3，2） ， （2，m，1） ，若 ，则 m 2 【分析】由得，列方程求出 m 的值 【解答】解：由得， 即 22+3（m）+（2）（1）0， 解得 m2 故答案为：2 第 13 页（共 21 页） 【点评】本题考查了空间向量的数量积计算问题，是基础题 14 （5 分）已知两个
25、事件 A 和 B 互斥，记事件是事件 B 的对立事件，且 ，则 P（AB） 0.7 【分析】根据题意，由对立事件概率性质可得 P（B） ，进而由互斥事件概率加法公式计 算可得答案 【解答】解：根据题意，则 P（B）0.4， 又由事件 A 与 B 互斥，则 P（AB）P（A）+P（B）0.7； 故答案为：0.7 【点评】本题考查互斥事件、对立事件概率的计算，注意概率的计算公式，属于基础题 15 （5 分）定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（1）1，且 f（x）的导函数，则 不等式 2f（x）x+1 的解集为 （，1） （或x|x1） 【分析】构造函数 g（x）2f（x）x1，则根据已知可判断
26、 g（x）的正负，进而可 求 g（x）的单调性，结合已知单调性即可求解不等式 【解答】解：令 g（x）2f（x）x1，因为 f（x）， 所以 g（x）2f（x）10 所以 g（x）为单调增函数， 因为 f（1）1， 所以 g（1）2f（1）110 所以当 x1 时，g（x）0， 即 2f（x）x+1，得x|x1， 故不等式的解集为（，1） 故答案为： （，1） 【点评】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，解题的关键是进行合理的构造 16（5 分） 椭圆上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m， 则 m 的最大值为 25 ， 此时点 P 的坐标为 （3，0） （或分开写（3，0）和（3，0
27、） ） 【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式求解即可 【解答】解：， 当且仅当|PF1|PF2|5 时，取最大值 25，即点 P 在短轴顶点时成立， 第 14 页（共 21 页） 所以点 P 的坐标为（3，0）时，m 的最大值为 25 故答案为：25； （3，0） 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题 四、解答题：共四、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） 已知函数 f （x） lg （x2+7x10） 的定义域为 A， 关于 x 的不等式 x25ax+4a2 0（其中 a0）的解集
28、为 B （1）求 A； （2）若 xA 是 xB 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）由题意，得x2+7x100，可得（x2） （x5）0，解出即可得出定义 域 A （2） 【解法 1】不等式 x25ax+4a20 得（x4a） （xa）0，因 a0，解得 ax 4a，可得 B，由已知有 A 是 B 的真子集，即可得出实数 a 的取值范围 【解法 2】不等式 x25ax+4a20 得（x4a） （xa）0，且因 a0，解得 B，由已知 有 A 是 B 的真子集，检验得 a2 或也满足题意，即可得出实数 a 的取值范围 【解法 3】不等式 x25ax+4a20 得（x4a）
29、 （xa）0，且因 a0，解得 ax4a， 可得 B，由已知有 A 是 B 的真子集，可得实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）由题意，得x2+7x100，（x2） （x5）0， 解得 2x5， 定义域 A（2，5） （2） 【解法 1】不等式 x25ax+4a20 得（x4a） （xa）0， 且因 a0，解得 ax4a，即 Bx|ax4a， 由已知有 A 是 B 的真子集， 或， 得， 所以实数 a 的取值范围是 【解法 2】不等式 x25ax+4a20 得（x4a） （xa）0， 且因 a0，解得 ax4a，即 Bx|ax4a， 由已知有 A 是 B 的真子集， 第 15 页（共 21
30、 页） ， 得， 检验得 a2 或也满足题意， 所以实数 a 的取值范围是 【解法 3】不等式 x25ax+4a20 得（x4a） （xa）0， 且因 a0，解得 ax4a，即 Bx|ax4a， 由已知有 A 是 B 的真子集， ， 得， 所以实数 a 的取值范围是 【点评】本题考查了不等式的解法、集合之间的关系、转化方法，考查了推理能力与计 算能力，属于基础题 18 （12 分）已知函数 f（x）alnxbx2，曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 （1）求实数 a，b 的值； （2）求函数 f（x）在，e上的最大值 【分析】 （1）求出，利用切线的斜率以及函数值，列出方程组
31、，然后求 解即可 （2）通过，求出导函数，求出极值点以及端点值，然后求解函数的最 值 【解答】解： （1）， 则， 第 16 页（共 21 页） 即， 解得 （2）由（1）知， 则， 在区间上，f（x）0，解得； f（x）0，解得 x（1，e， 所以函数 f（x）在上单调递增； 在1，e上单调递减， 所以函数 f（x）在区间上的最大值为 【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数的最值的求法，考查转化 思想以及计算能力，是难题 19 （12 分）惠州市某学校需要从甲、乙两名学生中选 1 人参加数学竞赛，抽取了近期两人 5 次数学考试的分数，统计结果如表： 第一次 第二次 第三次 第
32、四次 第五次 甲 80 85 71 92 87 乙 90 76 75 92 82 （1）若从甲、乙两人中选出 1 人参加数学竞赛，你认为选谁合适？请说明理由 （2）若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中答题方案如下： 每人从 5 道备选题中随机抽取 3 道作答，若至少答对其中 2 道，则可参加复赛，否则被 淘汰假设被选中参赛的学生只会 5 道备选题中的 3 道，求该学生能进人复赛的概率 【分析】 （1）解法 1：选派乙参赛比较合适，分别求出甲、乙的平均成绩和成绩方差，从 而得到乙的成绩较稳定，故选派乙参赛比较合适 解法 2：选派甲参赛比较合适，分别求出甲、乙获得 85 以上（含 85 分）的概率，从
33、而得 到派甲参赛比较合适 （2）解法 1：5 道备选题中会的 3 道分别记为 a，b，c，不会的 2 道分别记为 E，F，学 第 17 页（共 21 页） 生从 5 道备选题中任意抽出 3 道，利用列举法能求出学生能进入复赛的概率 解法 2：5 道备选题中会的 3 道分别记为 a，b，c，不会的 2 道分别记为 E，F，学生从 5 道备选题中任意抽出 3 道共有种抽法，从 5 道备选题中抽中至少 2 道会的备选题共有 种抽法，由此能求出学生能进入复赛的概率 【解答】解： （1）解法 1：选派乙参赛比较合适，理由如下： 甲的平均成绩为， 乙的平均成绩为， 甲的成绩方差， 乙的成绩方差为， 由于，
34、乙的成绩较稳定，故选派乙参赛比较合适 解法 2：选派甲参赛比较合适，理由如下： 从统计的角度看，甲获得 85 以上（含 85 分）的概率， 乙获得 85 分以上（含 85 分）的概率， 因为 P1P2，故派甲参赛比较合适 （2）解法 1：5 道备选题中会的 3 道分别记为 a，b，c，不会的 2 道分别记为 E，F， 学生从 5 道备选题中任意抽出 3 道的结果共 10 种，分别是： （a，b，c） ， （a，b，E） ， （a，b，F） ， （a，c，E） ， （a，c，F） ， （a，E，F） ， （b，c，E） ， （b，c，F） ， （b，E，F） ， （c，E，F） ， 抽中至少 2
35、 道会的备选题的结果共 7 种，分别是： （a，b，c） ， （a，b，E） ， （a，b，F） ， （a，c，E） ， （a，c，F） ， （b，c，E） ， （b，c，F） ， 所以学生能进入复赛的概率 （2）解法 2：5 道备选题中会的 3 道分别记为 a，b，c，不会的 2 道分别记为 E，F， 学生从 5 道备选题中任意抽出 3 道共有种抽法，共 10 种， 从 5 道备选题中抽中至少 2 道会的备选题共有种抽法，共 7 种， 第 18 页（共 21 页） 所以学生能进入复赛的概率 【点评】本题考查选择参赛选手的判断，考查概率的求法，考查古典概型等基础知识， 考查运算求解能力，是基础
36、题 20 （12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，点 E 为 AD 的中点，将ABE 沿 BE 折起至PBE，如图所示，点 P 在平面 BCDE 上的射影 O 落在 BE 上 （1）求证：BPCE； （2）求二面角 BPCD 的余弦值 【分析】 （1）点 P 在平面 BCDE 的射影 O 落在 BE 上，证明 CE平面 PBE，推出 PB CE （2）以 O 为坐标原点，以过点 O 且平行于 CD 的直线为 x 轴，过点 O 且平行于 BC 的 直线为 y 轴，直线 PO 为 z 轴，建立如图所示直角坐标系求出平面 PCD 的法向量，平 面 PBC 的法向量利用空间向量的数量积
37、求解二面角 BPCD 的余弦值即可 【解答】解： （1）由条件，点 P 在平面 BCDE 的射影 O 落在 BE 上， 平面 PBE平面 BCDE，易知 BECE， CE平面 PBE，而 BP平面 PBE， PBCE （2）以 O 为坐标原点，以过点 O 且平行于 CD 的直线为 x 轴，过点 O 且平行于 BC 的 直线为 y 轴，直线 PO 为 z 轴，建立如图所示直角坐标系 第 19 页（共 21 页） 则， 设平面 PCD 的法向量为 则，即，令，可得 设平面 PBC 的法向量为 则，即，令，可得 考虑到二面角 BPCD 为钝二面角，则二面角 BPCD 的余弦值为 【点评】本题考查直线
38、与平常垂直的性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空 间想象能力以及计算能力 21 （12 分）已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点 P（0，1）的直线与该椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若，求 AOB 的面积 【分析】 （1）由题意求出抛物线的焦点坐标得椭圆的焦点坐标，再由离心率求出 a，最后 由 a，b，c 之间的关系求出椭圆的标准方程； （2）由题意知直线 AB 的斜率存在设直线方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，再 由向量的关系求出坐标之间的关系，代入求出斜率，代入面积公式求出面积的值 【解答】解： （1）由题意可得抛
39、物线焦点为（，0） ，所以 c， 设椭圆的标准方程为：1 （ab0） ， 又 e，所以 a2， 所以 b2a2c22， 所以椭圆的标准方程为：1； 第 20 页（共 21 页） （2）设 A（x，y） ，B（x，y） ，由2，得， 验证易知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 ykx+1， 代入椭圆方程，整理得（2k2+1）x2+4kx20， 所以 x1+x2，x1x2， 将 x12x2，代入上式可得，解得 k2， 所以AOB 的面积 S|OP|x1x2|， 所以AOB 的面积为 【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）lnx+x+1，g（x
40、）x2+2x （1）求函数 yf（x）g（x）的极值； （2）若 m 为整数，对任意的 x0 都有 f（x）mg（x）0 成立，求实数 m 的最小值 【分析】 （1）令 h（x）f（x）g（x）lnx+1x2x （x（0，+） ） 利用导数研 究其单调性极值即可得出 （2） 令 f （x） mg （x） 0 成立， g （x） x2+2x0 m， 令 u （x） ， 利用导数研究其单调性极值即可得出 【解答】解： （1）令 h（x）f（x）g（x）lnx+x+1x22xlnx+1x2x （x（0， +） ） h（x）2x1 可知：当 x时，函数 h（x）取得极大值，h（）ln+1ln2+ h（x）无极小值 （2）令 f（x）mg（x）0 成立，g（x）x2+2x0 m， 令 u（x），u（x）， 令 v（x）x+2lnx，则 v（x）在 x（0，+）上单调递增 v（）2ln20，v（1）10 第 21 页（共 21 页） 函数 v（x）存在唯一零点 x0，使得 x0+2lnx00 u（x）存在极大值即最大值，u（x0）， m1 整数 m 的最小值为 1 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的性质与解 法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
