1、下列说法正确的是（ ） A合情推理和演绎推理的结果都是正确的 B若事件 A，B 是互斥事件，则 A，B 是对立事件 C若事件 A，B 是对立事件，则 A，B 是互斥事件 D “复数 za+bi（a，bR）是纯虚数”是“a0”的必要不充分条件 4 （5 分）为了了解某校高三 400 名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方 图如图， 规定不低于60分为及格， 不低于80分为优秀， 则及格率与优秀人数分别是 （ ） A60%，60 B60%，80 C80%，80 D80%，60 5 （5 分）已知某产品的广告费用 x（万元）与销售额 y（万元）所得的数据如表：经分析， y 与 x 有较强
2、的线性相关性，且 0.95x+ ，则 等于（ ） x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 A2.6 B2.4 C2.7 D2.5 6 （5 分）函数 f（x）的定义域为区间（a，b） ，导函数 f（x）在（a，b）的图象如图所 示，则函数 f（x）在区间（a，b）上极值点的个数为（ ） 第 2 页（共 22 页） A3 B2 C1 D4 7 （5 分）椭圆（ 为参数）的长轴长为（ ） A4 B5 C8 D10 8 （5 分）过点作直线，使它与双曲线1 有且只有一个公共点，这样的 直线有（ ） A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 9 （5 分）函数，则（ ） Axe 为函数
3、f（x）的极大值点 Bxe 为函数 f（x）的极小值点 C为函数 f（x）的极大值点 D为函数 f（x）的极小值点 10 （5 分） 已知甲、 乙、 丙三人中， 一人是数学老师、 一人是英语老师、 一人是语文老师 若 丙的年龄比语文老师大；甲的年龄和英语老师不同；英语老师的年龄比乙小根据以上 情况，下列判断正确的是（ ） A甲是数学老师、乙是语文老师、丙是英语老师 B甲是英语老师、乙是语文老师、丙是数学老师 C甲是语文老师、乙是数学老师、丙是英语老师 D甲是语文老师、乙是英语老师、丙是数学老师 11 （5 分）如图 F1，F2分别是椭圆的两个焦点，A 和 B 是以 O 为圆心，以|OF1|为半
4、径的圆与该左半椭圆的两个交点，且F2AB 是等边三角形，则椭圆 第 3 页（共 22 页） 的离心率为（ ） A B C D 12 （5 分）已知函数 f（x）e2x，g（x）lnx+的图象分别与直线 yb 交于 A，B 两点， 则|AB|的最小值为（ ） A1 Be C De 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题；共小题；共 20 分）分） 13 （5 分）观察下列等式 131 13+239 13+23+3336 13+23+33+43100 照此规律，第 6 个等式可为 14 （5 分）设 f（x）xlnx，若 f（x0）2，则 x0的值为 15（5 分） 从边长为 4 的正方形 ABC
5、D 内部任取一点 P， 则 P 到对角线 AC 的距离不大于 的概率为 16 （5 分）设 F 为抛物线 y24x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点，若， 则 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题；小题；17 题题 10 分，分，18、19、20、21、22 题题 12 分，共分，共 70 分）分） 17 （10 分）已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的 x 轴 正半轴重合 直线 l 过点 P （1， 1） ， 倾斜角为 45， 曲线 C 的极坐标方程为 sin （+） 直线 l 与曲线 C 相交于 M，N 两点 第 4 页（共 22 页） （）求直线 l 的
6、参数方程和曲线 C 的直角坐标方程； （）求线段 MN 的长和点 P 到 M，N 两点的距离之积 18 （12 分）由 507 名画师集体创作的 999 幅油画组合而成了世界名画蒙娜丽莎 ，某部 门从参加创作的 507 名画师中随机抽出 100 名画师，得到画师年龄的频率分布表如下表 所示 （）求 a，b 的值；并补全频率分布直方图； （）根据频率分布直方图估计这 507 名画师年龄的平均数； （）在抽出的20，25）岁的 5 名画师中有 3 名男画师，2 名女画师在这 5 名画师中 任选两人去参加某绘画比赛，选出的恰好是一男一女的概率是多少？ 分组 （岁） 频数 频率 20，25） 5 0.
7、050 25，30） a 0.200 30，35） 35 b 35，40） 30 0.300 40，45） 10 0.100 合计 100 1.00 19 （12 分）已知命题 p：f（x）x2+（4m2）x+5 在区间（，0）上是减函数，命题 q：不等式 x22x+1m0 的解集是 R，若命题“pq”为真，命题“pq”为假，求 实数 m 的取值范围 20 （12 分）电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100 第 5 页（共 22 页） 名观众进行调査，其中女性有 55 名下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节 目时间的频率分布直方图（如图） 将日均收看该
8、体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷” ，已知“体育迷”中有 10 名女性 附：X2 P（X2k） 0.05 0.01 k 3.841 6.635 （1）根据已知条件完成下面的 22 列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关？ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 总计 （2）将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷” ，已知“超级体育 迷”中有 2 名女性若从“超级体育迷”中仼意选取 2 人，求至少有 1 名女性观众的概 率 21 （12 分）如图，已知抛物线 x2y，过直线 l：y上任一点 M 作抛物线的两条切线 MA，MB，切点分别为 A，B （I）求
9、证：MAMB； （II）求MAB 面积的最小值 第 6 页（共 22 页） 22 （12 分）已知函数 f（x）axlnx+b，g（x）x2+kx+3，曲线 yf（x）在（1，f（1） ） 处的切线方程为 yx1，a，b，kR （1）若函数 f（x）在（b，m）上有最小值，求 a，b 的值及 m 的取值范围； （2）当 x时，其中 e2.718，e 为自然对数的底数，若关于 x 的不等式 2f（x） +g（x）0 有解，求 k 的取值范围 第 7 页（共 22 页） 2018-2019 学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）开学数学试卷学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）开学数学试卷 （文科） （文
10、科） （2 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，共小题，共 60 分）分） 1 （5 分）设复数 z，则 （ ） A1+i B1i C1+i D1i 【分析】复数 z，利用两个复数代数形式的除法法则化简为 a+bi，从而得到它的 共轭复数 【解答】解：复数 zi（1+i）1+i， 1i， 故选：D 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，属于基础题 2 （5 分）已知命题 p：xR，x20，则（ ） Ap：xR，x20 Bp：xR，x20 Cp：xR，x20 Dp：xR，x20 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论
11、【解答】解：命题是全称命题， 则p：xR，x20， 故选：B 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础 3 （5 分）下列说法正确的是（ ） A合情推理和演绎推理的结果都是正确的 B若事件 A，B 是互斥事件，则 A，B 是对立事件 C若事件 A，B 是对立事件，则 A，B 是互斥事件 D “复数 za+bi（a，bR）是纯虚数”是“a0”的必要不充分条件 【分析】利用推理判断 A 的正误，事件的互斥与对立判断 B、C 的正误，充要条件判断 D 的正误 第 8 页（共 22 页） 【解答】解：合情推理和演绎推理的结果不一定是正确的，所以 A 不正确； 若事件 A，B 是互斥事件，则
12、A，B 是不一定是对立事件，所以 B 不正确； 若事件 A，B 是对立事件，则 A，B 是互斥事件，满足对立事件的定义，所以 C 正确； “复数 za+bi（a，bR）是纯虚数”是“a0”的充分不必要条件，所以 D 不正确； 故选：C 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，基本知识的考查 4 （5 分）为了了解某校高三 400 名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方 图如图， 规定不低于60分为及格， 不低于80分为优秀， 则及格率与优秀人数分别是 （ ） A60%，60 B60%，80 C80%，80 D80%，60 【分析】利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组据求出频率
13、；再利用频数等于 频率乘以样本容量求出优秀人数 【解答】解：由频率分布直方图得，及格率为 1（0.005+0.015）1010.20.8 80% 优秀的频率（0.01+0.01）100.2，优秀的人数0.240080 故选：C 【点评】本题考查频率分布直方图中的频率公式：频率纵坐标组据；频数的公式： 频数频率样本容量 5 （5 分）已知某产品的广告费用 x（万元）与销售额 y（万元）所得的数据如表：经分析， y 与 x 有较强的线性相关性，且 0.95x+ ，则 等于（ ） x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 A2.6 B2.4 C2.7 D2.5 【分析】求出样本中心坐标
14、代入回归直线方程求解即可 【解答】解：由题意可知： ， 4.5 第 9 页（共 22 页） 因为回归直线经过样本中心，所以 4.50.952+ ，解得 2.6 故选：A 【点评】本题考查回归直线方程的应用，基本知识的考查 6 （5 分）函数 f（x）的定义域为区间（a，b） ，导函数 f（x）在（a，b）的图象如图所 示，则函数 f（x）在区间（a，b）上极值点的个数为（ ） A3 B2 C1 D4 【分析】根据当 f（x）0 时函数 f（x）单调递增，f（x）0 时 f（x）单调递减，可从 f（x）的图象可知 f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增减增减，然后 得到答案 【解答】解：
15、从 f（x）的图象可知 f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增 减增减， 根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为 0，左右两侧异号的点为极值点， 由图可知，在（a，b）内只有 3 个极值点 故选：A 【点评】本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系属基础题 7 （5 分）椭圆（ 为参数）的长轴长为（ ） A4 B5 C8 D10 【分析】求出椭圆的标准方程，然后求解椭圆的长轴长 【解答】解：椭圆（ 为参数）可得，可得长半轴 a5， 椭圆的长轴长为 10 故选：D 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力 第 10 页（共 22 页） 8 （5 分）过点作直线，使它与双曲线1
16、 有且只有一个公共点，这样的 直线有（ ） A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 【分析】利用几何法，结合双曲线的几何性质，得出符合条件的结论 【解答】解：点 P 点，x5 时，y，显然点在双曲线上，过 点作直线，与双曲线1 有且只有一个公共点的直线有 3 条 第 1 条是双曲线的切线，第 2、3 条是与两条渐近线平行的直线， 综上，符合条件的直线只有 3 条 故选：C 【点评】本题考查了直线与双曲线的交点的问题，解题时应灵活应用双曲线的渐近线， 是基础题 9 （5 分）函数，则（ ） Axe 为函数 f（x）的极大值点 Bxe 为函数 f（x）的极小值点 C为函数 f（x）的极大值点 D为
17、函数 f（x）的极小值点 【分析】求导，令 f（x）0，求得函数的单调递增区间，令 f（x）0，求得函数 的单调递减区间，则当 xe 时，函数有极大值 【解答】解：的定义域（0，+） ，求导 f（x）， 令 f（x）0，解得：0xe，令 f（x）0，解得：xe， 函数在（0，e）上递增，在（e，+）上递减， 当 xe 时，函数有极大值， 故选：A 【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及极值，考查计算能 力，属于基础题 第 11 页（共 22 页） 10 （5 分） 已知甲、 乙、 丙三人中， 一人是数学老师、 一人是英语老师、 一人是语文老师 若 丙的年龄比语文老师大；甲
18、的年龄和英语老师不同；英语老师的年龄比乙小根据以上 情况，下列判断正确的是（ ） A甲是数学老师、乙是语文老师、丙是英语老师 B甲是英语老师、乙是语文老师、丙是数学老师 C甲是语文老师、乙是数学老师、丙是英语老师 D甲是语文老师、乙是英语老师、丙是数学老师 【分析】由“甲的年龄和英语老师不同”和“英语老师的年龄比乙小”推得丙是英语老 师，从而丙的年龄比乙小，进而得到甲是语文老师，乙是数学老师 【解答】解： “甲的年龄和英语老师不同”和“英语老师的年龄比乙小”可以推得丙是英 语老师， 所以丙的年龄比乙小； 再由“丙的年龄比语文老师大” ，可知甲是语文老师，故乙是数学老师 故选：C 【点评】本题考
19、查了推理与证明，认真分析条件中的逻辑关系，逐步推出结论，属于基 础题 11 （5 分）如图 F1，F2分别是椭圆的两个焦点，A 和 B 是以 O 为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且F2AB 是等边三角形，则椭圆 的离心率为（ ） A B C D 【分析】由题设条件知 ，把 A 代入椭圆 ，得 第 12 页（共 22 页） ，整理，得 e48e2+40，由此能够求出椭圆的离心率 【解答】解：由题意知 ， 把 A 代入椭圆 ，得 ， （a2c2）c2+3a2c24a2（a2c2） ， 整理，得 e48e2+40， ， 0e1， 故选：D 【点评】本题考查椭圆的性质和应用，解题
20、时要认真审题，注意公式的灵活运用 12 （5 分）已知函数 f（x）e2x，g（x）lnx+的图象分别与直线 yb 交于 A，B 两点， 则|AB|的最小值为（ ） A1 Be C De 【分析】由题意，求出 A，B 两点的坐标，表示|AB|，构造函数，确定函数的单调性，即 可求出|AB|的最小值 【解答】解：由题意，A（lnb，b） ，B（，b） ，其中lnb，且 b0， 所以|AB|lnb，令 h（x）， （x0） ， 则 h（x）0 时，解得 x， 所以 0x时，h（x）0；x时，h（x）0， 则 h（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增， 所以当 x时，|AB|min， 故选
21、：C 第 13 页（共 22 页） 【点评】本题考查最值问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属 于中档题 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题；共小题；共 20 分）分） 13 （5 分）观察下列等式 131 13+239 13+23+3336 13+23+33+43100 照此规律，第 6 个等式可为 13+23+33+43+53+63441 【分析】可以发现等式左边是连续整数的立方和，右边是 1+2+3+n 的平方从而写 出第六个等式 【解答】解：13112， 13+23932， 13+23+333662， 13+23+33+43100102， 13+23+33+43+
22、53152225， 13+23+33+43+53+63212441 故答案为：13+23+33+43+53+63441 【点评】本题考查归纳推理及运用，注意总结等式的左右特点是解题的关键 14 （5 分）设 f（x）xlnx，若 f（x0）2，则 x0的值为 e 【分析】先根据乘积函数的导数公式求出函数 f（x）的导数，然后将 x0代入建立方程， 解之即可 【解答】解：f（x）xlnx 第 14 页（共 22 页） f（x）lnx+1 则 f（x0）lnx0+12 解得：x0e 故答案为：e 【点评】本题主要考查了导数的运算，以及乘积函数的导数公式的运用，属于基础题之 列 15（5 分） 从边
23、长为 4 的正方形 ABCD 内部任取一点 P， 则 P 到对角线 AC 的距离不大于 的概率为 【分析】根据题意，画出正方形 ABCD，求出满足条件的点 P 所在的区域面积，由几何 概型的概率公式，即可求出对应的概率 【解答】解：如图所示， E、F、G、H 分别为 AD、DC、AB 和 BC 的中点， 点 P 落在阴影部分所在的区域， 由几何概型的概率公式， 得所求的概率为 P1 故答案为： 【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，解题的关键是得出概率的计算公式是对 应面积的比值，是基础题目 16 （5 分）设 F 为抛物线 y24x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点，若， 则 6 【
24、分析】根据，可判断点 F 是ABC 重心，进而可求 x1+x2+x3的值，再 根据抛物线的定义，即可求得答案 第 15 页（共 22 页） 【解答】解：抛物线焦点坐标 F（1，0） ，准线方程：x1 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ， 点 F 是ABC 重心， x1+x2+x33， |FA|x1（1）x1+1，|FB|x2（1）x2+1，|FC|x3（1）x3+1 |FA|+|FB|+|FC|x1+1+x2+1+x3+1（x1+x2+x3）+33+36 故答案为：6 【点评】 本题重点考查抛物线的简单性质， 考查向量知识的运用， 解题的关键是判断出 F 点为三角形
25、的重心 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题；小题；17 题题 10 分，分，18、19、20、21、22 题题 12 分，共分，共 70 分）分） 17 （10 分）已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的 x 轴 正半轴重合 直线 l 过点 P （1， 1） ， 倾斜角为 45， 曲线 C 的极坐标方程为 sin （+） 直线 l 与曲线 C 相交于 M，N 两点 （）求直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程； （）求线段 MN 的长和点 P 到 M，N 两点的距离之积 【分析】 （）由直线 l 过点 P（1，1） ，倾斜角为 45，能求出直线 l 的参数
26、方程， 由曲线 C 的极坐标方程为 2sin+cos，能求出曲线 C 的直角坐标方程 （）把直线 l 的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，由此能求出 线段 MN 的长和点 P 到 M，N 两点的距离之积 【解答】解： （）直线 l 过点 P（1，1） ，倾斜角为 45， 直线 l 的参数方程为： 曲线 C 的极坐标方程为 sin（+） ， 2sin+cos， 曲线 C 的直角坐标方程：x2+y2xy0 （6 分） 第 16 页（共 22 页） （）把直线 l 的参数方程：代入到：x2+y2xy0 得， |MN|t1t2| （9 分） |PM|PN|t1t2|4 （12 分） 【点评】本题考查
27、直线的参数方程和曲线的直角坐标方程的求法，考查线段 MN 的长和 点 P 到 M，N 两点的距离之积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直 角坐标互化公式的合理运用 18 （12 分）由 507 名画师集体创作的 999 幅油画组合而成了世界名画蒙娜丽莎 ，某部 门从参加创作的 507 名画师中随机抽出 100 名画师，得到画师年龄的频率分布表如下表 所示 （）求 a，b 的值；并补全频率分布直方图； （）根据频率分布直方图估计这 507 名画师年龄的平均数； （）在抽出的20，25）岁的 5 名画师中有 3 名男画师，2 名女画师在这 5 名画师中 任选两人去参加某绘画比赛，选出
28、的恰好是一男一女的概率是多少？ 分组 （岁） 频数 频率 20，25） 5 0.050 25，30） a 0.200 30，35） 35 b 35，40） 30 0.300 40，45） 10 0.100 合计 100 1.00 第 17 页（共 22 页） 【分析】 （）由频率分布表能求出 a，b，能补全频率分布直方图 （）利用频率分布直方图能求出 507 名画师中年龄的平均数的估计值 （）三名男画师记为 a，b，c，两名女画师记为 1，2，利用列举法能求出选出的恰好 是一男一女的概率 【解答】 （本小题满分 12 分） 解： （）由频率分布表得：a1000.20020， b0.35， 补全
29、频率分布直方图如图所示： （）507 名画师中年龄的平均数的估计值为： 22.50.05+27.50.2+32.50.35+37.50.3+42.50.133.5（岁） （）三名男画师记为 a，b，c，两名女画师记为 1，2， 五人中任选两人的所有基本事件如下： （a，b） ， （a，c） ， （a，1） ， （a，2） ， （b，c） ， （b，1） ， （b，2） ， （c，1） ， （c，2） ， （1， 2） ，共 10 个基本事件， 其中一男一女的是（a，1） ， （a，2） ， （b，1） ， （b，2） ， （c，1） ， （c，2） ，共 6 个基本事 件， 选出的恰好是一男一
30、女的概率 p 第 18 页（共 22 页） 【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真 审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用 19 （12 分）已知命题 p：f（x）x2+（4m2）x+5 在区间（，0）上是减函数，命题 q：不等式 x22x+1m0 的解集是 R，若命题“pq”为真，命题“pq”为假，求 实数 m 的取值范围 【分析】利用已知条件判断命题的真假，列出不等式求解即可 【解答】解：若命题 p 为真，即 f（x）x2+（4m2）x+5 在区间（，0）上是减函 数， 只需对称轴 x12m0，即（3 分） 若命题 q 为真，即不等式 x22x+1
31、m0 的解集是 R， 只需44（1m）0，即 m0（6 分） 因为“pq”为真，命题“pq”为假 所以 p，q 一真一假，所以（10 分） 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查转化思想以及计算能力，是基本知识 的考查 20 （12 分）电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100 名观众进行调査，其中女性有 55 名下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节 目时间的频率分布直方图（如图） 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷” ，已知“体育迷”中有 10 名女性 第 19 页（共 22 页） 附：X2 P（X2k） 0.05 0.
32、01 k 3.841 6.635 （1）根据已知条件完成下面的 22 列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关？ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 总计 （2）将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷” ，已知“超级体育 迷”中有 2 名女性若从“超级体育迷”中仼意选取 2 人，求至少有 1 名女性观众的概 率 【分析】 （1）由题意填写列联表，计算观测值 X2，对照临界值得出结论； （2）由题意利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值 【解答】解： （1）由频率分布直方图可知，在抽取的 100 人中， “体育迷”有 25 人，从 而完成 22 列联表如下； 非体
33、育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 总计 75 25 100 由表中数据，计算 X23.030， 因为 3.0303.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关； 第 20 页（共 22 页） （2）由频率分布直方图知“超级体育迷”有 5 人，其中有 2 名女性，记为 A、B，3 名男 性，记为 c、d、e； 从这 5 人中仼意选取 2 人，所有的基本事件为： AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de 共 10 种， 至少有 1 名女性观众的事件为： AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be 共 7 种， 故所求的概率为 P 【点评】本题考查了频
34、率分布直方图的应用问题，也考查了列联表与独立性检验应用问 题，是基础题 21 （12 分）如图，已知抛物线 x2y，过直线 l：y上任一点 M 作抛物线的两条切线 MA，MB，切点分别为 A，B （I）求证：MAMB； （II）求MAB 面积的最小值 【分析】 （I）设，MA，MB 的斜率分别为 k1，k2，过点 M 的切线方程为 ，联立抛物线方程，根据以 k1k21，可得 MAMB； （II）由（I）得，求出 MA，MB 的长，代入三角形面积 公式，结合二次函数的图象和性质，可得答案 【解答】证明： （I）设，MA，MB 的斜率分别为 k1，k2 过点 M 的切线方程为 由，得 第 21 页
35、（共 22 页） 所以 k1k21，所以 MAMB 解： （II）由（I）得， k1k21，k1+k24x0 所以 综上，当 x00 时，MAB 面积取最小值 【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，直线垂直的证明，难度中档 22 （12 分）已知函数 f（x）axlnx+b，g（x）x2+kx+3，曲线 yf（x）在（1，f（1） ） 处的切线方程为 yx1，a，b，kR （1）若函数 f（x）在（b，m）上有最小值，求 a，b 的值及 m 的取值范围； （2）当 x时，其中 e2.718，e 为自然对数的底数，若关于 x 的不等式 2f（x） +g（x）0 有解，求 k 的取值范围
36、 【分析】 （1）求出函数的导数，得到关于 a，b 的方程组，求出 a，b 的值，解关于导函 数的不等式，求出函数的最小值，求出 m 的范围即可； （2）问题等价于不等式 k在 x，e上有解，设 h（x） ，x，e，根据函数的单调性求出 k 的范围即可 【解答】解： （1）f（x）a（lnx+1） ， 由题意得，解得：， 故 f（x）lnx+1， 当 f（x）0，即 x时，f（x）递增， 当 f（x）0，即 0x时，f（x）递减， 第 22 页（共 22 页） f（x）在（0，m）上有最小值， m 的范围是（，+） ； （2）关于 x 的不等式 2f（x）+g（x）0 在 x，e有解， 等价于不等式 k在 x，e上有解， 设 h（x），x，e，h（x）， 当 h（x）0 即x1 时，h（x）递增，当 h（x）0，即 1xe 时，h（x）递 减， 又 h（），h（e）， h（）h（e）0， 故 h（x）minh（）， k 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题
