1、在ABC 中，absinA，则ABC 一定是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 2 （5 分）在ABC 中，则最大角的余弦值是（ ） A B C D 3 （5 分）已知数列an的通项公式是 an，那么这个数列是（ ） A递增数列 B递减数列 C摆动数列 D常数列 4 （5 分） “若 x2+y22” ，则“|x|1，或|y|1”的否命题是（ ） A若 x2+y22，则|x|1 且|y|1 B若 x2+y22，则|x|1 且|y|1 C若 x2+y22，则|x|1 或|y|1 D若 x2+y22，则|x|1 或|y|1 5 （5 分）李辉准备用自己节省的零花钱买一台学
2、习机，他现在已存 60 元计划从现在起 以后每个月节省 30 元，直到他至少有 400 元设 x 个月后他至少有 400 元，则可以用于 计算所需要的月数 x 的不等式是（ ） A30x60400 B30x+60400 C30x60400 D30x+40400 6 （5 分）在ABC 中，已知（a+b） ： （a+c） ： （b+c）4：5：6，则 sinA：sinB：sinC 等于 （ ） A3：5：7 B7：5：3 C6：5：4 D4：5：6 7 （5 分）设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a1+a3+a53，则 S5（ ） A5 B7 C9 D10 8 （5 分）对任意等比数列a
3、n，下列说法一定正确的是（ ） Aa1，a3，a9成等比数列 Ba1，a3，a6成等比数列 Ca2，a5，a8成等比数列 Da3，a6，a8成等比数列 9 （5 分）若双曲线 x2+my2m（mR）的焦距 4，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A B C D 10 （5 分）已知的最小值是 2，则 a（ ） A1 B2 C3 D4 第 2 页（共 16 页） 11 （5 分）关于 x 的不等式 ax2+bx+20 的解集为x|1x2，则关于 x 的不等式 bx2 ax20 的解集为（ ） Ax|2x1 Bx|x2 或 x1 Cx|x1 或 x1 Dx|x1 或 x 2 12 （5 分）为了测量某
4、塔的高度，某人在一条水平公路 C，D 两点处进行测量在 C 点测 得塔底 B 在南偏西 80， 塔顶仰角为 45， 此人沿着南偏东 40方向前进 10 米到 D 点， 测得塔顶的仰角为 30，则塔的高度为（ ） A5 米 B10 米 C15 米 D20 米 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分）分） 13 （5 分）命题“若 Al，则 Bm”的逆否命题是 14 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a4，c，sinA4sinB， 则 C 15 （5 分）目前农村电子商务发展取得了良好的进展，若某家农村网店从第一个月起利润 就成递增等差数列，且第 2 个月利润
5、为 2500 元，第 5 个月利润为 4000 元，第 m 个月后 该网店的利润超过 6000 元，则 m 16 （5 分）设 x1，函数的最小值是 三、解答题三、解答题 17 （10 分）设命题 p：实数 x 满足（xa） （x3a）0，其中 a0，命题 q：实数 x 满足 （1）若 a1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足（2ab）cosCccosB 0 （1）求角 C 的值； （2）若三边 a，b，c 满足 a+b6，c2，求ABC 的面积
6、19 （12 分）设 Sn为等差数列an的前 n 项和，a611，公差 d3 且 a3+a7a4a545 （1）求 Sn； （2）求数列的前 40 项和 20 （12 分）已知函数 f（x）ax2+2x+c 的最低点为（1，2） 第 3 页（共 16 页） （1）求不等式 f（x）7 的解集； （2）若对任意 x2，4，不等式 f（xt）x2 恒成立，求实数 t 的取值范围 21 （12 分）某厂有一批长为 18m 的条形钢板，可以割成 1.8m 和 1.5m 长的零件，它们的加 工费分别为每个 1 元和 0.6 元，售价分别为 20 元和 15 元，总加工费要求不超过 8 元，问 如何下料能
7、获得最大利润 22 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，F1，F2分别为椭圆左 右焦点，A 为椭圆的短轴端点且|AF1| （1）求椭圆 C 的方程； （2）过 F2作直线 l 角椭圆 C 于 P，Q 两点，求PQF1的面积的最大值 第 4 页（共 16 页） 2018-2019 学年湖南省娄底市高二（上）期中数学试卷（文科）学年湖南省娄底市高二（上）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，每小题只有一个正确选项）分，每小题只有一个正确选项） 1 （5 分）在ABC 中，absinA，则ABC 一定是（ ） A锐角
8、三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 【分析】由正弦定理可得 sinAsinBsinA，可得 sinB1，B，可作出判断 【解答】解：在ABC 中，absinA， 由正弦定理可得 sinAsinBsinA， 同除以 sinA 可得 sinB1，B ABC 一定是直角三角形， 故选：B 【点评】本题考查三角形形状的判断，涉及正弦定理的应用，属基础题 2 （5 分）在ABC 中，则最大角的余弦值是（ ） A B C D 【分析】先根据可判断出角 B 为最大角，进而根据余弦定理可求 出 c 的值，最后根据余弦定理即可求出 cosB 的值 【解答】解：， 则， c3； 故角 B 为最大角，
9、 cosB 故选：B 【点评】本题主要考查余弦定理的应用正余弦定理在解三角形中应用普遍，一定要熟 练掌握其公式，并能够熟练的应用 3 （5 分）已知数列an的通项公式是 an，那么这个数列是（ ） 第 5 页（共 16 页） A递增数列 B递减数列 C摆动数列 D常数列 【分析】要判断数列的单调性，根据数列单调性的定义，只要判断 an与 an+1的大小，即 只要判断 an+1an的正负即可 【解答】解：an+1an0， an+1an an0 数列是递增数列 故选：A 【点评】本题主要考查了数列的单调性的定义在解题中的应用，解题的关键是要灵活应 用数列的单调性的定义，属于基础试题 4 （5 分）
10、 “若 x2+y22” ，则“|x|1，或|y|1”的否命题是（ ） A若 x2+y22，则|x|1 且|y|1 B若 x2+y22，则|x|1 且|y|1 C若 x2+y22，则|x|1 或|y|1 D若 x2+y22，则|x|1 或|y|1 【分析】根据命题“若 p，则 q”的否命题是“若p，则q” ，写出它的否命题即可 【解答】解： “若 x2+y22” ，则“|x|1，或|y|1”的否命题是“若 x2+y22，则|x|1 且|y|1” ， 故选：A 【点评】本题考查了四种命题之间的关系与应用问题，是基础题目 5 （5 分）李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存 60 元计划
11、从现在起 以后每个月节省 30 元，直到他至少有 400 元设 x 个月后他至少有 400 元，则可以用于 计算所需要的月数 x 的不等式是（ ） A30x60400 B30x+60400 C30x60400 D30x+40400 【分析】直接利用已知条件建立不等式 【解答】解：设 x 月后所存的钱数为 y， 则：y30x+60， 由于存的钱数不少于 400 元， 故不等式为：30x+60400， 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力， 第 6 页（共 16 页） 属于基础题型 6 （5 分）在ABC 中，已知（a+b） ： （a+c） ： （b
12、+c）4：5：6，则 sinA：sinB：sinC 等于 （ ） A3：5：7 B7：5：3 C6：5：4 D4：5：6 【分析】直接利用比例关系式建立方程组，进一步利用正弦定理求出结果 【解答】解：设（a+b） ： （a+c） ： （b+c）4：5：6k， 则：， 解得：a，b，c， 所以：a：b：c3：5：7， 即：sinA：sinB：sinC3：5：7， 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：比例关系式的应用，正弦定理的应用，主要考查学生的 运算能力和转化能力，属于基础题型 7 （5 分）设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a1+a3+a53，则 S5（ ） A5 B7 C9 D1
13、0 【分析】由等差数列an的性质，及 a1+a3+a53，可得 3a33，再利用等差数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】解：由等差数列an的性质，及 a1+a3+a53， 3a33， a31， S55a35 故选：A 【点评】本题考查了等差数列的性质及其前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 8 （5 分）对任意等比数列an，下列说法一定正确的是（ ） Aa1，a3，a9成等比数列 Ba1，a3，a6成等比数列 Ca2，a5，a8成等比数列 Da3，a6，a8成等比数列 【分析】根据题意，对于 A、B、D 举出反例，易得 A、B、D 均错误，对于 C，设等比 第 7 页（
14、共 16 页） 数列an的公比为 q，则 a2a1q，a5a1q4，a8a1q7，由等比数列的定义分析可得三项 成等比数列，即可得答案 【解答】解：根据题意，an为任意的等比数列an， 对于 A，设 an2n，a1212，a3238，a929512，不是等比数列，A 错误； 对于 B，设 an2n，a1212，a3238，a62632，不是等比数列，B 错误； 对于 C，设等比数列an的公比为 q，则 a2a1q，a5a1q4，a8a1q7，成等比数列，C 正确； 对于 D，设 an2n，a3238，a62632，a828256，不是等比数列，D 错误； 故选：C 【点评】本题考查等比数列的性
15、质，注意等比数列的通项公式，属于基础题 9 （5 分）若双曲线 x2+my2m（mR）的焦距 4，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A B C D 【分析】根据题意，双曲线 x2+my2m（mR）的焦距 4，解可得 m，即可得双曲线的方 程，由渐近线方程计算可得答案 【解答】解：根据题意，双曲线 x2+my2m（mR）的焦距 4， 可得2c4， 解可得 m3， 则双曲线的方程为：， 其渐近线方程为：yx； 故选：D 【点评】本题考查双曲线的标准方程、渐近线方程，注意焦距为 2c 以及 m 的符号 10 （5 分）已知的最小值是 2，则 a（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】先画出可行域，然后
16、讨论 a 与2 的大小，结合图形和目标函数的最小值为 2 进行求解即可 【解答】解：由已知得线性可行域如图所示，则 zax+y 的最小值为 2 若 a2，则（1，0）为最小值最优解， 第 8 页（共 16 页） a2， 若 a2，则（3，4）为最小值最优解，不合题意， 故选：B 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，同时考查了分类讨论的数学思想，属于基础 题 11 （5 分）关于 x 的不等式 ax2+bx+20 的解集为x|1x2，则关于 x 的不等式 bx2 ax20 的解集为（ ） Ax|2x1 Bx|x2 或 x1 Cx|x1 或 x1 Dx|x1 或 x 2 【分析】根据题意，利用一
17、元二次不等式的解集可知方程 ax2+bx+20 的解是 2 和1， 进而利用根与系数的关系求得 a、b 的值，据此可得不等式 bx2ax+20 即为 x2+x2 0，解可得答案 【解答】解：根据题意，关于 x 的不等式 ax2+bx+20 的解集为x|1x2， 则 a0，且1 和 2 是方程 ax2+bx+20 的两实数根， 则有， 解可得：a1，b1； 则不等式 bx2ax+20 即为 x2+x20， 解得 x2 或 x1， 第 9 页（共 16 页） 即不等式 ax2+bx+20 的解集是x|x2 或 x1； 故选：D 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，关键是分析 a、b 的值，属于基
18、础题 12 （5 分）为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路 C，D 两点处进行测量在 C 点测 得塔底 B 在南偏西 80， 塔顶仰角为 45， 此人沿着南偏东 40方向前进 10 米到 D 点， 测得塔顶的仰角为 30，则塔的高度为（ ） A5 米 B10 米 C15 米 D20 米 【分析】设出塔高为 h，根据直角三角形的边角关系和余弦定理，即可求出 h 的值 【解答】解：如图所示 设塔高为 ABh， 在 RtABC 中，ACB45， 则 BCABh； 在 RtABD 中， ADB30，则 BDh； 在BCD 中， BCD120，CD10， 由余弦定理得：BD2BC2+CD22BCCDc
19、osBCD， 即（h）2h2+1022h10cos120， h25h500，解得 h10 或 h5（舍去） ； 故选：B 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，也考查了将实际问题转化为解三角 形的应用问题，是中档题 第 10 页（共 16 页） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分）分） 13 （5 分）命题“若 Al，则 Bm”的逆否命题是 若 Bm，则 Al 【分析】直接利用四种命题是逆否关系写出结果即可 【解答】解：否定没有的条件作结论，否定命题的结论作条件，即可得到命题的逆否命 题 命题“若 Al，则 Bm”的逆否命题是若 Bm，则 Al， 故答案为：若 Bm，则 Al
20、 【点评】本题考查四种命题的逆否关系，基本知识的考查 14 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a4，c，sinA4sinB， 则 C 60 【分析】已知等式 sinA4sinB 利用正弦定理化简得到 a4b，求出 b 的长，利用余弦定 理表示出 cosC，将三边长代入求出 cosC 的值，即可确定出 C 的度数 【解答】解：将 sinA4sinB，利用正弦定理化简得：a4b， a4，b1， c， cosC， 则 C60 故答案为：60 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本 题的关键 15 （5 分）目前农村电子商务发展取得
21、了良好的进展，若某家农村网店从第一个月起利润 就成递增等差数列，且第 2 个月利润为 2500 元，第 5 个月利润为 4000 元，第 m 个月后 该网店的利润超过 6000 元，则 m 9 【分析】由题意求得等差数列公差，得到通项公式，由 am+16000 求得 m 值 【解答】解：由题意可知，等差数列满足 a22500，a54000， 则 d， 则 ana2+（n2）d2500+500（n2）500n+1500， 由 am+1500（m+1）+15006000，得 m8 又 mN*，m9 第 11 页（共 16 页） 故答案为：9 【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题 16
22、 （5 分）设 x1，函数的最小值是 9 【分析】根据函数的形式，换元：设 tx+1（t0） ，将原函数变为， 再根据 t 为正数，可以用基本不等式求出 f（t）的最小值，最后用等号成立的条件得出相 应的 x 的值，从而得出原函数的最小值是正确的 【解答】解：设 tx+1（t0） ，则 整理得： t0 所以 当且仅当时，函数有最小值 此时 x1 因此函数当 x1 时有最小值为 9 故答案为：9 【点评】本题以分式函数为载体，考查了函数的最值及其应用，属于中档题采用换元 法、利用基本不等式来求解是解决本题的关键，用这个方法时同学们应该注意等号成立 的条件，以免出错 三、解答题三、解答题 17 （
23、10 分）设命题 p：实数 x 满足（xa） （x3a）0，其中 a0，命题 q：实数 x 满足 （1）若 a1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）若 a1，分别求出 p，q 成立的等价条件，利用且 pq 为真，求实数 x 的 取值范围； （2）利用p 是q 的充分不必要条件，即 q 是 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值 第 12 页（共 16 页） 范围 【解答】解：由（xa） （x3a）0，其中 a0， 得 ax3a，a0，则 p：ax3a，a0 由解得 2x3 即 q：2x3 （1）若 a1，则
24、p：1x3， 若 pq 为真，则 p，q 同时为真， 即，解得 2x3， 实数 x 的取值范围（2，3） （2）若p 是q 的充分不必要条件，即 q 是 p 的充分不必要条件， ，即， 解得 1a2 【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将p 是q 的充分不必要条件，转化为 q 是 p 的充分不必要条件是解决本题的关键， 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足（2ab）cosCccosB 0 （1）求角 C 的值； （2）若三边 a，b，c 满足 a+b6，c2，求ABC 的面积 【分析】 （1）直接利用三角函数关系是的
25、恒等变换和正弦定理求出结果 （2）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果 【解答】解： （1）已知（2ab）cosCccosB0 可化为， （2sinAsinB）cosCsinCcosB0， 整理得 2sinAcosCsinBcosC+sinCcosBsin（B+C）sinA， 0A， sinA0， cosC， 又 0C， 第 13 页（共 16 页） C （2）由（1）知 cosC， 又 a+b6，c2， 由余弦定理得 c2a2+b22abcosC（a+b）23ab363ab， 即 4363ab， ab， SABCabsinCsin 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积
26、公式的应用，主要考 查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 19 （12 分）设 Sn为等差数列an的前 n 项和，a611，公差 d3 且 a3+a7a4a545 （1）求 Sn； （2）求数列的前 40 项和 【分析】 （1）根据等差数列的性质和求和公式和通项公式即可求出， （2）由（1）直接代数即可求出 【解答】解： （1）a3+a7a4a5452a5 又 a611 （112d） （11d）452（11d） 解得 d2 或 d d3，d2， a111251， an2n1， Snn2， （2）S401600 【点评】本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，考查了运算能力和转化能力，属 于
27、基础题 20 （12 分）已知函数 f（x）ax2+2x+c 的最低点为（1，2） （1）求不等式 f（x）7 的解集； （2）若对任意 x2，4，不等式 f（xt）x2 恒成立，求实数 t 的取值范围 第 14 页（共 16 页） 【分析】 （1）根据二次函数的性质求出 a1，c1，再解 f（x）7 即可， （2）对任意 x2，4，不等式 f（xt）x2 恒成立转化为（）2t1 （+）2，求出范围即可 【解答】解： （1）依题意，得1， f（1）a2+c2， 由解得，a1，c1 f（x）x2+2x1 则原不等式可化为 x2+2x80，解得 x4 或 x2 故不等式 f（x）7 的解集为（，4
28、）（2，+） （2）对任意 x2，4，不等式 f（xt）x2 恒成立，得（xt+1）22x2， 即xt+1，则 xt1x+， 即（）2t1（+）2 x2，4， （+）2的最小值是（+）22+ （+）2的最大值是（）22 2t12+，即 3t3+ 故实数 t 的取值范围是3，3+ 【点评】本题考查二次函数的性质、二次不等式的求解及恒成立问题，深刻把握“三个 二次”间的关系是解决问题的关键，恒成立问题常转化为函数最值解决 21 （12 分）某厂有一批长为 18m 的条形钢板，可以割成 1.8m 和 1.5m 长的零件，它们的加 工费分别为每个 1 元和 0.6 元，售价分别为 20 元和 15 元
29、，总加工费要求不超过 8 元，问 如何下料能获得最大利润 【分析】先画出满足条件的平面区域，求出 M 的坐标，找出 M 附近的点的坐标，代入求 出即可 【解答】解：设割成的 1.8m 和 1.5m 长的零件分别为 x 个、y 个，利润为 z 元， 则 z20x+15y（x+0.6y）即 z19x+14.4y 且 第 15 页（共 16 页） 作出不等式组表示的平面区域如图： 由，解得：M（，） ， x、y 为自然数，在可行区域内找出与 M 最近的点为（3，8） ，此时 z193+14.48 172.2（元） ， 又可行域的另一顶点是（0，12） ，过（0，12）的直线使 z190+14.412
30、172.8（元） ， 过顶点（8，0）的直线使 z198+14.40152（元） ， M（7（20） ，7（60） ）附近的点（1，10） 、 （2，9） ， 直线 z19x+14.4y 过点（1，10）时，z163；过点（2，9）时 z167.6， 当 x0，y12 时，z172.8 元为最大值； 答：只要截 1.5m 长的零件 12 个，就能获得最大利润 【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查函数的最值问题，是一道中档题 22 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，F1，F2分别为椭圆左 右焦点，A 为椭圆的短轴端点且|AF1| （1）求椭圆 C 的方程； （2）过 F2
31、作直线 l 角椭圆 C 于 P，Q 两点，求PQF1的面积的最大值 【分析】 （1）由已知可得：，解出即可得出椭圆 C 的方程； 第 16 页（共 16 页） （2）由（1）可知：F2（2，0） ，设直线 l 的方程为 xty+2，与椭圆方程联立化为（3+t2） y2+4ty20，设 P（x1，y2） ，Q（x2，y2） ，利用根与系数的关系可得|y1y2| ， 利用|F1F2|y1y2|， 及其基本不等式的性质即可得 出 【解答】解： （1）由已知可得：，解得 a，c2，b22， 椭圆 C 的方程为； （2）由（1）可知：F2（2，0） ，设直线 l 的方程为 xty+2，联立， 化为（3+t2）y2+4ty20， 设 P（x1，y2） ，Q（x2，y2） ， y1+y2，y1y2， |y1y2|， |F1F2| |y1 y2| 2， 当且仅当，即 t1 时，PQF1的面积取得最大值
