1、“x0”是“x0”是的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2 （5 分）若方程 C：x2+1（a 是常数）则下列结论正确的是（ ） AaR+，方程 C 表示椭圆 BaR ，方程 C 表示双曲线 CaR ，方程 C 表示椭圆 DaR，方程 C 表示抛物线 3 （5 分）学校为了了解高一学生的情况，从每班抽 2 人进行座谈；一次数学竞赛中， 某班有 10 人在 110 分以上，40 人在 90100 分，12 人低于 90 分现在从中抽取 12 人 了解有关情况；运动会服务人员为参加 400m 决赛的 6 名同学安排跑道就这三件事， 合适的抽样方
2、法为（ ） A分层抽样，分层抽样，简单随机抽样 B系统抽样，系统抽样，简单随机抽样 C分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样 D系统抽样，分层抽样，简单随机抽样 4 （5 分）抛物线：yx2的焦点坐标是（ ） A B C D 5 （5 分）双曲线：x21 的渐近线方程和离心率分别是（ ） A B C D 6 （5 分）函数 f（x）exlnx 在点（1，f（1） ）处的切线方程是（ ） Ay2e（x1） Byex1 Cye（x1） Dyxe 7 （5 分）函数 yx2lnx 的单调递减区间为（ ） A （1，1 B （0，1 C1，+） D （0，+） 第 2 页（共 18 页） 8 （5 分）
3、函数 f（x）3x4x3， （x0，1）的最大值是（ ） A B1 C0 D1 9 （5 分）过点 P（0，1）与抛物线 y2x 有且只有一个交点的直线有（ ） A4 条 B3 条 C2 条 D1 条 10 （5 分）从 1，2，3，4，5 中任取两个不同的数字，构成一个两位数，则这个数字大于 40 的概率是（ ） A B C D 11 （5 分）双曲线 4x2+ty24t0 的虚轴长等于（ ） A B2t C D4 12 （5 分）若椭圆+1（ab0）和圆 x2+y2（+c）2， （c 为椭圆的半焦距） ， 有四个不同的交点，则椭圆的离心率 e 的取值范围是（ ） A B C D 二二.填空
4、题（每小题填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分分） 13 （5 分）AB 是过 C：y24x 焦点的弦，且|AB|10，则 AB 中点的横坐标是 14 （5 分）函数 f（x）x3+ax2+x+b 在 x1 时取得极值，则实数 a 15 （5 分）已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为（3，0） ，且焦距与虚轴长之比为 5： 4，则双曲线的标准方程是 16 （5 分）对于函数 f（x）ax3， （a0）有以下说法： x0 是 f（x）的极值点 当 a0 时，f（x）在（，+）上是减函数 f（x）的图象与（1，f（1） ）处的切线必相交于另一点 若 a0 且 x0，则 f（x）+f（）有最
5、小值是 2a 其中说法正确的序号是 三三.解答题（解答题（17 题题 10 分，分，18-22 题均题均 12 分，共分，共 70 分）分） 17 （10 分）如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名，将其成绩（均为整数）整理 后画出的频率分布直方图如下：请观察图形，求解下列问题： （1）79.589.5 这一组的频率、频数分别是多少？ 第 3 页（共 18 页） （2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60 分及以上为及格）和平均分 18 （12 分）已知椭圆 C：1（a2）上一点 P 到它的两个焦点 F1（左） ，F2 （右） 的距离的和是 6 （1）求椭圆 C 的离心率的值； （2）若
6、 PF2x 轴，且 p 在 y 轴上的射影为点 Q，求点 Q 的坐标 19 （12 分）如图：是 yf（x）x32x2+3a2x 的导函数 yf（x）的简图，它与 x 轴 的交点是（1，0）和（3，0） （1）求 yf（x）的极小值点和单调减区间； （2）求实数 a 的值 20 （12 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的离心率为， （）求双曲线 C 的方程； （） 已知直线 xy+m0 与双曲线 C 交于不同的两点 A， B， 且线段 AB 的中点在圆 x2+y2 5 上，求 m 的值 21 （12 分）已知 f（x）ax3+bx2+cx 在区间0，1上是增函数，在区间（，0） ， （1，
7、+ ）上是减函数，又 （）求 f（x）的解析式； （）若在区间0，m（m0）上恒有 f（x）x 成立，求 m 的取值范围 第 4 页（共 18 页） 22 （12 分）已知抛物线 y22px（p0） ，焦点为 F，一直线 l 与抛物线交于 A、B 两点， AB 的中点是 M（x0，y0）且|AF|+|BF|8，AB 的垂直平分线恒过定点 S（6，0） （1）求抛物线方程； （2）求ABF 面积的最大值 第 5 页（共 18 页） 2018-2019 学年湖南省常德市高二（下）期中数学试卷（文科）学年湖南省常德市高二（下）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题（
8、每小题选择题（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分） “x0”是“x0”是的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断 【解答】解：当 x1 时，满足 x0，但 x0 不成立 当 x0 时，一定有 x0 成立， “x0”是“x0”是的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用定义是解决本题的关键，比较 基础 2 （5 分）若方程 C：x2+1（a 是常数）则下列结论正确的是（ ） AaR+，方程 C 表示椭圆 BaR ，方程 C 表示双
9、曲线 CaR ，方程 C 表示椭圆 DaR，方程 C 表示抛物线 【分析】根据三种圆锥曲线标准方程的特征，对 A、B、C、D 各项依次逐个加以判断， 即可得到只有 B 项符合题意 【解答】解：当 a1 时，方程 C：即 x2+y21，表示单位圆 aR+，使方程 C 不表示椭圆故 A 项不正确； 当 a0 时，方程 C：表示焦点在 x 轴上的双曲线 aR ，方程 C 表示双曲线，得 B 项正确；aR，方程 C 不表示椭圆，得 C 项不正 确 第 6 页（共 18 页） 不论 a 取何值，方程 C：中没有一次项 aR，方程 C 不能表示抛物线，故 D 项不正确 综上所述，可得 B 为正确答案 故选
10、：B 【点评】本题给出含有字母的二次曲线方程，求它能表示的曲线类型，着重考查了椭圆、 双曲线、抛物线的标准方程的特点的知识，属于基础题 3 （5 分）学校为了了解高一学生的情况，从每班抽 2 人进行座谈；一次数学竞赛中， 某班有 10 人在 110 分以上，40 人在 90100 分，12 人低于 90 分现在从中抽取 12 人 了解有关情况；运动会服务人员为参加 400m 决赛的 6 名同学安排跑道就这三件事， 合适的抽样方法为（ ） A分层抽样，分层抽样，简单随机抽样 B系统抽样，系统抽样，简单随机抽样 C分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样 D系统抽样，分层抽样，简单随机抽样 【分析】分
11、析三个事件的特点，是从较多的一个总体中抽取样本，且总体之间没有差 异，故用系统抽样，是从不同分数的总体中抽取样本，总体之间的差异比较大，故用 分层抽样，是六名运动员选跑道，用简单随机抽样 【解答】解：是从较多的一个总体中抽取样本，且总体之间没有差异，故用系统抽样， 是从不同分数的总体中抽取样本，总体之间的差异比较大，故用分层抽样， 是六名运动员选跑道，用简单随机抽样， 故选：D 【点评】本题考查收集数据的方法，本题解题的关键是看清各个抽样的特点，从总体数 的多少和样本容量的多少两个方面和总体中的个体有没有差异 4 （5 分）抛物线：yx2的焦点坐标是（ ） A B C D 【分析】根据方程得出
12、焦点在 y 正半轴上，p，即可求出焦点坐标 【解答】解：抛物线 x2y， 第 7 页（共 18 页） 焦点在 y 正半轴上，p， 焦点坐标为（0，） ， 故选：B 【点评】本题考查了抛物线的方程与几何性质，求解焦点坐标，属于容易题 5 （5 分）双曲线：x21 的渐近线方程和离心率分别是（ ） A B C D 【分析】先根据双曲线的标准方程，求得其特征参数 a、b、c 的值，再利用双曲线渐近 线方程公式和离心率定义分别计算即可 【解答】解：双曲线：的 a1，b2，c 双曲线的渐近线方程为 yx2x；离心率 e 故选：D 【点评】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线特征参数 a、b、c 的几何意义
13、，双曲线 几何性质：渐近线方程、离心率的求法，属基础题 6 （5 分）函数 f（x）exlnx 在点（1，f（1） ）处的切线方程是（ ） Ay2e（x1） Byex1 Cye（x1） Dyxe 【分析】先求出函数 f（x）exlnx 的导数，再利用导数求出切线的斜率，再求出切点坐 标，最后用点斜式方程即可得出答案 【解答】解：函数 f（x）exlnx 的导数为 f（x）exlnx+ex， 切线的斜率 kf（1）e， 令 f（x）exlnx 中 x1，得 f（1）0， 切点坐标为（1，0） ， 切线方程为 y0e（x1） ，即 ye（x1） 故选：C 【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点切
14、线方程，考查导数的几何意义，正确求 导和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题 第 8 页（共 18 页） 7 （5 分）函数 yx2lnx 的单调递减区间为（ ） A （1，1 B （0，1 C1，+） D （0，+） 【分析】由 yx2lnx 得 y，由 y0 即可求得函数 yx2lnx 的单调 递减区间 【解答】解：yx2lnx 的定义域为（0，+） ， y， 由 y0 得：0x1， 函数 yx2lnx 的单调递减区间为（0，1 故选：B 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，注重标根法的考查与应用，属于基础题 8 （5 分）函数 f（x）3x4x3， （x0，1）的最大值是（ ）
15、A B1 C0 D1 【分析】求出函数的导数，求得极值点和单调区间，可得极大值且为最大值，计算即可 得到所求值 【解答】解：函数 f（x）3x4x3的导数为 f（x）312x23（14x2） ， 由 f（x）0，可得 x（舍去） f（x）在0，）递增， （，1）递减， 可得 f（x）在 x处取得极大值，且为最大值 1 故选：D 【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用导数，求得单调区间和极值、最值，考 查运算能力，属于基础题 9 （5 分）过点 P（0，1）与抛物线 y2x 有且只有一个交点的直线有（ ） A4 条 B3 条 C2 条 D1 条 【分析】过点 P（0，1）的直线与抛物线 y2
16、x 只有一个交点，则方程组只有 一解，分两种情况讨论即可： （1）当该直线存在斜率时； （2）该直线不存在斜率时； 【解答】解： （1）当过点 P（0，1）的直线存在斜率时，设其方程为：ykx+1， 第 9 页（共 18 页） 由，消 y 得 k2x2+（2k1）x+10， 若 k0，方程为x+10，解得 x1，此时直线与抛物线只有一个交点（1，1） ； 若 k0，令（2k1）24k20，解得 k，此时直线与抛物线相切，只有一个 交点； （2）当过点 P（0，1）的直线不存在斜率时， 该直线方程为 x0，与抛物线相切只有一个交点； 综上，过点 P（0，1）与抛物线 y2x 有且只有一个交点的直
17、线有 3 条 故选：B 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与分类讨论思想，解决基本方法是： （1） 代数法，转化为方程组解的个数问题； （2）几何法，数形结合； 10 （5 分）从 1，2，3，4，5 中任取两个不同的数字，构成一个两位数，则这个数字大于 40 的概率是（ ） A B C D 【分析】根据题意从 1，2，3，4，5 中任取两个不同的数字，构成一个两位数有5 420，这个数字大于 40 的有8，根据概率求解 【解答】解：从 1，2，3，4，5 中任取两个不同的数字，构成一个两位数有54 20， 这个数字大于 40 的有8， 这个数字大于 40 的概率是， 故选：A 【点评】
18、本题考查了古典概率公式求解，属于容易题 11 （5 分）双曲线 4x2+ty24t0 的虚轴长等于（ ） A B2t C D4 【分析】先将双曲线方程化为标准方程，再求双曲线的虚轴长 【解答】解：双曲线 4x2+ty24t0 可化为： 第 10 页（共 18 页） 双曲线 4x2+ty24t0 的虚轴长等于 故选：C 【点评】本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，解题 的关键是将双曲线方程化为标准方程 12 （5 分）若椭圆+1（ab0）和圆 x2+y2（+c）2， （c 为椭圆的半焦距） ， 有四个不同的交点，则椭圆的离心率 e 的取值范围是（ ） A B C D
19、【分析】由题设知，由，得 2cb，再平方，4c2b2，； 由，得 b+2c2a，综上所述， 【解答】解：椭圆和圆为椭圆的半焦距） 的中心都在原点， 且它们有四个交点， 圆的半径， 由，得 2cb，再平方，4c2b2， 在椭圆中，a2b2+c25c2， ； 由，得 b+2c2a， 再平方，b2+4c2+4bc4a2， 3c2+4bc3a2， 4bc3b2， 4c3b， 16c29b2， 第 11 页（共 18 页） 16c29a29c2， 9a225c2， ， 综上所述， 故选：A 【点评】本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简 单性质等基础知识考查运算求解能力，推
20、理论证能力；考查函数与方程思想，化归与 转化思想 二二.填空题（每小题填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）AB 是过 C：y24x 焦点的弦，且|AB|10，则 AB 中点的横坐标是 4 【分析】利用抛物线焦点弦的性质即可得出 【解答】解：抛物线 C：y24x 的方程，p2 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，直线 AB 过抛物线的交点，|AB|x1+x2+210，x1+x2 8 AB 中点的横坐标4 故答案为 4 【点评】熟练掌握抛物线焦点弦的性质是解题的关键 14 （5 分）函数 f（x）x3+ax2+x+b 在 x1 时取得极值，则实数 a 2 【分
21、析】根据题意，可知 f（1）0，求解方程，即可得到实数 a 的值 【解答】解：f（x）x3+ax2+x+b， f（x）3x2+2ax+1， 又f（x）在 x1 时取得极值， f（1）3+2a+10， a2 故答案为：2 【点评】本题考查了函数在某点取得极值的条件，要注意极值点一定是导函数对应方程 的根，但是导函数对应方程的根不一定是极值点求函数极值的步骤是：先求导函数， 第 12 页（共 18 页） 令导函数等于 0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义， 确定极值点和极值过程中要注意运用导数确定函数的单调性，一般导数的正负对应着 函数的单调性属于基础题 15 （5 分
22、）已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为（3，0） ，且焦距与虚轴长之比为 5： 4，则双曲线的标准方程是 【分析】先确定 a 值，由焦距与虚轴长之比为 5：4 及 a、b、c 的关系求出 b 的值 【解答】解：已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为（3，0） ， 则焦点在 x 轴上，且 a3，焦距与虚轴长之比为 5：4，即 c：b5：4， 解得 c5，b4， 则双曲线的标准方程是 【点评】本题考查求双曲线标准方程的方法 16 （5 分）对于函数 f（x）ax3， （a0）有以下说法： x0 是 f（x）的极值点 当 a0 时，f（x）在（，+）上是减函数 f（x）的图象与（1，f（1） ）处
23、的切线必相交于另一点 若 a0 且 x0，则 f（x）+f（）有最小值是 2a 其中说法正确的序号是 【分析】对于，求出原函数的导函数，由导函数的符号分析原函数的单调性，从而 判断原函数极值的情况； 对于，求出 f（x）的图象在（1，f（1） ）处的切线方程，和原函数联立后求解 x 的值， 由解得的 x 的值判断命题的真假； 对于，由基本不等式求出函数最值，从而判断的真假 【解答】解：由 f（x）ax3， （a0） ，得 f（x）3ax2 当 a0 时，f（x）0，当 a0 时，f（x）0， 函数 f（x）是定义域内的单调函数，f（x）无极值点命题错误； 当 a0 时，f（x）0，f（x）在（
24、，+）上是减函数，命题正确； f（1）3a，f（1）a， 第 13 页（共 18 页） f（x）的图象在（1，f（1） ）处的切线方程为：ya3a（x1） ，即 y3ax2a 代入 f（x）ax3，得 ax33ax+2a0，即 x33x+20，解得：x2 或 x1 f（x）的图象与（1，f（1） ）处的切线必相交于另一点（2，8a） ，命题正确 a0 且 x0 时，f（x）+f（）a（x3+）a2a，命 题错误； 故答案为： 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键 是掌握原函数的单调性与其导函数符号间的关系，是中档题 三三.解答题（解答题（17 题题 10
25、 分，分，18-22 题均题均 12 分，共分，共 70 分）分） 17 （10 分）如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名，将其成绩（均为整数）整理 后画出的频率分布直方图如下：请观察图形，求解下列问题： （1）79.589.5 这一组的频率、频数分别是多少？ （2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60 分及以上为及格）和平均分 【分析】 （1）根据频率小矩形的面积小矩形的高组距，求得 79.589.5 这一组的 频率与频数； （2）求 60 分以上的频率可得及格率，根据数据的平均数为各个小矩形底边中点的横坐 标乘以对应小矩形的面积之和，计算平均数 【解答】解： （1）由频率分布直方图
26、知：79.589.5 这一组的频率为：0.025100.25， 频数为：600.2515； （2）60 分以上的频率为 0.015（69.560）+0.0310+0.02510+0.005100.7425； 及格率为：74.25%， 平均分为：44.50.1+54.50.15+64.50.15+74.50.3+84.50.25+94.50.0570.5 分 【点评】本题考查了由频率分布直方图求频率，频数及数据的平均数，在频率分布直方 第 14 页（共 18 页） 图中频率小矩形的面积小矩形的高组距 18 （12 分）已知椭圆 C：1（a2）上一点 P 到它的两个焦点 F1（左） ，F2 （右）
27、 的距离的和是 6 （1）求椭圆 C 的离心率的值； （2）若 PF2x 轴，且 p 在 y 轴上的射影为点 Q，求点 Q 的坐标 【分析】 （1）根据椭圆的定义即可求出 a3，所以离心率 e； （2）由椭圆方程得，所以 PF2所在直线方程为 x，带入椭 圆方程即可求出 y，即 P 点的纵坐标，从而便可得到 Q 点坐标 【解答】解： （1）根据椭圆的定义得 2a6，a3； c； ； 即椭圆的离心率是； （2）； x带入椭圆方程得，y； 所以 Q（0，） 【点评】考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点，椭圆的定义，以及椭圆的离心率，直线和 椭圆交点坐标的求法，以及点在线上的射影的概念 19 （12 分）
28、如图：是 yf（x）x32x2+3a2x 的导函数 yf（x）的简图，它与 x 轴 的交点是（1，0）和（3，0） （1）求 yf（x）的极小值点和单调减区间； （2）求实数 a 的值 第 15 页（共 18 页） 【分析】 （1）先利用其导函数 f（x）图象，判断导函数值的正负来求其单调区间，进而 求得其极值 （注意是在定义域内研究其单调性） （2）由图知，f（1）0 且 f（3）0，代入导函数解析式得到关于 a 的方程，解出即 可 【解答】解： （1）由 f（x）x32x2+3a2x 的导函数 yf（x）的图象可知：导函数 f （x）小于 0 的解集是（1，3） ； 函数 f（x）x32x
29、2+3a2x 在 x1，x3 处取得极值，且在 x3 的左侧导数为负右侧 导数为正 即函数在 x3 处取得极小值，函数的单调减区间为（1，3） （2）由于 f（x）x32x2+3a2x 的导函数 f（x）ax24x+3a2，又由（1）知，f（1） 0 且 f（3）0 则解得 a1 则实数 a 的值为 1 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及函数的单调性，利用导数研究函数 的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是 教学中的重点和难点，学生应熟练掌握 20 （12 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的离心率为， （）求双曲线 C 的方程； （） 已知
30、直线 xy+m0 与双曲线 C 交于不同的两点 A， B， 且线段 AB 的中点在圆 x2+y2 5 上，求 m 的值 【分析】 （1）由题意列关于 a，b，c 的方程组，求得 a，b 的值，则双曲线方程可求； （2） 将直线方程代入双曲线方程， 利用韦达定理及中点坐标公式求得 AB 中点 M 点坐标， 第 16 页（共 18 页） 代入圆的方程，即可求得 m 的值 【解答】解： （）由题意可得，解得 a1，b，c 双曲线 C 的方程为； （）设点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，线段 AB 的中点 M（x0，y0） ， 由，得 x22mxm220（判别式0） ， x1+x22m，x0
31、m，y0x0+m2m， 点 M（x0，y0）在圆 x2+y25 上，则 m2+（2m）25，故 m1， m 的值1 【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查直线与双曲线相交问题及中点弦 问题，属于中档题 21 （12 分）已知 f（x）ax3+bx2+cx 在区间0，1上是增函数，在区间（，0） ， （1，+ ）上是减函数，又 （）求 f（x）的解析式； （）若在区间0，m（m0）上恒有 f（x）x 成立，求 m 的取值范围 【分析】 （）由“f（x）在区间0，1上是增函数，在区间（，0） ， （1，+）上是 减函数” ，则有 f（0）f（1）0，再由 求解 （）首先将“f（x）x，x
32、0，m成立”转化为“x（2x1） （x1）0，x0，m 成立”求解 【解答】解： （）f（x）3ax2+2bx+c，由已知 f（0）f（1）0， 即 解得 第 17 页（共 18 页） f（x）3ax23ax， ， a2， f（x）2x3+3x2 （）令 f（x）x，即2x3+3x2x0， x（2x1） （x1）0， 或 x1 又 f（x）x 在区间0，m上恒成立， 【点评】 本题主要考查利用函数的极值点和导数值来求函数解析式及不等式恒成立问题 22 （12 分）已知抛物线 y22px（p0） ，焦点为 F，一直线 l 与抛物线交于 A、B 两点， AB 的中点是 M（x0，y0）且|AF|+
33、|BF|8，AB 的垂直平分线恒过定点 S（6，0） （1）求抛物线方程； （2）求ABF 面积的最大值 【分析】 （1）联立方程组，求出 M 的坐标，从而求出抛物线的方程； （2）联立方程组， 表示出三角形的面积，通过讨论函数的导数，从而求出三角形面积的最大值 【解答】解： （1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，AB 中点 M（x0，y0） ， 由|AF|+|BF|8 得 x1+x2+p8， 又得， 第 18 页（共 18 页） 所以 依题意，p4， 抛物线方程为 y28x； （2）由 M（2，y0）及， 令 y0 得， 又由 y28x 和， 得：， ， 令 当， 当， 所以是极大值点，并且是唯一的， 所以时，
