1、2020 年高考（文科）数学二模试卷年高考（文科）数学二模试卷 一、选择题（共 12 小题）. 1设函数 y的定义域为 A，函数 yln（3x）的定义域为 B，则 AB（ ） A（，3） B（一 8，3） C3 D3，3） 2已知复数 zai（aR），若 z+ 8，则复数 z（ ） A4+i B4i C4+i D4i 3 已知命题 p： x0， 则 3x1； 命题 q： 若 ab， 则 a2b2， 下列命题为真命题的是 （ ） Apq Bpq Cpq Dpq 4 若 m， n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面， 则下列命题中的真命题是 （ ） A若 m，则 m B若 m，m，则 C
2、若 ，则 D若 m，n，mn，则 5 郑州市 2019 年各月的平均气温 （C） 数据的茎叶图如图： 则这组数据的中位数是 （ ） A20 B21 C20.5 D23 6在如图所示的程序框图中，若输出的值是 4，则输入的 x 的取值范围是（ ） A（2，十） B（2，4 C（4，10 D（4，+） 7已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点，连接 DE 并 延长到点 F，使得 DE2EF，则的值为（ ） A B C D 8 已知双曲线的一条渐近线与直线 3xy+50 垂直， 则双曲线 C 的离心率 等于（ ） A B C D 9函数 f（x）的图象大致为
3、（ ） A B C D 10为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了 著名的劳伦茨曲线，如图所示劳伦茨曲线为直线 OL 时，表示收人完全平等劳伦茨 曲线为折线 OKL 时，表示收人完全不平等记区域 A 为不平等区域，a 表示其面积；S 为OKL 的面积将 Gini，称为基尼系数对于下列说法： Gini 越小，则国民分配越公平； 设劳伦茨曲线对应的函数为 yf（x），则对x（0，1），均有1； 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 y1（x0，1），则 Gini1； 其中正确的是（ ） A B C D 11在正方体 ABCDA1B1C1D1中，三棱锥 A1BC1D
4、内切球的表面积为 4，则正方体外 接球的体积为（ ） A B36 C D 12已知函数 f（x），g（x）x cosxsinx，当 x4，4，且 x0 时，方程 f（x）g（x）根的个数是（ ） A5 B6 C7 D8 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13幂函数 f（x）（m23m+3）xm的图象关于 y 轴对称，则实数 m 14将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 a、b，则直线 ax+by0 与圆（x2）2+y22 有公共点的概率为 15 在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且 b，c （sinA+cosA） b，则ABC 的面积的
5、最大值为 16 据国家统计局发布的数据， 2019 年 11 月全国 CPI （居民消费价格指数） ， 同比上涨 4.5%， CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响 CPI 上涨 3.27 个百分 点 如图是2019年11月CPI一篮子商品权重， 根据该图， 下列四个结论正确的有 CPI 一篮子商品中权重最大的是居住 CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过 50% 猪肉在 CPI 一篮子商品中权重为 2.5% 猪肉与其他禽肉在 CPI 一篮子商品中权重约为 0.18% 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个
6、试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17巳知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Snn2+2n1 （）求数列an的通项公式； （）若数列bn满足，求数列bn的前 n 项和 Tn 18在改革开放 40 年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码 x 1 2 3 4 5 6 年产量（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4 （I）根据表中数据，建立 y 关于 x 的线性回归方程 x+a （II）根据线性回归方程预测 2020 年该地区该农产品的年产量 附
7、：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归直线 x+a 的斜 率和截距的最小二乘估计分别为 ， （参考数据：（xi ）（yi ）2.8，计算结果保留到小数点后两位） 19如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 AA1B1B平面 ABC，D 是 AC 的中点 （）求证：B1C平面 A1BD； （） 若A1ABACB60， ABBB1， AC2， BC1， 求三棱锥 CAA1B 的体积 20已知椭圆 C：的短轴长为 2，离心率为 （）求椭圆 C 的标准方程； （）直线 l 平行于直线 yx，且与椭圆 C 交于 A，B 两个不同的点，若AOB 为钝 角，求直线 l 在 x
8、 轴上的截距 m 的取值范围 21已知函数 f（x），曲线 yf（x）在点（e，f（e）处的切线方程为 y （）求实数 a 的值，并求 f（x）的单调区间； （）求证：当 x0 时，f（x）x1 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在极坐标系中，圆 C 的方程为 2asin （a0）以极点为坐标原点，极轴为 x 轴 的正半轴建立平面直角坐标系，设直线 l 的参数方程为（t 为参数） （）求圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程； （）若直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，且求实数 a 的取
9、值范围？ 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|a|xl| （）当 a2 时，解不等式 f（x）5； （）若（x）a|x+3|，求 a 的最小值 参考答案 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1设函数 y的定义域为 A，函数 yln（3x）的定义域为 B，则 AB（ ） A（，3） B（一 8，3） C3 D3，3） 【分析】由根式内部的代数式大于等于 0 求解 x 的范围化简 A，由对数式的真数大于 0 求解 x 的范围化简 B，再由交集运算得答案 解：由 9x20，得3x3， A3，3， 由 3x
10、0，得 x3， B（，3） AB3，3） 故选：D 2已知复数 zai（aR），若 z+ 8，则复数 z（ ） A4+i B4i C4+i D4i 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 解：复数 zai（aR），若 z+ 8， ai+a+i8，解得 a4 则复数 z4i 故选：B 3 已知命题 p： x0， 则 3x1； 命题 q： 若 ab， 则 a2b2， 下列命题为真命题的是 （ ） Apq Bpq Cpq Dpq 【分析】根据条件判断命题 p，q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可 解：x0，则 3x1 为真命题，即命题 p 是真命题， 当 a3，b0 时，满足 a
11、b，但 a2b2，不成立，即命题 q 是假命题， 则 pq 是真命题，其余是假命题， 故选：B 4 若 m， n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面， 则下列命题中的真命题是 （ ） A若 m，则 m B若 m，m，则 C若 ，则 D若 m，n，mn，则 【分析】可以通过空间想象的方法，想象每个选项中的图形，并通过图形判断是否能得 到每个选项中的结论，即可找出正确选项 解：A错误，由 ，得不出 内的直线垂直于 ； B正确，m，根据线面平行的性质定理知， 内存在直线 nm，m，n， n，； C错误，若两个平面同时和一个平面垂直，可以想象这两个平面可能平行，即不一定得 到 ； D错误，可
12、以想象两个平面 、 都和 相交，交线平行，这两个平面不一定平行 故选：B 5 郑州市 2019 年各月的平均气温 （C） 数据的茎叶图如图： 则这组数据的中位数是 （ ） A20 B21 C20.5 D23 【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数即可 解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为： 1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34， 所以中位数是（20+21）20.5 故选：C 6在如图所示的程序框图中，若输出的值是 4，则输入的 x 的取值范围是（ ） A（2，十） B（2，4 C（4，10 D（4，+） 【分析】根据题意 i3，循环三次，可通过循环三次
13、解出 x 解：根据结果， 33（3x2）2282，且 333（3x2）22282， 解之得 2x4， 故选：B 7已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点，连接 DE 并 延长到点 F，使得 DE2EF，则的值为（ ） A B C D 【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案 解：如图， D、E 分别是边 AB、BC 的中点，且 DE2EF， 故选：C 8 已知双曲线的一条渐近线与直线 3xy+50 垂直， 则双曲线 C 的离心率 等于（ ） A B C D 【分析】由题意可判断出直线 3xy+50 与渐近线 yx 垂直，利用相互垂
14、直的直 线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出 解：双曲线的渐近线方程为 yx 又直线 3xy+50 可化为 y3x+5，可得斜率为 3 双曲线的一条渐近线与直线 3xy+50 垂直， ， 双曲的离心率 e 故选：B 9函数 f（x）的图象大致为（ ） A B C D 【分析】利用偶函数可排除 A，B，再根据 x时，函数值恒大于 0，排除 C 解：因为 f（x）f（x）， 所以 f（x）为偶函数，其图象关于 y 轴对称，所以排除 A、B， 又 x2 时，f（x）0，所以排除 C 故选：D 10为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了 著名的劳伦茨曲线，
15、如图所示劳伦茨曲线为直线 OL 时，表示收人完全平等劳伦茨 曲线为折线 OKL 时，表示收人完全不平等记区域 A 为不平等区域，a 表示其面积；S 为OKL 的面积将 Gini，称为基尼系数对于下列说法： Gini 越小，则国民分配越公平； 设劳伦茨曲线对应的函数为 yf（x），则对x（0，1），均有1； 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 y1（x0，1），则 Gini1； 其中正确的是（ ） A B C D 【分析】由基尼系数的计算公式入手，借助于图象及定积分解决问题 解：对于，根据基尼系数公式 Gini，可得基尼系数越小，不平等区域的面积 a 越 小，国民分配越公平，所以正确； 对于，根据劳
16、伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得x（0，1），均有 f（x）x， 可得1，所以错误； 对于，因为 a x（1）dx （x1）dx+dx（x2x） | +12+，S，所以 Gini，所以正确 故正确 故选：B 11在正方体 ABCDA1B1C1D1中，三棱锥 A1BC1D 内切球的表面积为 4，则正方体外 接球的体积为（ ） A B36 C D 【分析】根据三棱锥的内切球进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半 径，进一步求出结果 解：设正方体的棱长为 a，则 BDa， 由于三棱锥 A1BC1D 内切球的表面积为 4，所以球的半径为 1， 根据球与正四面体的体积的关系式，利用体积相
17、等及关系式的应用， 所以 1，解得 a2 所以正方体的外接球的半径为， 所以正方体的外接球的体积为 故选：B 12已知函数 f（x），g（x）x cosxsinx，当 x4，4，且 x0 时，方程 f（x）g（x）根的个数是（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】先对两个函数分析可知，函数 f（x）与 g（x）都是奇函数，且 f（x）是反比例 函数，g（x）在0，上是减函数，在，2上是增函数，在2，3上是减函数，在 3，4上是增函数，且 g（0）0，g（），g（2）2，g（3）3，g （4）4；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可 解：g（x）cosxxsinxcosxxsinx；
18、令 g（x）0 得 xk，kZ g（x）在0，上是减函数，在，2上是增函数，在2，3上是减函数，在3， 4上增 且 g（0）0，g（），g（2）2，g（3）3，g（4）4； 故作函数 f（x）与 g（x）在0，4上的图象如下， 结合图象可知，两图象在0，4上共有 4 个交点； 又 f（x），g（x）都是奇函数，且 f（x）不经过原点， f（x）与 g（x）在4，4上共有 8 个交点，故方程 f（x）g（x）根的个数是 8 个 故选：D 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13幂函数 f（x）（m23m+3）xm的图象关于 y 轴对称，则实数 m 2 【分析】根据幂函数的定义
19、与性质，列方程求出 m 的值，再验证即可 解：函数 f（x）（m23m+3）xm是幂函数， m23m+31， 解得 m1 或 m2； 当 m1 时，函数 yx 的图象不关于 y 轴对称，舍去； 当 m2 时，函数 yx2的图象关于 y 轴对称； 实数 m2 故答案为：2 14将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 a、b，则直线 ax+by0 与圆（x2）2+y22 有公共点的概率为 【分析】根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，所有的点数所形成的数组（a，b）有 36 种情况若直线 ax+by0 与圆（x2）2+y22 有公共点，则圆心到直线的距离小于半 径，利用点到直线的距离公式建立不等式解出 a
20、b，列举出满足条件的（a，b）有 21 种再利用古典概型公式加以计算，即可得到所求的概率 解：根据题意， 将一颗骰子先后投掷两次， 得到的点数所形成的数组 （a，b） 有 （1，1）、 （1，2）、 （1，3）、（6，6），共 36 种， 其中满足直线 ax+by0 与圆（x2）2+y22 有公共点， 即圆心（2，0）到直线的距离小于或等于半径 r，可得， 化简得 ab，满足条件的（a，b）有数组情况如下： a1 时，b1、2、6，共 6 种情况；a2 时，b2、3、6，共 5 种情况； a3 时，b3、4、6，共 4 种情况；a4 时，b4、5、6，共 3 种情况； a5 时，b5、6，共
21、2 种情况；a6 时 b6，1 种情况 总共有 6+5+4+3+2+121 种 因此，所求的概率 P 故答案为： 15 在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且 b，c （sinA+cosA） b，则ABC 的面积的最大值为 【分析】将 b代入第二个等式，即可约去 b，可得 c，然后代入面 积公式，就可以将三角形的面积转化为 A 的三角函数，则最大值可求 解：b，c（sinA+cosA）b， ， ， 当时， 故答案为： 16 据国家统计局发布的数据， 2019 年 11 月全国 CPI （居民消费价格指数） ， 同比上涨 4.5%， CPI 上涨的主要因素是猪
22、肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响 CPI 上涨 3.27 个百分 点如图是 2019 年 11 月 CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有 CPI 一篮子商品中权重最大的是居住 CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过 50% 猪肉在 CPI 一篮子商品中权重为 2.5% 猪肉与其他禽肉在 CPI 一篮子商品中权重约为 0.18% 【分析】根据 2019 年 11 月全国 CPI（居民消费价格指数），即可判断出正误 解：CPI 一篮子商品中权重最大的是居住为 23%，正确； CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重为 23%+8.0%+10.3%+19.9%61.2%50%，正确；
23、猪肉在 CPI 一篮子商品中权重为 2.5%，正确； 猪肉与其他禽肉在 CPI 一篮子商品中权重约为 2.1%+2.5%4.6%，因此不正确 故答案为： 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17巳知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Snn2+2n1 （）求数列an的通项公式； （）若数列bn满足，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】本题第（）题先将 n1 代入表达式得到 a1的值，当 n2 时，利用公式 an SnSn1可计算出 a
24、n的表达式， 然后将 a1的值代入验证， 即可得到数列an的通项公式； 第（）题先根据第（）题的结果计算出数列bn的通项公式，然后运用裂项相消法 计算前 n 项和 Tn，本题注意要验证 n1 的情况 解：（）由题意，当 n1 时，a1S12 当 n2 时， 而当 n1 时，a12 不满足上式， 故数列an的通项公式为 an （）由（）知，当 n1 时， 当 n2 时， bn 故当 n1 时， 当 n2 时，Tnb1+b2+b3+bn 又适合， 18在改革开放 40 年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码 x
25、1 2 3 4 5 6 年产量（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4 （I）根据表中数据，建立 y 关于 x 的线性回归方程 x+a （II）根据线性回归方程预测 2020 年该地区该农产品的年产量 附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归直线 x+a 的斜 率和截距的最小二乘估计分别为 ， （参考数据：（xi ）（yi ）2.8，计算结果保留到小数点后两位） 【分析】（）求得样本中心点和回归系数，利用最小二乘法即可求得线性回归方程； （）由（）回归方程，计算 x7 时得 2020 年该地区农产品的年产量 解：（1）由题意可知：， ， 所以， 又，
26、故 y 关于 x 的线性回归方程为 （2）由（1）可得，当年份为 2020 年时， 年份代码 x7，此时 所以可预测 2020 年该地区该农产品的年产量约为 7.56 万吨 19如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 AA1B1B平面 ABC，D 是 AC 的中点 （）求证：B1C平面 A1BD； （） 若A1ABACB60， ABBB1， AC2， BC1， 求三棱锥 CAA1B 的体积 【分析】（）连结 AB1交 A1B 于点 O，则 O 为 AB1的中点，可得 ODB1C，再由直线 与平面平行的判定可得 B1C平面 A1BD； （） 求解三角形求得得 ABBC 再证明 BC平面 AA1
27、B1B 求出三角形 A1AB 的面积， 由棱锥体积公式可得三棱锥 CAA1B 的体积 【解答】（）证明：连结 AB1交 A1B 于点 O，则 O 为 AB1的中点， D 是 AC 的中点，ODB1C， 又 OD平面 A1BD，B1C平面 A1BD， B1C平面 A1BD； （）解：AC2，BC1，ACB60， AB2AC2+BC22AC BC COSACB3，得 AC2AB2+BC2，得 ABBC 又平面 AA1B1B平面 ABC，平面 AA1B1B平面 ABCAB，BC平面 AA1B1B A1AB60，ABBB1AA1， 20已知椭圆 C：的短轴长为 2，离心率为 （）求椭圆 C 的标准方程
28、； （）直线 l 平行于直线 yx，且与椭圆 C 交于 A，B 两个不同的点，若AOB 为钝 角，求直线 l 在 x 轴上的截距 m 的取值范围 【分析】（）由题意可得，所以，通过离心率求出 a，然后求解椭圆方 程 （）由于直线 l 平行于直线，即，所以 l 的方程为联 立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合AOB 为钝角，向量的数量积的符号，求出 n 的范围，然后求解即可 解：（）由题意可得，所以， ，解得， 所以椭圆 C 的标准方程为 （）由于直线 l 平行于直线，即， 所以 l 的方程为 由得 x2+2nx+2n240， 因为直线 l 与椭圆 C 交两个不同的点， 所以（2n）24（2n2
29、4）0，解得2n2 设 A （x1， y1） ， B （x2， y2） ， 则 x1+x22n， AOB 为钝角等价于， 且 n0， 由 ， 即 n22，且 n0， 所以直线 l 在 x 轴上的截距 m 的取值范围 21已知函数 f（x），曲线 yf（x）在点（e，f（e）处的切线方程为 y （）求实数 a 的值，并求 f（x）的单调区间； （）求证：当 x0 时，f（x）x1 【分析】（ I）先对函数求导，然后结合已知切线方程及导数的几何意义即可求解； （II）当 x0 时，要证 f（x）x1，即证 lnxx2+x0，构造函数 g（x）lnxx2+x （x0），然后结合导数可求解单调性，进而
30、可求函数 g（x）的范围，可求 解：（I）， ， 又曲线 yf（x）在点（e，f（e）处的切线方程为，f（e）0，即 a0 ， ， 令 f（x）0，得 1lnx0，即 0xe； 令 f（x）0，得 1lnx0，即 xe， 所以 f（x）的单调增区间是（0，e），单调减区间是（e，+） （II）证明：当 x0 时，要证 f（x）x1，即证 lnxx2+x0， 令 g（x）lnxx2+x（x0）， 则， 当 0x1 时，g（x）0，g（x）单调递增； 当 x1 时，g（x）0，g（x）单调递减， 所以 g（x）g（1）0，即当 x0 时，f（x）x1 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、2
31、3 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在极坐标系中，圆 C 的方程为 2asin （a0）以极点为坐标原点，极轴为 x 轴 的正半轴建立平面直角坐标系，设直线 l 的参数方程为（t 为参数） （）求圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程； （）若直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，且求实数 a 的取值范围？ 【分析】（）利用极坐标方程进行转化即可求圆 C 的标准方程，消去参数即可求直线 l 的普通方程； （）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可 解：（）2asin （a0） 22asin， 即 x2+y22ay，即 x2+（ya）
32、2a2，（a0） 则圆 C 的标准方程为 x2+（ya）2a2，（a0） 由，消去参数 t 得 4x3y+50， 即直线 l 的普通方程为 4x3y+50； （）由圆的方程得圆心 C（0，a），半径 Ra， 则圆心到直线的距离 d， 2 a， 即 a2d2a2， 则 d2， 即 d， 则， 则， 由得得a10 即实数 a 的取值范围是a10 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|a|xl| （）当 a2 时，解不等式 f（x）5； （）若（x）a|x+3|，求 a 的最小值 【分析】（）将 a2 代入 f（x），表示出 f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出 不等式的解集即可；（）问题转化为，求出 a 的最小值即可 解：（）当 a2 时，f（x）， 由 f（x）的单调性及 f（）f（2）5， 得 f（x）5 的解集为x|x，或 x2 （）由 f（x）a|x+3|得 a， 由|x1|+|x+3|2|x+1|得，得 a （当且仅当 x1 或 x3 时等号成立） 故 a 的最小值为
