2020年4月北京市东城区高考数学第一次模拟试卷(含答案解析)

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1、2020 年高考数学(年高考数学(4 月份)第一次模拟试卷月份)第一次模拟试卷 一、选择题(共 10 小题). 1已知集合 Ax|x(x+1)0,集合 Bx|1x1,则 AB( ) Ax|1x1 Bx|1x0 Cx|1x1 Dx|0x1 2已知复数 z(其中 i 是虚数单位),则|z|( ) A B C1 D2 3抛物线 x24y 的准线与 y 轴的交点的坐标为( ) A B(0,1) C(0,2) D(0,4) 4设函数 f(x)x+2(x0),则 f(x)( ) A有最大值 B有最小值 C是增函数 D是减函数 5 已知曲线 C 的方程为, 则 “ab” 是 “曲线 C 为焦点在 x 轴上的

2、椭圆” 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6一排 6 个座位坐了 2 个三口之家若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( ) A12 B36 C72 D720 7 已知圆C与直线yx及x+y40的相切, 圆心在直线yx上, 则圆C的方程为 ( ) A(x1)2 +(y1)2 2 B(x1)2 +(y+1)2 2 C(x+1)2 +(y1)2 4 D(x+1)2 +(y+1)2 4 8已知正项等比数列an中,a1a5a927,a6与 a7的等差中项为 9,则 a10( ) A729 B332 C181 D96 9春天来了,某池塘中的荷花枝繁

3、叶茂,已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的 2 倍,若荷叶 20 天可以完全长满池塘水面,则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已 生长了( ) A10 天 B15 天 C19 天 D2 天 10某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是 8,10,14,若这三天中至 少有一天开车上班的职工人数是 20,则这三天都开车上班的职工人数至多是( ) A8 B7 C6 D5 二、填空题共 5 题,每题 5 分,共 25 分 11设向量 , 不平行,向量 + 与 +2 平行,则实数 12已知角 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,将角 的终边按逆时针方向 旋转后经过点(1,),

4、则 sin 13某四棱锥的三视图如图所示,那么该四棱锥的体积为 14若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1),(2,1),(4,2)中的 2 个点,则该抛物线的标准方程可以是 15某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为 y,观影人数记为 x,其 函数图象如图 (1) 所示 由于目前该片盈利未达到预期, 相关人员提出了两种调整方案, 图(2)、图(3)中的实线分别为调整后 y 与 x 的函数图象 给出下列四种说法: 图(2)对应的方案是:提高票价,并提高成本; 图(2)对应的方案是:保持票价不变,并降低成本; 图(3)对应的方案是:提高票价,并保持成本不变; 图(3)对应的方案是

5、:提高票价,并降低成本 其中,正确的说法是 (填写所有正确说法的编号) 三、解答题 16如图 1,在ABC 中,D,E 分别为 AB,AC 的中点,O 为 DE 的中点,ABAC2, BC4将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置,使得平面 A1DE平面 BCED,如图 ()求证:A1OBD; ()求直线 A1C 和平面 A1BD 所成角的正弦值; 17在b2+aca2+c2,acosBbsinA,sinB+cosB,这三个条件中任选一个, 补充在下面的问题中,并解决该问题已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,_,A,b,求ABC 的面积 18为了解甲、乙两个快递公司的

6、工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同, 现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30 天)的快递件数记录结果 中随机抽取 10 天的数据,制表如图: 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下: 甲公司规定每件 4.5 元; 乙公司 规定每天 35 件以内(含 35 件)的部分每件 4 元,超出 35 件的部分每件 7 元 ()根据表中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数; ()为了解乙公司员工 B 的每天所得劳务费的情况,从这 10 天中随机抽取 1 天,他所 得的劳务费记为 X(单位:元),求 X 的分布列和数学期望; ()根据表

7、中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费 19已知函数 f(x)lnx (1)若曲线 yf(x)存在斜率为1 的切线,求实数 a 的取值范围; (2)求 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x),求证:当1a0 时,g(x)在(1,+)上存在极小值 20已知椭圆 C:x2+3y26 的右焦点为 F ()求点 F 的坐标和椭圆 C 的离心率; ()直线 l:ykx+m(k0)过点 F,且与椭圆 C 交于 P,Q 两点,如果点 P 关于 x 轴的对称点为 P,判断直线 PQ 是否经过 x 轴上的定点,如果经过,求出该定点坐标; 如果不经过,说明理由 21各项均为非负整数的数列an同时满足下

8、列条件: a1m(mN*);ann1(n2);n 是 a1+a2+a n的因数(n1) ()当 m5 时,写出数列an的前五项; ()若数列an的前三项互不相等,且 n3 时,an为常数,求 m 的值; ()求证:对任意正整数 m,存在正整数 M,使得 nM 时,an为常数 参考答案 一、选择题共 10 题,每题 4 分,共 40 分在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项 1已知集合 Ax|x(x+1)0,集合 Bx|1x1,则 AB( ) Ax|1x1 Bx|1x0 Cx|1x1 Dx|0x1 【分析】先求出集合 A,集合 B,由此能求出 AB 解:集合 Ax|x(x+1)0x|1

9、x0, 集合 Bx|1x1, ABx|1x1 故选:C 2已知复数 z(其中 i 是虚数单位),则|z|( ) A B C1 D2 【分析】利用复数模长的性质即可求解 解:复数 z, , 故选:A 3抛物线 x24y 的准线与 y 轴的交点的坐标为( ) A B(0,1) C(0,2) D(0,4) 【分析】利用抛物线 x24y 的准线方程为 y1,即可求出抛物线 x24y 的准线与 y 轴 的交点的坐标 解:抛物线 x24y 的准线方程为 y1, 抛物线 x24y 的准线与 y 轴的交点的坐标为(0,1), 故选:B 4设函数 f(x)x+2(x0),则 f(x)( ) A有最大值 B有最小

10、值 C是增函数 D是减函数 【分析】根据 x0 即可根据基本不等式得出,从而可得出 f(x)4,并 且 x1 时取等号,从而得出 f(x)有最大值,没有单调性,从而得出正确的选项 解:x0, ,当且仅当,即 x1 时取等号, f(x)有最大值, f(x)在(,0)上没有单调性 故选:A 5 已知曲线 C 的方程为, 则 “ab” 是 “曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆” 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据椭圆方程的特点,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 解:若 ab0,则对应的曲线为双曲线,不是椭圆,即充分性不成立

11、, 若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则满足 ab0,即 a0,b0,满足 ab,即必 要性成立, 即“ab”是“曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的必要不充分条件, 故选:B 6一排 6 个座位坐了 2 个三口之家若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( ) A12 B36 C72 D720 【分析】根据题意,由捆绑法分析:先将 2 个三口之家的成员进行全排列,再对 2 个三 口之家整体进行全排列,由分步计数原理计算可得答案 解:根据题意,先将 2 个三口之家的成员进行全排列,有36 种情况, 再对 2 个三口之家整体进行全排列,有2 种情况, 则有 36272 种不同的坐法; 故选:C

12、 7 已知圆C与直线yx及x+y40的相切, 圆心在直线yx上, 则圆C的方程为 ( ) A(x1)2 +(y1)2 2 B(x1)2 +(y+1)2 2 C(x+1)2 +(y1)2 4 D(x+1)2 +(y+1)2 4 【分析】根据圆心在直线 yx 上,设出圆心坐标为(a,a),利用圆 C 与直线 yx 及 x+y40 的相切,求得圆心坐标,再求圆的半径,可得圆的方程 解:圆心在 yx 上,设圆心为(a,a), 圆 C 与直线 yx 及 x+y40 的相切, 圆心到两直线 yx 及 x+y40 的距离相等, 即:a1, 圆心坐标为(1,1),R, 圆 C 的标准方程为(x1)2+(y1)

13、22 故选:A 8已知正项等比数列an中,a1a5a927,a6与 a7的等差中项为 9,则 a10( ) A729 B332 C181 D96 【分析】正项等比数列an的公比设为 q,q0,运用等差数列的中项性质和等比数列的 通项公式及性质,解方程可得公比 q,再由等比数列的通项公式计算可得所求值 解:正项等比数列an的公比设为 q,q0, 由 a1a5a927,可得 a5327,即 a53,即 a1q43, a6与 a7的等差中项为 9,可得 a6+a718,即 a1q5+a1q618, 相除可得 q2+q60,解得 q2(3 舍去), 则 a10a5q533296 故选:D 9春天来了,

14、某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的 2 倍,若荷叶 20 天可以完全长满池塘水面,则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已 生长了( ) A10 天 B15 天 C19 天 D2 天 【分析】由题意设荷叶覆盖水面的初始面积,再列出解析式,并注明 x 的范围,列出方 程求解即可 解:设荷叶覆盖水面的初始面积为 a,则 x 天后荷叶覆盖水面的面积 ya 2x(xN+), 根据题意,令 2(a 2x)a 220,解得 x19, 故选:C 10某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是 8,10,14,若这三天中至 少有一天开车上班的职工人数是 20,则这三天都

15、开车上班的职工人数至多是( ) A8 B7 C6 D5 【分析】设周三,周二,周一开车上班的职工组成的集合分别为 A,B,C,集合 A,B, C 中元素个数分别为 n(A),n(B),n(C),根据 n(ABC)n(A)+n(B) +n(C)n(AB)n(AC)n(BC)+n(ABC),且 n(AB)n(A BC),n(AC)n(ABC),n(BC)n(ABC)可得 解:设周三,周二,周一开车上班的职工组成的集合分别为 A,B,C,集合 A,B,C 中 元素个数分别为 n(A),n(B),n(C), 则 n(A)14,n(B)10,n(C)8,n(ABC)20, 因为 n(ABC)n(A)+n

16、(B)+n(C)n(AB)n(AC)n(BC)+n (ABC),且 n(AB)n(ABC),n(AC)n(ABC),n(BC) n(ABC), 所以 14+10+820+n(ABC)3n(ABC),即 n(ABC) 6 故选:C 二、填空题共 5 题,每题 5 分,共 25 分 11设向量 , 不平行,向量 + 与 +2 平行,则实数 【分析】利用向量平行的条件直接求解 解:向量 , 不平行,向量 + 与 +2 平行, + t( +2 ), ,解得实数 故答案为: 12已知角 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,将角 的终边按逆时针方向 旋转后经过点(1,),则 sin 1 【分析】

17、由题意利用任意角的三角函数的定义,先求得 的值,可得 sin 的值 解:角 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,将角 的终边按逆时针方向 旋转后经过点(1,), tan(+) ,故 + 为第二象限角 可令 +,此时, ,sin1, 故答案为:1 13某四棱锥的三视图如图所示,那么该四棱锥的体积为 【分析】画出几何体的直观图,利用三视图的数据,求解几何体的体积 解:几何体的直观图如图:是长方体的一部分, 长方体的棱长为:2,1,2, 四棱锥的体积为:122 故答案为: 14若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1),(2,1),(4,2)中的 2 个点,则该抛物线的标准方程可以是 x28

18、y 或 y2x 【分析】由题意可设抛物线方程为 y22px(p0)或 x22py(p0),然后分类求解 得答案 解:由题意可得,抛物线方程为 y22px(p0)或 x22py(p0) 若抛物线方程为 y22px(p0),代入(1,1),得 p , 则抛物线方程为 y2x,此时(4,2)在抛物线上,符合题意; 若抛物线方程为 x22py(p0),代入(2,1),得 p2, 则抛物线方程为 x28y,此时(2,)在抛物线上,符合题意 抛物线的标准方程可以是 x28y 或 y2x 故答案为:x28y 或 y2x 15某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为 y,观影人数记为 x,其 函

19、数图象如图 (1) 所示 由于目前该片盈利未达到预期, 相关人员提出了两种调整方案, 图(2)、图(3)中的实线分别为调整后 y 与 x 的函数图象 给出下列四种说法: 图(2)对应的方案是:提高票价,并提高成本; 图(2)对应的方案是:保持票价不变,并降低成本; 图(3)对应的方案是:提高票价,并保持成本不变; 图(3)对应的方案是:提高票价,并降低成本 其中,正确的说法是 (填写所有正确说法的编号) 【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义,进而得解 解:由图可知,点 A 纵坐标的相反数表示的是成本,直线的斜率表示的是票价, 故图(2)降低了成本,但票价保持不变,即对;图(3)成本保持不

20、变,但提高了票 价,即对; 故选: 三、解答题共 6 题,共 85 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 16如图 1,在ABC 中,D,E 分别为 AB,AC 的中点,O 为 DE 的中点,ABAC2, BC4将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置,使得平面 A1DE平面 BCED,如图 ()求证:A1OBD; ()求直线 A1C 和平面 A1BD 所成角的正弦值; 【分析】()推导出 A1ODE,从而 A1O平面 BCDE,由此能证明 A1OBD ()以 O 为原点,在平面 BCED 中过点 O 作 DE 的垂线为 x 轴,以 OE 为 y 轴,OA1 为 z 轴,建立空间直角坐标

21、系,由此能求出直线 A1C 和平面 A1BD 所成角的正弦值 解:()证明:在ABC 中,D,E 分别为 AB,AC 的中点, O 为 DE 的中点,ABAC2,BC4 A1ODE, 将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置,使得平面 A1DE平面 BCED, A1O平面 BCDE, BD平面 BCDE,A1OBD ()解:以 O 为原点,在平面 BCED 中过点 O 作 DE 的垂线为 x 轴, 以 OE 为 y 轴,OA1为 z 轴,建立空间直角坐标系, A1(0,0,2),C(2,2,0),B(2,2,0),D(0,1,0), (2,2,2),(2,1,0),(0,1,2), 设平面

22、A1BD 的法向量为 (x,y,z), 则,取 x1,得 (1,2,1), 设直线 A1C 和平面 A1BD 所成角为 , 则直线 A1C 和平面 A1BD 所成角的正弦值为: sin 17在b2+aca2+c2,acosBbsinA,sinB+cosB,这三个条件中任选一个, 补充在下面的问题中,并解决该问题已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,_,A,b,求ABC 的面积 【分析】取,由余弦定理可得 cosB进而解得 B,C 的大小也 可得出,再由正弦定理可得 a,最后利用三角形的面积公式计算即可得出; 取acosBbsinA,由正弦定理可得:tanB1,B(0,),

23、解得 B,可得 sinCsin (A+B),由正弦定理可得:a,利用三角形面积计算公式即可得出; 取,可得,由此可求出 B 的大小,C 的大小也可 得出,再由正弦定理可得 a,最后利用三角形的面积公式计算即可得出; 解:(1)若选择, 由余弦定理, 因为 B(0,),所以; 由正弦定理,得, 因为,所以, 所以 所以 (2)若选择acosBbsinA,则 sinAcosBsinBsinA, 因为 sinA0,所以 sinBcosB, 因为 B(0,),所以; 由正弦定理,得, 因为,所以, 所以, 所以 (3)若选择, 则,所以, 因为 B(0,),所以, 所以,所以; 由正弦定理,得, 因为

24、,所以, 所以 , 18为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同, 现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30 天)的快递件数记录结果 中随机抽取 10 天的数据,制表如图: 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下: 甲公司规定每件 4.5 元; 乙公司 规定每天 35 件以内(含 35 件)的部分每件 4 元,超出 35 件的部分每件 7 元 ()根据表中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数; ()为了解乙公司员工 B 的每天所得劳务费的情况,从这 10 天中随机抽取 1 天,他所 得的劳务费记为 X(单

25、位:元),求 X 的分布列和数学期望; ()根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费 【分析】()由茎叶图能求出甲公司员工 A 投递快递件数的平均数和众数 ()由题意能求出 X 的可能取值为 136,147,154,189,203,分别求出相对应的概 率,由此能求出 X 的分布列和数学期望 ()利用()的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费 解:()甲公司员工 A 投递快递件数的平均数为: (32+33+33+38+35+36+39+33+41+40)36, 众数为 33 ()设 a 为乙公司员工 B 投递件数,则 当 a34 时,X136 元,当 a35 时,X354+(

26、a35)7 元, X 的可能取值为 136,147,154,189,203, P(X136), P(X147), P(X154), P(X189), P(X203), X 的分布列为: X 136 147 154 189 203 P ()根据图中数据,由()可估算: 甲公司被抽取员工该月收入364.5304860 元, 乙公司被抽取员工该月收入165.5304965 元 19已知函数 f(x)lnx (1)若曲线 yf(x)存在斜率为1 的切线,求实数 a 的取值范围; (2)求 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x),求证:当1a0 时,g(x)在(1,+)上存在极小值 【分析】(1)

27、求出函数的导数,问题转化为 x2+x+a0 存在大于 0 的实数根,根据 y x2+x+a 在 x0 时递增,求出 a 的范围即可; (2)求出函数 f(x)的导数,通过讨论 a 的范围,判断导函数的符号,求出函数的单调 区间即可; (3)求出函数 g(x)的导数,根据 f(e)0,得到存在 x0(1,e)满足 g(x0) 0,从而得到函数的单调区间,求出函数的极小值,证出结论即可 解:(1)由 f(x)lnx1 得: f(x),(x0), 由已知曲线 yf(x)存在斜率为1 的切线, f(x)1 存在大于 0 的实数根, 即 x2+x+a0 存在大于 0 的实数根, yx2+x+a 在 x0

28、 时递增, a 的范围是(,0); (2)由 f(x),(x0), 得:a0 时,f(x)0, f(x)在(0,+)递增; a0 时,若 x(a,+)时,f(x)0, 若 x(0,a),则 f(x)0, 故 f(x)在(a,+)递增,在(0,a)递减; (3)由 g(x)及题设得: g(x), 由1a0,得:0a1, 由(2)得:f(x)在(a,+)递增, f(1)a10,取 xe,显然 e1, f(e)0, 存在 x0(1,e)满足 f(x0)0, 即存在 x0(1,e)满足 g(x0)0, 令 g(x)0,解得:xx0, 令 g(x)0,解得:1xx0, 故 g(x)在(1,x0)递减,在

29、(x0,+)递增, 1a0 时,g(x)在(1,+)存在极小值 20已知椭圆 C:x2+3y26 的右焦点为 F ()求点 F 的坐标和椭圆 C 的离心率; ()直线 l:ykx+m(k0)过点 F,且与椭圆 C 交于 P,Q 两点,如果点 P 关于 x 轴的对称点为 P,判断直线 PQ 是否经过 x 轴上的定点,如果经过,求出该定点坐标; 如果不经过,说明理由 【分析】(I)由椭圆的标准方程即可得出; (II)直线 l:ykx+m(k0)过点 F,可得 l:yk(x2)代入椭圆的标准方程可 得:(3k2+1)x212k2x+12k260(依题意0) 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),可

30、得根与系数的关系点 P 关于 x 轴的对称点为 P,则 P(x1,y1)可得直线 PQ 的方程可以为,令 y0, ,把根与系数的关系代入化简即可得出 解:()椭圆 C:, c2a2b24,解得 c2, 焦点 F(2,0),离心率 ()直线 l:ykx+m(k0)过点 F, m2k, l:yk(x2) 由,得(3k2+1)x212k2x+12k260(依题意0) 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则, 点 P 关于 x 轴的对称点为 P,则 P(x1,y1) 直线 PQ 的方程可以设为, 令 y0, 3 直线 PQ 过 x 轴上定点(3,0) 21各项均为非负整数的数列an同时满足下列条

31、件: a1m(mN*);ann1(n2);n 是 a1+a2+a n的因数(n1) ()当 m5 时,写出数列an的前五项; ()若数列an的前三项互不相等,且 n3 时,an为常数,求 m 的值; ()求证:对任意正整数 m,存在正整数 M,使得 nM 时,an为常数 【分析】()当 m5 时,写出数列an的前五项; ()对 a2、a3分类取值,再结合各项均为非负整数列式求 m 的值; ()令 Sna1+a2+an,则 进一步推得 存在正整数 Mm,当 nM 时,必有成立再由成立证明 an为常 数 【解答】()解:m5 时,数列an的前五项分别为:5,1,0,2,2 ()解:0ann1,0a

32、21,0a32, 又数列an的前 3 项互不相等, (1)当 a20 时, 若 a31,则 a3a4a51, 且对 n3,都为整数,m2; 若 a32,则 a3a4a52, 且对 n3,都为整数,m4; (2)当 a21 时, 若 a30,则 a3a4a50, 且对 n3,都为整数,m1,不符合题意; 若 a32,则 a3a4a52, 且对 n3,都为整数,m3; 综上,m 的值为 2,3,4 ()证明:对于 n1,令 Sna1+a2+an, 则 又对每一个 n,都为正整数,其中“”至多出现 m 1 个 故存在正整数 Mm,当 nM 时,必有成立 当时,则 从而 由题设知,又及 an+1均为整数, an+1,故常数 从而常数 故存在正整数 M,使得 nM 时,an为常数

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