1、【高 2020 级高三下期复学七校联考数学(理科)试题】 第 1 页(共 4 页) 2019-2020 学年度学年度第第二二学期学期复学复学七校联考七校联考 高高三三年级数学试卷年级数学试卷(理理科科) 命题学校命题学校:重庆市江津中学校重庆市江津中学校 命题人命题人: 审题人审题人: 注意事项：注意事项： 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上. 4.考试结束后,将答题卷交回. 一、一、 选择题选择题( (本
2、大本大题共题共 1212 道小题道小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分) ) 1. 已知集合 = |2 0) 可 化 为 = 2+ 2( ),则应满足条件( ) A. = B. = 2+2 C. = D. = 2+2 5. 已知 = 0.5, = 1 ,满足 1 = ,则实数 a,b,c 满足( ) A. 时,有( ) A.() () C. () () D. () 0, 0)右支上一点,且满足 1 2= 0,直线 1 与圆 2+ 2= 2 4 有且只有一个公共点,则双曲线的离心率为 ( ) A. 3 2 B. 3 2 4 C. 10 4 D. 10 2 11. 已知某
3、几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A. 2 3 B. 4 3 C. 2 2 3 D. 2 3 12. 已知函数() = | ,方程() 2 ( + 1)() + 1 = 0有四个 不相等实根,则的取值范围是( ) A.( 2 2+ ,1) B. ( 2+1 2+ ,+) C. ( 2+1 2+ ,1) D. ( 2 2+ ,+) 二二、填空题填空题( (本本大大题共题共 4 4 道小题道小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 2020 分分) ) 13. 已知复数满足(3 + 4) = 1 2,则 =_. 14. 二项式(2 + 1 ) 7 的展开式中,含的项为_. 1
4、5. 在中,已知 | | = 2, | = 1, = 45,点满足 = + ,其中2 + = 3,则|的最小值为_. 16. 已知数列满足：对任意 , (0, 2),且1 = 3 ,(+1 ) = () ,其中() = ,则使得1 2 1 10 成立的最小正整数为_. Q P B1 C1D1 A1 C D BA 【高 2020 级高三下期复学七校联考数学(理科)试题】 第 3 页(共 4 页) 三、解答题三、解答题(本大题本大题共共 6 道小题道小题,第第 17 题题 10 分分,其余每题其余每题 12 分分,共共 70 分分) 17. 已知函数() = 2( + 3), (1)求函数()的最
5、小正周期; (2)当 4 , 4时,求函数()的最大值与最小值. 18. 如图所示, 平面,/,/, , = 2 = 2 = 2, = 2 = 2, （1） 求证： /平面; （2） 求二面角EBDF的平面角的余弦值. 19. 新型冠状病毒属于属的冠状病毒，人群普遍易感, 病毒感染者一般有 发热咳嗽 等临床表现，现阶段也出现无症状感染者.基于目前的流行病学 调查和研究结果，病毒潜伏期一般为 1-14 天，大多数为 3-7 天.为及时 有效遏制病毒扩散和蔓延，减少新型冠状病毒感染对公众健康造成的危 害,需要对与确诊新冠肺炎病人接触过的人员进行检查.某地区对与确诊 患者有接触史的 1000 名人员
6、进行检查,检查结果统计如下: 发热且咳嗽 发热不咳嗽 咳嗽不发热 不 发 热 也 不 咳嗽 确诊患病 200 150 80 30 确诊未患病 150 150 120 120 (1)能否在犯错率不超过 0.001 的情况下,认为新冠肺炎密切接触者有发热 症状与最终确诊患病有关。 临界值表： 2 P Kk 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.645 7.879 10.828 (2)在全国人民的共同努力下，尤其是全体医护人员的辛勤付出下，我国 的疫情得到较好控制，现阶段防控重难点主要在境外输入病例和无症状 感染者（即无相关临床表现但核酸检测或血清特
7、异性免疫球蛋白 M 抗体 检测阳性者） 。 根据防控要求， 无症状感染者虽然还没有最终确诊患 2019 新冠肺炎，但与其密切接触者仍然应当采取居家隔离医学观察 14 天，已 知某人曾与无症状感染者密切接触，而且在家已经居家隔离 10 天未有临 F E C D B A 【高 2020 级高三下期复学七校联考数学(理科)试题】 第 4 页(共 4 页) 床症状，若该人员居家隔离第k天出现临床症状的概率为 10 1 2 k ， 11,12,13,14k ，两天之间是否出现临床症状互不影响，而且一旦出现 临床症状立刻送往医院核酸检查并采取必要治疗，若 14 天内未出现临床 症状则可以解除居家隔离，求该
8、人员在家隔离的天数（含有临床症状表 现的当天）的分布列以及数学期望值。 （保留小数点后两位） 20. 已知函数() = 2 + 1( ) 在定义域内有两个不同 的极值点. (1)求的取值范围; (2)设两个极值点分别为1,2,证明： (1) + (2) 0)上的一点， ,为抛物线上异于 点的两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数. (1)求直线的斜率; (2)设直线过点(,0)并交抛物线于,两点，且 = ( 0)， 直线 = 与轴交于点，试探究 与 的夹角是否为定值， 若是则求出定值. 22. 在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为： = 1 + 2 = 2 ( 为参数),直线: = (
9、0),以坐标原点为极点,轴为极轴建立极坐 标系 (1) 求曲线的极坐标方程; (2) 若直线与曲线交于,两点,求| + |的取值范围. 23. 已知已知函数() = |2 + 1| + |2 | (1)求不等式() 3恒成立,求的范围; (2)若() = 2 + 1,且对1 ,总存在2 ,使得(1 ) = (2),求实数a的取值范围. 参考答案： 一、选择题： 15： BAACA 610：DCBAD 1112： CC 二、填空题： 13、 12 5 i+ 14、140x 15、 3 5 5 16、298 三、解答题： 17、 （1）解：由题有， ( ) 2 13 2 sincoscos 22
10、sincos3 cos 1cos21 sin23 22 3 sin 2 32 f xxxx xxx x x x =+ =+ + =+ =+ 4 分 故函数( )f x的最小正周期T= 6 分 （2）当, 4 4 x 时，( )max 3 1 2 f x= + ( )min 3 1 2 f x = 12 分 18、 （1）证明：CFAE CF 面ADE CF面ADE 2 分 同理：BC面ADE 又CFBCC= CF 面BCF BC 面BCF 故面BCF面ADE 4 分 且BF 面BCF 故BF面ADE 6 分 （2）解：由题可知，,AB AD AE两两互相垂直，故可以以AB为x轴，AD为y轴，
11、AE为z轴建立空间直角坐标系，且()()()()()0,0,2 ,0,1,0 ,1,0,0 ,1,2,0 ,1,2,1EDBCF 若设平面EDB的法向量为u，则由 0 0 u ED u EB = = 可得：()= 2,2,1u 8 分 同理：若设平面FDB的法向量为v，则由 0 0 v FD v FB = = 可得：()= 1,1, 2v 10 分 所以 6 cos, 9 u v = 11 分 即二面角EBDF的余弦值为 6 9 12 分 19、 （1）由表可得，患者有发热症状与确诊的 22 列联表如下： 发热 不发热 合计 确诊 350 110 460 未确诊 300 240 540 合计
12、650 350 1000 （这里可以酌情考虑给分，3 分，主要是把发热归为一类） 由公式可得： () 2 2 1000350 240300 110 = 460 540 650 350 K 10404000 226044 = 46.0210.828 4 分 故在犯错率不超过 0.001 的情况下,有把握认为新冠肺炎密切接触者有发热 症状与最终确诊患病有关。 5 分 （2）由题可知，随机变量可以取值：11,12,13,14 6 分 其分布列为： 11 12 13 14 P 1 2 111 248 = 1313 = 24864 13721 24864 = 一个一分 11 分 其数学期望为：( ) 7
13、81 =12.20 64 E 12 分 20、 （1）由题意可知，( )f x的定义域为()0 +， 且( )ln2fxaxx= 1 分 令( )()ln20g xaxx x= 则函数( )f x在定义域内有两个不同的极值点等价于( )g x在区间()0 +，内至少 有两个不同的零点 由( ) 2ax gx x =可知， 当0a 时，( )0gx恒成立，即函数( )g x在()0 +，上单调，不符合题意，舍 去。 3 分 当0a 时， 由( )0gx得，0 2 a x， 即函数( )g x在区间0 2 a ，上单调递增； 由( )0gx得， 2 a x ，即函数( )g x在区间, 2 a +
14、 上单调递减； 故要满足题意，必有ln0 22 aa gaa = 解得：2ae 6 分 （2）证明：由（1）可知， 11 22 ln2 ln2 axx axx = = 故要证：( )() 22 1212 2f xf xxx+ 只需证明：() 2 112 2 a xxx+ 9 分 即证： 22 2 21 1 2 1 ln xx x x x 不妨设 12 0xx，即证 2 22 11 ln1 xx xx 构造函数：( )() 2 ln11h tttt=+ 其中 2 1 x t x = 由( ) 2 1 2 0 t h t t =， 所 以 函 数( )h t在 区 间()1 +，内 单 调 递 减
15、 ， 所 以 ( )( )10h th= 得证 11 分 即证：( )() 22 1212 2f xf xxx+ 12 分 或者（2）证明：由（1）可知， 11 22 ln2 ln2 axx axx = = 故要证：( )() 22 1212 2f xf xxx+ 只需证明：() 2 112 2 a xxx+ 9 分 而由（1）可知 1 0 2 a x 故上式()() 22 121121121 2 a xxxxxxx xx+=+成立 11 分 即证：( )() 22 1212 2f xf xxx+ 12 分 21、已知()1,2A为抛物线() 2 20ypx p=上的一点，,E F为抛物线上异
16、于点A的两点， 且直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数。 （1）求直线EF的斜率； （2） 设直线l过点(),0M m并交抛物线于,P Q两点， 且()0PMMQ=， 直线xm= 与x轴交于点N，试探究NM与NPNQ的夹角是否为定值，若是则求出定值。 解析： （1）设()() 1122 ,E x yF xy 因为点()1,2A为抛物线() 2 20ypx p=上的一点，所以 2 4yx= 1 分 同时，有 2 11 4yx= 2 22 4yx= 1 11 24 12 AE y k xy = + 2 22 24 12 AF y k xy = + 3 分 因为直线AE的斜率与直线AF的斜率互为
17、相反数 即 12 44 22yy = + 即 12 4yy+= 4 分 故 21 2121 4 1 EF yy k xxyy = + 5 分 （2）设直线l的方程为: l xtym=+ ()()() 3344 ,0P x yQ xyNm 代入 2 4yx= 得 2 440ytym= 所以 3434 4 ,4yyt y ym+= 6 分 因为()() 3344 ,PMmxyMQxm y=，且()0PMMQ= 所以 3 34 4 , y yy y = 7 分 由题可知， ()() ()() 3344 3434 22 34 34 , , =, 44 NPNQxm yxm y xmxmyy yy mm
18、yy =+ =+ + 又 () 2222 33344 4 2 3343 4 2 343 4 334 4 = 4444 44 4 4 4 0 4 yyyyy mmmm y yy yy mm y y ymy mm y yy ym y + =+ + =+ + = 所以() 34 0,NPNQyy= 又()= 2 ,0NMm 所以 () 0NMNPNQ= 所以 () NMNPNQ 即NM与NPNQ的夹角为 2 12 分 22、 （1）解：由曲线C的普通方程为：() 2 2 14xy+= 得曲线C的极坐标方程为： 2 2cos30= 5 分 （2）解：由直线()0ykx k=可得其极坐标方程：=0 2 R ， ， 代入曲线C的极坐标方程得： 2 2cos30= 6 分 可得： 12 =OAOB， 故()() 2 1212 =+=2cos43OAOB+= 2 4cos122cos214=+=+ 8 分 故 () 2 3,4OAOB+ 10 分 23、 （1）由题可知，() = |2 + 1| + |2 |1+a 2 分 故13a+ 解之得：42aa 或 5 分 （2）由题可知，函数( )g x的值域包含( )f x的值域， 即 2 1+1 4 a a 7 分 解得：22 30aa或 10 分
