1、 1 / 5 北京四中顺义分校 4 月月考数学试卷 第卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项. 1. 若复数 ,则 (A) (B) (C) (D)20 2. 设集合 或 则 (A) (B) (C) (D) 3. 设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 (A) 9 (B) 10 (C)8 (D)7 4. 下列函数中,值域为 R 且为奇函数的是 (A) (B) (C) (D) 5.设 为非零实数,且 ,则 (A) (B) (C) (D) 6. 则以线段 为直径的圆的方程是 (A) (B) (C)
2、(D) 2 / 5 7.某四棱锥的三视图如图所示,记 S 为此棱锥所有棱的长度的集合,则 (A) 且 (B) 且 (C) 且 (D) 且 8.设 为非零向量,则“ ”是“ 与 共线”的 (A) 必要而不充分条件 (B) 充分而不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 9.已知函数 的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图 象可以与原图象重合的变换方式有 绕着 轴上一点旋转 ; 沿 轴正方向平移; 以 轴为轴作轴对称; 以 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A) (B) (C) (D) 10.设函数 若关于 的方程 有四个实数解 ,其中 ,则 的取值范围是 (A)
3、(B) (C) (D) 第卷(非选择题共 110 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 设双曲线 的一条渐近线方程为 ,则该双曲线的离心率为 . 12. 在 的展开式中,常数项为 .(用数字作答) 3 / 5 13. 若向量 满足 ,则实数 的取值范围是 . 14.函数 的最小正周期为 ;若函数 在区间 上单调递 增,则 的最大值为 . 15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有 100 名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率 为 70%,女生成绩的优秀率为 50%;乙校男生成绩的优秀率为 60%,女生成绩的优秀率为 40%. 对于此次测试,给出下列三个
4、结论: 甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率; 甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率; 甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中, 所有正确结论的序号是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 85 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱柱 中, 平面 ,底面 ABCD 满足 ,且 ()求证: 平面 ; ()求直线 与平面 所成角的正弦值. 17.(本小题满分 14 分) 已知 满足 ,且 ,求 的值及 的面积. 从 , , 这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完
5、成解答. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 4 / 5 18.(本小题满分 14 分) 2019 年底,北京 2022 年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破 60 万, 其中青年学生约有 50 万人.现从这 50 万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取 20 人 进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下: ()试估计在这 50 万青年学生志愿者中,英语测试成绩在 80 分以上的女生人数; ()从选出的 8 名男生中随机抽取 2 人,记其中测试成绩在 70 分以上的人数为 X,求 的分 布列和数学期望; ()为便于联络,现将所有的青年
6、学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于 5000),并在 每组中随机选取 个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有 1 人的英语测试成绩在 70 分以上的概率大于 90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出 的最小值.(结论不要求证 明) 19.(本小题满分 14 分) 设函数 其中 ()若曲线 在点 处切线的倾斜角为 ,求 的值; ()已知导函数 在区间 上存在零点,证明:当 时, . 5 / 5 20.(本小题满分 15 分) 设椭圆 ,直线 经过点 ,直线 经过点 ,直线 直线 ,且直线 , 分别与椭圆 相交于 两点和 两点. ()若 分别为椭圆 的左、右焦点,且直线 轴,求四边形
7、的面积; ()若直线 的斜率存在且不为 0,四边形 为平行四边形,求证: ; ()在()的条件下,判断四边形 能否为矩形,说明理由. 21.(本小题满分 14 分) 对于正整数 ,如果 个整数 满足 , 且 ,则称数组 为 的一个“正整数分拆”.记 均为偶数的“正整数分拆”的个数为 均为奇数的“正整数分拆”的个数为 . ()写出整数 4 的所有“正整数分拆”; ()对于给定的整数 ,设 是 的一个“正整数分拆”, 且 ,求 的最大值; ()对所有的正整数 ,证明: ;并求出使得等号成立的 的值. (注:对于 的两个“正整数分拆” 与 ,当且仅当 且 时,称这两个“正整数分拆”是相同的.) 北京
8、市西城区 2020 年 4 月高三数学参考答案 第 1 页（共 7 页） 4 月月考数学答案月月考数学答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分. 1A 2D 3A 4A 5. D 6. B 7. C 8. B 9. C 10. B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 25 分分. 11 6 2 1220 13( 3,1) 14， 8 15 注：注：第 14 题第一问 3 分，第二问 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得0分，其他 得 3 分. 三、解答题：本大
9、题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 85 分分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16 （本小题满分 14 分） 解： （）因为在底面ABCD中，2,2 2ABADBD， 所以 222 ABADBD，即ABAD. 2 分 因为 1 AA 平面ABCD，AB 平面ABCD， 所以 1 AA AB， 4 分 又因为 1 AAADA， 1, AA AD 平面 1 1 ADD A， 所以AB 平面 1 1 ADD A. 6 分 （）由（） ，得 1 ,AB AD AA两两垂直，故分别以AB，AD， 1 AA为x轴，y轴，z轴， 如图建立空间直角坐
10、标系， 7 分 在底面ABCD中，由题意，得 22 4BCBDCD . 则(0,0,0)A，(2,0,0)B，(2,4,0)C， 1(2,0,2) B， 1(0,2,2) D， 所以(2,0,0)AB ， 1 (0,4, 2)BC ， 11 ( 2,2,0)B D ， 8 分 设平面 11 BCD的法向量( , , )x y zn， 北京市西城区 2020 年 4 月高三数学参考答案 第 2 页（共 7 页） 由 1 0BCn， 11 0B D n，得 420, 220, yz xy 令1y ，得(1,1,2)n. 11 分 设直线AB与平面 11 BCD所成的角为， 则 6 sin|cos,
11、| | 6| | AB AB AB n n n ， 直线AB与平面 11 BCD所成角的正弦值为 6 6 . 14 分 17 （本小题满分 14 分） 解： （不可以选择作为补充条件.） 选择作为补充条件. 2 分 解答如下： 因为在ABC中，ABC， 所以sin sin()CAB 4 分 sincoscossinABAB 6 分 22 sincoscossin 3434 62 4 . 8 分 在ABC中，由正弦定理 sinsin ab AB ，得 sin 3 sin bA a B . 11 分 所以ABC的面积 193 3 sin 24 SabC . 14 分 选择作为补充条件. 2 分 解
12、答如下： 在ABC中，由3 2sinaB，以及正弦定理 sinsin ab AB ， 4 分 得 3 2sin6 2 sin sin 3 B B ，解得 2 1 sin 2 B . B1 B D A A1 D1 C C1 y x z 北京市西城区 2020 年 4 月高三数学参考答案 第 3 页（共 7 页） 由 2 3 A，得B为锐角， 所以 4 B ，且 3 2sin3aB . 6 分 因为在ABC中，ABC， 所以sin sin()CAB 8 分 sincoscossinABAB 10 分 22 sincoscossin 3434 62 4 . 11 分 所以ABC的面积 193 3 s
13、in 24 SabC . 14 分 18 （本小题满分 14 分） 解： （）由图表可知，测试成绩在 80 分以上的女生有 2 人，占比为 21 2010 ， 3 分 故在这 50 万青年学生志愿者中，英语测试成绩在 80 分以上的女生约为 1 505 10 万人. 5 分 （）由图表知，选取的 8 名男生中，成绩在 70 分以上的有 3 人，70 分及其以下的有 5 人， 由题意，随机变量X的所有可能取值为：0，1，2. 6 分 且 20 53 2 8 CC5 (0) C14 P X ， 11 53 2 8 CC15 (1) C28 P X ， 02 53 2 8 CC3 (2) C28 P
14、 X . 9 分 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 5 14 15 28 3 28 10 分 所以 51533 ()012 1428284 E X . 11 分 （）m 的最小值为 4. 14 分 北京市西城区 2020 年 4 月高三数学参考答案 第 4 页（共 7 页） 19 （本小题满分 14 分） 解:（）由题意，得( )2(2)fxxa x a ， 2 分 则 (2)tan 4 f ， 4 分 即2 2 4()1a a ，解得2a . 6 分 （） (2 ( )2(2) )(1)x fx aa x xa xx ，其中 (1,e)x . 7 分 令 0 (2 ( ) )(
15、1)ax fx x x ，得1x ，或 2 a x . 8 分 由导函数 ( )fx 在区间(1,e)上存在零点，得(1,e) 2 a ，即(2,2e)a. 9 分 随着x变化， ( )fx与( )f x的变化情况如下表所示： x (1,) 2 a 2 a (,e) 2 a ( )fx 0 ( )f x 极小值 所以 ( )f x在(1,) 2 a 上单调递减，在(,e) 2 a 上单调递增. 所以 ( )f x在(1,e)上存在最小值 2 ( )ln( ) 224 aaa faa. 11 分 设 2 ( )2 ln2g xxxxx，(1,e)x. 则( )( ) 22 aa gf，(1,e)
16、 2 a . 12 分 所以( )2ln2g xxx . 由 (1,e)x ，得2ln (0,2)x ，2 (2,2e)x ，则( )2ln20g xxx . 所以 ( )g x在区间(1,e)上单调递减. 所以 2 ( )(e)eg xg，即 2 ( )( )e 22 aa gf 故当 (1,e)x 时， 2 ( )ef x . 14 分 20 （本小题满分 15 分） 解： （）由题意，得 2a ，1b ， 则 22 1cab . 2 分 北京市西城区 2020 年 4 月高三数学参考答案 第 5 页（共 7 页） 根据椭圆的对称性，知四边形ABCD是矩形. 设 0 ( 1,)Ay， 0
17、( 1,)By ， 0 (1,)Cy， 0 (1,)Dy， 将1x 代入椭圆方程得 2 0 1 2 y . 3 分 所以四边形ABCD的面积 0 | | 2| 22 2SABADyc. 5 分 （）设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，直线 1 ()lyk xm：， 6 分 联立 2 2 (), 1, 2 yk xm x y 消去y，得 22222 (12)4220kxk mxk m， 7 分 则 42222 164(12)(22)0k mkk m ， 2 12 2 4 12 k m xx k ， 22 12 2 22 12 k m x x k . 8 分 所以 222 121
18、212 |1|1()4ABkxxkxxx x 9 分 2222 2 18(12) 12 kkk m k . 同理，得 2222 2 18(12) | 12 kkk n CD k . 由四边形ABCD为平行四边形，得| | |ABCD ，即得 22 mn . 由题意知mn，所以mn，即0mn. 11 分 （）结论：四边形ABCD不可能为矩形. 12 分 由（）知,M N两点关于原点对称. 根据椭圆的对称性，可得,A C两点关于原点对称，故C的坐标为 11 (,)xy. 由题意，得 2 2 1 1 1 2 x y， 2 2 2 2 1 2 x y. 13 分 于是， 22 212121 22 21
19、2121 ABBC yyyyyy kk xxxxxx 22 21 22 21 1 1 2(1)2(1)2 yy yy . 所以AB不可能垂直于BC. 所以四边形ABCD不能为矩形. 15 分 北京市西城区 2020 年 4 月高三数学参考答案 第 6 页（共 7 页） 21 （本小题满分 14 分） 解： （）(1,1,1,1)，(1,1,2)，(1,3)，(2,2)，(4) . 3 分 （）由题意，知 12 2 k aaan，且 12k aaan， 得 12 2 k naaak，即 2 n k. 5 分 所以当n是偶数时，k的最大值是 2 n（此时， 2 (2,2,2) k共有 个 是n的一
20、个 “正整数分拆” ） ； 当n是奇数时，k的最大值是 1 2 n （此时， 12 (2,2,2,3) k共有个 是n的一个 “正整数分拆” ） . 8 分 （）当n为奇数时， 由题意，得0 n f ；且 1 (1,1,1) n共有 个 是n的一个各位数字均为奇数的“正整数分拆” ， 所以0 n g ，故 nn fg. 9 分 当n为偶数时， 由( )n是各位数字均为偶数的“正整数分拆” ， 1 (1,1,1) n共有 个 是各位数字均为奇数的“正 整数分拆” ，得0 n f ，0 n g . 当2n 时，n的“正整数分拆”只有(1,1)和(2)，所以 22 1fg； 当4n 时，由（）知，
21、44 2fg； 11 分 当n为大于4的偶数时， 因为对于n的任意一个各位数字均为偶数的“正整数分拆” 12 ( ,) k a aa，都存在 一个与之对应的各位数字均为奇数的“正整数分拆” 12 1 (1,1,1,1,1,1) k k aaa 共有 个 . 且当 12 ( ,) k a aa不同时，其对应的 12 1 (1,1,1,1,1,1) k k aaa 共有 个 也不相同， 所以 nn fg. 又因为在上述对应关系下，各位数字均为奇数的“正整数分拆”(3,3)n不存在与之 对应的各位数字都是偶数的“正整数分拆” ， （注：因为6n，所以(3,3)n有意义） 北京市西城区 2020 年 4 月高三数学参考答案 第 7 页（共 7 页） 所以 nn fg. 综上，对所有的正整数n， nn fg；当且仅当2n 或4时等号成立. 14 分
