1、只有 一项是符合题目要求的并把答案填在答题卡中对应题号内）一项是符合题目要求的并把答案填在答题卡中对应题号内） 1 （5 分）设集合 M1，0，NxZ|x2x，则 MN（ ） A0 B0，1 C1，1 D1，0，1 2 （5 分）设复数 z（i 为虚数单位） ，z 的共轭复数为 ，则 在复平面内对应的点在 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）已知 a30.3，b（） 2.1，c2log 52，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Acba Bcab Cbac Dbca 4 （5 分）在等差数列an中，若 a4，a8是方程 x24x+30 的两根，则 a6的值是（
2、 ） A B C2 D2 5 （5 分）函数 f（x）2sin（x+） （0，02）的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是（ ） A2， B2， C4， D4， 6 （5 分）设 D 为ABC 所在平面内的一点，且满足，则（ ） A B C D 7 （5 分） 已知 ， 是两个不同平面， m， n， l 是三条不同直线， 则下列命题正确的是 （ ） A若 m 且 n，则 mn B若 m，n，lm 且 ln，则 l C若 l 且 l，则 第 2 页（共 19 页） D若 m，n 且 ，则 mn 8 （5 分） “m1“是“直线 x+（1+m）y20 与直线 mx+2y+40 平行的” （ ） A
3、充分不必要条件 B必要不充分条件 C既不充分又不必要条件 D充要条件 9 （5 分）已知圆 C1： （xa）2+（y+3）21 与圆 C2： （x+b）2+（y+3）29 相外切，a，b 为正实数，则+的最小值为（ ） A2 B C4 D 10 （5 分）函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且满足 f（x+2）f（x） ，当 x0，1时， f （x） 2x， 若函数 f （x） ax+a （a0） 有三个不同的零点， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A （，1） B0，2 C （1，2） D1，+） 11 （5 分）已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于点 A
4、，B，交抛物 线准线 l 于点 D，若 B 是 AD 的中点，则弦长|AB|为（ ） A6 B8 C9 D12 12 （5 分）已知函数 f（x） （1+）ex在（0，2）上不单调， 则实数 a 的取值范围是（ ） A （，4（0，+） B （，4）（0，+） C （4，0） D4，0 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答题卡中对应题号后的分，把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上）横线上） 13 （5 分）某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 1：2：3，现 用分层抽样方法抽取一个容量为 n
5、 的样本，样本中 B 型号产品有 28 件那么此样本的容 量 n 等于 14 （5 分），则 sin4cos4 15 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上奇函数，又 f（2）0，若 x0 时，xf（x）+f（x） 0，则不等式 xf（x）0 的解集是 16 （5 分）已知 F1，F2分别是双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，第一象 限的点 P 在渐近线上，满足F1PF2，直线 PF1交双曲线左支于点 Q，若点 Q 是线 段 PF1的中点，则该双曲线的离心率为 第 3 页（共 19 页） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文分，解答应写出文字
6、说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足 2Sn3an1，数列bn满足 bn log3an+log3an+1 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）令 cn，求数列cn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）已知向量 （sin（x） ，sin（x） ） ， （sinx，cosx） ，f（x） （1）求 f（x）的最大值及 f（x）取最大值时 x 的取值集合 M； （2）在ABC 中，a，b，c 是角 A，B，C 的对边，若+M 且 c1，a+b2，求 ABC 的面积 19 （12 分）如图，已知四边形 ABCD 为梯
7、形，ABCD，DAB90，BDD1B1为矩形， 平面 BDD1B1平面 ABCD，又 ABADBB11，CD2 （1）证明：B1C平面 B1D1A （2）求二面角 B1AD1C 的正弦值 20 （12 分）2019 年 1 月 1 日， “学习强国”学习平台在全国上线， “学习强国”学习平台是 由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容， 立足全体党员，面向全社会的优质平台，某学校为响应国家号召，组织员工参与学习、 答题，员工甲统计了自己学习积分与学习天数的情况： 学习时间 （第 x 天） 3 4 5 6 5 8 当天得分 y 17 20 19 24 24 27
8、 先从这 6 组数据中选取 4 组数据求线性回归方程，再用剩下的 2 组数据进行检查检查 第 4 页（共 19 页） 方法如下：先用求得的线性回归方程计算学习时间（第 x 天）所对应的 ，再求 与实际 当天得分 y 的差，若差值的绝对值都不超过 1，则称所求方程是“恰当回归方程” （1）间的 6 个数据中随机选取 2 个数据，求这 2 个数据不相邻的概率； （2） 若选取的是前面 4 组数据， 求 y 关于 x 的线性回归方程 x+ ， 并判断是否是 “恰 当回归方程” ； 附：回归直线 x+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， ，前四组数据的xiyi370 21 （12 分）已知椭圆 C
9、：+1（ab0）过点（0，） ，且离心率为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知圆方程为 x2+y22，过圆上任意一点作圆的切线，切线与椭圆 C 交于 A，B 两 点，O 为坐标原点，设 Q 为 AB 的中点，求|OQ|的取值范围 22 （12 分）已知函数 f（x） （）求函数 f（x）的极大值； （）设定义在0，1上的函数 g（x）xf（x）+tf（x）+e x（tR）的最大值为 M， 最小值为 N，且 M2N，求实数 t 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2019-2020 学年湖南省学年湖南省 A 佳经典高二（上）期末数学试卷佳经典高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考
10、答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的并把答案填在答题卡中对应题号内）一项是符合题目要求的并把答案填在答题卡中对应题号内） 1 （5 分）设集合 M1，0，NxZ|x2x，则 MN（ ） A0 B0，1 C1，1 D1，0，1 【分析】求出集合 N，然后直接按并集的运算法则求出 MN 即可 【解答】解：M1，0，NxZ|x2x0，1，则 MN1，0，1 故选：D 【点评】本题是基础题，考查集合的并集及其运算，注意集合中的元素具有确定
11、性、互 异性、无序性；是常考题 2 （5 分）设复数 z（i 为虚数单位） ，z 的共轭复数为 ，则 在复平面内对应的点在 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出 【解答】解：z1i， 1+i即 在复平面内对应的点在第一 象限， 故选：A 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了计算能力， 属于中档题 3 （5 分）已知 a30.3，b（） 2.1，c2log 52，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Acba Bcab Cbac Dbca 【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出 【解答】
12、解：a30.3（1，3） ，b（） 2.122.14，c2log 521， 则 a，b，c 的大小关系为：cab 故选：B 【点评】本题考查了指数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 第 6 页（共 19 页） 4 （5 分）在等差数列an中，若 a4，a8是方程 x24x+30 的两根，则 a6的值是（ ） A B C2 D2 【分析】由题意利用等差数列的性质、韦达定理，求得 a6的值 【解答】解：等差数列an中，若 a4，a8是方程 x24x+30 的两根， a4+a842a6，a62， 故选：C 【点评】本题主要考查等差数列的性质、韦达定理，属于基础题 5 （5 分）函
13、数 f（x）2sin（x+） （0，02）的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是（ ） A2， B2， C4， D4， 【分析】由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，从而得出结论 【解答】解：根据函数 f（x）2sin（x+） （0，02）的部分图象， 可得，2 再根据五点法作图，可得 2+2+， 函数 f（x）2sin（2x+） ， 故选：A 【点评】本题主要考查由函数 yAsin（x+）的部分图象求解析式，由周期求出 ， 由五点法作图求出 的值，属于基础题 6 （5 分）设 D 为ABC 所在平面内的一点，且满足，则（ ） A B C D 【分析】根据向量的加法法则运算即可得到答案 第 7
14、 页（共 19 页） 【解答】解：由题意：D 为ABC 所在平面内的一点， 可得： ， 代入中可得： 由消去可得： 故选：B 【点评】本题考查向量的加法法则的基本运算，属于基础题 7 （5 分） 已知 ， 是两个不同平面， m， n， l 是三条不同直线， 则下列命题正确的是 （ ） A若 m 且 n，则 mn B若 m，n，lm 且 ln，则 l C若 l 且 l，则 D若 m，n 且 ，则 mn 【分析】根据空间中的直线与直线，直线与平面，以及平面与平面的位置关系，判断选 项中的命题是否正确即可 【解答】解：对于 A，不正确，当 m 且 n 时，m 与 n 可能平行，也可能相交，也 可能异
15、面； 对于 B，不正确，当 m，n，lm 且 ln 时，缺少条件 m 与 n 交于一点； 对于 C，正确，由线面垂直的性质定理知，当 l 且 l 时，； 对于 D，不正确，当 m，n 且 时，m 与 n 可能垂直，也可能平行，也可能异 面，也可能相交 故选：C 【点评】本题考查了空间中的线面位置关系以及平行与垂直关系的判断问题，是中档题 8 （5 分） “m1“是“直线 x+（1+m）y20 与直线 mx+2y+40 平行的” （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C既不充分又不必要条件 D充要条件 【分析】根据直线平行的充要条件，求出 m 的值，进而根据充要条件的定义可得答案 第 8
16、页（共 19 页） 【解答】解：直线 x+（1+m）y20 与直线 mx+2y+40 平行，则，则 m1， 故“m1“是“直线 x+（1+m）y20 与直线 mx+2y+40 平行的充要条件， 故选：D 【点评】判断充要条件的方法是：若 pq 为真命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命 题 q 的充分不必要条件；若 pq 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必 要不充分条件；若 pq 为真命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件； 若 pq 为假命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件 判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，
17、再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断 命题 p 与命题 q 的关系 9 （5 分）已知圆 C1： （xa）2+（y+3）21 与圆 C2： （x+b）2+（y+3）29 相外切，a，b 为正实数，则+的最小值为（ ） A2 B C4 D 【分析】由题意求出两个圆的圆心坐标及半径，由题意可得 a+b 的值，所求代数式乘以 1 保持代数式的值不变，用均值不等式求出最小值 【解答】解：由题意可得：圆 C1，C 2的圆心坐标分别为： （a，3） ， （b，3） ，半 径分别为：1，9， 题意可得：a+b4，+（a+b） （+）（5+）， 故选：B 【点评】考查圆与圆的位置关系及均值不等式的应用
18、，属于中档题 10 （5 分）函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且满足 f（x+2）f（x） ，当 x0，1时， f （x） 2x， 若函数 f （x） ax+a （a0） 有三个不同的零点， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A （，1） B0，2 C （1，2） D1，+） 【分析】满足 f（x+2）f（x） ，可得 f（x）的周期 T2，在同一坐标系下分别画出 f（x） 和 ya（x+1） （a0）的图象，函数 ya（x+1）经过定点（1，0） 根据函数 f（x） ax+a（a0）有三个不同的零点，则 4a2，2a2，即可得出 【解答】解：满足 f（x+2）f（x） ，f（x）的周
19、期 T2， 在同一坐标系下分别画出 f（x）和 ya（x+1） （a0）的图象， 第 9 页（共 19 页） 函数 ya（x+1）经过定点（1，0） 函数 f（x）ax+a（a0）有三个不同的零点，则 4a2，2a2， 解得1 实数 a 的取值范围是（，1） 故选：A 【点评】本题考查了函数的图象与性质、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 11 （5 分）已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交抛物 线准线 l 于点 D，若 B 是 AD 的中点，则弦长|AB|为（ ） A6 B8 C9 D12 【分析】由抛物线的性质及题意可得|BF|
20、，|AF|用倾斜角的余弦值表示，求出余弦值，进 而求出弦长 【解答】解：因为 B 是 AD 的中点，由中位线可知|BB|AA|， 又|BF|BB|，|AF|AA|， ，cos， |AB|9， 故选：C 第 10 页（共 19 页） 【点评】考查抛物线的性质，属于中档题 12 （5 分）已知函数 f（x） （1+）ex在（0，2）上不单调， 则实数 a 的取值范围是（ ） A （，4（0，+） B （，4）（0，+） C （4，0） D4，0 【分析】先对函数求导，然后结合极值存在的条件可把原问题转化为 g（x）x2+ax2 0 在（0，2）上有解，结合二次方程的实根分布即可求解 【解答】解：f
21、（x）， 因为 f（x）（1+）ex在（0，2）上不单调即 f（x）在（0，2）上有极值点， 所以 f（x）0 在（0，2）上有解，即 g（x）x2+ax20 在（0，2）上有解 （1）当有一个解时，则 g（0）g（2）a（a+4）0，所以 a0 或 a4， （2）当有两解时，根据根的分布，则 ，解 a 不存在 所以 a0 或 a4 故选：B 【点评】本题主要考查了极值存在的条件及二次方程的实根分布问题，属于中档试题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答题卡中对应题号后的分，把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上）横线
22、上） 13 （5 分）某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 1：2：3，现 用分层抽样方法抽取一个容量为 n 的样本，样本中 B 型号产品有 28 件那么此样本的容 量 n 等于 84 【分析】由题意利用分层抽样的定义，求得 n 的值 【解答】解：由题意可得，求得 n84， 故答案为：84 【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题 第 11 页（共 19 页） 14 （5 分），则 sin4cos4 【分析】由同角平方关系及二倍角公式化简可得 sin4cos4（sin2cos2） （sin2+cos2）sin2cos2cos2，代入可求 【解答】解：sin4co
23、s4（sin2cos2） （sin2+cos2） sin2cos2cos2 故答案为： 【点评】 本题主要考查了同角平方关系sin2+cos21及二倍角公式cos2cos2sin2 的应用，属于基础试题 15 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上奇函数，又 f（2）0，若 x0 时，xf（x）+f（x） 0，则不等式 xf（x）0 的解集是 （，2）（2，+） 【分析】由题意设 g（x）xf（x）并求出 g（x） ，由条件和导数与函数单调性的关系， 判断出 g（x）在（0，+）上的单调性，由 f（x）是奇函数判断出 g（x）是偶函数，根 据条件、偶函数的性质、g（x）的单调性等价转化不等式
24、 xf（x）0，即可求出不等式 的解集 【解答】解：由题意设 g（x）xf（x） ，则 g（x）xf（x）+f（x） ， x0 时，xf（x）+f（x）0， g（x）在（0，+）上单调递增， f（x）是定义在 R 上奇函数， g（x）是定义在 R 上偶函数， 又 f（2）0，则 g（2）2f（2）0， 不等式 xf（x）0 为 g（x）0g（2） ， 等价于|x|2，解得 x2 或 x2， 不等式 xf（x）0 的解集是（，2）（2，+） ， 故答案为： （，2）（2，+） 【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及判断，偶函数的单调性，以及导数与函数单调 性的关系，考查构造法，转化思想，化简、变形
25、能力 16 （5 分）已知 F1，F2分别是双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，第一象 第 12 页（共 19 页） 限的点 P 在渐近线上，满足F1PF2，直线 PF1交双曲线左支于点 Q，若点 Q 是线 段 PF1的中点，则该双曲线的离心率为 1 【分析】画出图形，利用已知条件，转化列出 a、b 的方程，推出双曲线的离心率即可 【解答】解：画出图象，连接 PF2，则 PF1PF2，故|OP|F1F2|C，又直线 OP 的 斜率为，故 P（a，b） ，又 F1（c，0） ，所以 Q（，） ，又 Q（，） ，在 双曲线1（a0，b0）上， 故 b2，化简得 b2（ac）25a2b2， 故 e2
26、2e40因为 e1，故解得 e1+ 故答案为：1+ 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足 2Sn3an1，数列bn满足 bn log3an+log3an+1 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）令 cn，求数列cn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）运用数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，对数的运算性质可得所 求； （2）求得
27、cn（） ，由数列的裂项相消 求和，计算可得所求和 【解答】解： （1）2Sn3an1， 第 13 页（共 19 页） 当 n1 时，2S13a11，即 a11， 当 n2 时，2Sn13an11，又 2Sn3an1，相减可得 2an3an3an1即 an3an1， 数列an是以 1 为首项，3 为公比的等比数列， 则 an3n 1； bnlog3an+log3an+1n1+n2n1； （2）cn（） ， 和 Tn（1+）（1） 【点评】本题考查数列的递推式的运用，对数的运算性质和数列的裂项相消求和，考查 运算能力，属于中档题 18 （12 分）已知向量 （sin（x） ，sin（x） ） ，
28、 （sinx，cosx） ，f（x） （1）求 f（x）的最大值及 f（x）取最大值时 x 的取值集合 M； （2）在ABC 中，a，b，c 是角 A，B，C 的对边，若+M 且 c1，a+b2，求 ABC 的面积 【分析】 （1）由已知结合向量数量积的坐标表示及二倍角及辅助角公式对已知函数解析 式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解； （2）由已知可求 C，然后结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解 【解答】解： （1）f（x）sinxcosxsin （2x）， 所以 f（x）的最大值为 1 此时 2x即 xk，kZ， 所以 Mx|xk，kZ， （2）因为+M，所以+k， 所以 C， 又
29、 C（0，） ， 第 14 页（共 19 页） 所以 C， 由 c2a2+b22abcosCa2+b2ab（a+b）23ab 得 ab1， 故 SABC 【点评】本题以向量数量积的坐标表示为载体，主要考查了二倍角公式，辅助角公式在 三角函数化简中的应用及正弦函数的最值的求解，还结合三角函数考查了余弦定理及三 角形的面积公式在求解三角形中的应用 19 （12 分）如图，已知四边形 ABCD 为梯形，ABCD，DAB90，BDD1B1为矩形， 平面 BDD1B1平面 ABCD，又 ABADBB11，CD2 （1）证明：B1C平面 B1D1A （2）求二面角 B1AD1C 的正弦值 【分析】 （1）
30、根据面面垂直的性质，证明线面垂直，结合几何性质，证明线线垂直，再 证明出线面垂直； （2）先判断BEC 为二面角 BADC 的平面角，再用几何法求出即可 【解答】解： （1）BDDB为矩形，平面 BDD1B1平面 ABCD， 所以 BB平面 ABCD，DD平面 ABCD， 在 RtDDC 中，DC，AD，AB， 在直角梯形 ABCD 中，AC，BC， 所以 BC， 在三角形 BDC 中，DC，BD，BC，故 BCBD， 同理可得 BCAB， 又 B1D1AB1B1，所以 BC平面 BDA； （2）取 AD的中点 E，连接 BE，CE， 由 BDAB知 BEAD， 由 CDAC知 CEAD， 第
31、 15 页（共 19 页） BEC 为二面角 BADC 的平面角， 由（1）知 BC平面 BDA， 所以CBE90，又 BE，CE， 所以 cosBEC， 所以二面角 B1AD1C 的正弦值为 【点评】考查面面，线面，线线垂直的判定与性质，几何法求二面角的平面角，中档题 20 （12 分）2019 年 1 月 1 日， “学习强国”学习平台在全国上线， “学习强国”学习平台是 由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容， 立足全体党员，面向全社会的优质平台，某学校为响应国家号召，组织员工参与学习、 答题，员工甲统计了自己学习积分与学习天数的情况： 学习时间 （第
32、 x 天） 3 4 5 6 5 8 当天得分 y 17 20 19 24 24 27 先从这 6 组数据中选取 4 组数据求线性回归方程，再用剩下的 2 组数据进行检查检查 方法如下：先用求得的线性回归方程计算学习时间（第 x 天）所对应的 ，再求 与实际 当天得分 y 的差，若差值的绝对值都不超过 1，则称所求方程是“恰当回归方程” （1）间的 6 个数据中随机选取 2 个数据，求这 2 个数据不相邻的概率； （2） 若选取的是前面 4 组数据， 求 y 关于 x 的线性回归方程 x+ ， 并判断是否是 “恰 当回归方程” ； 附：回归直线 x+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， ，前
33、四组数据的xiyi370 第 16 页（共 19 页） 【分析】 （1）利用枚举法写出从 3，4，5，6，7，8 中抽取 2 个数据的基本事件总数，得 到两个数字相邻的事件数，再由古典概型概率公式求解； （2）由已知表格中的数据求得 与 ，得到线性回归方程，分别求 x7 与 x8 时的 y 值，分析得答案 【解答】解： （1）设“从学习时间的 6 个数据中随机选取 2 个数据，求这 2 个数据不相 邻”为事件 A， 这 6 个数据为 3，4，5，6，7，8 抽取 2 个数据的基本事件有 34，35，36，37，38，45，46，47，48，56，57，58，67， 68，78，共 15 种，
34、其中相邻的有 34，45，56，67，78 共 5 种， P（A）1； （2）前四组数据为： 学习时间 （第 x 天） 3 4 5 6 当天得分 y 17 20 19 24 ， ， 当 x7 时，此时 252411 成立； 当 x8 时，此时 272701 成立 为恰当回归方程 【点评】本题考查古典概型概率的求法，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是 中档题 第 17 页（共 19 页） 21 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）过点（0，） ，且离心率为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知圆方程为 x2+y22，过圆上任意一点作圆的切线，切线与椭圆 C 交于 A，B 两 点，O
35、为坐标原点，设 Q 为 AB 的中点，求|OQ|的取值范围 【分析】 （1）根据题意，列出关于 a，b，c 的方程组，解出 a，b，c 的值，从而求出椭 圆 C 的方程； （2）对直线 AB 的斜率讨论，当直线 AB 斜率不存在时，|OQ|，当直线 AB 斜率存 在时，设直线 AB 方程为 ykx+m，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 与椭圆方程联立，利用韦达定理求出 Q（，） ，又直线 AB 与圆 O 相切 得到m22（1+k2），所以 ， 当 k0 时， |OQ|， 当 k0 时，从而得到|OQ|的取值范围 【解答】解： （1）由题意可得：，解得， 椭圆 C 的方程为：； （2）若
36、直线 AB 斜率不存在，则直线 AB 方程为 x，此时，点 Q（，0） ， |OQ|， 若直线 AB 斜率存在，设直线 AB 方程为 ykx+m，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立方程，得： （1+2k2）x2+4kmx+2m260， ， Q（，） ， 第 18 页（共 19 页） 直线 AB 与圆 O 相切，即 m22（1+k2） ， ， 当 k0 时，|OQ|， 当 k0 时， 当且仅当 4k2 时，等号成立， 【点评】本题主要考查了椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，是中档题 22 （12 分）已知函数 f（x） （）求函数 f（x）的极大值； （）设定义在0，1上的函数 g（x
37、）xf（x）+tf（x）+e x（tR）的最大值为 M， 最小值为 N，且 M2N，求实数 t 的取值范围 【分析】 （）求出函数 f（x）的导数，求得单调区间，由极值的定义，即可得到极大值； （）由 M2N 即 2g（x）ming（x）max，研究 g（x）在0，1上单调性，用 t 表示出 g（x）在0，1上的最值，解相关的关于 t 的不等式求出范围 【解答】解： （）函数 f（x）的导数为 f（x）， 当 x0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）递减； 当 x0 时，f（x）0，f（x）在（，0）递增 即有 x0 处，f（x）取得极大值，且为 f（0）1； （）由 M2N 即 2g（x）
38、ming（x）max， g（x）xf（x）+tf（x）+e x ， g（x）， 当 t1 时，g（x）0，g（x）在0，1上单调递减， 2g（1）g（0） ，即 21，得 t31 当 t0 时，g（x）0，g（x）在0，1上单调递增 第 19 页（共 19 页） 2g（0）g（1） ，即 2，得 t32e0， 当 0t1 时， 在 x0，t） ，g（x）0，g（x）在0，t上单调递减 在 x（t，1，g（x）0，g（x）在t，1上单调递增 2g（t）maxg（0） ，g（1）， 即 2max 1，（*） 由（）知，f（t）2在0，1上单调递减， 故 22， 所以不等式（*）无解， 综上所述，存在 t（，32e）（3，+） ，使命题成立 【点评】本题考查的知识点是导数的运用：求单调区间和极值、最值，运用函数的单调 性研究函数的最值，其中运用分类讨论是解答此类问题的关键，属于难题
