1、只 有一项是符合题目要求的，请把答案填涂到相应的答题栏内）有一项是符合题目要求的，请把答案填涂到相应的答题栏内） 1 （5 分）已知 a，bR，i 是虚数单位，若 ai 与 2+bi 互为共轭复数，则 a+b（ ） A0 B1 C2 D3 2 （5 分）若 p：xR，sinx1，则（ ） Ap：x0R，sin x01 Bp：xR，sin x1 Cp：x0R，sin x01 Dp：xR，sin x1 3 （5 分）已知向量 （1，0，1） ， （1，1，k） ，且 ，则 k 的值是（ ） A0 B1 C2 D3 4 （5 分）已知函数 f（x）ax2+2019，且 f（1）4，则 a 的值为（
2、） A2019 B2015 C2 D 5 （5 分） 设双曲线的焦点在 x 轴上， 其渐近线为， 则该双曲线的离心率为 （ ） A B C2 D 6 （5 分）一质点做直线运动，经过 t 秒后的位移为，则速度为零的时刻 是（ ） A1 秒末 B4 秒末 C1 秒与 4 秒末 D0 秒与 4 秒末 7 （5 分）已知抛物线 yax2的焦点为，则 a 的值为（ ） A B1 C1 D2 8 （5 分）如图：在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 A1C1与 B1D1的交点若， ，则下列向量中与相等的向量是（ ） A B C D 9 （5 分）若函数 f（x）exax 有大于零的极值点，则
3、（ ） 第 2 页（共 18 页） Aa1 Ba1 C D 10（5 分）九章算术 中， 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马 在 如图所示的阳马 PABCD 中，侧棱 PD底面 ABCD，且 PDCDAD，点 E 是 PC 的 中点，则 PD 与 BE 所成角的余弦值（ ） A B C D 11 （5 分）已知点 P 是椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的左、右焦点， O 为坐标原点，若 M 是F1PF2的角平分线上的一点，且，则的取值 范围是（ ） A （0，2） B C （0，4） D 12 （5 分）定义在（0，）上的函数 f（x） ，f（x）是它的导函数，且恒有 f（x
4、）f （x）tanx 成立，则（ ） Af（）f（） Bf（1）2f（） sin1 Cf（）f（） Df（）f（） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分，把答案填入相应的答题栏内）分，把答案填入相应的答题栏内） 13 （5 分）已知复数 za+bi（a，bR） ，其中 i 是虚数单位，若复数 z 在复平面内对应的 点在直线 yx+1 上，则 a+b 的值等于 14 （5 分）与双曲线有公共焦点，且长轴长为 8 的椭圆方程为 15 （5 分）已知 p：a1xa+1，q：ex1，若 p 是q 的充分不必要条件，则实数 a 的 取值范
5、围是 16 （5 分）已知抛物线 y22px（p0） ，直线 l 过焦点 F 且与抛物线交于 M、N（点 N 在 x 轴的上方，点 M 在 x 轴的下方， ）点 E 在 x 轴上且 E 在 F 右侧，若|NF|EF|NE|，且 MNE 的面积为，则 p 的值为 第 3 页（共 18 页） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知 p：x1，1，x2a0，q：x0R，x02+2ax0+a+20 （1）若 p 为真命题，求 a 的取值范围； （2）若 p
6、 为假命题，q 为真命题，求 a 的取值范围 18 （12 分）已知抛物线 C：x22py（p0）上的点 M（m，1）到焦点 F 的距离为 2 （1）求 m，p 的值； （2）若 m0，求过点 M 且与 C 只有一个公共点的直线方程 19 （12 分）已知函数 （1）求 f（x）的单调区间； （2）若 f（x）有 3 个零点，求 a 的取值范围 20 （12 分）如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，AD 的中点，将正方形 ABCD 沿 着线段 EF 折起，使得DFA60，设 G 为 AF 的中点 （1）求证：DG平面 ABEF； （2）求二面角 CBFE 的余弦值 21 （12
7、 分）点 P（x，y）与定点 F（1，0）的距离和它到直线 l：x4 距离的比是常数 （1）求点 P 的轨迹方程； （2）记点 P 的轨迹为 C，过 F 的直线 l 与曲线 C 交于点 M，N，与抛物线 y24x 交于点 A，B，设 D（1，0） ，记DMN 与DAB 面积分别是 S1，S2，求的取值范围 22 （12 分）已知函数 f（x）x2，g（x）lnx （1）求函数 yg（x）在 xe 处的切线方程； （2）若方程 f（x）g（x）在区间（k，k+1） ，kN 上有实根，求 k 的值； （3）若不等式（xm） （x1）xf（x）g（x）对任意正实数 x 恒成立，求正整数 m 的取值集
8、合 第 4 页（共 18 页） 2019-2020 学年湖南省永州市高二（上）期末数学试卷学年湖南省永州市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 60 分，每小题给出的分，每小题给出的 4 个选项中，只个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请把答案填涂到相应的答题栏内）有一项是符合题目要求的，请把答案填涂到相应的答题栏内） 1 （5 分）已知 a，bR，i 是虚数单位，若 ai 与 2+bi 互为共轭复数，则 a+b（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】求出 ai 的共轭复数
9、，再由复数相等的条件列式求解 【解答】解：ai 与 2+bi 互为共轭复数， a+i2+bi，则 a2，b1 a+b3 故选：D 【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数相等的条件，是基础题 2 （5 分）若 p：xR，sinx1，则（ ） Ap：x0R，sin x01 Bp：xR，sin x1 Cp：x0R，sin x01 Dp：xR，sin x1 【分析】根据全称命题的否定为特称命题，分别对量词和命题的结论分别进行否定即可 求解 【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知， xR，sin x1 的否定为：xR，sin x1 故选：A 【点评】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础试题 3
10、 （5 分）已知向量 （1，0，1） ， （1，1，k） ，且 ，则 k 的值是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】根据 时 0，列方程求出 k 的值 【解答】解：向量 （1，0，1） ， （1，1，k） ， 当 时， 0， 即 1+0k0，解得 k1 第 5 页（共 18 页） 故选：B 【点评】本题考查了空间向量的坐标运算问题，是基础题 4 （5 分）已知函数 f（x）ax2+2019，且 f（1）4，则 a 的值为（ ） A2019 B2015 C2 D 【分析】根据题意，求出函数的导数，令 f（1）4，解可得 a 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）ax2+201
11、9，则 f（x）2ax， 若 f（1）4，即 2a4，解可得 a2； 故选：C 【点评】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题 5 （5 分） 设双曲线的焦点在 x 轴上， 其渐近线为， 则该双曲线的离心率为 （ ） A B C2 D 【分析】利用双曲线的渐近线方程，求出 ab 关系，然后求解离心率即可 【解答】解：双曲线的焦点在 x 轴上，其渐近线为， 可得，所以：b22a2，可得 c23a2， 双曲线的离心率为： 故选：B 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 6 （5 分）一质点做直线运动，经过 t 秒后的位移为，则速度为零的时刻 是（ ） A1
12、秒末 B4 秒末 C1 秒与 4 秒末 D0 秒与 4 秒末 【分析】根据题意，求出 S 的导数，即可得质点速度的解析式，令 v（t）0，解可得 t 的值，即可得答案 【解答】 解： 根据题意， 质点经过 t 秒后的位移为， 则有 St25t+4， 质点的速度的解析式为 v（t）t25t+4， 令 v（t）t25t+40，解可得 t1 或 4， 即 1 秒与 4 秒末质点的速度为 0； 故选：C 【点评】本题考查导数的定义，注意求出速度的解析式，属于基础题 第 6 页（共 18 页） 7 （5 分）已知抛物线 yax2的焦点为，则 a 的值为（ ） A B1 C1 D2 【分析】抛物线化为标准
13、方程可得焦点坐标，由题意可得 a 的值 【解答】解：抛物线的标准方程为：x2，所以焦点坐标为： （0，） ，由题意可得 ，所以可得 a1， 故选：B 【点评】考查抛物线的性质，属于基础题 8 （5 分）如图：在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 A1C1与 B1D1的交点若， ，则下列向量中与相等的向量是（ ） A B C D 【分析】利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出 【解答】解： 故选：A 【点评】本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向 量间的问题转化为基底间的关系解决 9 （5 分）若函数 f（x）exax 有大于零的极值点，则
14、（ ） Aa1 Ba1 C D 第 7 页（共 18 页） 【分析】由题意可得，f（x）exa0 有大于 0 的根，结合导数与单调性的关系可 求 【解答】解：由题意可得，f（x）exa0 有大于 0 的根， 当 a0 时，f（x）0 恒成立，f（x）在 R 上单调递增，没有极值； 当 a0 时，当 xlna 时，f（x）0，f（x）单调递增，当 xlna 时，f（x）0， 函数单调递减， 故当 xlna 时，函数取得极小值， 由题意可得，lna0， 故 a1 故选：B 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，属于基础试题 10（5 分）九章算术 中， 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直
15、的四棱锥称之为阳马 在 如图所示的阳马 PABCD 中，侧棱 PD底面 ABCD，且 PDCDAD，点 E 是 PC 的 中点，则 PD 与 BE 所成角的余弦值（ ） A B C D 【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利 用向量法能求出 PD 与 BE 所成角的余弦值 【解答】解：阳马 PABCD 中，侧棱 PD底面 ABCD，且 PDCDAD，点 E 是 PC 的中点， 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 PDCDAD2，则 P（0，0，2） ，D（0，0，0） ，B
16、（2，2，0） ，E（0，1，1） ， （0，0，2） ，（2，1，1） ， cos， 第 8 页（共 18 页） PD 与 BE 所成角的余弦值为 故选：D 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 11 （5 分）已知点 P 是椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的左、右焦点， O 为坐标原点，若 M 是F1PF2的角平分线上的一点，且，则的取值 范围是（ ） A （0，2） B C （0，4） D 【分析】先分别分析点 P 为上下顶点和左右顶点时的|的值，又因为 xy0，所以点 P 不过椭圆的顶点，从而求出|的
17、取值范围 【解答】解：如图： ， 当点 P 在椭圆的上下顶点时，点 M 与原点 O 重合，此时取最小值 0； 当点 P 在椭圆的左右顶点时，点 M 与椭圆焦点 F1重合，即，此时|取最大值， 最大值|， xy0， 点 P 不过椭圆的顶点， 故选：A 第 9 页（共 18 页） 【点评】本题主要考查了圆锥曲线以及平面向量的应用，是中档题 12 （5 分）定义在（0，）上的函数 f（x） ，f（x）是它的导函数，且恒有 f（x）f （x）tanx 成立，则（ ） Af（）f（） Bf（1）2f（） sin1 Cf（）f（） Df（）f（） 【分析】把给出的等式变形得到 f（x）sinxf（x）co
18、sx0，由此联想构造辅助函数 g （x），由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，对选项一一加以判 断，即可得到答案 【解答】解：因为 x（0，） ，所以 sinx0，cosx0 由 f（x）f（x）tanx，得 f（x）cosxf（x）sinx 即 f（x）sinxf（x）cosx0 令 g（x），x（0，） ，则 g（x）0 所以函数 g（x）在 x（0，）上为增函数， 对于 A，由于 g（）g（） ，即，化简即可判断 A 错； 第 10 页（共 18 页） 对于 B，由于 g（1）g（） ，即，化简即可判断 B 正确； 对于 C，由于 g（）g（） ，即，化简即可判断 C 错误； 对
19、于 D，由于 g（）g（） ，即，所以， 即f（）f（） 故 D 错误 故选：B 【点评】本题考查了导数的运算法则，考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性， 考查了函数构造法，属中档题型 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分，把答案填入相应的答题栏内）分，把答案填入相应的答题栏内） 13 （5 分）已知复数 za+bi（a，bR） ，其中 i 是虚数单位，若复数 z 在复平面内对应的 点在直线 yx+1 上，则 a+b 的值等于 1 【分析】根据复数的几何意义求出对应点的坐标，将点的坐标代入直线进行求解即可 【解答】解：复数
20、 za+bi（a，bR） ，对应的坐标为（a，b） ， 复数 z 在复平面内对应的点在直线 yx+1 上， ba+1，即 a+b1， 故答案为：1 【点评】本题主要考查复数的几何意义，结合点与直线的关系建立方程是解决本题的关 键，比较基础 14 （5 分）与双曲线有公共焦点，且长轴长为 8 的椭圆方程为 +1 【分析】由双曲线方程求得椭圆的半焦距，再由已知求得 a，结合隐含条件求得 b，则椭 圆方程可求 【解答】解：由双曲线，得 c， 第 11 页（共 18 页） 设椭圆方程为（ab0） ， 则 2a8，a4，c3， b2a2c27 椭圆方程为： 故答案为： 【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单
21、性质，考查椭圆方程的求法，是基础题 15 （5 分）已知 p：a1xa+1，q：ex1，若 p 是q 的充分不必要条件，则实数 a 的 取值范围是 （，1 【分析】求出命题 p，q 的等价条件，利用 p 是q 的充分不必要条件，转化为 p 对应集 合是q 对应集合的真子集，即可求出 a 的取值范围 【解答】解：p：a1xa+1， q：ex1，q：x0； q：x0； 又p 是q 的充分不必要条件， （a1，a+1）（，0；即 a+10； 解得：a1 则实数 a 的取值范围是（，1 故答案为： （，1 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的解法求出等价条件是 解决本题的关键属于
22、基础题 16 （5 分）已知抛物线 y22px（p0） ，直线 l 过焦点 F 且与抛物线交于 M、N（点 N 在 x 轴的上方，点 M 在 x 轴的下方， ）点 E 在 x 轴上且 E 在 F 右侧，若|NF|EF|NE|，且 MNE 的面积为，则 p 的值为 3 【分析】由题意可知直线 l 的斜率为，所以直线 l 的方程为：y（x） ，与抛物 线方程联立，求出交点 M，N 的坐标，再结合MNE 的面积是 12，即可求出 p 的值 【解答】解：|NF|EF|NE|，EFN 为等边三角形， 第 12 页（共 18 页） 直线 l 的倾斜角为 600，直线 l 的斜率为， 直线 l 的方程为：y
23、（x） ， 联立方程，消去 y 得：12x220px+3p20， 解得：， ， ， 由抛物线的定义可知|EF|NF|xN+2p， SMNE12， p3， 故答案为：3 【点评】本题主要考查了抛物线的性质，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知 p：x1，1，x2a0，q：x0R，x02+2ax0+a+20 （1）若 p 为真命题，求 a 的取值范围； （2）若 p 为假命题，q 为真命题，求 a 的取值范围 【
24、分析】 （1）由于命题 p： “x1，1，x2a0” ，只要 x1，1时，a（x2）min 即可； （2）由（1）可知，当命题 p 为真命题时，a0，命题 q 为真命题时，4a24（a+2） 0，解得 a 的取值范围由于命题 p 是假命题，命题 q 为真命题，列出不等式组解出即 可 【解答】解： （1）若命题 p 为真命题，即x1，1，x2a0ax2恒成立； a（x2）min，a0a 的取值范围是（，0 （2）若 q 为真命题，则04a24（a+2）0a2 或 a1 又p 为假命题，由（1）可得a0； 若 p 为假命题，q 为真命题，则； 第 13 页（共 18 页） a2； 综上，a 的范围
25、为2，+） 【点评】本题考查了简易逻辑的有关知识、函数的性质、方程的解、不等式组等基础知 识与基本技能方法，考查了转化的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题 18 （12 分）已知抛物线 C：x22py（p0）上的点 M（m，1）到焦点 F 的距离为 2 （1）求 m，p 的值； （2）若 m0，求过点 M 且与 C 只有一个公共点的直线方程 【分析】 （1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，解方程可得 p，将 M 的坐标代入抛物线的方程，可得 m； （2）可得 M（2，1） ，讨论直线的斜率 k 存在，设出直线方程，联立抛物线方程，运用 判别式为 0，可得 k，考虑直线
26、的斜率不存在，即可得到所求直线方程 【解答】解： （1）抛物线 C：x22py（p0）的焦点 F（0，） ，准线方程为 y， 由抛物线的定义得，解得 p2， 所以抛物线的方程为 x24y，代入点 M（m，1） ，可解得 m2 （2）当斜率 k 存在时，设过点 M（2，1）的直线方程为 y1k（x2） ， 联立，消元得 x24kx+8k40，16k232k+160， 得 k1，所以直线方程为 yx1， 当斜率不存在时，x2， 所以过点 M 且与 C 只有一个公共点的直线方程为 yx1 或 x2 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，以及联 立方程运用判别式法，考查
27、分类讨论思想，属于基础题 19 （12 分）已知函数 （1）求 f（x）的单调区间； （2）若 f（x）有 3 个零点，求 a 的取值范围 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调区间； （2）结合（1）中单调性的讨论及函数的性，转化为函数图象的交点，可求 【解答】解： （1）f（x）x22x3， 令 f（x）0，得 x1 或 3 第 14 页（共 18 页） 可知，x（，1）时，f（x）0；x（1，3）时，f（x）0；x（3，+）时， f（x）0； 故，f（x）在（，1）上单调递增；在（1，3）上单调递减；在（3，+）上单 调递增 （2）令 f（x）0，有
28、设，g（x）x22x3， 由（1）得 g（x）在（，1）上单调递增；在（1，3）上单调递减；在（3，+） 上单调递减，g（3）9， 结合 g（x）的图象可知，yg（x）与 ya 有 3 个交点，故 所以 a 的范围为 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及利用单调性求解函数的零点，属 于中档试题 20 （12 分）如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，AD 的中点，将正方形 ABCD 沿 着线段 EF 折起，使得DFA60，设 G 为 AF 的中点 （1）求证：DG平面 ABEF； （2）求二面角 CBFE 的余弦值 【分析】 （1）根据题意，由 EF平面 ADF，得
29、EFDG，再根据ADF 是等边三角形， AFDG，再根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）设 BE 中点为 Q，连结 GQ，则 GA，GQ，GD 两两垂直，不妨设 AB4，以 G 为 原点，以 GA，GQ，GD 为坐标轴建立空间直角坐标系，求出平面 CBF 和平面 BFE 的法 向量，利用夹角公式求出结果 【解答】解： （1）证明：E，F 分别为正方形 ABCD 的边 BC，AD 的中点， EFDF，EFAF， 又 DF平面 ADF，AF平面 ADF，AFDFF，EF平面 ADF， 第 15 页（共 18 页） DG平面 ADF，EFDG， AFDF，DFA60，ADF 是等边三角形， G
30、为 AF 的中点，AFDG， 又 EFDG，EF面 ABEF，AF面 ABEF，EFAFF，DG平面 ABEF （2）设 BE 中点为 Q，连结 GQ，则 GA，GQ，GD 两两垂直，不妨设 AB4 以 G 为原点，以 GA，GQ，GD 为坐标轴建立空间直角坐标系如图： 则 G（0，0，0） ，A（1，0，0） ，B（1，4，0）.，F（1，0，0） ， ， 设平面 BCF 的法向量为， 则，令 z2，得， 而为平面 BEF 的一个法向量， ， 故二面角 CBFE 的余弦值为 【点评】考查线面垂直的判定定理与性质定理，考查了用向量法求二面角的余弦值，考 查了运算能力和空间想象能力，中档题 21
31、 （12 分）点 P（x，y）与定点 F（1，0）的距离和它到直线 l：x4 距离的比是常数 （1）求点 P 的轨迹方程； （2）记点 P 的轨迹为 C，过 F 的直线 l 与曲线 C 交于点 M，N，与抛物线 y24x 交于点 A，B，设 D（1，0） ，记DMN 与DAB 面积分别是 S1，S2，求的取值范围 【分析】 （1）根据题意，利用两点之间的距离公式即可求得 P 的轨迹方程； 第 16 页（共 18 页） （2）分类讨论，当直线 AB 的斜率存在时，设直线 l 的方程，代入椭圆及抛物线方程， 利用弦长公式，求得|AB|和|MN|，根据，利用函数的性质，即可求得的取 值范围 【解答】
32、解： （1）依题意有， 化简得：3x2+4y212， 故 P 的轨迹方程为 （2）依题意， 当 l 不垂直于 x 轴时，设 l 的方程是 yk（x1） （k0） ， 联立，得 k2x2（2k2+4）x+k20， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则，； 联立得： （3+4k2）x28k2x+4k2120， 设 M（x3，y3） ，N（x4，y4） ， 则， ， 则， 当 l 垂直于 x 轴时，易知|AB|4， 此时， 第 17 页（共 18 页） 综上，的取值范围是 （设 l：xmy+1 相应给分；用其他方法的相应给分） 【点评】本题考查椭圆的轨迹方程的求法，直线与椭圆和抛物线的位置
33、关系，考查韦达 定理及弦长公式的应用，考查转化思想，分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）x2，g（x）lnx （1）求函数 yg（x）在 xe 处的切线方程； （2）若方程 f（x）g（x）在区间（k，k+1） ，kN 上有实根，求 k 的值； （3）若不等式（xm） （x1）xf（x）g（x）对任意正实数 x 恒成立，求正整数 m 的取值集合 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线 方程； （2）结合导数可求函数的单调性，然后结合函数的性质及零点判定定理可求； （3）由已知不等式进行分离参数后转化为求解函数的最
34、值，结合导数可求 【解答】解： （1） 又因为 g（e）1，所以切线方程为 （2）记 h（x）f（x）g（x）xlnx2，方程 f（x）g（x）有实根等价于 h（x） 有零点， 因为，当 x（0，1）时，h（x）0；当 x（1，+）时，h（x）0， 可知 h（1）1 为极小值，又因为 所以，h（x）在（0，1）上存在一个零点 x1，此时 k0 又因为 h（3）3ln321ln30，h（4）22ln20， 所以，h（x）在（3，4）上存在一个零点 x2，此时 k3 综上，k0 或 3 （3）不等式（xm） （x1）xf（x）g（x）对任意正实数 x 恒成立， 即（xm） （x1）x（xlnx2）
35、 ，x0 恒成立， 当 x1 时，上式显然成立，此时 mR 当 0x1 时，上式化为，令， 第 18 页（共 18 页） 则，由（2）可知，函数 h（x）在（0，1）上单减，且存 在一个零点 x1，此时 h（x1）x1lnx120，即 lnx1x12， 当 x（0，x1）时，s（x）0；x（x1，1）时，s（x）0， 所以 s（x）有极大值即最大值，于是 m x1 当 x1 时，不等式化为，同理可得 mx2 综上可知，x1mx2，又因为 x1（0，1） ，x2（3，4） ， 所以正整数 m 的取值集合为1，2，3 【点评】本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数求解函数的单调性，求解函 数的零点及处理不等式的恒成立问题，试题具有一定的综合性
