1、在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设 i 是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分）抛物线 x2y 的焦点坐标为（ ） A B C D 3 （5 分）已知命题 p：xR，sinx1，则p（ ） Ax0R，sinx01 Bx0R，sinx01 CxR，sinx1 DxR，sinx1 4 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a11，an+12，则 a2 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 5 （5 分）设椭圆方程为，左右焦点分别为 F1，F2，上顶点为
2、 B，若 F1BF2为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 6（5 分） 两个正数 a、 b 的等差中项是， 一个等比中项是， 且 ab， 则双曲线 的渐近线方程为（ ） A B C D 7 （5 分）若 a，b，cR，则以下命题为真的是（ ） A若 ab，则 B若 ab，则 ac2bc2 C若 ab，则 a2b2 D若 a|b|，则 a2b2 8 （5 分） “a3b3”是“log7alog7b”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 第 2 页（共 17 页） 9（5 分） 已知数列an为各项为正数的等比数列， Sn是它的前 n 项和
3、， 若 a1a74， 且 a4+2a7 ，则 S5（ ） A32 B31 C30 D29 10 （5 分） 如图， 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， 底面是边长为 1 的正方形， 若A1AB A1AD60，且 A1A3，则 A1C 的长为（ ） A B C D 11 （5 分）若两个正实数 x，y 满足+1，且 x+2ym2+2m 恒成立，则实数 m 的取值 范围是（ ） A （，2）4，+） B （，4）2，+） C （2，4） D （4，2） 12 （5 分）已知函数 f（x），g（x）ex 1lnx+a 对任意的 x 11，3，x21， 3恒有 f（x1）g（x2）成立，则 a
4、 的范围是（ ） Aa Ba C0 D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）曲线 yx+3lnx 在点（1，1）处的切线方程为 14 （5 分）若 zC，且，则|z| 15 （5 分）函数 f（x）（ax1） （x+b） ，如果不等式 f（x）0 的解集为（1，3） ，则 a+b 的值为 16 （5 分）已知正数 a，b 满足：a+b+10，则 a+b 的最小值是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤 17 （10 分）已知数列an为
5、正项等比数列，满足 a34，且 a5，3a4，a6构成等差数列，数 列bn满足 bnlog2an+log2an+1 （）求数列an的通项公式； （）求数列bn的前 n 项和 Sn 第 3 页（共 17 页） 18 （12 分）已知函数 f（x）ax3+bx+1 的图象经过点（1，3）且在 x1 处，f（x）取得 极值求： （1）函数 f（x）的解析式； （2）f（x）的单调递增区间 19 （12 分）如图所示，在三棱锥 PABC 中，PC平面 ABC，PC3，ACB，D、 E 分别为线段 AB、BC 上的点，且 CDDE，CE2EB2 （1）证明：DE平面 PCD； （2）求二面角 APDC
6、的余弦值 20 （12 分）已知数列an满足：，令 bnanan+1，Sn 为数列bn的前 n 项和 （1）求 an和 Sn； （2）对任意的正整数 n，不等式 Sn恒成立，求实数 的取值范围 21 （12 分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆 D 上 （1）求椭圆 D 的标准方程； （2）过 y 轴上一点 E（0，t）且斜率为 k 的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，设直线 OA， OB （O 为坐标原点） 的斜率分别为 kOA， kOB， 若对任意实数 k， 存在 2， 4， 使得 kOA+kOB k，求实数 t 的取值范围 22 （12 分）已知函数 f（x）a（sinxxcosx）（aR
7、） ，g（x）f（x） （f（x）是 f （x）的导函数） ，g（x）在0，上的最大值为 （）求实数 a 的值； 第 4 页（共 17 页） （）判断函数 f（x）在（0，）内的极值点个数，并加以证明 第 5 页（共 17 页） 2019-2020 学年湖南省怀化市高二（上）期末数学试卷学年湖南省怀化市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要求的求的 1 （5 分）设 i 是
8、虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数在复平面内所对应的点的坐 标得答案 【解答】解：由， 可得复数在复平面内所对应的点的坐标为（） ，位于第一象限 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础的计算题 2 （5 分）抛物线 x2y 的焦点坐标为（ ） A B C D 【分析】根据抛物线的标准方程，再利用抛物线 x22py 的焦点坐标为（0，） ，求出物 线 x2y 的焦点坐标 【解答】解：抛物线 x2y， p， 焦点坐标是 （0，） ， 故
9、选：C 【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线 x22py 的焦点坐标为 （0，） ，属基础题 3 （5 分）已知命题 p：xR，sinx1，则p（ ） Ax0R，sinx01 Bx0R，sinx01 第 6 页（共 17 页） CxR，sinx1 DxR，sinx1 【分析】根据全称命题的否定方法，结合已知中的原命题，可得答案 【解答】解：命题 p：xR，sinx1， p：x0R，sinx01， 故选：B 【点评】本题考查的知识点是全称命题和特称命题的否定，难度不大，属于基础题 4 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a11，an+12，则 a2 的值为（
10、 ） A1 B2 C3 D4 【分析】直接利用递推关系式的应用求出结果 【解答】解：数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a11，an+12， 当 n1 时， 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，主要考查学生的运算能力和 转换能力及思维能力，属于基础题型 5 （5 分）设椭圆方程为，左右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 B，若 F1BF2为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 【分析】由BF1F2为等边三角形，可得 a2c，利用 e即可得出 【解答】解：BF1F2为等边三角形，a2c，e 故选：B 【点评】熟练掌握等边三角形的性质和离心率计算公式即可得
11、出 6（5 分） 两个正数 a、 b 的等差中项是， 一个等比中项是， 且 ab， 则双曲线 的渐近线方程为（ ） A B C D 第 7 页（共 17 页） 【分析】先根据等差中项和等比中项的性质解出 a，b 的值，即可得到其渐近线方程 【解答】解：由已知得（ab） 故双曲线的渐近线方程为 yx 故选：C 【点评】本题主要考查等比中项、等差中项的性质和双曲线渐近线的求法考查基础知 识的综合运用能力 7 （5 分）若 a，b，cR，则以下命题为真的是（ ） A若 ab，则 B若 ab，则 ac2bc2 C若 ab，则 a2b2 D若 a|b|，则 a2b2 【分析】利用取特殊值法、不等式的基本
12、性质即可判断出正误 【解答】解：A取 a2，b1，不成立； B取 c0，不成立； C取 a1，b2 不成立； D若 a|b|，则 a2b2，成立 故选：D 【点评】本题考查了取特殊值法、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 8 （5 分） “a3b3”是“log7alog7b”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据 a3b3推出 ab，但是 a，b 未必是正数，因此 log7alog7b 未必有意义； 反之，log7alog7b 推出 ab0，则必有 a3b3根据充分必要条件的判定，即可得出 结果 【解答】 解： 若
13、a3b3， 则 ab， 当 ba0 时， 或 a0b 时， 由 “ab” 推不出 “log7a log7b” ； 反之，若“log7alog7b” ，则有“ab” ； 所以， ”a3b3”是”log7alog7b”的必要不充分条件 故选：B 第 8 页（共 17 页） 【点评】本题考查利用对数函数和幂函数性质比较大小问题，以及充分必要条件的判定， 属中档题 9（5 分） 已知数列an为各项为正数的等比数列， Sn是它的前 n 项和， 若 a1a74， 且 a4+2a7 ，则 S5（ ） A32 B31 C30 D29 【分析】由已知结合等比数列的性质可求 a4，a7，a1，进而可求 q，代入等
14、比数列的求和 公式即可求解 【解答】解：数列an为各项为正数的等比数列，a1a74，且， a42，a7，a116， q， s531 故选：B 【点评】本题主要考查了等比数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题 10 （5 分） 如图， 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， 底面是边长为 1 的正方形， 若A1AB A1AD60，且 A1A3，则 A1C 的长为（ ） A B C D 【分析】用空间向量解答 【解答】解：+； 2（ +）2； 即 2 +（+ ） 第 9 页（共 17 页） 1+031cos60+0+131cos60（31cos60+31cos609） ； 1+1+95，
15、 A1C 故选：A 【点评】本题考查了空间向量的应用，属于基础题 11 （5 分）若两个正实数 x，y 满足+1，且 x+2ym2+2m 恒成立，则实数 m 的取值 范围是（ ） A （，2）4，+） B （，4）2，+） C （2，4） D （4，2） 【分析】由题意和基本不等式可得 x+2y 的最小值，再由恒成立可得 m 的不等式，解不等 式可得 m 范围 【解答】解：正实数 x，y 满足+1， x+2y（x+2y） （+） 4+4+28， 当且仅当即 x4 且 y2 时 x+2y 取最小值 8， x+2ym2+2m 恒成立，8m2+2m， 解关于 m 的不等式可得4m2 故选：D 【点评
16、】本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题和不等式的解法，属中档题 12 （5 分）已知函数 f（x），g（x）ex 1lnx+a 对任意的 x 11，3，x21， 3恒有 f（x1）g（x2）成立，则 a 的范围是（ ） Aa Ba C0 D 【分析】利用基本不等式以及函数的单调性求解两个函数的最值，然后结合已知条件列 出不等式求解 a 的范围即可 【解答】解：函数 f（x）x+1+3231，当且仅当 x0 时取等 号，因为 x11，3，所以函数的最小值为：f（1）， 第 10 页（共 17 页） g（x）ex 1lnx+a 对任意的 x 21，3，函数是减函数，函数的最大值为：g（1） 1
17、+a， 函数 f（x），g（x）ex 1lnx+a 对任意的 x 11，3，x21，3恒有 f（x1） g（x2）成立， 可得1+a，解得 a， 故选：A 【点评】本题考查函数的单调性的应用，函数恒成立条件的转化，考查计算能力 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）曲线 yx+3lnx 在点（1，1）处的切线方程为 4xy30 【分析】 利用函数的导数的几何意义， 求出导数后代入该点横坐标， 即可求出切线斜率 然 后求出切线方程 【解答】解：曲线 yx+3lnx， y+1， 曲线 y3lnx+x 在点（1，1）处的切线
18、的斜率是：4 曲线 y3lnx+x 在点（1，1）处的切线方程为：y14（x1） ，即 4xy30 故答案为：4xy30 【点评】本题考查函数导数的基本运算，导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算 能力 14 （5 分）若 zC，且，则|z| 【分析】直接设复数根据已知条件求出复数；再结合模的定义即可求解 【解答】解：设 za+bi，a，bR， 则a+bi+2（abi）3abi， b4，a1|z|； 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，是 基础题 15 （5 分）函数 f（x）（ax1） （x+b） ，如果不等式 f（x）0 的解集为（1，3
19、） ，则 a+b 的值为 4 第 11 页（共 17 页） 【分析】不等式化为（ax1） （x+b）0，由不等式 f（x）0 的解集求得 a、b 的值， 再求 a+b 【解答】解：不等式 f（x）0 化为（ax1） （x+b）0， 由不等式 f（x）0 的解集为（1，3） ，得 a0 且不等式对应方程两根为1 和 3， 所以 a1，b3； 所以 a+b134 故答案为：4 【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的解法与应用问题，是基础题 16 （5 分）已知正数 a，b 满足：a+b+10，则 a+b 的最小值是 2 【分析】在 a+b+10 的两边同乘以（a+b） ，展开后求 a+b 的
20、取值范围 【解答】解：a+b+10， （a+b） （a+b+）10（a+b） ， （a+b）2+（a+b）2+10+10（a+b） ， （a+b）2+10+210（a+b） （a+b）210（a+b）+160， 解得 2a+b8 故答案为：2 【点评】本题主要考查基本不等式的应用，技巧性较大 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤 17 （10 分）已知数列an为正项等比数列，满足 a34，且 a5，3a4，a6构成等差数列，数 列bn满足 bnlog2an+log2an+1 （）求数列an的通项公式； （）求数
21、列bn的前 n 项和 Sn 【分析】 （I）设等比数列an的公比为 q（q0） ，运用其通项公式解方程可得所求； （II）运用等差数列的求和公式，可得所求 【解答】 解： （I） 设等比数列an的公比为 q （q0） ， 由题意， 得 解得 q2 或 q3（舍） 第 12 页（共 17 页） 又 a34a11， 所以 （II）bnlog2an+log2an+1n1+n2n1， 所以数列bn是以1为首项2为公差的等差数 列 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查方程思想和运算能 力，属于中档题 18 （12 分）已知函数 f（x）ax3+bx+1 的图象经过点（1，3）且在
22、 x1 处，f（x）取得 极值求： （1）函数 f（x）的解析式； （2）f（x）的单调递增区间 【分析】 （1）由 f（x）ax3+bx+1 的图象过点（1，3）得 a+b+13，结合 f（1） 3a+b0，求解即可 （2）通过 f（x）0，求解 f（x）的单调递增区间即可 【解答】解： （1）由 f（x）ax3+bx+1 的图象过点（1，3）得 a+b+13， f（x）3ax2+b， 又 f（1）3a+b0， 由得， f（x）2x36x+1 （2）f（x）6x26， 由 f（x）0 得 x1 或 x1， f（x）的单调递增区间为（，1） ， （1，+） 【点评】本题考查函数的导数的应用，函
23、数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化 思想以及计算能力 19 （12 分）如图所示，在三棱锥 PABC 中，PC平面 ABC，PC3，ACB，D、 E 分别为线段 AB、BC 上的点，且 CDDE，CE2EB2 （1）证明：DE平面 PCD； （2）求二面角 APDC 的余弦值 第 13 页（共 17 页） 【分析】 （1）要证明 DE平面 PCD，可转化为证明 DECD 与 DEPC； （2）建立空间直角坐标系，将问题转化为求平面 PAD 与平面 PCD 的法向量的夹角的余 弦值 【 解 答 】 证 明 ： （ 1 ） PC 平 面 ABC ， DE 平 面 ABC ， PC DE ，C
24、DE 为等腰直角三角形，CDDE PCCDC，DE 垂直于平面 PCD 内两条相交直线， DE平面 PCD 解： （2）由（1）知，CDE 为等腰直角三角形，DCE 如图，过 D 作 DF 垂直 CE 于 F，则 DFFCFE1，又已知 EB1，故 FB2 由ACB，得 DFAC，故 ACDF 以 C 为坐标原点，分别以的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直 角坐标系， 则 C（0，0，0） ，P（0，0，3） ，A（，0，0） ，E（0，2，0） ，D（1，1，0） ， （1，1，0） ，（1，1，3） ，（，1，0） 设平面 PAD 的法向量为 （x1，y1，z1） ， 由0，
25、0，得，取 x12，得 （2，1，1） 由（1）可知 DE平面 PCD，故平面 PCD 的法向量 （1，1，0） ， cos， 第 14 页（共 17 页） 故所求二面角 APDC 的余弦值为 【点评】本题主要考查空间中线面的垂直关系、二面角的求法、空间向量的应用，考查 考生的逻辑思维能力、运算求解能力、转化能力 20 （12 分）已知数列an满足：，令 bnanan+1，Sn 为数列bn的前 n 项和 （1）求 an和 Sn； （2）对任意的正整数 n，不等式 Sn恒成立，求实数 的取值范围 【分析】 （1）先求出首项，再将 n 换成 n1，两式相减即可得到通项，再由裂项相消求 和得到前 n
26、 项的和； （2）运用参数分离，根据数列Sn是单调递增数列，即可求出前 n 项和的最小值，从而 得到实数 的取值范围 【解答】解： （1）由于， 当 n1 时，a11； 当 n2 时， 则得，即， 综上，nN*； ， 则 Sn（1）+（）+（）， 第 15 页（共 17 页） 则 （2）由得， 所以， 因为Sn是单调递增数列，所以当 n1 时 Sn取得最小值为， 因此 【点评】本题考查数列的通项和前 n 项和的求法，注意将下标变换相减法和裂项相消求 和，同时考查不等式的恒成立问题转化为求数列的最值问题，属于中档题 21 （12 分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆 D 上 （1）求椭圆 D 的标准
27、方程； （2）过 y 轴上一点 E（0，t）且斜率为 k 的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，设直线 OA， OB （O 为坐标原点） 的斜率分别为 kOA， kOB， 若对任意实数 k， 存在 2， 4， 使得 kOA+kOB k，求实数 t 的取值范围 【分析】 （1）由椭圆的离心率为，点在椭圆上列方程组求出 a2， bc，由此能求出椭圆 D 的标准方程 （2）设出直线方程，利用直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，通过斜率转化求解 即可求出实数 t 的取值范围 【解答】解： （1）椭圆的离心率为，点在 椭圆 D 上 ，解得 a2，bc， 椭圆 D 的标准方程为1 （2）设直线 l 的方
28、程为 ykx+t 第 16 页（共 17 页） 由，消元可得（2k2+1）x2+4ktx+2t240， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x2，x1x2， 而 k1+k2+2k+t （+） 2k+t2k+t ， 由 k1+k2k，得k， 此等式对任意的 k 都成立，即 t22 由题意得点 P（0，t）在椭圆内，故 0t22，即 022， 解得 2， 对任意实数 k，存在 2，4，使得 kOA+kOBk， t220，1 故实数 t 的取值范围为1，1 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，还考查了韦达定理、直线斜率，考查了方程 思想、函数与方程思想及计算能力，考查了直线与椭圆
29、的位置关系及转化思想，属于难 题 22 （12 分）已知函数 f（x）a（sinxxcosx）（aR） ，g（x）f（x） （f（x）是 f （x）的导函数） ，g（x）在0，上的最大值为 （）求实数 a 的值； （）判断函数 f（x）在（0，）内的极值点个数，并加以证明 【分析】 （1）对 g（x）求导，分三种情况当 a0，当 a0，当 a0 时分析 g（x）单调 性，进而得出实数 a 的值 （2）先确定 g（x）在（0，和（，）上各有一个变号零点，f（x）在（0，） 上共有两个极值点，进而得出结论 【解答】解： （）g（x）f（x）axsinx，g（x）a（sinx+xcosx） 第 17
30、 页（共 17 页） 当 a0 时 g（x），不合题意，舍去 当 a0 时 g（x）0 g（x）在0，上单调递减， gmax（x）g（0），不合题意，舍去 当 a0 时 g（x）0 g（x）在0，上单调递增， gmax（x）g（），解得 a1 综上：a1 （）由（）知 g（x）xsinx，g（x）sinx+xcosx， 当 x （0，时， g （x） 在 （0，上单调递增， g （0） 0， g （） ， g（x）在（0，上有且仅有一个变号零点， 当 x（，）时，g （x）2cosxxsinx0， g（x）在（，）上单调递减 又 g（）10，g（）0， x0（，）使 g（x0）0 且当 x（，x0）时 g（x）0，当 x（x0，） 时 g（x）0， g（x）在（，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减 又 g（）0，g（x0）g（）0，g（）， g（x）在（，）上有且仅有一个变号零点， g（x）在（0，和（，）上各有一个变号零点， f（x）在（0，）上共有两个极值点
