1、命题“若 ，则 tan1”的逆否命题是（ ） A若 ，则 tan 1 B若 ，则 tan 1 C若 tan 1，则 D若 tan 1，则 2 （3 分）某单位有职工 100 人，30 岁以下的有 20 人，30 岁到 40 岁之间的有 60 人，40 岁以上的有 20 人，今用分层抽样的方法从中抽取 20 人，则各年龄段分别抽取的人数为 （ ） A2，6，10 B4，12，4 C8，8，4 D12，14，15 3 （3 分）设 P 是椭圆上的点，若 F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于 （ ） A4 B8 C6 D18 4 （3 分）已知抛物线的标准方程 y2ax，则其焦点
2、坐标为（ ） A B C D 5 （3 分）已知某种商品的广告费支出 x（单位：万元）与销售额 y（单位：万元）之间有 如表对应数据根据表中数据可得回归方程，其中，据此估计，当投入 6 万元广告费时，销售额约为（ ）万元 x 1 2 3 4 5 y 10 15 30 45 50 A60 B63 C65 D69 6 （3 分）二项式（+）10展开式中的常数项是（ ） A180 B90 C45 D360 7 （3 分）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不 同的安排方式共有（ ） A12 种 B18 种 C24 种 D36 种 8 （3 分）已知条件
3、 p：|x4|6；条件 q： （x1）2m20（m0） ，若 p 是 q 的充分不 第 2 页（共 21 页） 必要条件，则 m 的取值范围是（ ） A21，+） B9，+） C19，+） D （0，+） 9（3分） 若直线 x2y+20 经过椭圆的一个焦点和一个顶点， 则该椭圆的标准方程为 （ ） A+y21 B+1 C+y21 或+1 D以上答案都不对 10 （3 分）设 F1，F2是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PF1| 4|PF2|，则PF1F2的面积等于（ ） A B C24 D48 11 （3 分）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 27，且用料最省，则圆柱的
4、底面 半径为（ ） A3 B4 C6 D5 12 （3 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，f（1）2，对任意 xR，f（x）2，则 f （x）2x+4 的解集为（ ） A （1，1） B （1，+） C （，1） D （，+） 13 （3 分）下面四个图象中，有一个是函数 f（x）x3+ax2+（a21）x+1（aR）的导 函数 yf（x）的图象，则 f（1）等于（ ） A B C D或 14 （3 分）在区间（0，6）中任取一个实数 a，使函数 f（x）， 在 R 上是增函数的概率为（ ） 第 3 页（共 21 页） A B C D 15 （3 分） 若函数 f （x） （a0） 在1，
5、 +） 上的最大值为， 则 a 的值为 （ ） A B C+1 D1 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 16 （3 分）在复平面内，O 是原点，向量对应的复数是 2+i，若点 A 关于实轴的对称点 为 B，则向量对应的复数是 17 （3 分）若 （2x，1，3） ， （1，2y，9）且，则 xy 18 （3 分）椭圆+1 的焦点在 y 轴上，且 m1，2，3，4，5，n1，2，3，4，5， 6，7，则这样的椭圆的个数为 19 （3 分）设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，F 为抛物线焦点，B（3，2） ，则|PB|+|PF| 的最小值为 20 （3
6、分）已知函数 f（x）2|x m|和函数 g（x）x|xm|+2m8，其中 m 为参数，且满 足 m5若对任意 x14，+） ，存在 x2（，4，使得 g（x1）f（x2）成立，则 实数 m 的取值范围为 三、解答题（每小题三、解答题（每小题 5 分，共分，共 40 分）分） 21 （5 分）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了 200 名 年龄在20，45内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第 一五组区间分别为20，25） ，25，30） ，30，35） ，35，40） ，40，45） （1）求选取的市民年龄在40，45内的人数； （2）若
7、从第 3，4 组用分层抽样的方法选取 5 名市民进行座谈，再从中选取 2 人在座谈 会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在35，40）内的概率 第 4 页（共 21 页） 22 （5 分）如图所示，在三棱锥 PABC 中，PC平面 ABC，PC3，ACB，D、 E 分别为线段 AB、BC 上的点，且 CDDE，CE2EB2 （1）证明：DE平面 PCD； （2）求二面角 APDC 的余弦值 23 （5 分）已知函数 f（x）x32x2+3x（xR）的图象为曲线 C （1）求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围； （2）若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与
8、曲线 C 的切点的横坐 标的取值范围 24 （5 分）已知椭圆（ab0）的一个顶点为 B（0，4） ，离心率 e，直 线 l 交椭圆于 M、N 两点 （1）若直线 l 的方程为 yx4，求弦 MN 的长； （2）如果BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线 l 方程的一般式 25 （5 分）已知 f（x）3ex+x2，g（x）9x1 （1）讨论函数 （x）alnxbg（x） （aR，b0）在（1，+）上的单调性； （2）比较 f（x）与 g（x）的大小，并加以证明 第 5 页（共 21 页） 2019-2020 学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷学年湖南省长沙市长郡中学高二（上
9、）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 45 分）分） 1 （3 分）命题“若 ，则 tan1”的逆否命题是（ ） A若 ，则 tan 1 B若 ，则 tan 1 C若 tan 1，则 D若 tan 1，则 【分析】根据命题“若 p，则 q”的逆否命题是“若q，则p” ，直接写出它的逆否命 题即可 【解答】解：命题“若 ，则 tan 1”的逆否命题是 “若 tan 1，则 ” 故选：C 【点评】本题考查了命题和它的逆否命题之间的关系的应用问题，解题时应根据四种命 题之间的关系进行解答，是基础题 2 （3 分）某单位有职工 1
10、00 人，30 岁以下的有 20 人，30 岁到 40 岁之间的有 60 人，40 岁以上的有 20 人，今用分层抽样的方法从中抽取 20 人，则各年龄段分别抽取的人数为 （ ） A2，6，10 B4，12，4 C8，8，4 D12，14，15 【分析】利用分层抽样的性质直接求解 【解答】解：某单位有职工 100 人，30 岁以下的有 20 人，30 岁到 40 岁之间的有 60 人， 40 岁以上的有 20 人， 分层抽样的方法从中抽取 20 人， 30 岁以下的抽取：204 人， 30 岁到 40 岁之间的抽取：2012 人， 40 岁以上的：204 人 故选：B 【点评】本题考查各年龄段
11、分别抽取的人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识， 第 6 页（共 21 页） 考查运算求解能力，是基础题 3 （3 分）设 P 是椭圆上的点，若 F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于 （ ） A4 B8 C6 D18 【分析】利用椭圆的标准方程及其定义即可得出 【解答】解：由椭圆可得：a3， 点 P 是椭圆的焦点，F1，F2是椭圆的两个焦点， 则|PF1|+|PF2|2a6， 故选：C 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题 4 （3 分）已知抛物线的标准方程 y2ax，则其焦点坐标为（ ） A B C D 【分析】利用抛物线的
12、标准方程求解即可 【解答】解：抛物线的标准方程 y2ax，则其焦点坐标为： 故选：A 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查 5 （3 分）已知某种商品的广告费支出 x（单位：万元）与销售额 y（单位：万元）之间有 如表对应数据根据表中数据可得回归方程，其中，据此估计，当投入 6 万元广告费时，销售额约为（ ）万元 x 1 2 3 4 5 y 10 15 30 45 50 A60 B63 C65 D69 【分析】由表中数据计算 、 ，求出回归方程，利用方程计算 x6 时 的值即可 【解答】解：由表中数据，计算 （1+2+3+4+5）3， 第 7 页（共 21 页） （10+1
13、5+30+45+50）30， 回归方程，其中， 301133， 11x3， x6， 116363， 据此估计，当投入 6 万元广告费时，销售额约为 63 万元 故选：B 【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题 6 （3 分）二项式（+）10展开式中的常数项是（ ） A180 B90 C45 D360 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即可求得常数 项 【解答】解：二项式（+）10展开式的通项公式为 Tr+12r， 令 50，求得 r2，可得展开式中的常数项是 22180， 故选：A 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式
14、，求展开式中某项的 系数，二项式系数的性质，属于基础题 7 （3 分）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不 同的安排方式共有（ ） A12 种 B18 种 C24 种 D36 种 【分析】把工作分成 3 组，然后安排工作方式即可 【解答】解：4 项工作分成 3 组，可得：6， 安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成， 可得：636 种 故选：D 【点评】本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考查计算 第 8 页（共 21 页） 能力 8 （3 分）已知条件 p：|x4|6；条件 q
15、： （x1）2m20（m0） ，若 p 是 q 的充分不 必要条件，则 m 的取值范围是（ ） A21，+） B9，+） C19，+） D （0，+） 【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义，由 p 是 q 的充分不必要条件，则条件 p： |x4|6 的解集 P，条件 q： （x1）2m20（m0）的解集 Q，满足 PQ，构造不等 式组，解不等式组即可得到答案 【解答】解：由已知，P：2x10， q：1mx1+m， 因为 p 是 q 的充分不必要条件，则2，101m，1+m， 即， 故选：B 【点评】判断充要条件的方法是：若 pq 为真命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命 题 q 的充分
16、不必要条件；若 pq 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必 要不充分条件；若 pq 为真命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件； 若 pq 为假命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件 判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断 命题 p 与命题 q 的关系 9（3分） 若直线 x2y+20 经过椭圆的一个焦点和一个顶点， 则该椭圆的标准方程为 （ ） A+y21 B+1 C+y21 或+1 D以上答案都不对 【分析】利用椭圆的简单性质求解，题中没有明确焦点在 x 轴还是在 y 轴上
17、，所以分情 况讨论 第 9 页（共 21 页） 【解答】解：设焦点在 x 轴上，椭圆的标准方程为 焦点坐标为（c，0） ， （c，0） ，顶点坐标为（0，b） ， （0，b） ； 椭圆的 a，b，c 关系： ；a2b2c2 直线 x2y+20 恒过定点（0，1） 直线 x2y+20 必经过椭圆的焦点（c，0） ，和顶点（0，b） 带入直线方程： 解得：c2，b1，a 焦点在 x 轴上，椭圆的标准方程为； 当设焦点在 y 轴，椭圆的标准方程为 焦点坐标为（0，c） ， （0，c） ，顶点坐标为（b，0） ， （b，0） ； 椭圆的 a，b，c 关系：a2b2c2 直线 x2y+20 恒过定点（0
18、，1） 直线 x2y+20 必经过椭圆的焦点（0，c） ，和顶点（b，0） 带入直线方程 解得：c1，b2，a 焦点在 y 轴上，椭圆的标准方程为 故选：C 【点评】本题考查椭圆方程的求法，题中没有明确焦点在 x 轴还是在 y 轴上，要分情况 讨论，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用，属于基础题 10 （3 分）设 F1，F2是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PF1| 4|PF2|，则PF1F2的面积等于（ ） A B C24 D48 第 10 页（共 21 页） 【分析】 先由双曲线的方程求出|F1F2|10， 再由 3|PF1|4|PF2|， 求出|PF1|8， |PF2
19、|6， 由此能求出PF1F2的面积 【解答】解：F1（5，0） ，F2（5，0） ，|F1F2|10， 3|PF1|4|PF2|，设|PF2|x，则， 由双曲线的性质知，解得 x6 |PF1|8，|PF2|6， F1PF290， PF1F2的面积 故选：C 【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合 理运用 11 （3 分）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 27，且用料最省，则圆柱的底面 半径为（ ） A3 B4 C6 D5 【分析】设圆柱的高为 h，半径为 r 则由圆柱的体积公式可得，r2h27，即 h， 要使用料最省即求全面积的最小值，而 S全面积r
20、2+2rhr2+，利用基本 不等式可求用料最小时的 r 【解答】解：设圆柱的高为 h，半径为 r，则由圆柱的体积公式可得，r2h27， h， S 全 面 积 r2+2rh r2+2r r2+ r2+ 27， 当且仅当 r2即 r3 时取等号， 当半径为 3 时，S 最小即用料最省， 故选：A 【点评】本题主要考查了圆柱的体积公式及表面积的最值的求解，解答应用试题的关键 是要把实际问题转化为数学问题，根据已学知识进行解决 12 （3 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，f（1）2，对任意 xR，f（x）2，则 f 第 11 页（共 21 页） （x）2x+4 的解集为（ ） A （1，1） B
21、 （1，+） C （，1） D （，+） 【分析】构造函数 g（x）f（x）2x4，利用导数研究函数的单调性即可得到结论 【解答】解：设 g（x）f（x）2x4， 则 g（x）f（x）2， 对任意 xR，f（x）2， 对任意 xR，g（x）0， 即函数 g（x）单调递增， f（1）2， g（1）f（1）+24440， 则函数 g（x）单调递增， 由 g（x）g（1）0 得 x1， 即 f（x）2x+4 的解集为（1，+） ， 故选：B 【点评】本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性 是解决本题的关键 13 （3 分）下面四个图象中，有一个是函数 f（x）x3+ax
22、2+（a21）x+1（aR）的导 函数 yf（x）的图象，则 f（1）等于（ ） A B C D或 【分析】先求出 f（x） ，根据开口方向，对称轴，判断哪一个图象是导函数 yf（x） 的图象，再根据图象求出 a 的值，最后求出 f（1） 【解答】解：函数的 f（x）的导数 f（x）x2+2ax+（a21）（x+a）21， 则 f（x）的图象开口向上，排除（2） （4） ， 若是（1）则，对称轴关于 y 轴对称，则 2a0，即 a0， f（x）x3x+1， 第 12 页（共 21 页） f（1）+1+1， 若对应的图象应为（3） ， 则函数过原点，a210，解得 a1，或 a1 且对称轴 xa
23、0，即 a0， a1 f（x）x3x2+1， f（1）1+1， 故选：D 【点评】本题主要考查函数图象的确定，以及导数的基本运算，属于基础题 14 （3 分）在区间（0，6）中任取一个实数 a，使函数 f（x）， 在 R 上是增函数的概率为（ ） A B C D 【分析】由函数 f（x），在 R 是增函数，解得 1a2，由此 利用几何概型能求出所求的概率 【解答】解：函数 f（x），在 R 上是增函数， ，解得 1a2， 由几何概型得从区间（0，6）中任取一个值 a， 则函数 f（x）是增函数的概率为 p 故选：A 【点评】本题考查概率的求法，考查几何概型及分段函数单调性的应用，几何概型概率
24、的值是常常通过长度、面积、或者体积的比值得到，本题属于中档题 15 （3 分） 若函数 f （x） （a0） 在1， +） 上的最大值为， 则 a 的值为 （ ） A B C+1 D1 第 13 页（共 21 页） 【分析】对函数 f（x）（a0）进行求导，讨论 a 研究函数在1，+）上的单 调性，而求出最大值，即可得到 a 的值 【解答】解：f（x）的导数为 f（x）， 当 a1 时，x时，f（x）0，f（x）单调减， 当 1x时，f（x）0，f（x）单调增， 当 x时，f（x）取得最大值， 解得 a1，不合题意； 当 a1 时，f（x）在1，+）递减，f（1）最大，且为，不成立； 当 0a
25、1 时，f（x）在1，+）递减，f（1）最大， 即 f（1），解得 a1， 故选：D 【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，注意运用分类讨论的思想方 法，属于研究最值问题的中档题 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 16 （3 分）在复平面内，O 是原点，向量对应的复数是 2+i，若点 A 关于实轴的对称点 为 B，则向量对应的复数是 2i 【分析】由已知求得 A 的坐标，再由对称性求得 B 点坐标，则向量对应的复数可求 【解答】解：由题意，A（2，1） ，则 B（2，1） ， 向量对应的复数是 2i 故答案为：2i 【点评】本题考查复数的代数
26、表示法及其几何意义，是基础题 17 （3 分）若 （2x，1，3） ， （1，2y，9）且，则 xy 【分析】由 （2x，1，3） ， （1，2y，9）且，求出 x，y，由 此能求出 xy 【解答】解： （2x，1，3） ， （1，2y，9）且， 第 14 页（共 21 页） ， 解得 x，y， xy（） （） 故答案为： 【点评】本题考查两数积的求法，考查空间中向量与向量平行的性质等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 18 （3 分）椭圆+1 的焦点在 y 轴上，且 m1，2，3，4，5，n1，2，3，4，5， 6，7，则这样的椭圆的个数为 20 【分析】根据题意可知要使椭圆的焦点在 y
27、 轴上，需满足 nm，对 n1，2，3，4，5， 6，7，看 m 能取的数的个数，最后向加即可求得答案 【解答】解：要使椭圆的焦点在 y 轴上，需 nm， 故 n2 时，m 可取 1 个数， n3 时，m 可取 2 个数， n4 时，m 可取 3 个数， n5 时，m 可取 4 个数， n6 时，m 可取 5 个数， n7 时，m 可取 5 个数， 故椭圆的个数 1+2+3+4+5+520 故答案为：20 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，排列组合知识考查了学生综合分析问题和 解决问题的能力 19 （3 分）设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，F 为抛物线焦点，B（3，2） ，则|P
28、B|+|PF| 的最小值为 4 【分析】所求距离等于|PB|加上 P 到准线 x1 的距离，当 P、B、F 三点共线时，距离 之和最小，由点到直线的距离公式可得 【解答】解：由抛物线的定义可知|PF|等于 P 到准线 x1 的距离， 故|PB|+|PF|等于|PB|加上 P 到准线 x1 的距离， 第 15 页（共 21 页） 可知当 P、B、F 三点共线时，距离之和最小，最小距离为 3（1）4 故答案为：4 【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题 20 （3 分）已知函数 f（x）2|x m|和函数 g（x）x|xm|+2m8，其中 m 为参数，且满 足 m5
29、若对任意 x14，+） ，存在 x2（，4，使得 g（x1）f（x2）成立，则 实数 m 的取值范围为 （，5 【分析】将 f（x）写成分段函数，由题意可得 g（x）的值域应是 f（x）的值域的子集， 对 m 讨论，结合 g（x）的单调性，解不等式可得所求范围 【解答】解：f（x）， 由题意可得 g（x）的值域应是 f（x）的值域的子集 当 m4 时，f（x）在 R 上单调递减，在m，4上单调递增，故 f（x）f（m）1， g（x）在4，+）上单调递增，故 g（x）g（4）82m 所以 82m1，即 m 当 4m5 时，f（x）在（，4上单调递减，故 f（x）f（4）2m 4， g（x）在4，
30、m）上单调递减，m，+）上单调递增， 故 g（x）g（m）2m8所以 2m 42m8， 解得 6m6，又 4m5，所以 m5 综上，m 的取值范围是（，5 【点评】本题考查函数的单调性和值域的求法，函数恒成立问题解法，注意运用分类讨 论思想和转化思想，考查运算能力，属于中档题 三、解答题（每小题三、解答题（每小题 5 分，共分，共 40 分）分） 21 （5 分）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了 200 名 年龄在20，45内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第 一五组区间分别为20，25） ，25，30） ，30，35） ，35，40）
31、 ，40，45） （1）求选取的市民年龄在40，45内的人数； （2）若从第 3，4 组用分层抽样的方法选取 5 名市民进行座谈，再从中选取 2 人在座谈 会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在35，40）内的概率 第 16 页（共 21 页） 【分析】 （1）选取的市民年龄在40，45）内的频率，即可求出人数， （2）利用分层抽样的方法从第 3 组选 3，记为 A1，A2，A3从第 4 组选 2 人，记为 B1， B2；再利用古典概型的概率计算公式即可得出 【解答】解： （1）由频率分布直方图可得年龄在40，45）内的频率为 0.0250.1，则 选取的市民年龄在40，45）
32、内的人数 0.120020， （2）由频率分布直方图可得年龄在30，35）内的频率为 0.0650.3，则选取的市民年 龄在30，35）内的人数 0.320060， 在35，40）内的频率为 0.0450.2，则选取的市民年龄在35，40）内的人数 0.2200 40， 则第 3，4 组的人数比为 3：2， 故从第 3，4 组用分层抽样的方法选取 5 名市民进行座谈，其中从第 3 组选 3，记为 A1， A2，A3从第 4 组选 2 人，记为 B1，B2， 则从 5 人选 2 人的： （A1，A2） ， （A1，A3） ， （A1，B1） ， （A1，B2） ， （A2，A3） ， （A2，B
33、1） ， （A2，B2） ， （A3，B1） ， （A3，B2） ， （B1，B2）共有 10 种 其中第 4 组没有一名被抽中的有： （A1，A2） ， （A1，A3） ， （A2，A3）共有 3 种 所以参与宣传活动的市民中至少有一人的年龄在35，40）内的概率 10.30.7 【点评】本题考查古典概率模型与频率分布直方图，两者的综合题是此类题考查的重要 形式，中档题 22 （5 分）如图所示，在三棱锥 PABC 中，PC平面 ABC，PC3，ACB，D、 E 分别为线段 AB、BC 上的点，且 CDDE，CE2EB2 （1）证明：DE平面 PCD； （2）求二面角 APDC 的余弦值 第
34、 17 页（共 21 页） 【分析】 （1）要证明 DE平面 PCD，可转化为证明 DECD 与 DEPC； （2）建立空间直角坐标系，将问题转化为求平面 PAD 与平面 PCD 的法向量的夹角的余 弦值 【 解 答 】 证 明 ： （ 1 ） PC 平 面 ABC ， DE 平 面 ABC ， PC DE ，CDE 为等腰直角三角形，CDDE PCCDC，DE 垂直于平面 PCD 内两条相交直线， DE平面 PCD 解： （2）由（1）知，CDE 为等腰直角三角形，DCE 如图，过 D 作 DF 垂直 CE 于 F，则 DFFCFE1，又已知 EB1，故 FB2 由ACB，得 DFAC，故
35、ACDF 以 C 为坐标原点，分别以的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直 角坐标系， 则 C（0，0，0） ，P（0，0，3） ，A（，0，0） ，E（0，2，0） ，D（1，1，0） ， （1，1，0） ，（1，1，3） ，（，1，0） 设平面 PAD 的法向量为 （x1，y1，z1） ， 由0，0，得，取 x12，得 （2，1，1） 由（1）可知 DE平面 PCD，故平面 PCD 的法向量 （1，1，0） ， cos， 第 18 页（共 21 页） 故所求二面角 APDC 的余弦值为 【点评】本题主要考查空间中线面的垂直关系、二面角的求法、空间向量的应用，考查 考生的逻辑思维
36、能力、运算求解能力、转化能力 23 （5 分）已知函数 f（x）x32x2+3x（xR）的图象为曲线 C （1）求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围； （2）若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐 标的取值范围 【分析】 （1）据切点处的导数值为曲线切线斜率，由二次函数的最值求法，求导函数的 范围也就是切线斜率范围； （2）互相垂直的切线斜率互为负倒数，由（1）求斜率范围，据切点处的导数值为曲线 切线斜率，解不等式，求切点横坐标范围 【解答】解： （1）函数 f（x）x32x2+3x 的导数为 f（x）x24x+3 （x2）211， 即过曲线 C
37、上任意一点的切线斜率的取值范围是1，+） ； （2）设其中一条切线的斜率为 k，另一条为， 由（1）可知， 解得1k0 或 k1， 由1x24x+30 或 x24x+31， 即有 1x3 或 x2+或 x2， 第 19 页（共 21 页） 得：x（，2（1，3）2+，+） 【点评】本题考查切点处的导数值为曲线切线斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积 为1，以及化简整理的运算能力，属于中档题 24 （5 分）已知椭圆（ab0）的一个顶点为 B（0，4） ，离心率 e，直 线 l 交椭圆于 M、N 两点 （1）若直线 l 的方程为 yx4，求弦 MN 的长； （2）如果BMN 的重心恰好为椭圆的右
38、焦点 F，求直线 l 方程的一般式 【分析】 （1）由已知中椭圆（ab0）的一个顶点为 B（0，4） ，离心率 e ，根据 e，b4，a2b2+c2可求出椭圆的标准方程，进而求直线 l 的方程及弦 长公式，得到弦 MN 的长； （2）设线段 MN 的中点为 Q（x0，y0） ，结合（1）中结论，及BMN 的重心恰好为椭圆 的右焦点 F，由重心坐标公式，可得 Q 点坐标，由中点公式及 M，N 也在椭圆上，求出 MN 的斜率，可得直线 l 方程 【解答】解： （1）由已知椭圆（ab0）的一个顶点为 B（0，4） ， b4， 又离心率 e， 即， ，解得 a220， 椭圆方程为； （3 分） 由 4
39、x2+5y280 与 yx4 联立， 消去 y 得 9x240x0， x10， 第 20 页（共 21 页） 所求弦长； （6 分） （2）椭圆右焦点 F 的坐标为（2，0） ， 设线段 MN 的中点为 Q（x0，y0） ， 由三角形重心的性质知，又 B（0，4） ， （24）2（x02，y0） ， 故得 x03，y02， 求得 Q 的坐标为（3，2） ； （9 分） 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则 x1+x26，y1+y24， 且，（11 分） 以上两式相减得， ， 故直线 MN 的方程为，即 6x5y280 （13 分） 【点评】本题考查的知识点是直线的一般方程，直线与圆锥
40、曲线，熟练掌握椭圆的简单 性质是重心坐标，中点公式等基本公式，是解答的关键 25 （5 分）已知 f（x）3ex+x2，g（x）9x1 （1）讨论函数 （x）alnxbg（x） （aR，b0）在（1，+）上的单调性； （2）比较 f（x）与 g（x）的大小，并加以证明 【分析】 （1） 先求出导函数 （x） ， 再对与 1 的大小分情况讨论， 即可求出函数 （x） 的单调性； （2）f（x）g（x） ，证明如下：设 h（x）f（x）g（x）3ex+x29x+1，求导得到 存在 x0（0，1） ，使得 h（x0）0，当 xx0时，h（x）0；当 xx0 时，h（x）0， 第 21 页（共 21
41、页） 所以（x01） （x010）0，所以 f（x）g（x） 【解答】解： （1）（x）alnx9bx+b，（x），x1， 当，即 a9b 时，（x）0，所以 （x） 在（1，+） 上单调递减， 当， 即a9b时， 令 （x） 0， 得x； 令 （x） 0， 得x， 故 （x） 在（1， ）上单调递增，在上单调递减； （2）f（x）g（x） ，证明如下： 设 h（x）f（x）g（x）3ex+x29x+1， 因为 h（x）3ex+2x9 为增函数，且 h（0）60，h（1）3e70， 所以存在 x0（0，1） ，使得 h（x0）0， 当 xx0时，h（x）0；当 xx0 时，h（x）0， 所以 h（x）， 因为，所以， 所以（x01） （x010） ， 因为 x0（0，1） ，所以（x01） （x010）0， 所以 h（x）min0， 所以 f（x）g（x） 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，是中档题
